機電控制原理及應(yīng)用課件

第2章受控機械系統(tǒng)動態(tài)模型

本章討論受控機械系統(tǒng)的動態(tài)模型。受控機械可以有各種各樣的結(jié)構(gòu)形式。如果抽象為力學(xué)模型，可以分別表示為質(zhì)點平移系統(tǒng)定軸旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)機械傳動系統(tǒng)定點旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)多剛體系統(tǒng)2023/1/31TianjinUniversityofTechnology第2章受控機械系統(tǒng)動態(tài)模型本章討2.1質(zhì)點平移系統(tǒng)

位移機械系統(tǒng)的基本元件是質(zhì)量、阻尼及彈簧。這些元件的符號如圖2-1所示。

注意，圖2-1只是機械元件的數(shù)學(xué)模型，它們不一定是具體物理裝置的精確表示。因此，在應(yīng)用這些定義時，必須是實際物理系統(tǒng)的合理抽象。

圖2-l機械直線位移元件(a)

質(zhì)量；(b)阻尼；(c)彈簧2023/1/32TianjinUniversityofTechnology2.1質(zhì)點平移系統(tǒng)位移彈簧質(zhì)量(2-1)(2-2)

(2-3)

阻尼

方程(2-1)~(2-3)應(yīng)用了圖示箭頭方向的力和位移。如果其中任何一個方向相反，則方程中的那一項必須變號。

2023/1/33TianjinUniversityofTechnology彈簧質(zhì)量(2-1)(2-2)(2-3)阻尼方程(

在這些機械元件中，阻尼耗散能量但不能儲存能量，而質(zhì)量和彈簧能儲存能量但不消耗能量。當我們列寫由這些機械元件通過內(nèi)部連結(jié)而形成系統(tǒng)的方程時，通常需要應(yīng)用牛頓定律，即作用于物體上的外力之和等于物體的質(zhì)量與它的加速度之乘積。

在建立由質(zhì)點-彈簧-阻尼器組成的質(zhì)點平移系統(tǒng)的動態(tài)數(shù)學(xué)模型時，一般利用牛頓第二定律列寫該系統(tǒng)的動力學(xué)微分方程。具體方法是：

第三，注意彈簧力和阻尼力都是起阻止質(zhì)點運動的，應(yīng)按照這一物理原理決定這兩個作用力的符號。

首先，系統(tǒng)中的每一個質(zhì)點必須列寫一個微分方程；

其次，每一個微分方程的左邊為該質(zhì)點的慣性力(即質(zhì)量與加速度的乘積)，右邊等于與該質(zhì)點相連結(jié)的彈簧力和阻尼力以及外作用力之和；2023/1/34TianjinUniversityofTechnology在這些機械元件中，阻尼耗散能量例2-1考慮單自由度質(zhì)量-彈簧系統(tǒng)，質(zhì)量為m的質(zhì)點通過剛度為K的彈簧和阻尼系數(shù)為b的阻尼器懸掛在機殼上，如圖2-2所示。試用牛頓定律建立質(zhì)點平移系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型。

圖2-2單自由度質(zhì)量-彈簧系統(tǒng)

2023/1/35TianjinUniversityofTechnology例2-1考慮單自由度質(zhì)量-彈簧系統(tǒng)，質(zhì)量為m的質(zhì)點通解

系統(tǒng)的微分方程可列寫如下：

將式(2-5)代入(2-4)，移項合并后，可得

或者表示為(2-4)

(2-5)

(2-6)

(2-7)

2023/1/36TianjinUniversityofTechnology解系統(tǒng)的微分方程可列寫如下：

將式(2-5)代入(2-4

拉氏變換后，可得

因此，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

式(2-9)表明，只有一個質(zhì)點的單自由度平移系統(tǒng)是一個二階系統(tǒng)。實際上，系統(tǒng)中有一個具有獨立位移的質(zhì)點應(yīng)列寫一個二階微分方程，有n個質(zhì)點應(yīng)列寫n個二階微分方程，因此，由n個質(zhì)點組成的系統(tǒng)應(yīng)是2n階系統(tǒng)。(2-8)

(2-9)

2023/1/37TianjinUniversityofTechnology拉氏變換后，可得因此，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為2.2定軸旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)

線性轉(zhuǎn)動系統(tǒng)與線性移動系統(tǒng)是類似的，列寫線性移動方程的方法同樣可適用于線性轉(zhuǎn)動系統(tǒng)。線性轉(zhuǎn)動系統(tǒng)的三個元件如圖2-3所示。圖2-3機械轉(zhuǎn)動元件(a)轉(zhuǎn)動慣量；(b)阻尼；(c)彈簧2023/1/38TianjinUniversityofTechnology2.2定軸旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)線性轉(zhuǎn)動系統(tǒng)與線性移動系扭轉(zhuǎn)彈簧

轉(zhuǎn)動慣量

(2-10)(2-11)

(2-12)

黏性阻尼器

在方程(2-11)和(2-12)中，假設(shè)了轉(zhuǎn)動元件具有零轉(zhuǎn)動慣量。

2023/1/39TianjinUniversityofTechnology扭轉(zhuǎn)彈簧轉(zhuǎn)動慣量(2-10)(2-11)(2-12)

根據(jù)旋轉(zhuǎn)機械元件的定義方程(2-10)~(2-12)，利用繞旋轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)矩之和必須等于轉(zhuǎn)動慣量與角加速度乘積的原理，可以建立機械旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)的動態(tài)模型。具體建模做法與質(zhì)點平移系統(tǒng)完全類似，只是將平移系統(tǒng)的質(zhì)量m改為旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動慣量J，平移系統(tǒng)的線位移x、線速度及線加速度改為旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)的角位移θ、角速度及角加速度以及平移系統(tǒng)的力f改為旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)的力矩M。2023/1/310TianjinUniversityofTechnology根據(jù)旋轉(zhuǎn)機械元件的定義方程(2-10)~(2-12)例2-3

考慮打印機中的步進電動機—同步齒形帶驅(qū)動裝置。采用圖2-4所示模型。圖中，K、B分別表示同步齒形帶的彈性和阻尼，M(t)為步進電動機的轉(zhuǎn)矩，Jm和JL分別表示步進電動機轉(zhuǎn)子和負載的轉(zhuǎn)動慣量，θi和θo分別表示輸入軸和輸出軸的轉(zhuǎn)角。

圖2-4步進電動機—同步齒形帶驅(qū)動裝置2023/1/311TianjinUniversityofTechnology例2-3考慮打印機中的步進電動機—同步齒形帶驅(qū)動裝置。采解

