第2章離散時間系統(tǒng)變換域分析

2.4 LTI系統(tǒng)函數(shù)及頻率響應(yīng)系統(tǒng)函數(shù)定義（前提LTI)因果穩(wěn)定性的約束與差分方程的關(guān)系頻率響應(yīng)定義（穩(wěn)定的LTI）對輸入信號的作用頻譜分量特征函數(shù)增益和相位及群延遲與零極點的關(guān)系幅度與零極點相位與零極點北京航空航天大學(xué)204教研室孫國梁1問題是否有更典型頻響的LTI系統(tǒng)？典型頻響特性的LTI有些什么樣的具體形式？其特性和作用是什么？北京航空航天大學(xué)204教研室2北京航空航天大學(xué)204教研室3

2.5LTI系統(tǒng)幅相特性分析一般來說，關(guān)于幅度特性的了解并沒有給出任何有關(guān)相位的信息；反過來也是一樣。然而，有理系統(tǒng)幅度和相位特性間存在制約如果頻率響應(yīng)的幅度特性已知，與其有關(guān)的相位特性僅有有限種選擇。如果零極點個數(shù)和相位特性已知的話，那么除了幅度加權(quán)因子外，也僅有有限個幅度特性可供選取。在最小相位的限制下，幅度與相位特性一一對應(yīng)。幅度特性約束下的系統(tǒng)函數(shù)給定頻率響應(yīng)的幅度平方特性下盡量使由幅度平方響應(yīng)演化出來的零、極點在單位圓內(nèi)外皆有使得總能夠選擇出一個物理可實現(xiàn)的系統(tǒng)來滿足幅度響應(yīng)的要求。北京航空航天大學(xué)204教研室4北京航空航天大學(xué)204教研室5

Ex:設(shè)由系統(tǒng)幅度響應(yīng)所引導(dǎo)的的零、極點如圖所示，若系統(tǒng)為常實系數(shù)線性差分方程所確定的因果穩(wěn)定系統(tǒng)，試確定其系統(tǒng)的零、極點。北京航空航天大學(xué)204教研室6對應(yīng)于一個穩(wěn)定、因果系統(tǒng)，就必須從每一對中選取位于單位圓內(nèi)的極點，即Pl，P2和P3。對零點則沒有這樣的約束，但由于系統(tǒng)對應(yīng)于常實系數(shù)線性差分方程，所以H(z)的零點、極點要么是實數(shù)，要么以共軛對出現(xiàn)。樣系統(tǒng)的零點就是：Z3或Z6和(Z1，Z2)或(Z4，Z5)總共有4種不同的具有3個極點和3個零點的穩(wěn)定且因果的系統(tǒng)都具有相同的頻率響應(yīng)幅度特性。北京航空航天大學(xué)204教研室7如果H(z)是對應(yīng)于一個因果穩(wěn)定的系統(tǒng)，那么它的全部極點都必須位于單位圓內(nèi)。由此限制，H(z)的極點可以從C(z)的極點中分離出來。然而，僅憑這一點，H(z)的零點仍然不能被唯一確定，這就需要另外一個條件：相位限制（通常用最小相位）。有了上述兩方面條件的限制，系統(tǒng)的幅度響應(yīng)就可以唯一的決定系統(tǒng)函數(shù)北京航空航天大學(xué)204教研室8若系統(tǒng)對所有的頻率分量的幅度響應(yīng)均為非零恒定值，則該系統(tǒng)即為全通系統(tǒng)。幅度響應(yīng)為：一、

