彈性力學簡明教程-第四版-徐芝綸第五章課件

例題第一節(jié)差分公式的推導第二節(jié)應(yīng)力函數(shù)的差分解第三節(jié)應(yīng)力函數(shù)差分解的實例第四節(jié)彈性體的形變勢能和外力勢能第五節(jié)位移變分方程第六節(jié)位移變分法習題的提示和答案教學參考資料第五章用差分法和變分法解平面問題第七節(jié)位移變分法例題例題第一節(jié)差分公式的推導第二節(jié)應(yīng)力函數(shù)的差分解第三節(jié)彈性力學的基本解法是，根據(jù)靜力平衡條件、形變與位移之間的幾何條件和形變與應(yīng)力之間的物理條件，建立微分方程和邊界條件。近似解法

因此，彈性力學問題屬于微分方程的邊值問題。通過求解，得出函數(shù)表示的精確解答。§5-1差分公式的推導彈性力學的基本解法是，根據(jù)靜力平衡條件、形變

對于工程實際問題，由于荷載和邊界較復雜，難以求出函數(shù)式的解答。為此，人們探討彈性力學的各種近似解法，主要有變分法、差分法和有限單元法。近似解法對于工程實際問題，由于荷載和邊界較復雜，難以

差分法是微分方程的一種數(shù)值解法。它不是去求解函數(shù)，而是求函數(shù)在一些結(jié)點上的值。 fxo差分法 差分法是微分方程的一種數(shù)值解法。它不是去求解函數(shù)

差分法的內(nèi)容是：差分法將微分方程用差分方程（代數(shù)方程）代替，于是，求解微分方程的問題化為求解差分方程的問題。將導數(shù)用有限差商來代替，將微分用有限差分來代替，差分法的內(nèi)容是：差分法將微分方程用差分方程（代數(shù)方

導數(shù)差分公式的導出：導數(shù)差分公式在平面彈性體上劃分等間距h的兩組網(wǎng)格，分別∥x、y軸。網(wǎng)格交點稱為結(jié)點，h稱為步長。 導數(shù)差分公式的導出：導數(shù)差分公式在平面彈性應(yīng)用泰勒級數(shù)公式將在點展開，(a)應(yīng)用泰勒級數(shù)公式將在點展開，(a)1、拋物線差分公式─略去式(a)中以上項，分別用于結(jié)點1、3，拋物線差分公式結(jié)點3：結(jié)點1：1、拋物線差分公式─略去式(a)中以上項，分別用拋物線差分公式式(b)又稱為中心差分公式，并由此可導出高階導數(shù)公式。從上兩式解出o點的導數(shù)公式，拋物線差分公式式(b)又稱為中心差分公式，并由此可導出高階導

應(yīng)用泰勒級數(shù)導出差分公式，可得出統(tǒng)一的格式，避免任意性，并可估計其誤差量級，式(b)的誤差為。拋物線差分公式應(yīng)用泰勒級數(shù)導出差分公式，可得出統(tǒng)一的格式，避免任意性2、線性差分公式─在式(a)中僅取一、二項時，誤差量級為。線性差分公式式(c)稱為向前差分公式。對結(jié)點1，得：2、線性差分公式─在式(a)中僅取一、二項時，誤差量級為對結(jié)點3，得：

式(d)稱為向后差分公式。

線性的向前或向后差分公式，主要用于對時間導數(shù)的公式中。線性的向前或向后差分公式，主要用于

穩(wěn)定溫度場中的溫度場函數(shù)T(x,y)應(yīng)滿足下列方程和邊界條件：

（在A中）, (a)

（在上）,

(b)

（在上）.

(c)例1 穩(wěn)定溫度場中的溫度場函數(shù)T(x,y)應(yīng)滿足下列方程和穩(wěn)定溫度場的基本方程(a)是拉普拉斯方程；在上的第一類邊界條件是已知邊界上的溫度值；在上的第二類邊界條件是已知熱流密度值，其中是導熱系數(shù)。穩(wěn)定溫度場的基本方程(a)是拉普拉斯方程；在上的第

現(xiàn)在我們將式(a)、(b)、(c)轉(zhuǎn)化為差分形式。應(yīng)用圖5－1網(wǎng)格，和拋物線差分公式，彈性力學簡明教程-第四版-徐芝綸第五章課件（1）將化為差分公式，得（2）若x邊界516上為第一類邊界條件，則已知。（3）若y邊界627上為第二類邊界條件，已知，則(d)（1）將化為差分公式，得(d)