本系統(tǒng)有兩個轉(zhuǎn)動自由度θi和θo，因此，必須列兩個轉(zhuǎn)矩平衡方程。

(2-13)(2-14)(2-15)(2-16)

根據(jù)方程(2-15)和方程(2-16)，可畫出系統(tǒng)傳遞函數(shù)方塊圖如圖2-5(a)所示。

輸入軸輸出軸取拉氏變換，可得2023/1/312TianjinUniversityofTechnology解本系統(tǒng)有兩個轉(zhuǎn)動自由度θi和θo，因此，必須列兩個轉(zhuǎn)矩圖2-5例2-3驅(qū)動裝置的傳遞函數(shù)方塊圖及其簡化

2023/1/313TianjinUniversityofTechnology圖2-5例2-3驅(qū)動裝置的傳遞函數(shù)方塊圖及其簡化202

進一步，通過簡化方塊圖2-5(a)為圖2-5(b)，再為圖2-5(c)，或者聯(lián)立求解方程(2-15)和方程(2-16)，可得

這是一個低通濾波器特性，對步進電動機的震動具有隔離作用。

(2-17)

方程(2-17)表明，采用同步齒形帶傳動，系統(tǒng)增加了一個自由度，附加了傳遞函數(shù)

2023/1/314TianjinUniversityofTechnology進一步，通過簡化方塊圖2-5(a)為圖2-5(b)

機械傳動裝置是許多伺服系統(tǒng)不可缺少的一個重要機械部件，通常具有各種形式：2.3機械傳動裝置齒輪系齒輪齒條副絲杠螺母副蝸輪蝸桿副諧波齒輪

2023/1/315TianjinUniversityofTechnology機械傳動裝置是許多伺服系統(tǒng)不可缺少的一個重要2.3.1旋轉(zhuǎn)/直線變換

在運動控制問題中，經(jīng)常需要將旋轉(zhuǎn)運動轉(zhuǎn)換為平移運動。例如，通過絲杠螺母副、小齒輪齒條副以及同步齒形帶，由旋轉(zhuǎn)的主動軸控制負載的直線運動，如圖2-6所示。圖2-6由旋轉(zhuǎn)到直線運動的控制2023/1/316TianjinUniversityofTechnology2.3.1旋轉(zhuǎn)/直線變換在運動控制問題中，負載質(zhì)量與轉(zhuǎn)動慣量的等價轉(zhuǎn)換：（b）小齒輪齒條傳動（c）同步齒形帶傳動(2-18)(2-19)(2-20)（a）絲杠螺母副

2023/1/317TianjinUniversityofTechnology負載質(zhì)量與轉(zhuǎn)動慣量的等價轉(zhuǎn)換：(2-18)(2-19)(2-2．3．2速比折合

討論齒輪傳動系統(tǒng)。參考圖2-7的一對齒輪的傳動系統(tǒng)，主動輪1與從動輪2的轉(zhuǎn)角分別為θ1和θ2，轉(zhuǎn)動慣量分別為J1和J2，黏性阻尼系數(shù)分別為B1和B2，主動軸上的驅(qū)動力矩為Mi，從動軸上的負載力矩為Mo。

圖2-7齒輪傳動及其簡化(a)原傳動系統(tǒng)；(b)向主動軸簡化；(c)向從動軸簡化

2023/1/318TianjinUniversityofTechnology2．3．2速比折合討論齒輪傳動系統(tǒng)。參考圖(2-21)(2-22)(2-23)(2-24)(2-25)(2-26)解下列各式聯(lián)立的方程組：(2-27)傳動系統(tǒng)向主動軸簡化可得2023/1/319TianjinUniversityofTechnology(2-21)(2-22)(2-23)(2-24)(2-25)傳動系統(tǒng)向從動軸簡化(2-28)

由從動軸2向主動軸1折合，從動軸上的轉(zhuǎn)動慣量、阻尼系數(shù)都要乘以由軸1到軸2的傳動比的二次方，而轉(zhuǎn)矩只乘以傳動比的一次方。反之亦然。

根據(jù)以上推算，可得結(jié)論如下：同理，可得2023/1/320TianjinUniversityofTechnology傳動系統(tǒng)向從動軸簡化(2-28)由從動軸2向主動軸12．3．3非剛性傳動鏈

考慮轉(zhuǎn)軸為非剛性的情況。如圖2-8所示，z2，z3為一對嚙合齒輪，轉(zhuǎn)動慣量分別為J2，J3，飛輪J1，J4分別通過軸1及軸2與齒輪z2，z3

相連，軸1和軸2的扭轉(zhuǎn)剛度分別為K1，K2，輸入轉(zhuǎn)矩為Mi，齒輪z2，z3傳遞的轉(zhuǎn)矩為M2，M3。

圖2-8帶非剛性軸的齒輪傳動2023/1/321TianjinUniversityofTechnology2．3．3非剛性傳動鏈考慮轉(zhuǎn)軸為非剛性的情況解下列各式聯(lián)立的方程組：(2-29)(2-30)(2-31)(2-32)(2-33)2023/1/322TianjinUniversityofTechnology解下列各式聯(lián)立的方程組：(2-29)(2-30)(2-31)可得該傳動系統(tǒng)的等效系統(tǒng)，如圖2-9所示。

圖2-9帶非剛性軸的齒輪傳動的簡化圖(2-34)(2-35)(2-36)2023/1/323TianjinUniversityofTechnology可得該傳動系統(tǒng)的等效系統(tǒng)，如圖2-9所示。圖2-

將上列各式拉氏變換，整理后，可得：

由此可得系統(tǒng)傳遞函數(shù)如下：(2-37)(2-38)(2-39)(2-40)2023/1/324TianjinUniversityofTechnology將上列各式拉氏變換，整理后，可得：由此可綜合以上討論結(jié)果，可得結(jié)論如下：

對于一個無功率消耗的傳動系統(tǒng)，從動軸上的轉(zhuǎn)動慣量J、黏性阻尼系數(shù)B以及彈性系數(shù)K折合到主動軸上，都必須乘以由主動軸到從動軸的傳動比的二次方n2，才能得到等效的轉(zhuǎn)動慣量n2J、等效的黏性阻尼系數(shù)n2B以及等效的彈性系數(shù)n2K。而從動軸的轉(zhuǎn)角θ和作用在從動軸上的轉(zhuǎn)矩M折合到主動軸上，則必須分別除以和乘以傳動比n。這樣，主動軸和等效的從動軸可以串接起來，作為單軸的機械轉(zhuǎn)動系統(tǒng)處理。2023/1/325TianjinUniversityofTechnology綜合以上討論結(jié)果，可得結(jié)論如下：202．3．4主諧振頻率