全通系統(tǒng)北京航空航天大學(xué)204教研室9通常，全通系統(tǒng)就是由上式擴展來的：D(z)為實系數(shù)多項式，所以全通系統(tǒng)的零點與極點呈共軛倒數(shù)對關(guān)系。全通系統(tǒng)是從其幅度響應(yīng)特性定義，但相位響應(yīng)卻更重要。實沖激響應(yīng)系統(tǒng)北京航空航天大學(xué)204教研室10相位響應(yīng)令：群延遲為正值，所以連續(xù)相位具有遞減特性。對于因果全通系統(tǒng)，系統(tǒng)不可能超前，所以連續(xù)相位必然是負值；北京航空航天大學(xué)204教研室11北京航空航天大學(xué)204教研室12Zp=0.9Zp=-0.9Zp=0.9Zp=-0.9北京航空航天大學(xué)204教研室13對于高階因果全通系統(tǒng)而言，由于：同樣具有群延遲為正值，連續(xù)相位負遞減的特性。全通系統(tǒng)在實際中有如下用途：1、用作相位均衡器，對系統(tǒng)相位、群延遲失真進行補償；2、任何因果穩(wěn)定系統(tǒng)皆可分解為全通系統(tǒng)和最小相位系統(tǒng)的級聯(lián)；

3、若所設(shè)計的系統(tǒng)是非穩(wěn)定的，可用其交換零、極點，使系統(tǒng)穩(wěn)定。非穩(wěn)定系統(tǒng)調(diào)整為穩(wěn)定系統(tǒng)北京航空航天大學(xué)204教研室14北京航空航天大學(xué)204教研室15二、

最小相位系統(tǒng)對于某些實際問題，要求逆系統(tǒng)也是穩(wěn)定和因果的。這樣的系統(tǒng)稱為最小相位系統(tǒng)。系統(tǒng)零點和極點都限制在單位圓內(nèi)如果給出系統(tǒng)的幅度平方函數(shù)，并且已知系統(tǒng)是最小相位系統(tǒng)，H(z)被唯一確定。濾波器設(shè)計中常采用幅度響應(yīng)方法的原因。北京航空航天大學(xué)204教研室16LTI有理系統(tǒng)，其頻率響應(yīng)的幅度特性不能唯一確定該系統(tǒng)。原因何在？穩(wěn)定、因果性要求并沒有對零點作約束幅度響應(yīng)平方不能唯一地確定系統(tǒng)函數(shù)假如某一系統(tǒng)具有給定的幅度特性，則該系統(tǒng)與任何可選擇的全通因子級聯(lián)將不而不影響它的幅度特性。逆向思維：是否任何因果穩(wěn)定有理系統(tǒng)函數(shù)都能表示成全通系統(tǒng)和某一類基本系統(tǒng)級聯(lián)的形式？即：北京航空航天大學(xué)204教研室17假設(shè)H(z)為因果穩(wěn)定非最小相位系統(tǒng)，將有r個零點在單位圓外（在單位圓內(nèi)）,其余的零、極點都在單位圓內(nèi)。在單位圓內(nèi)的零、極點將構(gòu)成最小相位系統(tǒng)H1(z)，那么H(z)就能表示成：證明：北京航空航天大學(xué)204教研室18北京航空航天大學(xué)204教研室19由上面的證明過程可以看出

1）Hap(z)由單位圓外的零點和其單位圓內(nèi)的共軛倒數(shù)極點組成。2）Hmin(z)不僅包含H(z)中位于單位圓內(nèi)的零、極點，而且也包含了與單位圓外那些零點鏡像到單位圓內(nèi)的共軛倒數(shù)零點。北京航空航天大學(xué)204教研室203）可以將最小相位系統(tǒng)位于單位圓內(nèi)的零點反射到單位圓外與它們成共軛倒數(shù)的位置上而形成一個非最小相位系統(tǒng)。它們都具有相同幅度特性。北京航空航天大學(xué)204教研室21（4）幅頻響應(yīng)的補償在信號處理中，若一個信號已經(jīng)被某個不合要求的頻率響應(yīng)的LTI系統(tǒng)所失真，那么可以用一個補償系統(tǒng)來處理這個失真了的信號，如圖所示。如果能實現(xiàn)完全的補償，就是失真系統(tǒng)的逆系統(tǒng)。只有當原系統(tǒng)是最小相位系統(tǒng)時，完全的補償才有可能。失真系統(tǒng)補償系統(tǒng)幅度失真補償根據(jù)上面的討論，假定Hd(z)是已知的，并且近似為一個有理系統(tǒng)函數(shù)。選取補償濾波器為：補償后總的系統(tǒng)函數(shù)：補償后的系統(tǒng)相當于全通系統(tǒng)，補償了幅度的畸變。北京航空航天大學(xué)204教研室22北京航空航天大學(xué)204教研室23最小相位系統(tǒng)的性質(zhì)采用“最小相位”這一術(shù)語專指那些不僅本身是因果和穩(wěn)定的，并且也有一個因果和穩(wěn)定的逆系統(tǒng)的系統(tǒng)。選擇這一名詞是由于上述定義將導(dǎo)出最代表這類系統(tǒng)本質(zhì)特征相位性質(zhì)。北京航空航天大學(xué)204教研室24由系統(tǒng)的全通分解知：可以進一步得到：全通系統(tǒng)總是使最小相位系統(tǒng)的連續(xù)相位減?。螅τ诰哂邢嗤软憫?yīng)的所有系統(tǒng)而言，全部零、極點在單位圓內(nèi)的系統(tǒng)實現(xiàn)具有最小的相位滯后。

