初二數(shù)學(xué)第2與三角形有關(guān)講義教師版

掌握三角形的內(nèi)角及內(nèi)角和、外角及外角和的性質(zhì)，并能夠進(jìn)行相關(guān)的計(jì)算掌握直角三角形的各個(gè)角的特點(diǎn)，并能夠進(jìn)行相關(guān)的角度計(jì)算掌握折疊的規(guī)律，并能夠在幾何計(jì)算中熟練應(yīng)用會(huì)根據(jù)角的特點(diǎn)判斷三角形的形狀三角形中，角的度數(shù)的綜合計(jì)算問題幾何找規(guī)律問題的理解三角形的內(nèi)角及其內(nèi)角和1、三角形內(nèi)角的概三角形內(nèi)角是三角形三邊的夾角．每個(gè)三角形都有三個(gè)內(nèi)角，且每個(gè)內(nèi)角均大于0且小于180．2、三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和是3、三角形內(nèi)角和定理的證4、三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用：主要用在求三角形中角的度數(shù)直接根據(jù)兩已知角求第三個(gè)角依據(jù)三角形中角的關(guān)系，用代數(shù)方法求三個(gè)角例1.如圖，△ABC中，∠A=60°，∠B=40°，則∠C等于 【答案】【解析】解：由三角形內(nèi)角和定理得，∠C=180°﹣∠A﹣∠B=80°，故選練習(xí)1.已知在△ABC中，∠A＝40°，∠B－∠C＝40°，則 【答案】【解析】解：由∠B－∠C＝40°得根據(jù)三角形內(nèi)角和是180，列出等式∠A＋∠B＋∠C＝∠A＋40＋∠C＋∠C＝180，把∠A＝40代入，求得∠C＝50，進(jìn)而求得∠B＝90練習(xí)2.在△ABC中，∠A+∠B=134°，∠B+∠C=136°，則△ABC的形狀是 【答案】【解析】解：∵在△ABC中∵∠A+∠B+∠C=180°②，①﹣②得，∠B=90°，∴△ABC的形狀是直角三角形，故選已知一個(gè)三角形其中某兩個(gè)角或者某一個(gè)角及其另外兩個(gè)角的關(guān)系即可利用三角形內(nèi)角和等于80°求解各個(gè)角的具體度數(shù)，其思想是三角形內(nèi)角和等于180°為求解角度提供了一個(gè)等量關(guān)系. A．銳角三角 B．直角三角 C．鈍角三角 D．等腰直角三角【答案】【解析】解：設(shè)三角形的三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)之比 x、2x、x+2x+3x=180°，解得，x=30°∴這個(gè)三角形一定是直角三角形練習(xí)1.在△ABC中，∠A，∠B，∠C的度數(shù)之比為2：3：4，則∠B的度數(shù)為 【答案】【解析】解∴設(shè)∴2x+3x+4x=180°，解得∴∠B的度數(shù)為：60°．故選練習(xí)2.如果三角形的三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)比是2：3：4，則它是 A．銳角三角 B．鈍角三角 C．直角三角形D．鈍角或直角三角【答案】【解析】解：設(shè)三個(gè)內(nèi)角分別為2k、3k、4k，則2k+3k+4k=180°，解得k=20°，所以，最大的角為4×20°=80°，所以，三角形是銳角三角形．故選已知三角形三個(gè)內(nèi)角之間的比例關(guān)系，即可設(shè)出三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)（用未知數(shù)表示），體現(xiàn)了“見比設(shè)參”的思想，再利用三角形內(nèi)角和等于180°，即可解出相應(yīng)的未知數(shù)，從而求出各 D．三角形的內(nèi)角都大于60°【答案】【解析】解：A、直角三角形中有兩個(gè)銳角，故本選誤C、三角形的內(nèi)角中最多有一個(gè)直角，故本選項(xiàng)正確D、若三角形的內(nèi)角都大于60°，則三個(gè)內(nèi)角的和大于180°，這樣的三角形不存在，故本練習(xí)1.任何一個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角中至少有 A．