控制系統(tǒng)復(fù)數(shù)域的數(shù)學(xué)模型

關(guān)于控制系統(tǒng)復(fù)數(shù)域的數(shù)學(xué)模型第一頁，共八十八頁，2022年，8月28日定義

傳遞函數(shù)是在零初始條件下，線性定常系統(tǒng)輸出量的拉氏變換式與輸入量的拉氏變換式之比。

注意:

傳遞函數(shù)是在初始條件為零（或稱零初始條件）時(shí)定義的。

控制系統(tǒng)的零初始條件有兩方面的含義:1)系統(tǒng)輸入量及其各階導(dǎo)數(shù)在t=0時(shí)的值均為零；2)系統(tǒng)輸出量及其各階導(dǎo)數(shù)在t=0時(shí)的值也為零。第二頁，共八十八頁，2022年，8月28日系統(tǒng)傳遞函數(shù)的一般形式在零初始條件下對上式兩端進(jìn)行拉氏變換，可得相應(yīng)的代數(shù)方程系統(tǒng)的傳遞函數(shù)第三頁，共八十八頁，2022年，8月28日!傳遞函數(shù)的直接計(jì)算法例2-4試求傳遞函數(shù)第四頁，共八十八頁，2022年，8月28日第五頁，共八十八頁，2022年，8月28日2傳遞函數(shù)的性質(zhì)⑴因?yàn)閷?shí)際物理系統(tǒng)總存在慣性，并且能源功率有限，所以實(shí)際系統(tǒng)傳遞函數(shù)的分母階次n總是大于或等于分子階次m,即n≥m。⑵傳遞函數(shù)只取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)，與外作用及初始條件無關(guān)。⑶傳遞函數(shù)只描述系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系，不能反映系統(tǒng)的物理組成。⑷傳遞函數(shù)與微分方程有直接聯(lián)系。⑸傳遞函數(shù)的拉氏反變換即為系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)，因此傳遞函數(shù)能反映系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)特性。第六頁，共八十八頁，2022年，8月28日g(t)稱為系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)（權(quán)函數(shù)）系統(tǒng)輸出單位脈沖函數(shù)脈沖響應(yīng)函數(shù)傳遞函數(shù)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性單位脈沖響應(yīng)第七頁，共八十八頁，2022年，8月28日傳遞函數(shù)是復(fù)數(shù)s域中的系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型。其參數(shù)僅取決于系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)及參數(shù)，與系統(tǒng)的輸入形式無關(guān)。傳遞函數(shù)通過系統(tǒng)輸入量與輸出量之間的關(guān)系來描述系統(tǒng)的固有特性，即以系統(tǒng)外部的輸入－輸出特性來描述系統(tǒng)的內(nèi)部特性。若輸入給定，則系統(tǒng)輸出特性完全由傳遞函數(shù)G(s)決定。結(jié)論第八頁，共八十八頁，2022年，8月28日適用于線性定常系統(tǒng)傳遞函數(shù)中的各項(xiàng)系數(shù)和相應(yīng)微分方程中的各項(xiàng)系數(shù)對應(yīng)相等，完全取決于系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)。傳遞函數(shù)原則上不能反映系統(tǒng)在非零初始條件下的全部運(yùn)動(dòng)規(guī)律無法描述系統(tǒng)內(nèi)部中間變量的變化情況只適合于單輸入單輸出系統(tǒng)的描述注意第九頁，共八十八頁，2022年，8月28日2.3.2典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)1.比例環(huán)節(jié)(ProportionalElement)

輸出量與輸入量成比例的環(huán)節(jié)稱為比例環(huán)節(jié),其微分方程為

y(t)=Kx(t)式中，K為比例環(huán)節(jié)的放大系數(shù)（增益或放大倍數(shù)）。第十頁，共八十八頁，2022年，8月28日單位階躍響應(yīng)當(dāng)r(t)=1(t)時(shí)，有得到c(t)=L-1［C(s)］=K第十一頁，共八十八頁，2022年，8月28日舉例第十二頁，共八十八頁，2022年，8月28日第十三頁，共八十八頁，2022年，8月28日第十四頁，共八十八頁，2022年，8月28日2.積分環(huán)節(jié)(IntegralElement)