在控制系統(tǒng)應(yīng)用中，往往最感興趣的是關(guān)于傳動裝置的主諧振頻率。因此，將齒輪等效轉(zhuǎn)動慣量分別與主動軸和從動軸的飛輪慣量合并。從而，圖2-9的等效系統(tǒng)可以進一步簡化為圖2-10。

圖2-10齒輪傳動系統(tǒng)的近似簡化2023/1/326TianjinUniversityofTechnology2．3．4主諧振頻率在控制系統(tǒng)應(yīng)用中，往往

根據(jù)圖2-10，可列寫出如下方程：經(jīng)拉氏變換后，可得簡化系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：(2-41)2023/1/327TianjinUniversityofTechnology根據(jù)圖2-10，可列寫出如下方程：經(jīng)拉氏變換后，可得簡化系

因此，該齒輪傳動系統(tǒng)的主諧振頻率近似為(2-42)2023/1/328TianjinUniversityofTechnology因此，該齒輪傳動系統(tǒng)的主諧振頻率近似為(2-

例2-4考慮圖2-11（a）所示的機床進給系統(tǒng)。它由齒輪、軸、絲杠螺母副及直線運動工作臺等組成。圖中，Mi——驅(qū)動電動機輸入轉(zhuǎn)矩；x0(t)——工作臺位移；z1，z2，z3，z4——齒輪齒數(shù)；

J1，J2，J3——I軸、II軸、III軸上的轉(zhuǎn)動慣量；

K1，K2，K3——I軸、II軸、III軸的扭轉(zhuǎn)剛度；

K4——絲杠螺母副及螺母座部分的軸向剛度系數(shù)；m——工作臺直線運動部分的質(zhì)量；

B——工作臺直線運動速度阻尼系數(shù)；

L——絲杠導(dǎo)程。2023/1/329TianjinUniversityofTechnology例2-4考慮圖2-11（a）所示的機床進給系

解根據(jù)傳動比轉(zhuǎn)換關(guān)系，折合到主動軸的等效傳動系統(tǒng)如圖2-11（b）所示。并且進一步將Ⅱ、Ⅱ軸的等效轉(zhuǎn)動慣量合并到輸出軸，從而得到簡化系統(tǒng)如圖2-11（c）所示。圖2-11機床進給系統(tǒng)及其簡化2023/1/330TianjinUniversityofTechnology解根據(jù)傳動比轉(zhuǎn)換關(guān)系，折合到主動軸的等效傳動系統(tǒng)如圖圖中，簡化系統(tǒng)的微分方程為2023/1/331TianjinUniversityofTechnology圖中，簡化系統(tǒng)的微分方程為2022/12/1231Tianj拉氏變換以后，可得(2-43)

解此方程組，可得機床進給系統(tǒng)的簡化傳遞函數(shù)為(2-44)

圖2-12機床進給系統(tǒng)傳遞函數(shù)方塊圖2023/1/332TianjinUniversityofTechnology拉氏變換以后，可得(2-43)解此方程組，可得機床進

通常，在機械傳動系統(tǒng)中，阻尼都是比較弱的，因此，上式可以進一步近似為

由式(2-45)很容易看出，簡化系統(tǒng)的主諧振頻率為(2-45)2023/1/333TianjinUniversityofTechnology通常，在機械傳動系統(tǒng)中，阻尼都是比較弱的，因2．4定點旋轉(zhuǎn)機械系統(tǒng)

在分析定點旋轉(zhuǎn)機械系統(tǒng)時，所依據(jù)的動力學(xué)定理主要是歐拉動力學(xué)方程。在動坐標系oxyz中，歐拉動力學(xué)方程可以表示為

(2-46)2023/1/334TianjinUniversityofTechnology2．4定點旋轉(zhuǎn)機械系統(tǒng)在分析定點旋轉(zhuǎn)機

下面，我們利用動量矩定理，集中研究三軸萬向框架系統(tǒng)的動態(tài)模型。圖2-13(a)是三軸萬向環(huán)架幾何結(jié)構(gòu)示意圖。圖2-13三軸萬向框架系統(tǒng)2023/1/335TianjinUniversityofTechnology下面，我們利用動量矩定理，集中研究三軸萬向框

(2-47)(2-48)(2-49)定點旋轉(zhuǎn)的萬向環(huán)架的動力學(xué)模型

這一動態(tài)模型也適用于一般的三軸定點旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)。當系統(tǒng)處于大角度運行狀態(tài)時，系統(tǒng)模型是三個互相交鏈的二階非線性微分方程組。只有當系統(tǒng)處于初始位置附近時，A和P角很小，取sinP＝P，sinA＝A以及cosP＝cosA＝1，并假設(shè)Jix≈Jiy，那么，定點旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)動力學(xué)方程才可以線性化為2023/1/336TianjinUniversityofTechnology(2-47)(2-48)(2-49)定點旋轉(zhuǎn)的萬向環(huán)架的動(2-50)

這樣，互相耦合的三根軸完全解耦，分別由互相獨立的三個二階線性微分方程建模，即，將定點旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)分解為三個定軸旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)處理。在初步分析設(shè)計時，這樣做可以使問題得到極大的簡化。但是，在計算各軸上的伺服電動機轉(zhuǎn)矩時，則必須使用完整的動態(tài)模型，以獲得精確的反饋控制系統(tǒng)的設(shè)計。2023/1/337TianjinUniversityofTechnology(2-50)這樣，互相耦合的三根軸完全解2．5多剛體機械系統(tǒng)

建立多剛體系統(tǒng)的動態(tài)模型一般采用拉格朗日方程

(2-50)

一個具有質(zhì)量mq的剛體在三維空間的動能是一個標量，它可以由下列關(guān)系式確定：(2-51)

其中，三維向量Vq表示剛體質(zhì)心相對基座的線速度，三維向量Ωq表示剛體相對基座的旋轉(zhuǎn)角速度。它們都在坐標系q中表示。并且，3×3矩陣Jq表示剛體相對坐標系q(當坐標系原點移到剛體質(zhì)心時)的慣性矩(或慣性張量)。2023/1/338TianjinUniversityofTechnology2．5多剛體機械系統(tǒng)建立多剛體系統(tǒng)的動態(tài)模型一般2．5．1球坐標工業(yè)機器人