一個(gè)角大于 B．兩個(gè)銳 C．一個(gè)鈍 D．一個(gè)直【答案】【解析】解：根據(jù)三角形的內(nèi)角和是180°，知：三個(gè)內(nèi)角可以都是60°，排除A；三個(gè)內(nèi)角可以都是銳角，排除C和D；三角形的三個(gè)內(nèi)角中至少有兩個(gè)銳角，不可能有兩個(gè)鈍角或兩個(gè)直角．故B．三角形的外角及其外角和1、三角形外角的定三角形的一邊與另一邊的延長(zhǎng)線組成的角，叫做三角形的外角．三角形共有六個(gè)外角，其中有公共頂點(diǎn)的兩個(gè)相等，因此共有三對(duì)．在計(jì)算三角形外角和時(shí)，只計(jì)算其中的三個(gè)，即每個(gè)頂點(diǎn)取一個(gè).2、三角形的外角性三角形的外角和為三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和三角形的一個(gè)外角大于和它不相鄰的任何一個(gè)內(nèi)角3、若研究的角比較多，要設(shè)法利用三角形的外角性質(zhì)（2）將它們轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中去 D．以上都【答案】A錯(cuò)誤，∠ADB+∠ADE=180，無(wú)法判斷其大小關(guān)系；B錯(cuò)誤，∠ADB=∠1+∠2+∠3；C正確，∵∠ADB=∠1+∠2+∠3，∠ADB＞∠1+∠2；D錯(cuò)誤．故C．練習(xí)1.下列圖形中一定能說明∠1＞∠2的是 ．A．B．C．【答案】【解析】解：A中∠1=∠2，故錯(cuò)誤；B中∠1和∠2的關(guān)系不能確定，故錯(cuò)誤；C∠2，故正確；D中∠1和∠2的關(guān)系不能確定，故錯(cuò)誤；故選練習(xí)2.已知∠2是△ABC的一個(gè)外角，那么∠2與∠B+∠1的大小關(guān)系是 D．無(wú)法確【答案】【解析】解：∵∠2＞∠ADC，∠ADC=∠B+∠1，∴∠2＞∠B+∠1，故 例2.知，如圖，△ABC中，∠B=∠DAC，則∠BAC和∠ADC的關(guān)系是 D．不能確【答案】【解析】解：由三角形的外角性質(zhì)∵∠BAC=∠BAD+∠DAC，∠B=∠DAC，∴∠BAC=∠ADC．故 練習(xí)1.如圖在△ABC中∠A=80°．點(diǎn)D是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，∠ACD=150°，則 【答案】【解析】解：由三角形的外角的性質(zhì)可知，∠B=∠ACD﹣∠A=70°，故選練習(xí)2.如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=140°，延長(zhǎng)BC至點(diǎn)D，則∠ACD等于 【答案】【解析】解：∵AB=AC，∠A=140°，∴∠B=∠ACB=∴∠ACD=180°﹣∠ACB=180°﹣20°=160°．故選例3.如果三角形三個(gè)外角度數(shù)之比是3：4：5，則此三角形一定是 A．銳角三角 B．直角三角 C．鈍角三角 D．不能確【答案】【解析】解：∵三角形三個(gè)外角度數(shù)之比是設(shè)三個(gè)外角分別是α，β，γ，則α=360°×∴此三角形一定是直角三角形．故選練習(xí)1.如果一個(gè)三角形的三個(gè)外角的度數(shù)之比是2：3：4，那么與之對(duì)應(yīng)的三個(gè)內(nèi)角的度之比是 【答案】【解析】解：設(shè)三個(gè)外角的度數(shù)分別是由題意得：2x+3x+4x=360，解得：x=40，則故三個(gè)內(nèi)角分別為：100°，60°，20°100°：60°：20°=5：3：1，故選：D．練2.如圖所示：∠1=110°，∠2=125°，那么∠3=（） 【答案】【解析】解：根據(jù)三角形的外角和可得，∠3的鄰補(bǔ)角等于125°，所以∠3=55°，故選在三角形的角度計(jì)算中，如果涉及到的外角比較多時(shí)，常會(huì)考慮用“三角形的外360°”這一性質(zhì)直角三角形的性質(zhì)1、有一個(gè)角為90°的三角形，叫做直角三角形2、在直角三角形中，兩個(gè)銳角互余注：在進(jìn)行角度的計(jì)算時(shí)，直角三角形銳角互余的性質(zhì)也是一個(gè)常用的倒角方法.