積分就是歲時(shí)間積累的意思輸出量與輸入量對時(shí)間的積分成正比的環(huán)節(jié)稱為積分環(huán)節(jié)，其微分方程為經(jīng)拉氏變換，并整理可得該環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為

式中，T為積分時(shí)間常數(shù)。

第十五頁，共八十八頁，2022年，8月28日積分時(shí)間常數(shù)的物理意義

積分環(huán)節(jié)方框圖及響應(yīng)曲線

(a）積分環(huán)節(jié)方框圖；(b）積分環(huán)節(jié)單位階躍響應(yīng)階躍響應(yīng)的積分時(shí)間常數(shù)：積分輸出的信號比輸入信號落后的時(shí)間（即輸出要經(jīng)過時(shí)間T后，其大小才等于輸入信號。第十六頁，共八十八頁，2022年，8月28日注意第十七頁，共八十八頁，2022年，8月28日

舉例第十八頁，共八十八頁，2022年，8月28日第十九頁，共八十八頁，2022年，8月28日第二十頁，共八十八頁，2022年，8月28日3.微分環(huán)節(jié)(DerivativeElement)

（1）理想微分環(huán)節(jié)輸出量與輸入量的導(dǎo)數(shù)成正比的環(huán)節(jié)稱為微分環(huán)節(jié),如圖所示，其微分方程為第二十一頁，共八十八頁，2022年，8月28日采用等速擾動(dòng)分析理想微分環(huán)節(jié)當(dāng)輸入量為等速擾動(dòng)：

輸出y立即躍變到并保持等于T0v0的數(shù)值，而輸入信號x要達(dá)到同樣的T0v0值，卻要再經(jīng)過Td的時(shí)間。輸出信號比輸入信號超前了Td這段時(shí)間第二十二頁，共八十八頁，2022年，8月28日(2)一階微分環(huán)節(jié)

實(shí)際上微分特性總是含有慣性的，實(shí)際微分環(huán)節(jié)的微分方程為第二十三頁，共八十八頁，2022年，8月28日二階復(fù)合微分環(huán)節(jié)第二十四頁，共八十八頁，2022年，8月28日第二十五頁，共八十八頁，2022年，8月28日舉例第二十六頁，共八十八頁，2022年，8月28日第二十七頁，共八十八頁，2022年，8月28日4.慣性環(huán)節(jié)(InertialElement)

含有一個(gè)儲(chǔ)能元件和一個(gè)耗能元件的環(huán)節(jié)，其輸出量與輸入量的微分方程為第二十八頁，共八十八頁，2022年，8月28日

圖2-15慣性環(huán)節(jié)方框圖及響應(yīng)曲線

(a）慣性環(huán)節(jié)方框圖；(b）慣性環(huán)節(jié)單位階躍響應(yīng)第二十九頁，共八十八頁，2022年，8月28日當(dāng)輸入量r(t)=1(t)時(shí)，輸出量C(s)為可得其單位階躍響應(yīng)為c(t)=L-1［C(s)］=K(1-e-t/T)第三十頁，共八十八頁，2022年，8月28日

當(dāng)K=1時(shí)，慣性環(huán)節(jié)的單位階躍響應(yīng)曲線如圖2-15(b)所示。對慣性環(huán)節(jié)的階躍響應(yīng)曲線進(jìn)行分析，可得C(0)=0，C(T)=0.632,C(3T)=0.95，C(4T)=0.982，C(∞)→1。因此，慣性環(huán)節(jié)在輸入量突變時(shí)，輸出量不能突變，只能隨著時(shí)間的推移按指數(shù)規(guī)律變化，這表明該環(huán)節(jié)具有慣性特點(diǎn)。第三十一頁，共八十八頁，2022年，8月28日第三十二頁，共八十八頁，2022年，8月28日5.振蕩環(huán)節(jié)

振蕩環(huán)節(jié)也稱二階環(huán)節(jié)，它的微分方程通常表達(dá)為：第三十三頁，共八十八頁，2022年，8月28日對式作拉氏變換，可得

T2s2C(s)+2ζTsC(s)+C(s)=R(s)移項(xiàng)整理有第三十四頁，共八十八頁，2022年，8月28日第三十五頁，共八十八頁，2022年，8月28日圖2-20振蕩環(huán)節(jié)的單位階躍響應(yīng)曲線第三十六頁，共八十八頁，2022年，8月28日

