衍生金融工具復習

付息票債券的遠期價格偏高時的套利機會市場情況一年后交割的附息票債券遠期合約的價格為930美元。債券的即期價格為900美元。預期債券在6個月后12個月后各支付40美元的利息。6個月期和12個月期的無風險利率分別為9%和10%。套利機會遠期價格偏高，套利者可以：即期借900美元，買入一份債券。賣空一份債券的遠期合約。在即期所借900美元中，其中38.24美元以9%的年利率借入6個月，另外861.76美元以10%的年利率借入一年。首次利息支付40美元正好用來償還6個月期38.24美元貸款的本金和利息。一年之后，收到了第二次利息40美元，根據遠期合約條款賣出債券收到930美元。861.76美元的貸款到期共需償還本金和利息952.39美元。該策略凈盈利為：40+930-952.39=17.61操作t=0賣空F0t=0.5操作t=0賣空F0t=0.5t=10930-ST買入B-90040借入900-0.09x0.5+(900-40e-0.09x0.5))合計0-40-0""St+40—(900—40e-0.09x0.5)eix0.i17.61付息票債券的遠期價格偏低時的套利機會市場情況一年后交割的附息票債券遠期合約的價格為905美元。債券的即期價格為900美元。預期債券在6個月后12個月后分別支付利息40美元。6個月期和12個月期的無風險利率分別為9%和10%。套利機會遠期價格偏低，套利者可以：賣出一份債券。簽署一年后購買一份債券的遠期合約。賣出債券得到900美元，其中38.24美元作6個月無風險投資，另外861.76美元作一年無風險投資。此策略在6個月和12個月后分別產生40美元和952.39美元的現(xiàn)金流入。前面40美元用來支付6個月后的債券利息；后面952.39美元中40美元用來支付一年后的債券利息，905美元用來根據遠期合約條款購回債券，即期出售債券而遠期將該債券購回的策略所產生的凈收益為：952.39-40-905=7.39比簡單的持有一年該債券的收益更多。