球坐標工業(yè)機器人的前三個連桿的原理結(jié)構(gòu)如圖2-14(a)所示。選擇廣義坐標θ2=θ和θ3=h，如圖2-14(b)所示。

圖2-l4球坐標結(jié)構(gòu)工業(yè)機器人2023/1/339TianjinUniversityofTechnology2．5．1球坐標工業(yè)機器人球坐標工業(yè)機器人的系統(tǒng)的動能

(2-52)(2-53)(2-54)

因為系統(tǒng)的總動能和廣義力(矩)fq(q＝2，3)已經(jīng)確定，所以可以直接利用拉格朗日方程(2-50)來建立系統(tǒng)動態(tài)模型。

廣義力(矩)2023/1/340TianjinUniversityofTechnology系統(tǒng)的動能(2-52)(2-53)因為系統(tǒng)的總動能q＝2

解聯(lián)立方程組得(2-55)2023/1/341TianjinUniversityofTechnologyq＝2解聯(lián)立方程組得(2-55)2022/12/1241Tq＝3

解聯(lián)立方程組得(2-56)2023/1/342TianjinUniversityofTechnologyq＝3解聯(lián)立方程組得(2-56)2022/12/1242T

對于實際的工業(yè)機器人，其工作速度一般都比較低，加速度的影響很小，通?？梢院雎圆挥嫛Ｈ艨紤]原點附近的運動，令cosθ≈1和sinθ≈θ，以及h為小量。那么，在略去二階小量后，方程(2-55)和(2-56)可簡為下列線性模型：(2-57)2023/1/343TianjinUniversityofTechnology對于實際的工業(yè)機器人，其工作速度一般都比較低，加速度2．5．2旋轉(zhuǎn)坐標工業(yè)機器人

具有旋轉(zhuǎn)坐標的工業(yè)機器人的原理結(jié)構(gòu)如圖2-15所示。第l連桿為立柱，第2連桿為大臂，第3連桿為小臂。

圖2-15旋轉(zhuǎn)坐標結(jié)構(gòu)工業(yè)機器人

2023/1/344TianjinUniversityofTechnology2．5．2旋轉(zhuǎn)坐標工業(yè)機器人具有旋轉(zhuǎn)坐標的工業(yè)第3連桿的動能為(2-58)(2-59)(2-60)第1連桿的旋轉(zhuǎn)動能為

第2連桿的旋轉(zhuǎn)動能為2023/1/345TianjinUniversityofTechnology(2-58)(2-59)(2-60)第1連桿的旋轉(zhuǎn)動能為第對于式(2-60)，2023/1/346TianjinUniversityofTechnology對于式(2-60)，2022/12/1246Tianjin(2-61)2023/1/347TianjinUniversityofTechnology(2-61)2022/12/1247TianjinUniv三連桿旋轉(zhuǎn)坐標工業(yè)機器人的總動能

(2-62)2023/1/348TianjinUniversityofTechnology三連桿旋轉(zhuǎn)坐標工業(yè)機器人的總動能(2-62)2022/12

另外，作用于各個連桿的廣義力在平衡位置附近可近似地表示為(2-63)

將以上結(jié)果代入拉格朗日方程(2-62)，直接可得三連桿旋轉(zhuǎn)坐標工業(yè)機器人的動態(tài)模型如下：(2-64)

由以上方程組可看出，在平衡位置附近，當機器人的工作速度比較低時，三連桿旋轉(zhuǎn)坐標工業(yè)機器人的動態(tài)模型是三個二階線性微分方程，其中，第1連桿的運動是獨立的。這種簡化的線性模型可以應(yīng)用于初步分析和設(shè)計。2023/1/349TianjinUniversityofTechnology另外，作用于各個連桿的廣義力在平衡位置附近2．6微型機電系統(tǒng)

微型機電系統(tǒng)(MEMS)通常采用微梁或膜片支承的試驗質(zhì)量作為敏感元件。為了定量分析和設(shè)計這類MEMS器件，必須建立它們的動力學(xué)模型。本節(jié)基于耦合靜電場的兩端點對模型和微結(jié)構(gòu)的主振動模態(tài)，建立靜電場耦合MEMS傳感器動態(tài)模型。2023/1/350TianjinUniversityofTechnology2．6微型機電系統(tǒng)微型機電系統(tǒng)(MEMS)

2．6．1耦合靜電場兩端點對模型

靜電場耦合微機電系統(tǒng)(MEMS)方塊圖如圖2-16所示。

圖2-16靜電場耦合微機電系統(tǒng)

耦合靜電場的兩個端點變量對具有兩個獨立變量，另外兩個變量可以通過靜電場表達式求取。獨立變量對有兩種選取方法。2023/1/351TianjinUniversityofTechnology2．6．1耦合靜電場兩端點對模型靜電選取獨立變量對(q，x)

選取獨立變量對(u，x)

(2-65)(2-66)(2-67)(2-68)

以上各式表明，當靜電場能量已知為獨立變量的函數(shù)時，則所有端點的變量都可確定，并且，由此可以計算所有端點電路與機械系統(tǒng)的相互關(guān)系。靜電場儲能We'采用獨立變量(q，x)，需要尋找函數(shù)u(q，x)；而靜電場同等能量采用獨立變量(u，x)，則需要尋找函數(shù)q(u，x)。工程上經(jīng)常采用后一種方法，因為計算函數(shù)q(u，x)比較方便。2023/1/352TianjinUniversityofTechnology選取獨立變量對(q，x)選取獨立變量對(u，x)2．6．2系統(tǒng)動態(tài)模型

在力(壓力)和／或加速度作用下，試驗質(zhì)量產(chǎn)生的微小位移由其與基片電極或定齒之間形成的差動電容電橋檢測，并轉(zhuǎn)換為與位移成比例的電信號輸出。電的輸出信號經(jīng)過交流前置放大、同步解調(diào)、校正及直流功率放大等處理后，又加給試驗質(zhì)量與基片電極或定齒之間形成的另一組加力電容，組成靜電力反饋回路。平衡時，反饋的靜電力等于作用于試驗質(zhì)量的輸入外力(壓力)，或加速度引起的慣性力。這樣，反饋的靜電力就可以作為被測量的度量。2023/1/353TianjinUniversityofTechnology2．6．2系統(tǒng)動態(tài)模型在力(壓力)和／或加