反之，我們也常用“兩銳角互余”的性質(zhì)來(lái)判定一個(gè)三角形是否是直角三角形.345453060°，在三角板中的角度計(jì)算類問題中要將以上度數(shù)當(dāng)成已知度數(shù)來(lái)使用.例1.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A﹣∠B=70°，則∠A的度數(shù)為 A．80°B．70°C．60°【答案】【解析】解又∠A﹣∠B=70°，∴∠A=（90°+70°）=80°．故選1.AD、BE為△ABC的高，AD、BE相交H點(diǎn)，∠C=50°【答案】解：∵AD是△ABC的高垂足分別為E、F，則圖中與∠C（∠C除外）相等的角的個(gè)數(shù)是（ A．3 B．4 C．5 D．6【答案】【解析】解：∵AD是斜邊BC上的高∴圖中與∠C（除之C外）相等的角的個(gè)數(shù)是3，故選③∠A=∠B=∠C；④∠A=∠B=2∠C；⑤∠A=2∠B=3∠C，能確定△ABC為直角三角 A．2 B．3 C．4 D．5【答案】【解析】解：①、 是直角三角形，故小題正確④∵設(shè)∠C=x，則∠A=∠B=2x，∴2x+2x+x=180°，解 x=36°，∴2x=72°，故本小題錯(cuò)誤綜上所述，是直角三角形的是①②③共3個(gè)．故選 B．∠A+∠B=∠C 【答案】【解析】解：A、∴∠A=∠B=72°，∠C=36°，∴此時(shí) 為銳角三角形B∴∠C=90°，∴此時(shí) 為直角三角形C∴∠A=18°，∠B=72°，∠C=90°，∴此時(shí) 為直角三角形D、∴∠C=90°，∴此時(shí)△ABC為直角三角形．故選A．判斷一個(gè)三角形是不是直角三角形的方法很多，就現(xiàn)學(xué)的知識(shí)而言，主要有：（1）兩個(gè)內(nèi)角之和為90°；（2）其中兩個(gè)內(nèi)角的和等于第三個(gè)內(nèi)角；（3）其中某一個(gè)角等于90°；三個(gè)內(nèi)角的比例關(guān)系中，兩個(gè)內(nèi)角比例之和等于第三個(gè)內(nèi)角所占的比例等 3.將一副三角尺按如圖所示的方式疊放（兩條直角邊重合），則∠α的度數(shù) 【答案】【解析】解∴∠DEB=∠D+∠DAE=45°+30°=75°，即∠α的度數(shù) 75°．故答案為練 1.一副三角板有兩個(gè)直角三角形，如圖疊放在一起，則∠α的度數(shù)是 【答案】【解析】解：給圖中標(biāo)上∠1、∠2，如圖所示又∵∠2+∠α=180°，∴∠α=165°．故選練習(xí)2.將一副直角三角板如圖放置，使含30°角的三角板的直角邊和含45°角的條直角邊重合，則∠1的度數(shù)為 【答案】【解析】解：∵∠2=90°﹣45°=45°（直角三角形兩銳角互余∴∠3=∠2=45°，∴∠1=∠3+30°=45°+30°=75°．故 目前通用的三角板是最典型的直角三角形，同時(shí)兩個(gè)三角板的四個(gè)銳角的度數(shù)是固定的，分別為：45453060°，在三角板中的角度計(jì)算類問題中要將以上度數(shù)當(dāng)成已知度數(shù)來(lái)使用.三角形倒角計(jì)算綜合.通過倒角，可以計(jì)算角的度數(shù)，從而判斷三角形的形狀例1.已知△ABC中，∠A=20°，∠B=∠C，那么三角形△ABC是 A．銳角三角 B．直角三角 C．鈍角三角 D．正三角【答案】【解析】解：∵∠A=20°，∴∠B=∠C=∴三角形△ABC是銳角三角形．故選練習(xí)1.若一個(gè)三角形三個(gè)內(nèi)角度數(shù)的比為2：7：4，那么這個(gè)三角形是 A．直角三角 B．銳角三角 C．鈍角三角 D．等邊三角【答案】【解析】解：依題意，設(shè)三角形的三個(gè)內(nèi)角分別為∴這個(gè)三角形是鈍角三角形．故選：練 2.三角形的外角大于和它相鄰的這個(gè)內(nèi)角，這個(gè)三角形為 A．銳角三角 B．鈍角三角 C．直角三角 D．