根據(jù)ζ的不同取值，該二階系統(tǒng)可形成如下單位階躍響應(yīng)uc(t)的過程：（1）當(dāng)ζ=0，即R=0時(shí)，響應(yīng)uc(t)為等幅振蕩過程。（2）當(dāng)0<ζ<1，即0<R<2時(shí)，響應(yīng)uc(t)為衰減振蕩過程。（3）當(dāng)ζ=1，即R=2時(shí)，響應(yīng)uc(t)為臨界振蕩過程。（4）當(dāng)ζ>1，即R>2時(shí)，響應(yīng)uc(t)為非周期（振蕩）過程，此時(shí)該二階系統(tǒng)為二階慣性環(huán)節(jié)。第三十七頁，共八十八頁，2022年，8月28日6.純延遲環(huán)節(jié)第三十八頁，共八十八頁，2022年，8月28日延遲環(huán)節(jié)與慣性環(huán)節(jié)的區(qū)別延遲環(huán)節(jié)從輸入開始之初，在0~τ時(shí)間內(nèi)沒有輸出，但t=τ之后，輸出完全等于輸入。慣性環(huán)節(jié)從輸入開始時(shí)刻起就已有輸出，僅由于慣性，輸出要滯后一段時(shí)間才接近所要求的輸出值。第三十九頁，共八十八頁，2022年，8月28日第四十頁，共八十八頁，2022年，8月28日2.4控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖及其等效變換控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖結(jié)構(gòu)圖的組成控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖由四種基本圖形符號組成：函數(shù)方塊、信號線、分支點(diǎn)(引出點(diǎn))和綜合點(diǎn)(比較點(diǎn)或求和點(diǎn))。

(a)函數(shù)方塊；(b)信號線；第四十一頁，共八十八頁，2022年，8月28日(c)引出點(diǎn)；(d)比較點(diǎn)2.系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖的建立第四十二頁，共八十八頁，2022年，8月28日2.4結(jié)構(gòu)圖的等效變換“等效”應(yīng)使變換前后輸入量與輸出量之間的傳遞函數(shù)保持不變。1.串聯(lián)連接(SeriesConnection)

環(huán)節(jié)間的串聯(lián)連接是指環(huán)節(jié)間輸入信號和輸出信號的串聯(lián)傳遞關(guān)系，如圖所示。前一個(gè)環(huán)節(jié)的輸出即為后一環(huán)節(jié)的輸入，第一個(gè)環(huán)節(jié)的輸入作為整個(gè)環(huán)節(jié)組的輸入，最后一個(gè)環(huán)節(jié)的輸出作為整個(gè)環(huán)節(jié)組的輸出。

第四十三頁，共八十八頁，2022年，8月28日圖2-22環(huán)節(jié)串聯(lián)連接的方框圖第四十四頁，共八十八頁，2022年，8月28日

設(shè)各串聯(lián)環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)分別為G1(s),G2(s),…,Gn(s)，那么各環(huán)節(jié)串聯(lián)后總的傳遞函數(shù)（等效傳遞函數(shù)）G(s)為(2-58)即若干個(gè)環(huán)節(jié)串聯(lián)后的總傳遞函數(shù)等于各個(gè)環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的乘積。第四十五頁，共八十八頁，2022年，8月28日2.并聯(lián)連接(ParallelConnection)

環(huán)節(jié)的并聯(lián)連接方式如圖。在并聯(lián)連接中，各環(huán)節(jié)的輸入相同，而總的輸出為各個(gè)環(huán)節(jié)輸出的代數(shù)和。第四十六頁，共八十八頁，2022年，8月28日

設(shè)有三個(gè)環(huán)節(jié)并聯(lián)連接（見圖2-23），各環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)分別為則并聯(lián)后總的傳遞函數(shù)為第四十七頁，共八十八頁，2022年，8月28日對于n個(gè)環(huán)節(jié)的并聯(lián)連接，總的傳遞函數(shù)為(2-59)即環(huán)節(jié)并聯(lián)后的總傳遞函數(shù)等于各個(gè)環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)的代數(shù)和。第四十八頁，共八十八頁，2022年，8月28日3.反饋連接(FeedbackConnection)