1、最小相位滯后北京航空航天大學(xué)204教研室25我們注意到，具有相同幅度響應(yīng)系統(tǒng)的群延遲為：由于全通系統(tǒng)的群延遲對于所有的頻率皆為正值，所以：因此在具有相同幅度響應(yīng)的所有系統(tǒng)中，全部零、極點在單位圓內(nèi)的系統(tǒng)實現(xiàn)具有最小的群延遲。2、最小群延遲北京航空航天大學(xué)204教研室26對于具有相同幅度響應(yīng)的所有系統(tǒng)，該性質(zhì)包含有兩部分內(nèi)容：1）初值能量最大，即初值能量延遲最?。?）部分能量最大，即部分能量延遲最小：最小相位系統(tǒng)的部分能量最集中在n=0周圍，也就是說，最小相位系統(tǒng)的能量在所有相同幅度響應(yīng)函數(shù)的系統(tǒng)中延遲最小，也稱為最小能量延遲系統(tǒng)。3、最小能量延遲北京航空航天大學(xué)204教研室27北京航空航天大學(xué)204教研室28最大能量延遲則發(fā)生在全部零點位于單位圓外的系統(tǒng)，因此該系統(tǒng)也稱為最大相位系統(tǒng)。

作業(yè)5.125.145.185.22北京航空航天大學(xué)204教研室29北京航空航天大學(xué)204教研室30三、

線性相位系統(tǒng)在設(shè)計濾波器和其它系統(tǒng)中，往往希望系統(tǒng)在某一頻帶范圍內(nèi)具有近似恒定的幅度和零相位特性，以使信號通過時該頻帶信號不失真。但是：1）對因果系統(tǒng)而言，零相位是不可能得到的，必須容許有某種程度的相位失真。2）相位響應(yīng)使信號在形狀上有很大的畸變，即使幅度響應(yīng)為恒定時亦是如此。北京航空航天大學(xué)204教研室31Example1:相位響應(yīng)對信號的影響雙頻信號經(jīng)過實LTI系統(tǒng)x1(n)+x2(n)H(jw)y(n)x1(n)H(jw)x2(n)H(jw)y(n)北京航空航天大學(xué)204教研室32Example1:相位對信號的影響f1=3Hzf2=5Hz北京航空航天大學(xué)204教研室33非線性相位響應(yīng)使信號有很大的波形畸變，即使幅度響應(yīng)為恒定時亦是如此;線性相位響應(yīng)在時域上表現(xiàn)的是整個信號的時間平移，信號的波形不發(fā)生失真.不考慮幅度響應(yīng)條件下，線性相位系統(tǒng)即是所要尋找的物理可實現(xiàn)的無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)下一步？線性相位系統(tǒng)有些什么樣的特征？如何尋找適合實用要求的線性相位系統(tǒng)？初步認知：北京航空航天大學(xué)204教研室34基本定義：相位響應(yīng)群延遲線性相位->群延遲為常數(shù)一、基本定義北京航空航天大學(xué)204教研室35考慮一個LTI系統(tǒng)，其頻率響應(yīng)為：相位和群延遲分別如下：單位沖激響應(yīng)為：二、線性相位系統(tǒng)的時域特征北京航空航天大學(xué)204教研室36對任意輸入,系統(tǒng)的輸出為：1）若為整數(shù)，則有：2）若為非整數(shù)實數(shù)?群延遲為非整數(shù)系統(tǒng)輸出相當于對如下模擬信號在nT的采樣序列：北京航空航天大學(xué)204教研室37北京航空航天大學(xué)204教研室38容易看出，正是序列的重構(gòu)信號，是頻率響應(yīng)為：系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)。

