細長中心受壓直桿臨界力的歐拉公式課件

第11章壓桿穩(wěn)定軸向受壓單向偏心受壓第11章壓桿穩(wěn)定軸向受壓單向偏心受壓

圖示一600mm長的鋼板尺兩端鉸接放入實驗架中受軸向壓力，其橫截面積為32mm×1mm。按上面給出的強度條件，求鋼板尺能承受的荷載.圖示一600mm長的鋼板尺兩端鉸接放入實驗架中受軸

再如取一根平直的鋼鋸條，長度為310mm，橫截面尺寸為11.5×0.6mm2，材料的許用應力[σ]=230MPa，根據(jù)強度條件可以計算出鋼鋸條能夠承受的的軸向壓力為F=11.5×0.6×106×230×106≈1600N，而實際上，這個鋼鋸條會在不到5N的壓力下就朝厚度很薄的方向彎曲，喪失承載能力。由此可見，鋼鋸條的承載能力并不是取決于其軸向的壓縮強度，而是與它受壓時直線形式的平衡失去穩(wěn)定性有關(guān)。再如取一根平直的鋼鋸條，長度為310mm，橫截面尺寸壓桿穩(wěn)定性的概念

構(gòu)件在平衡的前提下，平衡形式可以是穩(wěn)定平衡、不穩(wěn)衡和臨界平衡。判斷平衡是否穩(wěn)定，必須加干擾。干擾可以是加一個力；可以是使其振動；甚至是吹一口氣。

1、穩(wěn)定平衡：干擾去掉以后，構(gòu)件可以完全恢復原有形式下的平衡，稱為穩(wěn)定平衡。

2、不穩(wěn)平衡：干擾去掉以后，構(gòu)件不能完全恢復原有形式下的平衡，稱為不穩(wěn)定平衡。

3、臨界平衡（隨遇平衡）：臨界情況。小變形情況下，干擾到那里，就在那里保持曲線形式的平衡。壓桿穩(wěn)定性的概念構(gòu)件在平衡的前提下，平衡形式可以是穩(wěn)§2細長中心受壓直桿臨界力的歐拉公式簡化1剪切變形的影響可以忽略不計2不考慮桿的軸向變形§2細長中心受壓直桿臨界力的歐拉公式簡化1剪邊界條件撓曲線中點的撓度邊界條件撓曲線中點的撓度歐拉公式撓曲線為半波正弦曲線歐拉公式撓曲線為半波正弦曲線§3不同桿端約束下細長壓桿臨界力的歐拉公式.壓桿的長度因數(shù)

L

LLL

§3不同桿端約束下細長壓桿臨界力的歐拉公式.利用歐拉公式計算前面鋼板尺的臨界應力利用歐拉公式計算前面鋼板尺的臨界應力

兩桿均為細長桿的桿系如圖示，若桿件在ABC面內(nèi)因失穩(wěn)而引起破壞，試求載荷F為最大值時的θ角（設(shè)0＜θ＜π／2）。設(shè)AB桿和BC桿材料截面相同。例題11.11.節(jié)點B的平衡2.兩桿分別達到臨界力時F可達最大值兩桿均為細長桿的桿系如圖示，若桿件在ABC面內(nèi)因失穩(wěn)而例題11.2

兩根直徑為d的圓桿,上下兩端分別與剛性板固結(jié),如圖示.試分析在總壓力作用下,壓桿可能失穩(wěn)的幾種形式,并求出最小的臨界荷載.(設(shè)滿足歐拉公式的使用條件)壓桿失穩(wěn)可能有以下三種形式:1.每根壓桿兩端固定分別失穩(wěn)例題11.2兩根直徑為d的圓桿,上下兩端分別例題11.2

兩根直徑為d的圓桿,上下兩端分別與剛性板固結(jié),如圖示.試分析在總壓力作用下,壓桿可能失穩(wěn)的幾種形式,并求出最小的臨界荷載.(設(shè)滿足歐拉公式的使用條件)2.兩桿下端固定上端自由，以z為中性軸彎曲失穩(wěn)。例題11.2兩根直徑為d的圓桿,上下兩端分別例題11.2

兩根直徑為d的圓桿,上下兩端分別與剛性板固結(jié),如圖示.試分析在總壓力作用下,壓桿可能失穩(wěn)的幾種形式,并求出最小的臨界荷載.(設(shè)滿足歐拉公式的使用條件)3.兩桿下端固定上端自由，以y為中性軸彎曲失穩(wěn)。例題11.2兩根直徑為d的圓桿,上下兩端分別