由于所以得

這時，邊界點2的是未知的，對2點須列出式（d）的方程。此方程涉及到值，可將式（e）代入。(e)

由于所以得(e)

例2穩(wěn)定溫度場問題的差分解。設(shè)圖中的矩形域為6m×4m，取網(wǎng)格間距為h=2m，布置網(wǎng)格如圖，各邊界點的已知溫度值如圖所示，試求內(nèi)結(jié)點a、b的穩(wěn)定溫度值。ab40353025322224222017例2ab40353025322224222017解：對a、b列出方程如下：解出

（度）.（度）.1.比較導數(shù)的拋物線差分公式和線性差分公式的區(qū)別。2.應(yīng)用拋物線差分公式(5-2)，試導出三階導數(shù)的差分公式。思考題1.比較導數(shù)的拋物線差分公式和線性差分公式的區(qū)別。思考題對于單連體，按應(yīng)力函數(shù)求解時，應(yīng)滿足:§5-2應(yīng)力函數(shù)的差分解按求解對于單連體，按應(yīng)力函數(shù)求解時，應(yīng)滿足:§5（3）求出后，由下式求應(yīng)力（假設(shè)無體力）:

按求解按求解差分法求解1.應(yīng)力公式(c)的差分表示。對于o點，

差分法求解：差分法求解1.應(yīng)力公式(c)的差分表示。對于o點，差分法求相容方程(e)化為：對每一內(nèi)結(jié)點，為未知，均應(yīng)列出式(e)的方程。2.相容方程(a)的差分表示，相容方程(e)化為：對每一內(nèi)結(jié)點，為對邊界內(nèi)一行結(jié)點列式(e)方程時，需要求出邊界點和邊界外一行結(jié)點（虛結(jié)點）的值。 為了求虛結(jié)點的值，需要求出邊界點的、值。相容方程相容方程

3.應(yīng)用應(yīng)力邊界條件(b)，求出邊界點的、、值。邊界條件 3.應(yīng)用應(yīng)力邊界條件(b)，求出邊界點的、、⑴應(yīng)力邊界條件用表示取出坐標的正方向作為邊界線s的正向（圖中為順時針向），當移動時，為正，而為負，∴外法線的方向余弦為邊界條件⑴應(yīng)力邊界條件用表示邊界條件(f)邊界條件即將上式和式(d)代入式(b)，得(f)邊界條件即將上式和式(d)代入式(b)，得邊界條件式(f)、(g)分別是應(yīng)力邊界條件的微分、積分形式。再將式(f)對s積分，從固定的基點A到邊界任一點B，得邊界條件式(f)、(g)分別是應(yīng)力邊界條件的微分、積分形通過分部積分從A到B積分，得邊界條件(h)⑵由全微分求邊界點的

通過分部積分邊界條件(h)⑵由全微分⑶∵A為定點，、和、、均為常數(shù)，而式(h)中，加減x，y的一次式不影響應(yīng)力，∴可取 故邊界結(jié)點的和導數(shù)值，由式(g)、(h)簡化為邊界條件⑶∵A為定點，、和、

式(i)的物理意義是：第一式表示從A到B邊界上x向面力的主矢量；第二式表示從A到B邊界上y向面力的主矢量改號;第三式表示從A到B邊界上面力對B點的力距，圖中以順時針向為正。因此，可以按物理意義直接求邊界條件和式(i)的物理意義是：邊界條件和⑷由式(i)的第三式，可求出邊界點的值;由式(i)的前兩式，可求出邊界點的、值，然后再求出邊界外一行虛結(jié)點的值。邊界條件⑷由式(i)的第三式，可求出邊界點的邊界（1）在邊界上選定基點A，令，然后計算邊界上各結(jié)點的、、；求解步驟（2）由邊界結(jié)點的、值，求出邊界外一行虛結(jié)點的值；4.應(yīng)力函數(shù)差分解的步驟（1）在邊界上選定基點A，求解步驟（2）由邊界結(jié)點的（3）對邊界內(nèi)所有結(jié)點列式(e)的方程，聯(lián)立求各結(jié)點的值；求解步驟（5）按式(d)求各結(jié)點的應(yīng)力。（4）求出邊界外一行虛結(jié)點的值；（3）對邊界內(nèi)所有結(jié)點列式(e)的方程，求解步驟（5）按思考題1、將應(yīng)力函數(shù)看成是覆蓋于區(qū)域A和邊界s上的一個曲面，則在邊界上，各點的值與從A（基點）到B面力的合力距有關(guān)，的一階導數(shù)值與A到B的面力的合力（主矢量）有關(guān)；而在區(qū)域內(nèi)，應(yīng)力分量與曲面的曲率、扭率有關(guān)。思考題§5－3應(yīng)力函數(shù)差分解的實例問題

