陜西省咸陽(yáng)市實(shí)驗(yàn)中學(xué)2020-2021學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期第三次月考試題理【含答案】

陜西省咸陽(yáng)市實(shí)驗(yàn)中學(xué)2020-2021學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期第三次月考試題理一?選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1.在下列命題中：①若向量共線，則所在的直線平行；②若向量所在的直線是異面直線，則一定不共面；③若三個(gè)向量?jī)蓛晒裁妫瑒t三個(gè)向量一定也共面；④已知三個(gè)向量，則空間任意一個(gè)向量總可以唯一表示為.其中正確命題個(gè)數(shù)為（）A.0 B.1 C.2 D.3A此題考查向量的知識(shí)點(diǎn)；對(duì)于①：根據(jù)兩向量共線定義知道，兩向量共線有可能兩向量所在的直線重合，所以此命題錯(cuò)誤；對(duì)于②：兩個(gè)向量可以平移到一個(gè)平面內(nèi)，所以此命題錯(cuò)誤；對(duì)于③：若三個(gè)向量?jī)蓛晒裁?，這三個(gè)向量有可能不共面，所以此命題錯(cuò)誤；對(duì)于④：根據(jù)空間向量的基本定理知道，這三個(gè)向量要不共面才可以，所以此命題錯(cuò)誤，所以選A2.與橢圓有相同焦點(diǎn)，且短軸長(zhǎng)為的橢圓方程是（）A. B.C. D.B【分析】將橢圓方程化標(biāo)準(zhǔn)方程求出，再結(jié)合已知條件，和的關(guān)系，即可求解.【詳解】橢圓，化為∴，且焦點(diǎn)在軸上，∵橢圓的焦點(diǎn)與橢圓有相同焦點(diǎn)∴橢圓的半焦距，即，∵短軸長(zhǎng)為，∴，，∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選B.本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，要注意焦點(diǎn)的位置，屬于基礎(chǔ)題.3.已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)P在橢圓上.若，則點(diǎn)P到x軸的距離為（）A. B.3 C. D.C【分析】設(shè)，則由橢圓定義和勾股定理可得，再根據(jù)直角三角形面積可得.【詳解】由橢圓方程可得，設(shè)，，即，，，，設(shè)P到x軸的距離為，則.故選：C.本題考查焦點(diǎn)三角形的問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是利用定義和勾股定理得出.4.已知向量=(2，4，5)，=(3，x，y)分別是直線l1，l2方向向量，若l1l2，則（）A.x=6，y=15 B.x=3，y= C.x=3，y=15 D.x=6，y=D【分析】由空間中兩直線平行的向量關(guān)系即可求解【詳解】由題意，有，則，解得x=6，y=.故選：D本題考查空間中兩直線平行的向量坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)題.5.橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)和短軸的兩端點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)正三角形，則該橢圓的離心率為（）A. B. C. D.不能確定B【分析】由題可得，由此可求出離心率.【詳解】由題可得，即，則，.故選：B.6.點(diǎn)是棱長(zhǎng)為1的正方體內(nèi)一點(diǎn)，且滿(mǎn)足，則點(diǎn)到棱的距離為A. B. C. D.A【分析】【詳解】過(guò)P作PM⊥底面AC于M，過(guò)M作MN⊥AB于N，連PN，則PN⊥AB，,即點(diǎn)P到棱AB的距離為7.如圖，棱長(zhǎng)為1的正方體，是底面的中心，則到平面的距離是（）A. B. C. D.B【分析】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，可證明平面，故平面的一個(gè)法向量為：，利用點(diǎn)到平面距離的向量公式即得解.【詳解】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則：由于平面平面，又，平面故平面的一個(gè)法向量為：到平面的距離為：故選：B本題考查了點(diǎn)到平面距離向量表示，考查了學(xué)生空間想象，概念理解，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.8.已知關(guān)于面的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，而關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，則（）A. B. C. D.B【分析】【詳解】本題考查空間直角坐標(biāo)系及向量的坐標(biāo)因?yàn)殛P(guān)于面的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，所以；又而關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，則，所以故正確答案為B9.如圖，已知正方體，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是的三等分點(diǎn)，且，則（）A. B.C. D.D分析】由空間向量的線性運(yùn)算求解．【詳解】∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是的三等分點(diǎn)，且，∴，故選：D．本題考查空間空間向量線性運(yùn)算，掌握空間向量的加減法、數(shù)乘運(yùn)算是解題基礎(chǔ)．10.已知，，且，則的最小值為A.8 B.9C.12 D.16B由題意可得：，則：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，綜上可得：則的最小值為9.本題選擇B選項(xiàng).