兩個(gè)環(huán)節(jié)的反饋連接方式如圖所示。兩個(gè)環(huán)節(jié)相互作用形成一個(gè)閉環(huán)系統(tǒng)。設(shè)系統(tǒng)的輸入信號為R(s)，輸出信號為C(s)，前向環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為G1(s)，反饋環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為H(s)。兩個(gè)環(huán)節(jié)反饋連接時(shí)的傳遞函數(shù)G(s)=C(s)/R(s)可以從圖的關(guān)系中求出。第四十九頁，共八十八頁，2022年，8月28日1）負(fù)反饋的情況

當(dāng)反饋信號B(s)與輸入信號R(s)相減時(shí)，稱為負(fù)反饋，此時(shí)C(s)=G1(s)［R(s)-H(s)C(s)］

整理后得

因此，負(fù)反饋連接的總傳遞函數(shù)為:第五十頁，共八十八頁，2022年，8月28日2）正反饋的情況當(dāng)反饋信號B(s)與輸入信號R(s)相加時(shí)，稱為正反饋，此時(shí)C(s)=G1(s)［R(s)+H(s)C(s)］整理后得因此，正反饋連接的總傳遞函數(shù)為

(2-61)第五十一頁，共八十八頁，2022年，8月28日

綜合負(fù)反饋和正反饋兩種情況，閉環(huán)系統(tǒng)的總傳遞函數(shù)G(s)為(2-62)

從式（2-62）中，可以看到一個(gè)很有意義的現(xiàn)象，如果前向環(huán)節(jié)放大倍數(shù)很大，則反饋系統(tǒng)的傳遞函數(shù)就簡化為(2-63)第五十二頁，共八十八頁，2022年，8月28日

即反饋系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性主要決定于反饋環(huán)節(jié)的動(dòng)態(tài)特性。總的傳遞函數(shù)近似為反饋環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的倒數(shù)，而與前向環(huán)節(jié)的特性無關(guān)。若前向環(huán)節(jié)的放大倍數(shù)趨向無限大，則反饋系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為(2-64)

反饋系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性僅僅決定于反饋環(huán)節(jié)。這種反饋系統(tǒng)稱為極限系統(tǒng)，它在調(diào)節(jié)儀表中得到了廣泛應(yīng)用。第五十三頁，共八十八頁，2022年，8月28日2.4.2方框圖的等效變換及化簡1.方框圖的等效變換規(guī)則方框圖的等效變換基本規(guī)則如表2-3所示。這里要說明以下幾點(diǎn)：

(1)環(huán)節(jié)前后比較點(diǎn)的移動(dòng):根據(jù)保持比較點(diǎn)移動(dòng)前后系統(tǒng)的輸入/輸出關(guān)系不變的等效原則，可以將比較點(diǎn)向環(huán)節(jié)前或后移動(dòng)。第五十四頁，共八十八頁，2022年，8月28日(2)環(huán)節(jié)前后引出點(diǎn)的移動(dòng):根據(jù)保持引出點(diǎn)移動(dòng)前后系統(tǒng)的輸入/輸出關(guān)系不變的等效原則，可以將引出點(diǎn)向環(huán)節(jié)前或后移動(dòng)。(3)連續(xù)比較點(diǎn)、連續(xù)引出點(diǎn)的移動(dòng):由于信號具有線性性質(zhì)，它們的相加次序可以任意交換,因而它們的引出點(diǎn)也可以任意交換。第五十五頁，共八十八頁，2022年，8月28日表2-3方框圖的等效變換基本規(guī)則第五十六頁，共八十八頁，2022年，8月28日第五十七頁，共八十八頁，2022年，8月28日2.方框圖的化簡舉例系統(tǒng)方框圖的化簡過程，一般可分為以下幾步：