此題無函數(shù)式解答。應(yīng)用差分法求解。

正方形深梁,上邊受均布荷載，下邊兩角點處有支承反力維持平衡，試求其應(yīng)力?！?－3應(yīng)力函數(shù)差分解的實例問題此題無函數(shù)式解1.本題具有對稱性，取y軸如圖，并取以反映對稱性。取網(wǎng)格如圖。取網(wǎng)格如圖。 首先考慮對稱性，可以減少未知值數(shù)目，并大量減少計算工作量。 按照物理意義，求出邊界點上的和其導數(shù)值（如書中所示）：

首先考慮對稱性，可以減少未知值數(shù)目，并大量減少計算工─AB間y向面力主矢量號，─AB間x向面力主矢量，

─AB間面力對B點力矩，注意符號為正.

5.求出應(yīng)力，如AM線上各點應(yīng)力，并繪出分布圖。4.求出邊界外一行虛結(jié)點的

值。3.對每一內(nèi)點列差分方程，求出。2.由邊界點的導數(shù)值，求出邊界外一行

虛結(jié)點的值。5.求出應(yīng)力，如AM線上各點應(yīng)力，并繪4.求出邊

比較：材料力學解─AM上為直線分布，彈性力學解─AM上為曲線分布，

由此又說明，材料力學解法只適用于桿件。比較比較：比較

（1）差分法是解微分方程邊值問題和彈性力學問題的有效方法。（2）差分法簡便易行，且總能求出解答。（3）差分法可配合材料力學、結(jié)構(gòu)力學解法，精確地分析結(jié)構(gòu)的局部應(yīng)力狀 態(tài)。

差分法優(yōu)點：差分法評價 差分法優(yōu)點：差分法評價（1）對于曲線邊界和不等間距網(wǎng)格的計算較麻煩。（2）差分法比較適用于平面問題或二維問題。（3）凡是近似解，在求導運算時會降低精度。如的誤差為，則應(yīng)力的誤差為。

缺點：差分法評價（1）對于曲線邊界和不等間距網(wǎng)格的計算缺點：差分法評思考題：1.試用線性向前或向后差分公式，導出的差分方程。a（Z向厚度）AyB2FFFxaaa2.用差分法計算圖中A點的應(yīng)力分量。思考題：a（Z向厚度）AyB2FFFxaaa2.用差§5－4彈性體的形變勢能

外力勢能彈性力學變分法，又稱為能量法。因其中的泛函就是彈性體的能量。泛函─是以函數(shù)為自變量（宗量）的一種函數(shù)。變分法，是研究泛函及其極值的求解方法。§5－4彈性體的形變勢能

外力勢能彈性力應(yīng)力變分法─取應(yīng)力函數(shù)為自變量，并以余能極小值條件導出變分方程。本章只介紹位移變分法。位移變分法─取位移函數(shù)為自變量，并以勢能極小值條件導出變分方程。彈性力學變分法，是區(qū)別于微分方程邊值問題的另一種獨立解法。其中分為：應(yīng)力變分法─取應(yīng)力函數(shù)為自變量，并以位移變分法─取位移函外力勢能─外力做了功，必然消耗了相同值的勢能。當取時的外力功和能為零，則：(b)外力功和外力勢能1.彈性體上的外力功和外力勢能外力功：外力勢能─外力做了功，必然消耗了相同值的勢能。當取形變勢能（2）∵應(yīng)力和應(yīng)變均從0增長到，故單位體積上，應(yīng)力所做的功是非線性關(guān)系─線性關(guān)系─（1）作用于微小單元上的應(yīng)力，是鄰近部分物體對它的作用力，可看成是作用于微小單元上的“外力”。2.應(yīng)力的功和形變勢能（內(nèi)力勢能）形變勢能（2）∵應(yīng)力和應(yīng)變均從0增長到，（線性的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系非線性的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系線性的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系非線性的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系（3）對于平面應(yīng)力問題或平面應(yīng)變問題

單元體積上應(yīng)力所做的功都是

(c)形變勢能（3）對于平面應(yīng)力問題（4）假設(shè)沒有轉(zhuǎn)化為非機械能和動能，則應(yīng)力所做的功全部轉(zhuǎn)化為彈性體的

