彎曲應(yīng)力和強(qiáng)度

4/4彎曲應(yīng)力和強(qiáng)度.第六章彎曲應(yīng)力和強(qiáng)度

1、純彎曲時(shí)的正應(yīng)力橫力彎曲時(shí)，

0≠=Qdx

dM

。，純彎曲時(shí)，梁的橫截面上只有彎曲正應(yīng)力，沒(méi)有彎曲剪應(yīng)力。

根據(jù)上述實(shí)驗(yàn)觀察到的純彎曲的變形現(xiàn)象，經(jīng)過(guò)判斷、綜合和推理，可作出如下假設(shè)：（1）梁的橫截面在純彎曲變形后仍保持為平面，并垂直于梁彎曲后的軸線。橫截面只是繞其面內(nèi)的某一軸線剛性地轉(zhuǎn)了一個(gè)角度。這就是彎曲變形的平面假設(shè)。

（2）梁的縱向纖維間無(wú)擠壓，只是發(fā)生了簡(jiǎn)單的軸向拉伸或壓縮。（2）物理關(guān)系

根據(jù)梁的縱向纖維間無(wú)擠壓，而只是發(fā)生簡(jiǎn)單拉伸或壓縮的假設(shè)。當(dāng)橫截面上的正應(yīng)力不超過(guò)材料的比例極限Pρ時(shí)，可由虎克定律得到橫截面上坐標(biāo)為y處各點(diǎn)的正應(yīng)力為

yE

Eρ

εσ=

=

該式表明，橫截面上各點(diǎn)的正應(yīng)力σ與點(diǎn)的坐標(biāo)y成正比，由于截面上

ρ

E

為常數(shù)，說(shuō)

明彎曲正應(yīng)力沿截面高度按線性規(guī)律分布，如圖所示。中性軸z上各點(diǎn)的正應(yīng)力均為零，中性軸上部橫截面的各點(diǎn)均為壓應(yīng)力，而下部各點(diǎn)則均為拉應(yīng)力。（3）靜力關(guān)系

截面上的最大正應(yīng)力為

z

IMymax

max=

σ如引入符號(hào)

max

yIWz

z=

則截面上最大彎曲正應(yīng)力可以表達(dá)為

z

WM

=

maxσ式中，zW稱為截面圖形的抗截面模量。它只與截面圖形的幾何性質(zhì)有關(guān)，其量綱為[]

3

長(zhǎng)度。矩形截面和圓截面的抗彎截面模量分別為：高為h，寬為b的矩形截面：

62

1223

max

bhhbhyIWz

z===

直徑為d的圓截面：

322

6433

max

dddyIWzz∏=∏==

至于各種型鋼的抗彎截面模量，可從附錄Ⅱ的型鋼表中查找。

若梁的橫截面對(duì)中性軸不對(duì)稱，則其截面上的最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力并不相等，例如

T形截面。這時(shí)，應(yīng)把1y和2y分別代入正應(yīng)力公式，計(jì)算截面上的最大正應(yīng)力。

最大拉應(yīng)力為：

z

tIMy1

)(=

σ最大壓應(yīng)力為：

z

eIMy2

)(=

σ2、橫力彎曲時(shí)的正應(yīng)力

z

IMy

=

σ對(duì)橫力彎曲時(shí)的細(xì)長(zhǎng)梁，可以用純彎曲時(shí)梁橫截面上的正應(yīng)力計(jì)算公式計(jì)算梁的橫截面上的彎曲正應(yīng)力。

3、彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件

梁在彎曲時(shí)，橫截面上一部分點(diǎn)為拉應(yīng)力，另一部分點(diǎn)為壓應(yīng)力。對(duì)于低碳鋼等這一類塑性材料，其抗拉和抗壓能力相同，為了使橫截面上的最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力同時(shí)達(dá)到許用應(yīng)力，常將這種梁做成矩形，圓形和工字形等對(duì)稱于中性軸的截面。因此，彎曲正應(yīng)力的強(qiáng)度條件為：

[]σσ≤????

??=max

maxzWM

對(duì)于鑄鐵等這一類脆性材料，則由于其抗拉和抗壓的許用應(yīng)力不同，工程上常將此種梁的截面做成如T字形等對(duì)中性軸不對(duì)稱的截面（6-6b），其最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力的強(qiáng)度條件分別為

[]tz

ttIMyσσ≤??????=max

max)(和[]cz

ccIMyσσ≤??????=max

max

)(式中，ty和cy分別表示梁上拉應(yīng)力最大點(diǎn)和壓應(yīng)力最大點(diǎn)的y坐標(biāo)。

[]tσ和[]cσ分別為脆性材料的彎曲許用拉應(yīng)力和許用壓應(yīng)力。

4、彎曲剪應(yīng)力

橫力彎曲時(shí)，梁內(nèi)不僅有彎矩還有剪力，因而橫截面上既有彎曲正應(yīng)力，又有彎曲剪應(yīng)力。同時(shí)，由于橫力彎曲時(shí)梁的橫截面不再保持為平面，彎曲剪應(yīng)力不能采用綜合變形條件、物理?xiàng)l件及靜力條件進(jìn)行應(yīng)力分析的方法。本節(jié)從矩形截面梁入手，研究梁的彎曲剪應(yīng)力。

1．矩形截面梁的彎曲剪應(yīng)力

（1）截面上任意一點(diǎn)的剪應(yīng)力都平行于剪力Q的方向。

（2）剪應(yīng)力沿截面寬度均勻分布，即剪應(yīng)力的大小只與y坐標(biāo)有關(guān)。

剪應(yīng)力τ；頂面上有與τ互等的剪應(yīng)力τ'。在左、右側(cè)面上的正應(yīng)力1σ和2σ分別構(gòu)

z

z

bIQS*='τ

由剪應(yīng)力互等定理ττ='，可以推導(dǎo)出矩形截面上距中性軸為y處任意點(diǎn)的剪應(yīng)力計(jì)算公式為

z

zbIQS*

=τ

式中Q——橫截面上的剪力

zI——橫截面A對(duì)中性軸z的軸慣性矩

b——橫截面上所求剪應(yīng)力點(diǎn)處截面的寬度（即矩形的寬度）

*

zS——橫截面上距中性軸為y的橫線以外部分的面積*

A對(duì)中性軸的靜矩

矩形截面剪應(yīng)力計(jì)算公式的具體表達(dá)式為

???

???-=

2242yhIQz

τbh

Q

23max=

τ說(shuō)明矩形截面上的最大彎曲剪應(yīng)力為其平均剪應(yīng)力5.1倍。

2．工字形截面梁的彎曲剪應(yīng)力

工字形截面可以看做由三個(gè)矩形截面組成，因此其彎曲剪應(yīng)力計(jì)算與矩形截面梁類似。

仍然沿用矩形截面梁彎曲剪應(yīng)力計(jì)算公式z

zbIQS*

=τ。

可得腹板上彎曲剪應(yīng)力的計(jì)算公式

()

????????????-+-=

222428

yhhhHBbIQ

zτ

0=y時(shí)，在截面中性軸上

()??

?

???--=8822max

hbBBHbIQzτ

2

h

y±

=時(shí)，在腹板與翼緣的交界處??

????-=8822min

BhBHbIQzτ3.彎曲剪應(yīng)力強(qiáng)度條件

[]ττ≤????

??=max

*

maxzzbIQS

式中，[]τ為材料的