設(shè)試驗總質(zhì)量為m，彈性梁的剛度為K，等效黏性阻尼系數(shù)為b，慣性力ma或者其他外作用力fd作為被測量，那么，根據(jù)傳感器的基本作用原理，可以畫出MEMS等價系統(tǒng)原理圖，如圖2-20所示。圖2-20微機電傳感器系統(tǒng)原理2023/1/354TianjinUniversityofTechnology設(shè)試驗總質(zhì)量為m，彈性梁的剛度為K，等效黏性阻尼系數(shù)電場能量和電場力得解下式聯(lián)立的方程組2023/1/355TianjinUniversityofTechnology電場能量和電場力得解下式聯(lián)立的方程組2022/12/1255

那么，靜電場力可簡化為(2-69)2023/1/356TianjinUniversityofTechnology那么，靜電場力可簡化為(2-69)2022/12/125動力學(xué)方程

利用式(2-69)，上式可以改寫成(2-69)(2-70)傳遞函數(shù)

令2023/1/357TianjinUniversityofTechnology動力學(xué)方程利用式(2-69)，上式可以改寫成(2-將這些符號代入式(2-70)，經(jīng)過拉氏變換后，可得(2-71)假設(shè)電的控制器傳遞函數(shù)方程為(2-72)

那么，方程式(2-71)和式(2-72)組成了MEMS傳感器的動態(tài)模型。若加速度A(s)為輸入，控制電壓ΔU(s)為輸出，F(xiàn)d(s)表示作用于試驗質(zhì)量的外力，則系統(tǒng)傳遞函數(shù)方塊圖如圖2-21所示。2023/1/358TianjinUniversityofTechnology將這些符號代入式(2-70)，經(jīng)過拉氏變換后，可得(2-71

圖2-21微機械加速度計傳遞函數(shù)方塊圖(2-73)(2-74)2023/1/359TianjinUniversityofTechnology圖2-21微機械加速度計傳遞函數(shù)

顯然，開環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)的分母二次多項式必須各項系數(shù)都大于零，開環(huán)系統(tǒng)才是穩(wěn)定的。換言之，欲使試驗質(zhì)量的平衡位置在開環(huán)狀態(tài)下是穩(wěn)定的，不等式ωn2>(Kse+Ke)/m必須成立。也就是說，機械彈簧的剛度必須大于靜電的負剛度，即K＞Kse+Ke

。這是在電容檢測/靜電驅(qū)動的MEMS傳感器設(shè)計中必須注意的一個基本條件。通常，設(shè)計控制器KcGc(s)，使得開環(huán)傳遞函數(shù)在低頻段的增益足夠大，閉環(huán)傳遞函數(shù)近似為l。結(jié)果，低頻段的輸出電壓可表示為ΔU＝(1／Kt)(mA十Fd)2023/1/360TianjinUniversityofTechnology顯然，開環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)的分母二次多項式必須各項系數(shù)謝謝2023/1/361TianjinUniversityofTechnology謝謝2022/12/1261TianjinUniver第2章受控機械系統(tǒng)動態(tài)模型

本章討論受控機械系統(tǒng)的動態(tài)模型。受控機械可以有各種各樣的結(jié)構(gòu)形式。如果抽象為力學(xué)模型，可以分別表示為質(zhì)點平移系統(tǒng)定軸旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)機械傳動系統(tǒng)定點旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)多剛體系統(tǒng)2023/1/362TianjinUniversityofTechnology第2章受控機械系統(tǒng)動態(tài)模型本章討2.1質(zhì)點平移系統(tǒng)

位移機械系統(tǒng)的基本元件是質(zhì)量、阻尼及彈簧。這些元件的符號如圖2-1所示。

注意，圖2-1只是機械元件的數(shù)學(xué)模型，它們不一定是具體物理裝置的精確表示。因此，在應(yīng)用這些定義時，必須是實際物理系統(tǒng)的合理抽象。

圖2-l機械直線位移元件(a)

質(zhì)量；(b)阻尼；(c)彈簧2023/1/363TianjinUniversityofTechnology2.1質(zhì)點平移系統(tǒng)位移彈簧質(zhì)量(2-1)(2-2)

(2-3)

阻尼

方程(2-1)~(2-3)應(yīng)用了圖示箭頭方向的力和位移。如果其中任何一個方向相反，則方程中的那一項必須變號。

2023/1/364TianjinUniversityofTechnology彈簧質(zhì)量(2-1)(2-2)(2-3)阻尼方程(

在這些機械元件中，阻尼耗散能量但不能儲存能量，而質(zhì)量和彈簧能儲存能量但不消耗能量。當我們列寫由這些機械元件通過內(nèi)部連結(jié)而形成系統(tǒng)的方程時，通常需要應(yīng)用牛頓定律，即作用于物體上的外力之和等于物體的質(zhì)量與它的加速度之乘積。

在建立由質(zhì)點-彈簧-阻尼器組成的質(zhì)點平移系統(tǒng)的動態(tài)數(shù)學(xué)模型時，一般利用牛頓第二定律列寫該系統(tǒng)的動力學(xué)微分方程。具體方法是：

第三，注意彈簧力和阻尼力都是起阻止質(zhì)點運動的，應(yīng)按照這一物理原理決定這兩個作用力的符號。

首先，系統(tǒng)中的每一個質(zhì)點必須列寫一個微分方程；

其次，每一個微分方程的左邊為該質(zhì)點的慣性力(即質(zhì)量與加速度的乘積)，右邊等于與該質(zhì)點相連結(jié)的彈簧力和阻尼力以及外作用力之和；2023/1/365TianjinUniversityofTechnology在這些機械元件中，阻尼耗散能量例2-1考慮單自由度質(zhì)量-彈簧系統(tǒng)，質(zhì)量為m的質(zhì)點通過剛度為K的彈簧和阻尼系數(shù)為b的阻尼器懸掛在機殼上，如圖2-2所示。試用牛頓定律建立質(zhì)點平移系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型。

圖2-2單自由度質(zhì)量-彈簧系統(tǒng)

2023/1/366TianjinUniversityofTechnology例2-1考慮單自由度質(zhì)量-彈簧系統(tǒng)，質(zhì)量為m的質(zhì)點通解

系統(tǒng)的微分方程可列寫如下：

將式(2-5)代入(2-4)，移項合并后，可得

或者表示為(2-4)

(2-5)

(2-6)

(2-7)

2023/1/367TianjinUniversityofTechnology解系統(tǒng)的微分方程可列寫如下：

將式(2-5)代入(2-4

拉氏變換后，可得

因此，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

式(2-9)表明，只有一個質(zhì)點的單自由度平移系統(tǒng)是一個二階系統(tǒng)。實際上，系統(tǒng)中有一個具有獨立位移的質(zhì)點應(yīng)列寫一個二階微分方程，有n個質(zhì)點應(yīng)列寫n個二階微分方程，因此，由n個質(zhì)點組成的系統(tǒng)應(yīng)是2n階系統(tǒng)。(2-8)