內(nèi)力勢能，又稱為形變勢能，或應(yīng)變

能，存貯于物體內(nèi)部。─單位體積的形變勢能（形變勢能密度）。形變勢能（4）假設(shè)沒有轉(zhuǎn)化為非機械能和動能，則形變勢能（5）整個彈性體的形變勢能是

(d)形變勢能（5）整個彈性體的形變勢能是(d)形變勢能形變勢能對于平面應(yīng)變問題，將，。再將幾何方程代入，可用位移表示為（6）將物理方程代入，平面應(yīng)力問題的形變勢能密度，可用形變表示為形變勢能對于平面應(yīng)變問題，將3.形變勢能的性質(zhì)（1）是應(yīng)變或位移的二次泛函， 故不能應(yīng)用疊加原理。（2）應(yīng)變或位移發(fā)生時，總是正的，即（3）的大小與受力次序無關(guān)。（4）對應(yīng)變的導數(shù)，等于對應(yīng)的應(yīng)力：

(g)形變勢能的性質(zhì)3.形變勢能的性質(zhì)(g)形變勢能的性質(zhì)

4.彈性體的總勢能，是外力勢能和內(nèi)力（形變）勢能之和，(h) 4.彈性體的總勢能，是外力勢能和內(nèi)力(h)1.試證明在線性的應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系下，。2.試由式(e)導出式(g)。3.試列出極坐標系中平面應(yīng)力問題的形變勢能公式，并與式(d)、(e)和(f)相比較。思考題1.試證明在線性的應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系下，。思考題§5－5位移變分方程

在位移變分法中，所取泛函為總勢能，其自變量（宗量）為位移狀態(tài)函數(shù)

，。 現(xiàn)在來導出位移變分方程。§5－5位移變分方程 在位移變分法中，所取泛函為總勢能⑴用位移表示的平衡微分方程（在A中）⑵用位移表示的應(yīng)力邊界條件（在上）⑶位移邊界條件（在上）。實際位移(a)其中⑴、⑵屬于靜力平衡條件，⑶屬于約束條件。 對于實際位移，可將⑶看成是必要條件，而⑴、⑵是充分條件。1.實際平衡狀態(tài)的位移、，必須滿足⑴用位移表示的平衡微分方程（在A中）實際位移(a)

2.虛位移狀態(tài)

⑴虛位移（數(shù)學上稱為位移變分），

表示在約束條件允許下，平衡狀態(tài)附近的微小位移增量，如圖所示。 虛位移應(yīng)滿足上的約束邊界條件，即

虛位移(b)（在上）。2.虛位移狀態(tài)虛位移(b)（在上）。

虛位移不是實際外力作用下發(fā)生的，而是假想由其他干擾產(chǎn)生的。因此，虛位移狀態(tài)

就構(gòu)成實際平衡狀態(tài)附近的一種鄰近狀態(tài)。(c)虛位移 虛位移不是實際外力作用下發(fā)生的，而是假想由其他微分─是在同一狀態(tài)下，研究由于位置(坐標)改變而引起函數(shù)的改變。其中的自變量為坐標變量x,y；

而因變量為函數(shù)，如位移，有

(d)⑵變分與微分的比較變分與微分微分─是在同一狀態(tài)下，研究由于位置(d)⑵變分與微分的變分─是在同一點位置上，由于狀態(tài)改變而引起泛函的改變。其中的自變量為狀態(tài)函數(shù)，如位移；

而因變量為泛函，如，，，有

變分與微分(e)變分─是在同一點位置上，由于狀態(tài)改變變分與微分(e)由于微分和變分都是微量，所以a.它們的運算方式相同，如式(d)，(e)；b.變分和微分可以交換次序，如

變分與微分(f)由于微分和變分都是微量，所以變分與微分(f)當發(fā)生虛位移（位移變分）時，虛位移上功和能由于虛位移引起虛應(yīng)變，外力勢能的變分：外力的虛功（外力功的變分）：3.在虛位移上彈性體的功和能