操作t=0買入F0t=0.5t=1ST操作t=0買入F0t=0.5t=1ST-905賣空B900-40-S-40T存銀行-900-0.09x0.5+(900-40e-0.09x0.5))401(900一40e-0.09x0.517.61合計17.613.5一種股票預計在兩個月后會每股支付1美元紅利，5個月后再支付一次。股票價格為50美元，無風險利率為8%（對任何到期日連續(xù)復利計息）。一位投資者剛剛持有這種股票的6個月遠期合約的空頭寸。（a）遠期價格為多少？遠期合約的初始價值為多少？（b）3個月后，股票價格為48美元，無風險利率不變。遠期價格和遠期合約空頭頭寸的價值為多少？（a）股票分配股息的現(xiàn)值為：25I]=1xe-°-08x12+1xe一°應、12=1.9540遠期價格：F=（S—I）ert=（50-1.9540）e0.08x0.5=50.01111因為投資者剛剛持有該頭寸，所以遠期合約初始價值-匕=0，且K=F（b）3個月后，股票分配股息的現(xiàn)值為：2-12=1xe-°-08x12=0.9868遠期價格：F=（S2-I）ert2=（48-0.9868）e"<=47.96遠期合約空頭頭寸價值：一f=-（F-K）ert2=-（47.96-50.01）e一0.08節(jié)=2.015.31一家銀行向企業(yè)客戶提供兩種選擇：一種是按11%的利率借入現(xiàn)金，另一種是以2%利率借入黃金（當借入黃金時，必須以黃金形式支付利息，因此，如果今天借入100盎司，在1年后必須償還102盎司黃金）。無風險利率為每年9.25%，貯存費為每年0.5%。討論同現(xiàn)金貸款利率相比，借入黃金的利率是太高還是太低？這里兩種貸款的利率均為每年復利一次，無風險利率和貯存費用利率均為連續(xù)復利。設黃金價格為1000美元/盎司，并且這個客戶想借入的資金為1000000美元。該客戶既可以直接借入1000000美元現(xiàn)金，也可以借入1000盎司黃金。如果直接借入現(xiàn)金，則到期需償還1000000X1.11=1110000美元。如果借入1000盎司黃金，到期需償還1020盎司黃金。由于r=9.25%，u=0.5%，根據教材公式，可得遠期價格為：F=Se（r+u）t=1000e（0.0925+0.005）1=1102.41通過在遠期市場買入1020盎司黃金，該企業(yè)客戶可以鎖定借入黃金的到期償還額為：1020x1102.41=1124460很明顯，直接借入現(xiàn)金要優(yōu)于借入黃金（1124460>1110000）。計算結果表明，借入黃金的利率過高。那么多高的利率是合理的呢？假定R是借入黃金的利率，那么到期該企業(yè)客戶需償還黃金數為1000X(1+R)盎司，根據上面的遠期價格，則借款成本為：1000x(1+R)x1102.41=1110000二R=0.688%因此借入黃金的利率比合理利率高出1.31個百分點。老師課上做法：r=11%102F102Se(r+u)tr=1=1=1.02e(0.0925+0.005)一1=12.44%2100S100S所以應該選擇直接借入現(xiàn)金。3.10瑞士和美國按連續(xù)復利計息的兩個月期的年利率分別為3%和8%。瑞士法郎的即期價格為0.65美元。兩個月后交割的期貨合約的期貨價格為0.66美元。問存在什么樣的套利機會？理論上期貨價格：F=0.65e(0.08-0.03><6=0.6554所以實際的期貨價格被高估，套利者可以通過借入美元買入瑞士法郎同時賣出瑞士法郎期貨合約進行套利。3.11、一家公司持有價值為2000萬美元、P=1.2的股票組合。該公司想利用標普500期貨來對沖風險。股指期貨的當前水平是1080，每一份期貨合約是關于250美元乘股指。什么樣的對沖可以使風險最小化？公司怎么做才可以將組合的B值降低到0.6?應賣空的合約數量N=&=1.2x=88.9V1080x250F近似為整數，應賣空的合約數為89份。如果欲將組合的B值降低到0.6，應賣空的合約數為前者的一半，即應賣空44份合約。3.12假定今天是7月16日，一家公司持有價值1億美元的股票組合，組合的&=1.2，這家公司希望用CME的12月標普500股指期貨組合在7月16日至11月16日之間變化的&由1.2變成0.5.當前股指期貨價格為1000，每一份期貨合約的規(guī)模是250美元與股指的乘積。(a)公司應做什么樣的交易？(b)假如公司改變初衷而想將投資組合的&由1.2增加到1.5,公司應持有什么樣的頭寸？(a)公司應賣出的期貨合約的數量：N=(&-&*)L=(1.2-0.5)x100000000=280匕1000x250(b)公司應買入的期貨合約的數量:N=?*-|3)n(1.5-1.2)x100000000=120匕1000x2503.13、標準普爾指數=200，股票組合的價值=204萬美元，無風險年利率=10%，指數紅利收益率二4%，股票組合的B=1.5.假設利用4個月有效期的標準普爾500指數期貨合約對沖股票組合在未來3個月的風險。一份指數期貨合約的價值等于指數乘以500美元。則目前的期貨價格應該為：F=SeJT=200e(Q1-ml3=204.04于是期貨合約價格Vf-500X204-04=102020美元。由x2040000=30102020假設指數在3個月內變?yōu)?80，期貨的價格為：F=SeJ)t=180e(w-0.。4加2=180.90賣空股票指數期貨合約可獲利30x(204.04-180.90)x500=347100美元在股票指數上的損失為10%，指數每年支付4%的股利，即每3個月為1%。如果將股利考慮在內，投資者在3個月內獲得的指數收益為一9%。無風險利率大約為每3個月2.5%。由組合的B=1.5。得到股票組合的期望收益率為：2.5%+1.5%x(-9%-2.5%)=-14.75%在3個月末，股票組合的價值(包含股利)為：2040000x(1-0.1475)=1739100美元套期保值者的頭寸期望值(包含在指數期貨上的盈利)：1739100+347100=2086200美元當一個變量增加而其他變量保持不變時，對于股票期權價格的影響變量歐式看漲歐式看跌美式看漲美式看跌當前股票價格+—+—執(zhí)行價格—+—+時間期限??++波動率++++無風險利率+—+—股息數量—+—+期權價格的上限與下限期權類型上下限無股息股票美式看漲max(S一Xe-rT,0)<C<S無股息股票歐式看漲max(S一Xe-rT,0)<c<S

無股息股票美式看跌max(X-S°,0)<P<X無股息股票歐式看跌max(Xe-rT一S,0)<P<Xe-rT0歐式看漲看跌平價關系c+Xe-rT=p+S0美式期權看漲看跌關系S0-X<C-P<S0-Xe-rT考慮股息歐式看漲期權下限max(一D一Xe-rT,0)考慮股息歐式看跌期權下限max(Xe-rT+D一S,0)支付股息平價關系c+D+Xe-rT=p+S0考慮股息時的D應為貼現(xiàn)值歐式看跌看漲期權不滿足平價關系時的套利機會