(1)根據(jù)研究目的確定系統(tǒng)的輸入和輸出。輸入、輸出確定后，從輸入至輸出的通道就成為前向通道。

(2)串聯(lián)、并聯(lián)、反饋連接的環(huán)節(jié)由等效環(huán)節(jié)代替。

(3)把閉環(huán)系統(tǒng)簡化成最基本的方框圖形式，并求出其總的傳遞函數(shù)。

第五十八頁，共八十八頁，2022年，8月28日【例1】化簡圖2-25中的交叉反饋系統(tǒng)，并求出它的傳遞函數(shù)。解:交叉反饋系統(tǒng)是一種較復(fù)雜的多環(huán)系統(tǒng)，它的基本形式如圖2-25（a）所示（為簡化起見，傳遞函數(shù)中的(s)省去）。第五十九頁，共八十八頁，2022年，8月28日圖2-25交叉反饋系統(tǒng)的化簡第六十頁，共八十八頁，2022年，8月28日

由圖2-25(a)可見，該系統(tǒng)的兩個(gè)回環(huán)的反饋通道是互相交叉的。對這類系統(tǒng)的化簡，主要是運(yùn)用引出點(diǎn)和比較點(diǎn)的移動(dòng)來解除回路的交叉，使之成為一般的不交叉的多回路系統(tǒng)。在圖2-25(a)中，只要將引出點(diǎn)1后移，即可解除交叉，成為如圖2-25(b)所示的形式。由圖2-25(b)再引用求閉環(huán)傳遞函數(shù)的公式即可得到圖2-25(c)和圖2-25(d)，從而得到系統(tǒng)總的閉環(huán)傳遞函數(shù)GB(s)為:第六十一頁，共八十八頁，2022年，8月28日

以上雖然是一個(gè)典型的例子，但從中可以引申出一般交叉反饋系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的求取公式：GB(s)=前向通道各串聯(lián)環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的乘積(每一負(fù)反饋回環(huán)的各傳遞函數(shù)的乘積)(2-65)式中，n為反饋回環(huán)的個(gè)數(shù)。第六十二頁，共八十八頁，2022年，8月28日3.自動(dòng)控制系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的求取自動(dòng)控制系統(tǒng)的典型框圖如圖2-26所示。圖中R(s)為輸入量，C(s)為輸出量，N(s)為擾動(dòng)量。圖2-26自動(dòng)控制系統(tǒng)的典型結(jié)構(gòu)第六十三頁，共八十八頁，2022年，8月28日1)在輸入量R(s)作用下的閉環(huán)傳遞函數(shù)和系統(tǒng)的輸出若僅考慮輸入量R(s)的作用，則可暫略去擾動(dòng)量N(s)。由圖2-27(a)可得輸出量C(s)對輸入量的閉環(huán)傳遞函數(shù)GBr(s)為(2-66)第六十四頁，共八十八頁，2022年，8月28日此時(shí)系統(tǒng)的輸出量（拉氏式）Ｃr(s)為(2-67)第六十五頁，共八十八頁，2022年，8月28日2)在擾動(dòng)量N(s)作用下的閉環(huán)傳遞函數(shù)和系統(tǒng)的輸出若僅考慮擾動(dòng)量N(s)的作用，則可暫略去輸入量R(s)，這時(shí)圖2-26可變換成圖2-27(b)的形式（在進(jìn)行圖形變換時(shí)，負(fù)反饋環(huán)節(jié)中的負(fù)號仍需保留）。這樣輸出量Cn(s)對擾動(dòng)量N(s)的閉環(huán)傳遞函數(shù)GBn(s)為(2-68)第六十六頁，共八十八頁，2022年，8月28日此時(shí)系統(tǒng)輸出量（拉氏式）Cn(s)為(2-69)第六十七頁，共八十八頁，2022年，8月28日

圖2-27僅考慮一個(gè)作用量時(shí)的系統(tǒng)方框圖

(a）僅考慮給定量R(s)的作用;(b）僅考慮擾動(dòng)量N(s)的作用第六十八頁，共八十八頁，2022年，8月28日3)在輸入量和擾動(dòng)量同時(shí)作用下系統(tǒng)的總輸出由于設(shè)定此系統(tǒng)為線性系統(tǒng)，因此可以應(yīng)用疊加原理,即當(dāng)輸入量和擾動(dòng)量同時(shí)作用時(shí)，系統(tǒng)的輸出可看成兩個(gè)作用量分別作用的疊加。于是有:(2-70)

第六十九頁，共八十八頁，2022年，8月28日第七十頁，共八十