(2-9)

2023/1/368TianjinUniversityofTechnology拉氏變換后，可得因此，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為2.2定軸旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)

線性轉(zhuǎn)動系統(tǒng)與線性移動系統(tǒng)是類似的，列寫線性移動方程的方法同樣可適用于線性轉(zhuǎn)動系統(tǒng)。線性轉(zhuǎn)動系統(tǒng)的三個元件如圖2-3所示。圖2-3機械轉(zhuǎn)動元件(a)轉(zhuǎn)動慣量；(b)阻尼；(c)彈簧2023/1/369TianjinUniversityofTechnology2.2定軸旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)線性轉(zhuǎn)動系統(tǒng)與線性移動系扭轉(zhuǎn)彈簧

轉(zhuǎn)動慣量

(2-10)(2-11)

(2-12)

黏性阻尼器

在方程(2-11)和(2-12)中，假設(shè)了轉(zhuǎn)動元件具有零轉(zhuǎn)動慣量。

2023/1/370TianjinUniversityofTechnology扭轉(zhuǎn)彈簧轉(zhuǎn)動慣量(2-10)(2-11)(2-12)

根據(jù)旋轉(zhuǎn)機械元件的定義方程(2-10)~(2-12)，利用繞旋轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)矩之和必須等于轉(zhuǎn)動慣量與角加速度乘積的原理，可以建立機械旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)的動態(tài)模型。具體建模做法與質(zhì)點平移系統(tǒng)完全類似，只是將平移系統(tǒng)的質(zhì)量m改為旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動慣量J，平移系統(tǒng)的線位移x、線速度及線加速度改為旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)的角位移θ、角速度及角加速度以及平移系統(tǒng)的力f改為旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)的力矩M。2023/1/371TianjinUniversityofTechnology根據(jù)旋轉(zhuǎn)機械元件的定義方程(2-10)~(2-12)例2-3

考慮打印機中的步進電動機—同步齒形帶驅(qū)動裝置。采用圖2-4所示模型。圖中，K、B分別表示同步齒形帶的彈性和阻尼，M(t)為步進電動機的轉(zhuǎn)矩，Jm和JL分別表示步進電動機轉(zhuǎn)子和負載的轉(zhuǎn)動慣量，θi和θo分別表示輸入軸和輸出軸的轉(zhuǎn)角。

圖2-4步進電動機—同步齒形帶驅(qū)動裝置2023/1/372TianjinUniversityofTechnology例2-3考慮打印機中的步進電動機—同步齒形帶驅(qū)動裝置。采解

本系統(tǒng)有兩個轉(zhuǎn)動自由度θi和θo，因此，必須列兩個轉(zhuǎn)矩平衡方程。

(2-13)(2-14)(2-15)(2-16)

根據(jù)方程(2-15)和方程(2-16)，可畫出系統(tǒng)傳遞函數(shù)方塊圖如圖2-5(a)所示。

輸入軸輸出軸取拉氏變換，可得2023/1/373TianjinUniversityofTechnology解本系統(tǒng)有兩個轉(zhuǎn)動自由度θi和θo，因此，必須列兩個轉(zhuǎn)矩圖2-5例2-3驅(qū)動裝置的傳遞函數(shù)方塊圖及其簡化

2023/1/374TianjinUniversityofTechnology圖2-5例2-3驅(qū)動裝置的傳遞函數(shù)方塊圖及其簡化202

進一步，通過簡化方塊圖2-5(a)為圖2-5(b)，再為圖2-5(c)，或者聯(lián)立求解方程(2-15)和方程(2-16)，可得

這是一個低通濾波器特性，對步進電動機的震動具有隔離作用。

(2-17)

方程(2-17)表明，采用同步齒形帶傳動，系統(tǒng)增加了一個自由度，附加了傳遞函數(shù)

2023/1/375TianjinUniversityofTechnology進一步，通過簡化方塊圖2-5(a)為圖2-5(b)

機械傳動裝置是許多伺服系統(tǒng)不可缺少的一個重要機械部件，通常具有各種形式：2.3機械傳動裝置齒輪系齒輪齒條副絲杠螺母副蝸輪蝸桿副諧波齒輪

2023/1/376TianjinUniversityofTechnology機械傳動裝置是許多伺服系統(tǒng)不可缺少的一個重要2.3.1旋轉(zhuǎn)/直線變換

在運動控制問題中，經(jīng)常需要將旋轉(zhuǎn)運動轉(zhuǎn)換為平移運動。例如，通過絲杠螺母副、小齒輪齒條副以及同步齒形帶，由旋轉(zhuǎn)的主動軸控制負載的直線運動，如圖2-6所示。圖2-6由旋轉(zhuǎn)到直線運動的控制2023/1/377TianjinUniversityofTechnology2.3.1旋轉(zhuǎn)/直線變換在運動控制問題中，負載質(zhì)量與轉(zhuǎn)動慣量的等價轉(zhuǎn)換：（b）小齒輪齒條傳動（c）同步齒形帶傳動(2-18)(2-19)(2-20)（a）絲杠螺母副

2023/1/378TianjinUniversityofTechnology負載質(zhì)量與轉(zhuǎn)動慣量的等價轉(zhuǎn)換：(2-18)(2-19)(2-2．3．2速比折合

討論齒輪傳動系統(tǒng)。參考圖2-7的一對齒輪的傳動系統(tǒng)，主動輪1與從動輪2的轉(zhuǎn)角分別為θ1和θ2，轉(zhuǎn)動慣量分別為J1和J2，黏性阻尼系數(shù)分別為B1和B2，主動軸上的驅(qū)動力矩為Mi，從動軸上的負載力矩為Mo。

圖2-7齒輪傳動及其簡化(a)原傳動系統(tǒng)；(b)向主動軸簡化；(c)向從動軸簡化

2023/1/379TianjinUniversityofTechnology2．3．2速比折合討論齒輪傳動系統(tǒng)。參考圖(2-21)(2-22)(2-23)(2-24)(2-25)(2-26)解下列各式聯(lián)立的方程組：(2-27)傳動系統(tǒng)向主動軸簡化可得2023/1/380TianjinUniversityofTechnology(2-21)(2-22)(2-23)(2-24)(2-25)傳動系統(tǒng)向從動軸簡化(2-28)