一中心受壓直桿如圖所示，兩端固定，但上端可沿水平方向移動，設(shè)EI為常數(shù)，求臨界力。例題11.3一中心受壓直桿如圖所示，兩端固定，但上端可沿水平方將x=0,y=0,

代入上述二式得X=L將x=0,y=0,§4歐拉公式的應用范圍.臨界應力總圖柔度大柔度桿或細長桿不能用歐拉公式.§4歐拉公式的應用范圍.臨界應力總圖柔度大柔度桿或根據(jù)柔度的大小可將壓桿分為三類:1.大柔度桿或細長桿

壓桿將發(fā)生彈性屈曲.此時壓桿在直線平衡形式下橫截面上的正應力不超過材料的比例極限.2.中長桿

壓桿亦發(fā)生屈曲.此時壓桿在直線平衡形式下橫截面上的正應力已超過材料的比例極限.截面上某些部分已進入塑性狀態(tài).為非彈性屈曲.3.粗短桿

壓桿不會發(fā)生屈曲,但將會發(fā)生屈服.臨界應力總圖根據(jù)柔度的大小可將壓桿分為三類:1.大柔度桿或細長桿壓

圖中所示之壓桿，其直徑均為d，材料都是Q235鋼，但二者長度和約束條件不相同。試：1.分析那一根桿的臨界荷載較大？2.計算d＝160mm，E＝206GPa時，二桿的臨界荷載。例題11.41.計算柔度判斷兩桿的臨界荷載兩端鉸支壓桿的臨界荷載小于兩端固定壓桿的臨界荷載。圖中所示之壓桿，其直徑均為d，材料都是Q235鋼

圖中所示之壓桿，其直徑均為d，材料都是Q235鋼，但二者長度和約束條件不相同。試：1.分析那一根桿的臨界荷載較大？2.計算d＝160mm，E＝206GPa時，二桿的臨界荷載。例題11.42.計算各桿的臨界荷載圖中所示之壓桿，其直徑均為d，材料都是Q235鋼A3鋼制成的矩形截面桿，受力情況及兩端銷釘支撐情況如圖所示，b＝40mm，h＝75mm，L＝2100mm，L1＝2000mm，E＝206GPa，試求壓桿的臨界應力。例題11.5A3鋼制成的矩形截面桿，受力情況及兩端銷釘支撐情況§5實際壓桿的穩(wěn)定因數(shù)§6壓桿的穩(wěn)定計算.壓桿的合理截面§5實際壓桿的穩(wěn)定因數(shù)§6壓桿的穩(wěn)定計算.壓影響壓桿承載能力的因素:1.細長桿影響因素較多,與彈性模量E，截面形狀，幾何尺寸以及約束條件等因素有關(guān)。2.中長桿影響因素主要是材料常數(shù)a和b，以及壓桿的長細比及壓桿的橫截面面積2.粗短桿影響因素主要取決于材料的屈服強度和桿件的橫截面面積。影響壓桿承載能力的因素:1.細長桿影響因素較多,與彈性模量提高壓桿承載能力的主要途徑

為了提高壓桿承載能力，必須綜合考慮桿長、支承、截面的合理性以及材料性能等因素的影響?？赡艿拇胧┯幸韵聨追矫妫海?）盡量減少壓桿桿長

對于細長桿，其臨界荷載與桿長平方成反比。因此，減少桿長可以顯著地提高壓桿承載能力，在某些情形下，通過改變結(jié)構(gòu)或增加支點可以達到減小桿長從而提高壓桿承載能力的目的。兩種桁架中的①、④桿均為壓桿，但圖b中壓桿承載能力要遠遠高于圖a中的壓桿。提高壓桿承載能力的主要途徑為了提高壓桿承載能力，必（2）增強支承的剛性提高壓桿承載能力的主要途徑

支承的剛性越大，壓桿長度系數(shù)值越低，臨界載荷越大。如，將兩端鉸支的細長桿，變成兩端固定約束的情形，臨界載荷將呈數(shù)倍增加。（3）合理選擇截面形狀

當壓桿兩端在各個方向彎曲平面內(nèi)具有相同的約束條件時,壓桿將在剛度最小的平面內(nèi)彎曲.這時如果只增加截面某個反方向的慣性矩,并不能提高壓桿的承載能力,最經(jīng)濟的辦法是將截面設(shè)計成空的,且盡量使從而加大截面的慣性矩.并使截面對各個方向軸的慣性矩均相同.因此,對一定的橫截面面積,正方形截面或圓截面比矩形截面好,空心截面比實心截面好.