相對看跌期權價格而言看漲期權價格太低市場情況某投資者剛剛獲得如下股票歐式期權的報價，股票價格為31美元，3個月期無風險利率為年利率10%，看漲期權和看跌期權的執(zhí)行價格都是30美元，3個月后到期。歐式看漲期權價格：3美元歐式看跌期權價格：2.25美元策略1、購買看漲期權2、出售看跌期權3、賣空一股股票結果這個策略給出的初試現(xiàn)金流為：31-3+2.25=30.25美元。將這筆資金按無風險利率投資3w3個月，3個月末本息為：30.25ei2=31.02美元。3個月末，有如下兩種可能性：1、如果股票價格大于30美元，投資者執(zhí)行看漲期權。即按照30美元價格購買一份股票，平倉空頭，獲利31.02-30=1.02美元。2、如果股票價格小于30美元，該投資者的對手執(zhí)行看跌期權。即投資者按照30美元的價格購買一份股票，平倉空頭，獲利31.02-30=1.02美元。操作t=0t=T買入看漲-3max(St-30,0)賣出看跌+2.25min(S-30,0)賣空股票+31-ST存入銀行-30.25+31.02合計1、5丁>30;1.02.2、St<30;1.026、執(zhí)行價格為20美元，3個月后到期的歐式看漲期權和歐式看跌期權，售價都為3美元。無風險年利率為10%，股票現(xiàn)價為19美元，預計1個月后發(fā)放紅利1美元。說明投資者存在什么樣的套利機會？合計根據看漲期權平價關系：p=c+D+Xe-rT—S=3+1xe-0.1x1/12+20e-0.1x0.25—19=4.500這個值高于3美元，說明看跌期權被低估。套利方法：買入看跌期權和股票，同時賣出看漲期權。8.8、一個無紅利支付股票的美式看漲期權的價格為4美元。股票價格為31美元，執(zhí)行價格為30美元，3個月后到期。無風險利率為8%。請推出相同股票、相同執(zhí)行價格、相同到期日的美式看跌期權的價格上下限。美式看跌看漲期權存在如下關系：S0—X<C—P<S0—Xe-rT在本題中：3-31—30<4—P<31—30e-8%x12即：2.41<P<38.6、執(zhí)行價格為30美元，6個月后到期的歐式看漲期權的價格為2美元。標的股票價格為29美元，2個月后和5個月后分紅利0.5美元。期限結構為水平，無風險利率為10%。執(zhí)行價格為30美元，6個月后到期的歐式看跌期權的價格為多少？根據看漲看跌期權平價關系：c+Xe-rT+D=p+S0移項得：p=c+Xe-rT+D—S0在本題中：(…2…)p=2+30e-0.5x0.1+0.5e一。貝修+0.5e一0.、2—29=2.51IJ9.3假設執(zhí)行價格為30美元和35美元的看跌期權成本分別為4美元和7美元，怎樣用期權構造牛市價差期權和熊市價差期權？作出表格說明這兩個期權的收益和盈虧狀況可以通過購買執(zhí)行價格為30美元的看跌期權和賣出執(zhí)行價格為35美元的看跌期權構建牛市差價，該策略初始現(xiàn)金流為3美元，收益和盈虧如下表所示：股票價格St收益盈虧5丁>3503

30<St<35S-35TS-32TSt<30-5-2可以通過賣出執(zhí)行價格為30美元的看跌期權和買入執(zhí)行價格為35美元的看跌期權構建熊市差價，該策略初始成本為3元，收益和盈虧如下表：股票價格sT收益盈虧St>350-330<S『<3535-ST32-STSt<30529.4、三個同一股票上具有同樣期限的看跌期權執(zhí)行價格分別為55美元、60美元和65美元，這3種期權的市場價格分別為3美元、5美元和8美元。解釋如何構造蝶式差價。用表來說明這一策略的盈利形式。股票在什么價位時，這一交易策略會導致虧損。蝶式差價的構造方法為：購買一份執(zhí)行價格為55美元的看跌期權，購買一份執(zhí)行價格為65美元的看跌期權，同時賣出兩份執(zhí)行價格為60美元的看跌期權。初始成本為3+8-2X5=1美元。該交易策略的損益情況如表所示：股票價格ST收益盈虧St>650-160<St<6565-ST64-ST55<St<60S-55TS-56TSt<550-1當最后的股票價格大于64或者小于56美元時，蝶式差價交易策略會導致?lián)p失10.1、某個股票現(xiàn)價為50美元，已知兩個月后，股票的價格為53美元或者48美元。無風險年利率為10%（連續(xù)復利）。請用無套利原理說明，執(zhí)行價格為49美元的2個月后到期的歐式看漲期權的價值為多少？方法一（無套利原理）：2個月結束的時候，期權的價值為4美元（如果股價為53美元）或者0美元（如果股價為48美元）?？紤]一份資產組合的構成：.?單位股票和一份看中期權的空頭。兩個月后組合的價值或者為4^或者為5^-4。如果：4^=5^-4?=0.8

