質(zhì)數(shù)與哥德巴赫猜想

質(zhì)數(shù)與哥德巴赫猜想著名數(shù)學家高斯曾說過：“數(shù)學是科學的皇后，而數(shù)論則是數(shù)學的皇后?！睌?shù)論中最引人入勝的問題之一一一哥德巴赫猜想，被譽為“數(shù)學是冠上的明珠?！边@個至今仍懸而未決的問題與一類特殊的數(shù)——質(zhì)數(shù)有關。我們知道，自然數(shù)可以這樣分為三類：數(shù)“1”：只有它本身作為自己的因數(shù)。質(zhì)數(shù)：只有1和它本身作為自己的因數(shù)。合數(shù)：有兩個或兩個以上大于1的因數(shù)。上面的分類是按照數(shù)的因子的個數(shù)來分類的。質(zhì)數(shù)體現(xiàn)出來的這種特殊性質(zhì)（只被1和它自身整除）引起了人們的興趣并很早就開始了有關的研究。早在2000多年前，古希臘學者歐幾里得（Euclid，約前330年?前275年）就作出了簡單而又生動的證明“不管你取的質(zhì)數(shù)有多大，肯定還能找出比它更大的質(zhì)數(shù)。也就是說，質(zhì)數(shù)有無窮多個。比如說，能找出比13更大的質(zhì)數(shù)嗎？首先，你把不大于13的所有質(zhì)數(shù)2,3,5,7,11，13乘起來，然后把這個乘積再加上1，便得：2X3X5X7X11X13+1=30031這個數(shù)肯定不能被2,3,5,7,11或13所整除，因為除得的結果都余1。如果30031除了它本身和1之外再也不能被其他數(shù)整除，那么它就是質(zhì)數(shù)；如果它還有其他的質(zhì)因數(shù)，那么這個（或多個）其他因數(shù)必定大于13。實際上，30031=59X509,即我們找出59和529這兩個比13大的質(zhì)數(shù)。對于多個質(zhì)數(shù)的情形，我們的推理完全一樣。假若2,3,5,7,11,……，p為所有不大于p的質(zhì)數(shù)，則令N=2X3X5X7X11X?Xp+1數(shù)N要么是質(zhì)數(shù)，要么所有的質(zhì)因子都大于P。歐幾里得把這個證明放在了他的巨著《幾何原本》第九卷中。不過，他的證明過程并不是讀者在本文中所看到的樣子，而是用幾何的方法來表述的。這個證明方法還可以用于證明質(zhì)數(shù)之間存在著很大的間隙。其方法是，我們可以隨意挑出一段足夠長的連續(xù)的合數(shù)，把它們插在兩個質(zhì)數(shù)的間隙之中。例如，我們希望插入1000個連續(xù)的合數(shù)，那么就先找出大于1000的第一個質(zhì)數(shù)1009,下面的這1000個數(shù)：2X3X5X7X?X1009+22X3X5X7X?X1009+32X3X5X7X?X1009+42X3X5X7X?X1009+52X3X5X7X?X1009+1001顯然是連續(xù)的合數(shù)。這意味著我們在兩個質(zhì)數(shù)之間找到了至少1000個數(shù)的間隙！對于這個結果讀者也許會感到有些驚訝，質(zhì)數(shù)之間的間隙竟然要多大有多大！不過，質(zhì)數(shù)之間并不總是這樣稀稀拉拉的，人們發(fā)現(xiàn)有些質(zhì)數(shù)緊挨在一起（中間僅隔一個數(shù)字）而且成對地出現(xiàn)，如3,5；5,7；11,13；17,19；29,31；41,43；?；10016957,10016959；?；99999999.9959,999999999961；…。這些成對出現(xiàn)的質(zhì)數(shù)被稱為攣生質(zhì)數(shù)。關于攣生質(zhì)數(shù)是否存在無窮多對的問題，也是一個尚待解決的世界著名難題。質(zhì)數(shù)的分布體現(xiàn)出如此的不確定性，有時間隙要多大有多大，有時又緊挨在一起；從1到10這十個數(shù)中共有四個自然數(shù)，而從1001到1010之間卻僅有1009這一個質(zhì)數(shù)。為了找出質(zhì)數(shù)的分布規(guī)律，有人想到了造“表”。古希臘著名學者埃拉托塞尼(Eratosthenes，約前284~前192)創(chuàng)造了所謂的“篩法”并以此制出了一個不太大的質(zhì)數(shù)表。他先把從2到N的所有整數(shù)寫出來，然后從中劃去2的所有倍數(shù)；再劃去3的所有倍數(shù)如6,9,12,15…；接著劃掉所有5的倍數(shù)如10,15,20,…；這樣持續(xù)地做下去，有些數(shù)可能被劃掉不止一次，最后剩下的數(shù)就是質(zhì)數(shù)，這個被挖去合數(shù)的數(shù)表就像布滿洞眼的篩子，因而得名“埃拉托塞尼篩子”。這種制質(zhì)數(shù)表的方法畢竟過于繁瑣，于是人們開始嘗度尋找質(zhì)數(shù)的一般表達式。退一步說，如果能找到一個公式來表達一部分質(zhì)數(shù)也很好。