點(diǎn)睛：在應(yīng)用基本不等式求最值時(shí)，要把握不等式成立的三個(gè)條件，就是“一正——各項(xiàng)均為正；二定——積或和為定值；三相等——等號(hào)能否取得”，若忽略了某個(gè)條件，就會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤．11.已知橢圓，則以點(diǎn)（1，1）為中點(diǎn)的弦的長(zhǎng)度為（）A3 B.2 C. D.C設(shè)直線方程為y=k（x﹣1）+1，代入橢圓方程，消去y得：（1+2k2）x2﹣（4k2﹣4k）x+2k2﹣4k﹣2=0，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2=2，解得k=﹣，∴x1x2=，∴|AB|=．故選C．點(diǎn)睛：弦中點(diǎn)問(wèn)題解法一般為設(shè)而不求，關(guān)鍵是求出弦AB所在直線方程的斜率k,方法一利用點(diǎn)差法，列出有關(guān)弦AB的中點(diǎn)及弦斜率之間關(guān)系求解；方法二是直接設(shè)出斜率k，利用根與系數(shù)的關(guān)系及中點(diǎn)坐標(biāo)公式求得直線方程.12.在中，角所對(duì)邊長(zhǎng)分別為，若成等比數(shù)列，則角的取值范圍為（）A. B. C. D.D【分析】由成等比數(shù)列，可得，然后利用余弦定理表示出，進(jìn)行化簡(jiǎn)后，利用基本不等式即可求出的最小值，根據(jù)的范圍以及余弦函數(shù)的單調(diào)性，即可求出角的取值范圍．【詳解】a，b，c成等比數(shù)列，可得，則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），由于在三角形中，且在上為減函數(shù)，所以角的取值范圍是故選：D.本題考查余弦定理，等比數(shù)列的性質(zhì)，以及基本不等式的應(yīng)用，求得，是解題的關(guān)鍵．二?填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在題中橫線上)13.命題“對(duì)任何，”的否定是________．存在，對(duì)于“任何”，其否定為“存在”，對(duì)于后半部分，否定為“”，故答案為“存在，”.14.已知，，，若，是________.-4【分析】由題可知，，可得，運(yùn)用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，即可求出．【詳解】解：根據(jù)題意得，，，解得：．故．本題考查空間向量垂直的數(shù)量積關(guān)系，運(yùn)用空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，考查計(jì)算能力．15.橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，則__________.3【分析】由題可得，解出即可.【詳解】一個(gè)焦點(diǎn)為，焦點(diǎn)在軸上，，解得.故3.16.下列命題正確的有______________.(把正確答案的序號(hào)都填上)①直線在平面外，直線b在平面內(nèi).“”是“”的充分不必要條件；②直線在平面內(nèi)，直線b在平面內(nèi).“”是“”的必要不充分條件；③為兩條直線，直線在平面內(nèi).“”是“”的充要條件；④直線在平面內(nèi)，直線b在平面內(nèi).“”是“”的充分不必要條件；①④【分析】分別根據(jù)線面關(guān)系、面面關(guān)系的判定定理和性質(zhì)判定充分性和必要性是否成立即可.【詳解】對(duì)于①，若，，，故充分性成立，若，，則或異面，故必要性不成立，“”是“”的充分不必要條件，故①正確；對(duì)于②，若，，則或，故充分性不成立，若，，則或異面，故必要性不成立，“”是“”的既不充分也不必要條件，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③，若，，則或或相交，故充分性不成立，若，，則，故必要性成立，“”是“”的必要不充分條件，故③錯(cuò)誤；對(duì)于④，若，，則由面面垂直的判定定理可得，故充分性成立，若，，則或或相交，故必要性不成立，“”是“”的充分不必要條件，故④正確；故①④.本題考查線面關(guān)系和面面關(guān)系的判斷，解題的關(guān)鍵是正確理解空間中直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系，熟悉判定定理.三?解答題(本大題共6小題，共70分.解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟)17.已知命題p：不等式2x－x2<m對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立，命題q：m2－2m－3≥0，如果“p”與“p∧q”同時(shí)為假命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．(1，3)【分析】由題意，先求解出所給命題都是真命題時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍，然后結(jié)合條件得到為真命題，為假命題，列出不等式組，即可求解實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】由2x－x2＝－(x－1)2＋1≤1，所以p真時(shí)，m>1.由m2－2m－3≥0得m≤－1或m≥3，所以q真時(shí)m≤－1或m≥3.因?yàn)椤皃”與“p∧q”同時(shí)為假命題，所以p為真命題，q為假命題，所以即1<m<3.即m的取值范圍為(1，3)．本題主要考查了不等式的恒成立問(wèn)題，以及復(fù)合命題的真假判定與應(yīng)用，其中解答中，根據(jù)題意，先求解出所給命題都是真命題時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍，然后結(jié)合條件得到為真命題，為假命題，列出不等式組是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問(wèn)題和解答問(wèn)題的能力，屬于中檔試題.18.已知分別為三角形的三個(gè)內(nèi)角.證明：“”是“成等差數(shù)列”的充要條件.