即資產組合的價值為38.4（48x0.8or53x0.8-4）。因此對組合來說，其收益是無風險的。組合的現(xiàn)值為：0.8x50-f，其中f為期權的價值。因為組合必須以無風險的利率盈利所以：（0.8x50—f）e°1x：=38.4nf=2.23方法二（風險中性）：直接利用公式：f=e-仃[f+（1-P）fd]其中：P其中：P=erT一d2e2e0-1xi2-0.961.03—0.96=0.5681有題意u=—=1.03,d=—=0.96np=50502所以f=e-°-1xi2x0.5681x4=2.2310.9、某個股票的現(xiàn)價為25美元。已知兩個月后，股價變?yōu)?3美元或者27美元。無風險年利率10%（連續(xù)復利）。設St為2個月后股票價格。在這時收益為S2的期權的價值為多少？方法一（無套利原理）：2個月結束的時候，金融工具的價值為529美元（如果股價為23美元23X23）或者729美元（如果股價為27美元27X27）?？紤]一份資產組合的構成：■單位股票和一份看漲期權的空頭。兩個月后組合的價值或者為2^-729或者為2^-529。如果：2^-729=2^-529n=50即資產組合的價值為621（27x50-729or23x50-529）。因此對組合來說，其收益是無風險的。組合的現(xiàn)值為：25x50-f，其中f為期權的價值。因為組合必須以無風險的利率盈利所以：（25x50-f）e°-lxn=621nf=639.3方法二（風險中性）：直接利用公式：f=5[pf+（1―p）f]27