當發(fā)生虛位移（位移變分）時，虛位移上功和能

形變勢能的變分，即實際應(yīng)力在虛應(yīng)變上的虛功,

由于實際應(yīng)力在虛應(yīng)變之前已存在,∴作為常力計算，故無系數(shù)。虛位移上功和能(j)形變勢能的變分，即實際應(yīng)力在虛應(yīng)變上的虛功（1）在封閉系統(tǒng)中，假設(shè)沒有非機械能的改變，也沒有動能的改變，則按照能量守恒定律，在虛位移過程中形變勢能的增加應(yīng)等于外力勢能的減少（即等于外力所做的虛功）。∴位移變分方程4.彈性力學中位移變分方程的導出（1）在封閉系統(tǒng)中，假設(shè)沒有非機械能的改變，也沒有動能的改變（2）位移變分方程─將式(g)的代入上式,得它表示，在實際平衡狀態(tài)發(fā)生位移的變分時，所引起的形變勢能的變分，等于外力功的變分。位移變分方程（2）位移變分方程─將式(g)的代入上式,得它表位移變分方程它表示，在實際平衡狀態(tài)發(fā)生虛位移時，外力在虛位移上所做的虛功等于應(yīng)力在虛應(yīng)變上所做的虛功。（3）虛功方程─將式(j)的代入上式，得位移變分方程它表示，在實際平衡狀態(tài)發(fā)生虛位移時，（3）虛功方其中─形變勢能的變分，如式(j)所示，─外力功的變分，如式(g)所示。位移變分方程（4）最小勢能原理─式(k)可寫成其中U─彈性體的形變勢能，如§5-4式(d),

W─彈性體的外力功，如§5-4式(a)?？梢宰C明，式(n)可以寫成為其中─形變勢能的變分，如式(j)所示，位移變分方程（證明如下：位移變分方程證明如下：位移變分方程由于彈性體的總勢能為故式(o)可以表示為

再將總勢能對其變量（位移或應(yīng)變）作二次變分運算，可得

綜合式(p)，(q)，即得(p)(q)(r)位移變分方程由于彈性體的總勢能為(p)(q)(r)位移變分方程位移變分方程

這就是最小勢能原理。它表示在給定的外力作用下，在滿足位移邊界條件的所有各組位移狀態(tài)中，實際存在的一組位移對應(yīng)于總勢能為極小值。位移變分方程這就是最小勢能原理。它表示在給最小勢能原理：數(shù)學表示如圖(a)，物理意義如圖(b)uu（實際位移）(a)(b)最小勢能原理：uu（實際位移）(a)(b)（5）位移變分方程的又一形式─式(l)中可化為

又一形式（5）位移變分方程的又一形式─式(l)又一形式應(yīng)用分部積分公式和格林公式（其中s為平面域A的邊界，l，m為邊界外法線的方向余弦），可將進行轉(zhuǎn)換。又一形式應(yīng)用分部積分公式又一形式∵在上，虛位移，∴

對其余幾項進行同樣的轉(zhuǎn)換，并代入式(),可得又一形式的位移變分方程：又一形式例如，對第一項計算，(s)又一形式例如，對第一項計算，(s)因為，都是任意的獨立的變分，為了滿足上式,必須有（在A中）(v)（在上）(w)又一形式因為，都是任意的獨立的變分，為了滿足（在A

由此可見，從位移變分方程可以導出平衡微分方程和應(yīng)力邊界條件，或者說，位移變分方程等價于平衡微分方程和應(yīng)力邊界條件。由此可見，從位移變分方程可以導出平衡微分方程和⑴實際平衡狀態(tài)的位移必須滿足

a.上的約束(位移)邊界條件；

b.上的應(yīng)力邊界條件；c.域A中的平衡微分方程。5.結(jié)論結(jié)論⑵位移變分方程可以等價地代替靜力條件b,c。⑴實際平衡狀態(tài)的位移必須滿足5.結(jié)論結(jié)論⑵位移變分方程結(jié)論⑶由此得出一種變分解法，即預(yù)先使位移函數(shù)滿足上的位移邊界條件，再滿足位移變分方程，必然也可以找出對應(yīng)于實際平衡狀態(tài)的位解答。結(jié)論⑶由此得出一種變分解法，即預(yù)先使位

1.微分和變分各是由什么原因引起的？2.試導出式(u)。3.試比較4.中變分方程

(1)-(5)的不同的物理解釋。4.試證明二階變分。思考題1.微分和變分各是由什么原因引起的？思考題

位移變分法是取位移為基本未知函數(shù)的。位移函數(shù)應(yīng)預(yù)先滿足上的位移邊界條件，然后再滿足位移變分方程?！?-6位移變分法位移變分法是取位移為基本未知函數(shù)的?！?-6位移(a)瑞利-里茨法（1）因位移函數(shù)是未知的，在變分法中采用設(shè)定位移試函數(shù)的方法，令