當壓桿端部在不同的平面內(nèi)具有不同的約束條件時,應采用最大與最小慣性矩不等的截面,并使慣性矩較小的平面內(nèi)具有較強剛性的約束.（2）增強支承的剛性提高壓桿承載能力的主要途徑（3）合理選擇（4）合理選用材料

在其他條件均相同的條件下，選用彈性模量大的材料，可以提高細長壓桿的承載能力。例如鋼桿臨界載荷大于銅、鑄鐵或鋁制壓桿的臨界載荷。但是，普通碳素鋼、合金鋼以及高強度鋼的彈性模量數(shù)值相差不大。因此，對于細長桿，若選用高強度鋼，對壓桿臨界載荷影響甚微，意義不大，反而造成材料的浪費。

但對于粗短桿或中長桿，其臨界載荷與材料的比例極限或屈服強度有關(guān)，這時選用高強度鋼會使臨界載荷有所提高。（4）合理選用材料但對于粗短桿或中長桿，其臨界載荷

圖示兩端鉸支壓桿的截面為矩形。當其失穩(wěn)時，（）。A.臨界壓力Fcr＝π2EIy/L2，撓曲線位于xy面內(nèi)；B.臨界壓力Fcr＝π2EIy/L2，撓曲線位于xz面內(nèi)；C.臨界壓力Fcr＝π2EIz/L2，撓曲線位于xy面內(nèi)；D.臨界壓力Fcr＝π2EIz/L2，撓曲線位于xz面內(nèi)。例題11.6B圖示兩端鉸支壓桿的截面為矩形。當其失穩(wěn)時，（）。A

圖示三根壓桿，橫截面面積及材料各不相同，但它們的（）相同。A.長度因數(shù)；B.相當長度；C.柔度；D.臨界壓力。例題11.7B圖示三根壓桿，橫截面面積及材料各不相同，但它們的（例題11.8

在下列有關(guān)壓桿臨界應力σcr的結(jié)論中，（）是正確的。A.細長桿的σcr值與桿的材料無關(guān)；B.中長桿的σcr值與桿的柔度無關(guān)；C.中長桿的σcr值與桿的材料無關(guān)；D.短粗桿的σcr值與桿的柔度無關(guān)。D例題11.8在下列有關(guān)壓桿臨界例題11.9

圖示各桿橫截面面積相等，在其它條件均相同的條件下，壓桿采用圖（）所示截面形狀，其穩(wěn)定性最好。(A)(B)(C)(D)D例題11.9圖示各桿橫截面面積相等，在其例題11.10例題11.11

將低碳鋼改為優(yōu)質(zhì)高強度鋼后，并不能提高（）壓桿的承壓能力。A.細長；B.中長；C.短粗D.非短粗。

由低碳鋼組成的細長壓桿，經(jīng)冷作硬化后，其（）。A.穩(wěn)定性提高，強度不變；B.穩(wěn)定性不變，強度提高；C.穩(wěn)定性和強度都提高；D.穩(wěn)定性和強度都不變。AB例題11.10例題11.11將低碳鋼第11章壓桿穩(wěn)定軸向受壓單向偏心受壓第11章壓桿穩(wěn)定軸向受壓單向偏心受壓

圖示一600mm長的鋼板尺兩端鉸接放入實驗架中受軸向壓力，其橫截面積為32mm×1mm。按上面給出的強度條件，求鋼板尺能承受的荷載.圖示一600mm長的鋼板尺兩端鉸接放入實驗架中受軸

再如取一根平直的鋼鋸條，長度為310mm，橫截面尺寸為11.5×0.6mm2，材料的許用應力[σ]=230MPa，根據(jù)強度條件可以計算出鋼鋸條能夠承受的的軸向壓力為F=11.5×0.6×106×230×106≈1600N，而實際上，這個鋼鋸條會在不到5N的壓力下就朝厚度很薄的方向彎曲，喪失承載能力。由此可見，鋼鋸條的承載能力并不是取決于其軸向的壓縮強度，而是與它受壓時直線形式的平衡失去穩(wěn)定性有關(guān)。再如取一根平直的鋼鋸條，長度為310mm，橫截面尺寸壓桿穩(wěn)定性的概念