證明見(jiàn)解析【分析】根據(jù)等差中項(xiàng)的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和為分別證明充分性和必要性即可.【詳解】先證必要性：因?yàn)槌傻炔顢?shù)列，所以，又因?yàn)?，所以，再證充分性：因?yàn)?，又因?yàn)?，所以，所以成等差?shù)列，所以“”是“成等差數(shù)列”的充要條件.19.如圖，甲船以每小時(shí)30海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向勻速直線航行．當(dāng)甲船位于A1處時(shí)，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1處，此時(shí)兩船相距20海里．當(dāng)甲船航行20分鐘到達(dá)A2處時(shí)，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2處，此時(shí)兩船相距10海里，問(wèn)：(1)乙船每小時(shí)航行多少海里？(2)甲、乙兩船是否會(huì)在某一點(diǎn)相遇，若能，求出甲從A1處到相遇點(diǎn)共航行了多少海里？（1）（2）不能【分析】【詳解】試題分析：（1）連接，依題意知，求得的值，得到為等邊三角形，進(jìn)而求得，在中利用余弦定理求得的值，進(jìn)而求得乙船的速度；（2）若能在點(diǎn)相遇，則顯然,因?yàn)榧?、乙兩船的航速恰好相等，可判斷不能相遇．試題解析：(1)如圖，連接A1B2，A2B2＝10，A1A2＝×30＝10，∴△A1A2B2是等邊三角形，∠B1A1B在△A1B2B1中，由余弦定理得B1B＝A1B＋A1B－2A1B1·A1B2cos45°＝202＋(10)2－2×20×10×＝200B1B2＝10.因此乙船的速度的大小為×60＝30海里/小時(shí)．(2)若能在C點(diǎn)相遇，則顯然A1C＜B1C點(diǎn)睛：本題考查了解三角形的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，利用正、余弦定理解決實(shí)際問(wèn)題的一般思路：（1）實(shí)際問(wèn)題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量全部集中在一個(gè)三角形中，可以利用正弦定理或余弦定理求解；（2）實(shí)際問(wèn)題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量涉及兩個(gè)或兩個(gè)以上三角形，這時(shí)需作出這些三角形，先解夠條件的三角形，再逐步解其他三角形，有時(shí)需要設(shè)出未知量，從幾個(gè)三角形中列出方程（組），解方程（組）得出所要的解．20.已知橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為，離心率為，過(guò)點(diǎn)及左焦點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，右焦點(diǎn)設(shè)為.（1）求橢圓的方程；（2）求的面積.（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)橢圓的概念和平方關(guān)系，建立關(guān)于、、的方程，解出，，從而得到橢圓的方程；（2）求出直線的斜率可得直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系計(jì)算出，結(jié)合弦長(zhǎng)公式可得，最后利用點(diǎn)到直線的距離公式求出點(diǎn)到直線的距離，即可得的面積.【詳解】由題意知：，解得，所以橢圓的方程為：（2）因?yàn)樽蠼裹c(diǎn)，，得直線的斜率為，所以直線的方程為，由得：，因?yàn)?，所以直線與橢圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，設(shè)為則，所以，又因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離，所以的面積為本題出橢圓滿(mǎn)足的條件，求橢圓的方程，并求三角形的面積.著重考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等知識(shí)，屬于中檔題.21.如圖，在梯形中，，，，四邊形為矩形，平面平面，．（1）求證：平面．（2）點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，設(shè)平面與平面所成二面角的平面角為，試求的取值范圍．（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【分析】（1）在底面中證明即可證得線面垂直；（2）分別以直線，，為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，令，然后寫(xiě)出各點(diǎn)坐標(biāo)，求出平面和平面的法向量，由法向量夾角與二面角的關(guān)系求得（為的函數(shù)），由函數(shù)知識(shí)可得最大值和最小值，即得取值范圍．【詳解】（1）證明：在梯形中，∵，，，∴．∴，∴，∴．∵平面平面，平面平面，平面，∴平面．（2）解：分別以直線，，為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，令，則，，，，∴，．設(shè)為平面的一個(gè)法向量，由，得取，則．∵是平面的一個(gè)法向量，∴．∵，∴當(dāng)時(shí)，有最小值；當(dāng)時(shí)，有最大值．∴．本題考查證明線面垂直，考查二面角問(wèn)題，求二面角時(shí)，可建立空間直角坐標(biāo)系，得出兩平面的法向量，由法向量夾角求得二面角．22.如圖，在四棱錐中，平面，底面是菱形，，．（）求證：平面．（）若，求與所成角的余弦值．（）當(dāng)平面與平面垂直時(shí)，求的長(zhǎng)．（1）見(jiàn)解析；（2）；（3）【分析】【詳解】（1）因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形，所以AC⊥BD.又因?yàn)镻A⊥平面ABCD.所以PA⊥BD