法國數(shù)學家費馬因此提出了一個奇妙的猜想：形如2n+1的數(shù)是質(zhì)數(shù)(〃=0,1,2,3,4,…)后人把這類數(shù)稱為費馬數(shù)。按照這個表達式，當n=0,1,2,3,4時，所得的數(shù)3,5,17,257,65537的的確確都是質(zhì)數(shù)。但不幸的是，費馬的猜想就在n=5的時候出了差錯。七八十年代后，瑞士數(shù)學家歐拉(Euler,1707~1783)指出，n=5時所得數(shù)225+1=232+1=4294967297是合數(shù)：4294967297=641X6700417而且奇怪的是，從那以后，數(shù)學家們至今卻再也沒能找到任何一個是質(zhì)數(shù)的費馬數(shù)了。推翻費馬猜想的歐拉也提出了一個公式：fn)=n2-n+41把n=0,1,2,3,4…，40代入這個式子可以得到41,41,43,47,…，160共40個不同的質(zhì)數(shù)。1798年，法國數(shù)學家勒讓德(Legendre,1752~1833)提f(n)=2n2+29把n=0,1,2,3，…，28代入這個式子可以得到29,31,37,…，1597共29個質(zhì)數(shù)。2p+1隨后，又有許多人提出了各種各樣的公式，比如f(n)=n2-79n+1601,fp)=3(P是奇質(zhì)數(shù))等等，但這些公式都會從某個數(shù)開始失效，人們在這方面的嘗試并沒有取得很大進展。質(zhì)數(shù)領域的一個著名難題就是一開始我們曾經(jīng)提到過的哥德巴赫猜想。哥德巴赫(Goldbach,1690?1764)是德國人，彼得堡科學院院士。他在1742年6月7日給歐拉的信中提出了這個猜想。這個猜想的完整內(nèi)容是：任何不小于6的偶數(shù)均能表示成兩個奇質(zhì)數(shù)之和。任何不小于9的奇數(shù)均能表示成三個奇質(zhì)數(shù)之和。同年6月30日，歐拉在復信中寫道：“任何不小于6的偶數(shù)都是兩奇質(zhì)數(shù)之和，雖然我還不能證明它，但我確信無疑地認為這是完全正確的定理疽'實際上，這個問題的后一半可以很容易地從前一半推出，反過來則不行。哥德巴赫猜想引起了眾多數(shù)學家和業(yè)余數(shù)學愛好者的極大興趣，但它的證明極其困難，直到十九世紀結束的200多年前沒有取得任何進展。不過有人做了大量的驗證工作，現(xiàn)在已經(jīng)有人驗證了對于所有大于4而不超過33000000的偶數(shù)，猜想都正確。這是迄今為止被驗證得最多的數(shù)學猜想。1900年，在巴黎召開的國際數(shù)學大會上，著名數(shù)學家希爾伯特(Hibert,1862~1943)發(fā)表了世界數(shù)學需要研究的23個難題(名為希爾伯特問題)，其中第8個提到了哥德巴赫猜想。1912年，德國著名數(shù)論大師蘭道(Landau,1877~1938)在第五屆國際數(shù)學家會議上的報告中聲稱：“即使要證明下面較弱的命題：任何不小于6的整數(shù)都能表示成c(c為一個確定整數(shù))個質(zhì)數(shù)之和，這也是現(xiàn)代數(shù)學力所不及的?！笨梢娺@個猜想證明的難度之大。盡管如此，數(shù)學家們鍥而不舍的努力終于使得這個問題的研究取得了突破性的進展。1920年，挪威數(shù)學家布龍(Brun)證明了每個充分大的偶數(shù)都可以表示為2個質(zhì)因數(shù)不超過9個的正整數(shù)之和。人們把這個命題稱為“9+9”。隨后，數(shù)學家們陸續(xù)取得了下面的成果：1924年，德國數(shù)學家雷特馬赫(Rademacher)證明了“7+7”。1932年，英國數(shù)學家埃司特曼(Estermann)證明了“6+6”。1937年，意大利數(shù)學家蕾西(Ricci)證明了“5+7”，“4+9”，“3+15”和“2+366”。1938年，蘇聯(lián)數(shù)學家布赫夕太勃證明了“5+5”，隨后在1940年又證明了“4+4”。1956年，中國數(shù)學家王元證明了“3+4”。1957年，中國數(shù)學家王元又證明了“3+3”和“2+3”。1962年，中國數(shù)學家潘承洞和蘇聯(lián)數(shù)學家巴爾班分別獨立證明了“1+5”。1963年，王元、潘承洞和巴爾班又分別獨立證明了“1+4”。1965年，蘇聯(lián)數(shù)學家維諾格拉朵夫和希赫夕太勃以及意大利數(shù)學家龐比利獨立證明了“1+3”。1966年，中國數(shù)學家陳景潤宣布證明了“1+2”并于1973年發(fā)表了他的論文《大偶數(shù)表示的一個素數(shù)及一個不超過兩個素數(shù)的乘積之和》，在國際上引起了轟動。英國數(shù)學有哈伯斯坦姆(Halberstam)與德國數(shù)學家李希特(Richet)合著的一本名為《篩法》的數(shù)論專著，原有十章，付印后見到了陳是潤的論文，便加印了第十一章，章目為“陳氏