構(gòu)件在平衡的前提下，平衡形式可以是穩(wěn)定平衡、不穩(wěn)衡和臨界平衡。判斷平衡是否穩(wěn)定，必須加干擾。干擾可以是加一個力；可以是使其振動；甚至是吹一口氣。

1、穩(wěn)定平衡：干擾去掉以后，構(gòu)件可以完全恢復原有形式下的平衡，稱為穩(wěn)定平衡。

2、不穩(wěn)平衡：干擾去掉以后，構(gòu)件不能完全恢復原有形式下的平衡，稱為不穩(wěn)定平衡。

3、臨界平衡（隨遇平衡）：臨界情況。小變形情況下，干擾到那里，就在那里保持曲線形式的平衡。壓桿穩(wěn)定性的概念構(gòu)件在平衡的前提下，平衡形式可以是穩(wěn)§2細長中心受壓直桿臨界力的歐拉公式簡化1剪切變形的影響可以忽略不計2不考慮桿的軸向變形§2細長中心受壓直桿臨界力的歐拉公式簡化1剪邊界條件撓曲線中點的撓度邊界條件撓曲線中點的撓度歐拉公式撓曲線為半波正弦曲線歐拉公式撓曲線為半波正弦曲線§3不同桿端約束下細長壓桿臨界力的歐拉公式.壓桿的長度因數(shù)

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LLL

§3不同桿端約束下細長壓桿臨界力的歐拉公式.利用歐拉公式計算前面鋼板尺的臨界應力利用歐拉公式計算前面鋼板尺的臨界應力

兩桿均為細長桿的桿系如圖示，若桿件在ABC面內(nèi)因失穩(wěn)而引起破壞，試求載荷F為最大值時的θ角（設(shè)0＜θ＜π／2）。設(shè)AB桿和BC桿材料截面相同。例題11.11.節(jié)點B的平衡2.兩桿分別達到臨界力時F可達最大值兩桿均為細長桿的桿系如圖示，若桿件在ABC面內(nèi)因失穩(wěn)而例題11.2

兩根直徑為d的圓桿,上下兩端分別與剛性板固結(jié),如圖示.試分析在總壓力作用下,壓桿可能失穩(wěn)的幾種形式,并求出最小的臨界荷載.(設(shè)滿足歐拉公式的使用條件)壓桿失穩(wěn)可能有以下三種形式:1.每根壓桿兩端固定分別失穩(wěn)例題11.2兩根直徑為d的圓桿,上下兩端分別例題11.2

兩根直徑為d的圓桿,上下兩端分別與剛性板固結(jié),如圖示.試分析在總壓力作用下,壓桿可能失穩(wěn)的幾種形式,并求出最小的臨界荷載.(設(shè)滿足歐拉公式的使用條件)2.兩桿下端固定上端自由，以z為中性軸彎曲失穩(wěn)。例題11.2兩根直徑為d的圓桿,上下兩端分別例題11.2

兩根直徑為d的圓桿,上下兩端分別與剛性板固結(jié),如圖示.試分析在總壓力作用下,壓桿可能失穩(wěn)的幾種形式,并求出最小的臨界荷載.(設(shè)滿足歐拉公式的使用條件)3.兩桿下端固定上端自由，以y為中性軸彎曲失穩(wěn)。例題11.2兩根直徑為d的圓桿,上下兩端分別

一中心受壓直桿如圖所示，兩端固定，但上端可沿水平方向移動，設(shè)EI為常數(shù)，求臨界力。例題11.3一中心受壓直桿如圖所示，兩端固定，但上端可沿水平方將x=0,y=0,

代入上述二式得X=L將x=0,y=0,§4歐拉公式的應用范圍.臨界應力總圖柔度大柔度桿或細長桿不能用歐拉公式.§4歐拉公式的應用范圍.臨界應力總圖柔度大柔度桿或根據(jù)柔度的大小可將壓桿分為三類:1.大柔度桿或細長桿

壓桿將發(fā)生彈性屈曲.此時壓桿在直線平衡形式下橫截面上的正應力不超過材料的比例極限.2.中長桿

壓桿亦發(fā)生屈曲.此時壓桿在直線平衡形式下橫截面上的正應力已超過材料的比例極限.截面上某些部分已進入塑性狀態(tài).為非彈性屈曲.3.粗短桿

壓桿不會發(fā)生屈曲,但將會發(fā)生屈服.臨界應力總圖根據(jù)柔度的大小可將壓桿分為三類:1.大柔度桿或細長桿壓

圖中所示之壓桿，其直徑均為d，材料都是Q235鋼，但二者長度和約束條件不相同。試：1.分析那一根桿的臨界荷載較大？2.計算d＝160mm，E＝206GPa時，二桿的臨界荷載。例題11.41.計算柔度判斷兩桿的臨界荷載兩端鉸支壓桿的臨界荷載小于兩端固定壓桿的臨界荷載。圖中所示之壓桿，其直徑均為d，材料都是Q235鋼