由從動軸2向主動軸1折合，從動軸上的轉(zhuǎn)動慣量、阻尼系數(shù)都要乘以由軸1到軸2的傳動比的二次方，而轉(zhuǎn)矩只乘以傳動比的一次方。反之亦然。

根據(jù)以上推算，可得結(jié)論如下：同理，可得2023/1/381TianjinUniversityofTechnology傳動系統(tǒng)向從動軸簡化(2-28)由從動軸2向主動軸12．3．3非剛性傳動鏈

考慮轉(zhuǎn)軸為非剛性的情況。如圖2-8所示，z2，z3為一對嚙合齒輪，轉(zhuǎn)動慣量分別為J2，J3，飛輪J1，J4分別通過軸1及軸2與齒輪z2，z3

相連，軸1和軸2的扭轉(zhuǎn)剛度分別為K1，K2，輸入轉(zhuǎn)矩為Mi，齒輪z2，z3傳遞的轉(zhuǎn)矩為M2，M3。

圖2-8帶非剛性軸的齒輪傳動2023/1/382TianjinUniversityofTechnology2．3．3非剛性傳動鏈考慮轉(zhuǎn)軸為非剛性的情況解下列各式聯(lián)立的方程組：(2-29)(2-30)(2-31)(2-32)(2-33)2023/1/383TianjinUniversityofTechnology解下列各式聯(lián)立的方程組：(2-29)(2-30)(2-31)可得該傳動系統(tǒng)的等效系統(tǒng)，如圖2-9所示。

圖2-9帶非剛性軸的齒輪傳動的簡化圖(2-34)(2-35)(2-36)2023/1/384TianjinUniversityofTechnology可得該傳動系統(tǒng)的等效系統(tǒng)，如圖2-9所示。圖2-

將上列各式拉氏變換，整理后，可得：

由此可得系統(tǒng)傳遞函數(shù)如下：(2-37)(2-38)(2-39)(2-40)2023/1/385TianjinUniversityofTechnology將上列各式拉氏變換，整理后，可得：由此可綜合以上討論結(jié)果，可得結(jié)論如下：

對于一個無功率消耗的傳動系統(tǒng)，從動軸上的轉(zhuǎn)動慣量J、黏性阻尼系數(shù)B以及彈性系數(shù)K折合到主動軸上，都必須乘以由主動軸到從動軸的傳動比的二次方n2，才能得到等效的轉(zhuǎn)動慣量n2J、等效的黏性阻尼系數(shù)n2B以及等效的彈性系數(shù)n2K。而從動軸的轉(zhuǎn)角θ和作用在從動軸上的轉(zhuǎn)矩M折合到主動軸上，則必須分別除以和乘以傳動比n。這樣，主動軸和等效的從動軸可以串接起來，作為單軸的機械轉(zhuǎn)動系統(tǒng)處理。2023/1/386TianjinUniversityofTechnology綜合以上討論結(jié)果，可得結(jié)論如下：202．3．4主諧振頻率

在控制系統(tǒng)應(yīng)用中，往往最感興趣的是關(guān)于傳動裝置的主諧振頻率。因此，將齒輪等效轉(zhuǎn)動慣量分別與主動軸和從動軸的飛輪慣量合并。從而，圖2-9的等效系統(tǒng)可以進一步簡化為圖2-10。

圖2-10齒輪傳動系統(tǒng)的近似簡化2023/1/387TianjinUniversityofTechnology2．3．4主諧振頻率在控制系統(tǒng)應(yīng)用中，往往

根據(jù)圖2-10，可列寫出如下方程：經(jīng)拉氏變換后，可得簡化系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：(2-41)2023/1/388TianjinUniversityofTechnology根據(jù)圖2-10，可列寫出如下方程：經(jīng)拉氏變換后，可得簡化系

因此，該齒輪傳動系統(tǒng)的主諧振頻率近似為(2-42)2023/1/389TianjinUniversityofTechnology因此，該齒輪傳動系統(tǒng)的主諧振頻率近似為(2-

例2-4考慮圖2-11（a）所示的機床進給系統(tǒng)。它由齒輪、軸、絲杠螺母副及直線運動工作臺等組成。圖中，Mi——驅(qū)動電動機輸入轉(zhuǎn)矩；x0(t)——工作臺位移；z1，z2，z3，z4——齒輪齒數(shù)；

J1，J2，J3——I軸、II軸、III軸上的轉(zhuǎn)動慣量；

K1，K2，K3——I軸、II軸、III軸的扭轉(zhuǎn)剛度；

K4——絲杠螺母副及螺母座部分的軸向剛度系數(shù)；m——工作臺直線運動部分的質(zhì)量；

B——工作臺直線運動速度阻尼系數(shù)；

L——絲杠導(dǎo)程。2023/1/390TianjinUniversityofTechnology例2-4考慮圖2-11（a）所示的機床進給系

解根據(jù)傳動比轉(zhuǎn)換關(guān)系，折合到主動軸的等效傳動系統(tǒng)如圖2-11（b）所示。并且進一步將Ⅱ、Ⅱ軸的等效轉(zhuǎn)動慣量合并到輸出軸，從而得到簡化系統(tǒng)如圖2-11（c）所示。圖2-11機床進給系統(tǒng)及其簡化2023/1/391TianjinUniversityofTechnology解根據(jù)傳動比轉(zhuǎn)換關(guān)系，折合到主動軸的等效傳動系統(tǒng)如圖圖中，簡化系統(tǒng)的微分方程為2023/1/392TianjinUniversityofTechnology圖中，簡化系統(tǒng)的微分方程為2022/12/1231Tianj拉氏變換以后，可得(2-43)

解此方程組，可得機床進給系統(tǒng)的簡化傳遞函數(shù)為(2-44)

圖2-12機床進給系統(tǒng)傳遞函數(shù)方塊圖2023/1/393TianjinUniversityofTechnology拉氏變換以后，可得(2-43)解此方程組，可得機床進

通常，在機械傳動系統(tǒng)中，阻尼都是比較弱的，因此，上式可以進一步近似為

由式(2-45)很容易看出，簡化系統(tǒng)的主諧振頻率為(2-45)2023/1/394TianjinUniversityofTechnology通常，在機械傳動系統(tǒng)中，阻尼都是比較弱的，因2．4定點旋轉(zhuǎn)機械系統(tǒng)

在分析定點旋轉(zhuǎn)機械系統(tǒng)時，所依據(jù)的動力學(xué)定理主要是歐拉動力學(xué)方程。在動坐標系oxyz中，歐拉動力學(xué)方程可以表示為