無(wú)法確【答案】按照角度的大小來(lái)分類，三角形分為：銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形三種類型.要判（）即可. 之間有一種數(shù)量關(guān)系始終保持不變．請(qǐng)?jiān)囍乙徽疫@個(gè)規(guī)律，你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律是 【答案】【解析】解理由：∵在四ADA′E中則2∠A+180°﹣∠2+180°﹣∠1=360°，∴可得2∠A=∠1+∠2練習(xí)1.如圖，在△ACB中，∠ACB=100°，∠A=20°，D是AB上一點(diǎn)．將△ABC沿CD折疊，使B點(diǎn)落在AC邊上的B′處，則∠ADB′等于（ 【答案】【解析】解由折疊的性質(zhì)∴∠ADB′=180°﹣70°﹣70°=40°，故選練習(xí)2.如圖，將△ABC紙片沿DE折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)A'處，且A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，若∠BA'C=110°，則∠1+∠2的度數(shù)為（ 【答案】【解析】解：連接∴∠1+∠2=2（∠DAA′+∠EAA′）=2∠BAC=80°，故 例3.如圖，在△ABC中，∠BAC=56°，∠ABC=74°，BP、CP分別平分∠ABC和∠ACB，則 【答案】【解析】解：∵在△ABC中 中，∠P=180°﹣∠PBC﹣∠PCB=118°，故選 A．B． 【答案】【解析】解∵∠B，∠C的平分線相交于點(diǎn)∴∠PBC+∠PCB=∴∠BPC=180°﹣ x°，故選于點(diǎn)F，則∠CDF的度數(shù)為（ 0°B．80°C．85°【答案】【解析】解∴∠ACE=∵CD⊥AB∴∠CDF=180°﹣∠CFD﹣∠DCE=80°．故選④∠BDC=∠BAC．其中正確的結(jié)論有 B．2個(gè)C．3個(gè)D．4【答案】【解析】解：①∵AD平分△ABC的外∵∠EAC=∠ACB+∠ABC，且∠ABC=∠ACB，∴∠EAD=∠ABC，∴AD∥BC，故①正確②由（1）可知∵∠ABC=∠ACB，∴∠ACB=2∠ADB，故②正確∴∠ADC+∠ABD=90°，∴∠ADC=90°﹣∠ABD，故③正確④∵∠BAC+∠ABC=∠ACF，∴∠BAC+∠ABC=∵∠BDC+∠DBC=∠ACF，∴∠BAC+誤．故選C．的知識(shí)有：角平分線的性質(zhì)、兩直線平行的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和、三角形的外角的性質(zhì)、三角形的外角和、互余與互補(bǔ)、對(duì)頂角的性質(zhì)等與角的大小相關(guān)的性質(zhì)及定理.較難的題型會(huì)涉及到多個(gè)知識(shí)的結(jié)合考查，需要在平時(shí)的練習(xí)中逐步建立幾何分析能力.例4.如圖，在△ABC中，∠A=m°，∠ABC和∠ACD的平分線交于點(diǎn)A1，得A2017，則 【答案【解析解：∵A1B平分∠ABC，A1C平分∠ACD，∴∠A1BC=∠ABC，∠A1CA=∵∠A1CD=∠A1+∠A1BC，即∠ACD=∠A1+∠ABC，∴∠A1= 練習(xí)1.（1）如圖1，在△ABC中，點(diǎn)O是∠ABC和∠ACB平分線的交點(diǎn)，若∠A=α，∠BOC=90°+；如 2，∠CBO=∠ABC，∠BCO=∠ACB，∠A=α，則（用α表示（2）如圖3，∠CBO=∠DBC，∠BCO=∠ECB，∠A=α，請(qǐng)猜想∠BOC= 【答案】 120°﹣【解析】解：（1）如圖2，在△OBC中∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）=180°﹣=180°﹣（180°﹣∠A）=120°+∠A=120°+（2）如圖③，在△OBC中∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）=180°﹣=180°﹣（∠A+∠ACB+∠A+ABC）=180°﹣（∠A+180°）=120°﹣故答案為：120°+α；120°﹣練習(xí)2.如圖在△ABC中，∠A=64°，∠ABC與