圖中所示之壓桿，其直徑均為d，材料都是Q235鋼，但二者長度和約束條件不相同。試：1.分析那一根桿的臨界荷載較大？2.計算d＝160mm，E＝206GPa時，二桿的臨界荷載。例題11.42.計算各桿的臨界荷載圖中所示之壓桿，其直徑均為d，材料都是Q235鋼A3鋼制成的矩形截面桿，受力情況及兩端銷釘支撐情況如圖所示，b＝40mm，h＝75mm，L＝2100mm，L1＝2000mm，E＝206GPa，試求壓桿的臨界應力。例題11.5A3鋼制成的矩形截面桿，受力情況及兩端銷釘支撐情況§5實際壓桿的穩(wěn)定因數(shù)§6壓桿的穩(wěn)定計算.壓桿的合理截面§5實際壓桿的穩(wěn)定因數(shù)§6壓桿的穩(wěn)定計算.壓影響壓桿承載能力的因素:1.細長桿影響因素較多,與彈性模量E，截面形狀，幾何尺寸以及約束條件等因素有關(guān)。2.中長桿影響因素主要是材料常數(shù)a和b，以及壓桿的長細比及壓桿的橫截面面積2.粗短桿影響因素主要取決于材料的屈服強度和桿件的橫截面面積。影響壓桿承載能力的因素:1.細長桿影響因素較多,與彈性模量提高壓桿承載能力的主要途徑

為了提高壓桿承載能力，必須綜合考慮桿長、支承、截面的合理性以及材料性能等因素的影響?？赡艿拇胧┯幸韵聨追矫妫海?）盡量減少壓桿桿長

對于細長桿，其臨界荷載與桿長平方成反比。因此，減少桿長可以顯著地提高壓桿承載能力，在某些情形下，通過改變結(jié)構(gòu)或增加支點可以達到減小桿長從而提高壓桿承載能力的目的。兩種桁架中的①、④桿均為壓桿，但圖b中壓桿承載能力要遠遠高于圖a中的壓桿。提高壓桿承載能力的主要途徑為了提高壓桿承載能力，必（2）增強支承的剛性提高壓桿承載能力的主要途徑

支承的剛性越大，壓桿長度系數(shù)值越低，臨界載荷越大。如，將兩端鉸支的細長桿，變成兩端固定約束的情形，臨界載荷將呈數(shù)倍增加。（3）合理選擇截面形狀

當壓桿兩端在各個方向彎曲平面內(nèi)具有相同的約束條件時,壓桿將在剛度最小的平面內(nèi)彎曲.這時如果只增加截面某個反方向的慣性矩,并不能提高壓桿的承載能力,最經(jīng)濟的辦法是將截面設(shè)計成空的,且盡量使從而加大截面的慣性矩.并使截面對各個方向軸的慣性矩均相同.因此,對一定的橫截面面積,正方形截面或圓截面比矩形截面好,空心截面比實心截面好.

當壓桿端部在不同的平面內(nèi)具有不同的約束條件時,應采用最大與最小慣性矩不等的截面,并使慣性矩較小的平面內(nèi)具有較強剛性的約束.（2）增強支承的剛性提高壓桿承載能力的主要途徑（3）合理選擇（4）合理選用材料

在其他條件均相同的條件下，選用彈性模量大的材料，可以提高細長壓桿的承載能力。例如鋼桿臨界載荷大于銅、鑄鐵或鋁制壓桿的臨界載荷。但是，普通碳素鋼、合金鋼以及高強度鋼的彈性模量數(shù)值相差不大。因此，對于細長桿，若選用高強度鋼，對壓桿臨界載荷影響甚微，意義不大，反而造成材料的浪費。

但對于粗短桿或中長桿，其臨界載荷與材料的比例極限或屈服強度有關(guān)，這時選用高強度鋼會使臨界載荷有所提高。（4）合理選用材料但對于粗短桿或中長桿，其臨界載荷

圖示兩