(2-46)2023/1/395TianjinUniversityofTechnology2．4定點旋轉(zhuǎn)機械系統(tǒng)在分析定點旋轉(zhuǎn)機

下面，我們利用動量矩定理，集中研究三軸萬向框架系統(tǒng)的動態(tài)模型。圖2-13(a)是三軸萬向環(huán)架幾何結(jié)構(gòu)示意圖。圖2-13三軸萬向框架系統(tǒng)2023/1/396TianjinUniversityofTechnology下面，我們利用動量矩定理，集中研究三軸萬向框

(2-47)(2-48)(2-49)定點旋轉(zhuǎn)的萬向環(huán)架的動力學(xué)模型

這一動態(tài)模型也適用于一般的三軸定點旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)。當系統(tǒng)處于大角度運行狀態(tài)時，系統(tǒng)模型是三個互相交鏈的二階非線性微分方程組。只有當系統(tǒng)處于初始位置附近時，A和P角很小，取sinP＝P，sinA＝A以及cosP＝cosA＝1，并假設(shè)Jix≈Jiy，那么，定點旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)動力學(xué)方程才可以線性化為2023/1/397TianjinUniversityofTechnology(2-47)(2-48)(2-49)定點旋轉(zhuǎn)的萬向環(huán)架的動(2-50)

這樣，互相耦合的三根軸完全解耦，分別由互相獨立的三個二階線性微分方程建模，即，將定點旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)分解為三個定軸旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)處理。在初步分析設(shè)計時，這樣做可以使問題得到極大的簡化。但是，在計算各軸上的伺服電動機轉(zhuǎn)矩時，則必須使用完整的動態(tài)模型，以獲得精確的反饋控制系統(tǒng)的設(shè)計。2023/1/398TianjinUniversityofTechnology(2-50)這樣，互相耦合的三根軸完全解2．5多剛體機械系統(tǒng)

建立多剛體系統(tǒng)的動態(tài)模型一般采用拉格朗日方程

(2-50)

一個具有質(zhì)量mq的剛體在三維空間的動能是一個標量，它可以由下列關(guān)系式確定：(2-51)

其中，三維向量Vq表示剛體質(zhì)心相對基座的線速度，三維向量Ωq表示剛體相對基座的旋轉(zhuǎn)角速度。它們都在坐標系q中表示。并且，3×3矩陣Jq表示剛體相對坐標系q(當坐標系原點移到剛體質(zhì)心時)的慣性矩(或慣性張量)。2023/1/399TianjinUniversityofTechnology2．5多剛體機械系統(tǒng)建立多剛體系統(tǒng)的動態(tài)模型一般2．5．1球坐標工業(yè)機器人

球坐標工業(yè)機器人的前三個連桿的原理結(jié)構(gòu)如圖2-14(a)所示。選擇廣義坐標θ2=θ和θ3=h，如圖2-14(b)所示。

圖2-l4球坐標結(jié)構(gòu)工業(yè)機器人2023/1/3100TianjinUniversityofTechnology2．5．1球坐標工業(yè)機器人球坐標工業(yè)機器人的系統(tǒng)的動能

(2-52)(2-53)(2-54)

因為系統(tǒng)的總動能和廣義力(矩)fq(q＝2，3)已經(jīng)確定，所以可以直接利用拉格朗日方程(2-50)來建立系統(tǒng)動態(tài)模型。

廣義力(矩)2023/1/3101TianjinUniversityofTechnology系統(tǒng)的動能(2-52)(2-53)因為系統(tǒng)的總動能q＝2

解聯(lián)立方程組得(2-55)2023/1/3102TianjinUniversityofTechnologyq＝2解聯(lián)立方程組得(2-55)2022/12/1241Tq＝3

解聯(lián)立方程組得(2-56)2023/1/3103TianjinUniversityofTechnologyq＝3解聯(lián)立方程組得(2-56)2022/12/1242T

對于實際的工業(yè)機器人，其工作速度一般都比較低，加速度的影響很小，通?？梢院雎圆挥?。若考慮原點附近的運動，令cosθ≈1和sinθ≈θ，以及h為小量。那么，在略去二階小量后，方程(2-55)和(2-56)可簡為下列線性模型：(2-57)2023/1/3104TianjinUniversityofTechnology對于實際的工業(yè)機器人，其工作速度一般都比較低，加速度2．5．2旋轉(zhuǎn)坐標工業(yè)機器人

具有旋轉(zhuǎn)坐標的工業(yè)機器人的原理結(jié)構(gòu)如圖2-15所示。第l連桿為立柱，第2連桿為大臂，第3連桿為小臂。

圖2-15旋轉(zhuǎn)坐標結(jié)構(gòu)工業(yè)機器人

2023/1/3105TianjinUniversityofTechnology2．5．2旋轉(zhuǎn)坐標工業(yè)機器人具有旋轉(zhuǎn)坐標的工業(yè)第3連桿的動能為(2-58)(2-59)(2-60)第1連桿的旋轉(zhuǎn)動能為

第2連桿的旋轉(zhuǎn)動能為2023/1/3106TianjinUniversityofTechnology(2-58)(2-59)(2-60)第1連桿的旋轉(zhuǎn)動能為第對于式(2-60)，2023/1/3107TianjinUniversityofTechnology對于式(2-60)，2022/12/1246Tianjin(2-61)2023/1/3108TianjinUniversityofTechnology(2-61)2022/12/1247TianjinUniv三連桿旋轉(zhuǎn)坐標工業(yè)機器人的總動能

(2-62)2023/1/3109TianjinUniversityofTechnology三連桿旋轉(zhuǎn)坐標工業(yè)機器人的總動能(2-62)2022/12

另外，作用于各個連桿的廣義力在平衡位置附近可近似地表示為(2-63)

將以上結(jié)果代入拉格朗日方程(2-62)，直接可得三連桿旋轉(zhuǎn)坐標工業(yè)機器人的動態(tài)模型如下：(2-64)

由以上方程組可看出，在平衡位置附近，當機器人的工作速度比較低時，三連桿旋轉(zhuǎn)坐標工業(yè)機器人的動態(tài)模型是三個二階線性微分方程，其中，第1連桿的運動是獨立的。這種簡化的線性模型可以應(yīng)用于初步分析和設(shè)計。2023/1/3110TianjinUniversityofTechnology另外，作用于各個連桿的廣義力在平衡位置附近2．6微型機電系統(tǒng)

微型機電系統(tǒng)(MEMS)通常采用微梁或膜片支承的試驗