由上面的討論可以看出，若LTI系統(tǒng)具有隨輸入頻率而相位呈線性變化的特性，那么它將是一個理想的延遲系統(tǒng)，其中的代表了延遲量。D/CC/DTT北京航空航天大學(xué)204教研室39北京航空航天大學(xué)204教研室40上面討論的是具有全通特性的LTI線性相位系統(tǒng)，對于更為一般的情況：可以理解成信號經(jīng)過零相位濾波器濾波后，然后再經(jīng)過理想延遲系統(tǒng)。如對于線性相位的低通濾波器而言：

相應(yīng)的單位沖激響應(yīng)為：北京航空航天大學(xué)204教研室41由單位沖激響應(yīng)：可以得到：如果為整數(shù)，則單位沖激響應(yīng)關(guān)于偶對稱；若不為整數(shù)，則單位沖激響應(yīng)關(guān)于不是嚴格意義上的對稱，但是仍然是線性相位和恒定群延遲。

北京航空航天大學(xué)204教研室42線性相位的概念加以推廣是有意義的。線性相位系統(tǒng)具有許多優(yōu)點，但是其范疇較窄?，F(xiàn)實當中的許多系統(tǒng)不一定滿足上面的定義，如滑動平均系統(tǒng)、微分系統(tǒng)等，但均有信號相位不失真的特性。廣義線性相位系統(tǒng)2、廣義線性相位如果不顧及由的正、負交替帶來的相位突變及帶入的固定相位，則系統(tǒng)具有恒定群延遲。北京航空航天大學(xué)204教研室43線性相位系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)偶對稱，即：既然已經(jīng)將線性相位系統(tǒng)的定義進行了推廣，那么單位沖激響應(yīng)就不一定必須關(guān)于偶對稱，也可能是其他形式，如奇對稱等。我們從及廣義線性相位系統(tǒng)的定義入手來進行考察。奇對稱序列的幅相特性？？北京航空航天大學(xué)204教研室44實條件廣義線性相位時頻關(guān)系北京航空航天大學(xué)204教研室45由廣義相位定義和DTFT時移特性知：若A(w)為奇函數(shù),則h(n)奇對稱；若A(w)為偶函數(shù),則h(n)偶對稱。廣義線性相位時頻關(guān)系結(jié)論：實對稱序列必定是線性相位序列；線性相位序列未必是實對稱序列，也未必是對稱序列。奇偶對稱序列均可以滿足廣義線性相位的要求，擴展了線性相位的適用范圍。北京航空航天大學(xué)204教研室46北京航空航天大學(xué)204教研室47對實系統(tǒng)而言，無論狹義線性相位，還是廣義線性相位，都要求單位沖激響應(yīng)序列對稱。如果再要求系統(tǒng)是有理、因果的，對稱性將意味著α>=0和h(n)必須為時域帶限,即有限長沖激響應(yīng)（FIR）系統(tǒng)。因果無限長沖激響應(yīng)（IIR）系統(tǒng)也能夠具有廣義線性相位，但是系統(tǒng)函數(shù)不是有理的。根據(jù)對稱形式和M=2α為奇、偶情況，劃分四類具有廣義線性相位的FIR系統(tǒng)。三、因果廣義線性相位系統(tǒng)北京航空航天大學(xué)204教研室48I類：北京航空航天大學(xué)204教研室49北京航空航天大學(xué)204教研室50II類：特殊零點：Z=-1北京航空航天大學(xué)204教研室51北京航空航天大學(xué)204教研室52III類：特殊零點：z=+,-1