有題意u=—=1.08,d27

有題意u=—=1.08,d匕923——=0.92np=252e0-1x12-0.921.08-0.92=0.6050所以f=e-°'lxnx[0.6050x729+(1-0.6050)x529]=639.3美元10.5、某個股票現(xiàn)價為50美元。有連續(xù)2個時間步，每個時間步的步長為3個月，每個單步二叉樹的股價或者上漲6%或者下跌5%。無風險利率年利率為5%(連續(xù)復利)。執(zhí)行價格為51美元，有效期為6個月的歐式看漲期權的價值為多少？風險中性概率公式可得：p=e—d=e0.05x312-笊5=0.5689(u=1+6%,d=1-5%)u—d1.06—0.95對于最高的末端節(jié)點(兩個向上的復合)，期權收益為56.18-51=5.18對于最高的末端節(jié)點(兩個向上的復合)，期權收益為56.18-51=5.18美元，而在其他情況中的收益為零。因此，期權的價值為：f=ef=e-2r^tp2fm+2p(1-p)f^+(1-p)2、=e-0.05x612x0.56892x5.18=1.63510.6、考慮10.5中的情況，執(zhí)行價格為51美元，有效期為6個月的歐式看跌期權的價值為多少？證明歐式看漲期權和看跌期權滿足看漲看跌期權平價關系。如果看跌期權是美式期權，在樹圖上的任何節(jié)點，提前執(zhí)行期權是否會更優(yōu)惠？P2fuu+2p(1-p)f^+(1-p)2、f=e-2盧t=e-0.05x61210.6、考慮10.5中的情況，執(zhí)行價格為51美元，有效期為6個月的歐式看跌期權的價值為多少？證明歐式看漲期權和看跌期權滿足看漲看跌期權平價關系。如果看跌期權是美式期權，在樹圖上的任何節(jié)點，提前執(zhí)行期權是否會更優(yōu)惠？P2fuu+2p(1-p)f^+(1-p)2、=e-0.05x612x看跌期權加上股票價格的值為:1.376+50=51.376看漲期權加上執(zhí)行價格的現(xiàn)值為：1.635+51e-0.05x612=51.376二者相等，從而驗證了看跌-看漲期權平價關系。（3）為了檢驗是否值得提前執(zhí)行該期權，應該比較從立即執(zhí)行中得到的每個節(jié)點的收入計算出來的期權的值。在節(jié)點C，立即執(zhí)行的收益為51-47.5=3.5美元。因為這個值大于2.8664美元，期權應該在這個節(jié)點執(zhí)行，而不在節(jié)點A或者節(jié)點B執(zhí)行。也就是說，在價格樹的任意節(jié)點上，提前執(zhí)行并不一定是最優(yōu)的。11.1、目前股票價格為50美元，假設該股票的期望收益率為18%，波動率為30%。兩年內此種股票價格的概率分布是什么？計算該分布的均值和標準差（95%的置信區(qū)間）。在本題中，^。=50,日=0.18，。=0.3，未來兩年股票價格st符合對數正態(tài)分布：(009\lnS?令ln50+0.18———x2,0.32x2t|_"2J」即：lnSt?。(4.18,0.18)股票價格的均值：E(5丁)=S0e呻-)=50Xe0.18x2=71.67股票價格的標準差：c=\S2e2日(t-t)[e°2(t-t)—1]=Se^(t-t)、je。2(t-t)—1=50xe2x0.18<00.3x0.3x2二=31.83在給定95%的置信度下，ln5丁的置信區(qū)間為：[4.18—1.96x0.42,4.18+1.96x0.42]即：[3.35,5.01]股票價格S在95%的置信度下的置信區(qū)間是：「e3.35,e5.01］即：［28.52,150.44］TL」11.2、股票當前的價格為50美元，假定其收益率期望為15%，波動率為25%。在兩年內的股票收益率（連續(xù)復利）的概率分布是什么？.（C2C2\在本題中，日=0.15,c=0.25，根據公式X?8旦-?-，亍可得2年期連續(xù)復利的k2TJ(八“0.2520.252)回報率的概率分布是：80.15-—^—,—^k2/J即8（0.11875,0.03125），預期的價值回報率為每年11.875%，標準差為每年17.7%C0.03125）1(八“0.2520.252)回報率的概率分布是：80.15-—^—,—^k2/J即8（0.11875,0.03125），預期的價值回報（a）要求的概率是6個月后股票價格超過40美元的概率。假設6個月后股票的價格是S'則有:((0352、T,Q2T=。ln38+0.16-\V2)\x0.5,0.352x0.5JlnS?。lnS+日―即:lnS5(3.687,0.06125)T因為ln40=3.689，則要求的概率為：(3.689-3.687]-70.06125/=1—N(0.008)=1—0.5032=0.4968（b）對于看跌期權，要求的概率是6個月后股票價格低于40美元的概率，同樣的方法可得其值為1-0.4968=0.5032.11.11考慮一個無股息股票的期權，股票價格為30美元，執(zhí)行價格為29美元，無風險利率為每年5%，波動率為每年25%：如果期權是歐式看漲期權如果期權是美式看漲期權如果期權是歐式看跌期權驗證看跌一看漲期權平價關系式。(a)(b)(c)(d)期權期限為4個月。其價格為多少？其價格為多少？其價格為多少？在本題中，S0=30,K=29,r=0.05,q=0.25,T=4/12=0.3333，且有：In(SK)+(r+62)TIn(3029)+(0.05+0.2522)x0.3333d=——0==.=0.42251q盤0.25J0.3333ln(SK)+(r-Q22)TIn(3029)+(0.05-0.2522)x0.3333d=——0===0.278220.25扣.3333N(d)=N(0.4225)=0.66371

N(d)=N(0.2782)=0.60962N(-d)=N(-0.4225)=0.33631

N(-d)=N(0.6096)=0.39042(a)（b）歐式看漲期權的價格是:c=S0N（d）-Ke-rTN（d2）=30x0.6637-29Xe-0.05x0.3333x0.6096=2.52美式看漲期權的價格與歐式看漲的價格一致，也是2.52美元歐式看跌期權的價格是:p=Ke-rTN(-d2)-S0N(-《)=29xe-0.05x0.3333x0.6094-30x0.3363=1.05（c）⑹看跌-看漲期權平價關系為：P+S°=c+Ke-.證明Delta=互^—N(d)ln(SK)+(r—62)T

e<Tc=SN(d)-Ke-r