1.瑞利-里茨法

(a)瑞利-里茨法（1）因位移函數(shù)是未知的，在變分法中采用其中和均為設(shè)定的x，y的函數(shù)，并在邊界上，令

（在上）（在上）(c)(b)瑞利-里茨法其中和均為設(shè)定的x，y的函數(shù)，并在邊界 ∴u，v已滿足了上的位移邊界條件。 而，用來反映位移狀態(tài)的變化， 故位移的變分為瑞利-里茨法(d) ∴u，v已滿足了上的位移邊界條件。瑞利-里茨法(d)瑞利-里茨法位移的變分通過，的變分來反映，故形變勢能的變分為（2）位移(a)還必須滿足位移變分方程瑞利-里茨法位移的變分通過，的變將式(d)，(f)代入(e)得因虛位移（位移變分）中的，是完全任意的、獨立的，為了滿足上式，必須:將式(d)，(f)代入(e)得因虛位移（位移變分）中的瑞利-里茨法式(g)是瑞利-里茨變分方程。它是關(guān)于，的線性代數(shù)方程組，由上式可解出，,從而得到位移的解答。瑞利-里茨法式(g)是瑞利-里茨變分方程。它是關(guān)于，

2.伽遼金法（1）設(shè)定位移試函數(shù)如式(a)所示，但令

u,v

不僅滿足上的位移邊界條件，而且也滿足上的應(yīng)力邊界條件（用u,v表示）。伽遼金法伽遼金法將位移的變分，（式(d)）代入，同樣由于，為完全任意的和獨立的變分，得到伽遼金法（2）于是，由§5-5中式(u)可見，由于上的應(yīng)力邊界條件已滿足，設(shè)定的位移只需滿足下列變分方程將位移的變分，（式(d)）代入，同樣由于將上式括號內(nèi)的應(yīng)力用位移來表示，得伽遼金變分方程:伽遼金法將上式括號內(nèi)的應(yīng)力用位移來表示，得伽遼金變分方程:伽遼金法 式(j)也是關(guān)于，的線性代數(shù)方程組，從上式解出，，便得到位移的解答。伽遼金法 式(j)也是關(guān)于，的線性代數(shù)方程伽遼金試從位移函數(shù)的設(shè)定，應(yīng)滿足的變分方程和求解的計算工作量等方面對瑞利-里茨法和伽遼金法進行比較。思考題試從位移函數(shù)的設(shè)定，應(yīng)滿足的變思考題例1

圖示矩形板a×b，在上邊及右邊受有均布壓力及，而左邊和下邊受有法向連桿的約束。§5-7位移變分法例題例1§5-7位移變分法例題

應(yīng)用瑞利-里茨法，設(shè)定位移滿足兩個約束邊界條件

例題(a)(b) 應(yīng)用瑞利-里茨法，設(shè)定位移例題(a)(b)其余的應(yīng)力邊界條件及平衡微分方程由下列變分方程代替（其中）：(c)對式(c)右邊的積分，應(yīng)包含所有的應(yīng)力邊界條件（當或處積分為0），例題其余的應(yīng)力邊界條件及平衡微分方程由下列變分方程代替（其中且其中的，應(yīng)代入相應(yīng)的邊界方程。將式(a)代入U，計算式(c)的左邊項。共建立兩個方程，求出和，得位移解答：例題(d)對于圖示的簡單問題，式(d)正好是其精確解。且其中的，應(yīng)代入相應(yīng)的邊界方程。將式(a)代入例題(e)例2本題全部為位移邊界條件：例題(e)例2本題全部為位移邊界條件：本題以y軸為對稱軸，∴

u應(yīng)為x的奇函數(shù),

v應(yīng)為x的偶函數(shù)。例題(f)設(shè)定位移勢函數(shù)為本題以y軸為對稱軸，∴例題(f)設(shè)定位移勢函數(shù)為位移(g)已滿足對稱性條件(f)和全部邊界條件(e)。因全部為位移邊界條件且均已滿足，∴從§5－5式(u)可見，也可應(yīng)用伽遼金變分法。例題位移(g)已滿足對稱性條件(f)和全部邊界條將位移(g)代入上式，求出得出的位移解答與書中用瑞利-里茨法給出的結(jié)果相同。因，故伽遼金變分方程為例題(h)將位移(g)代入上式，求出第五章例題例題1例題2例題3例題4例題5例題7例題6例題第五章例題例題1例題2例題3例題4例題5例題7例題6例題例題1設(shè)圖中的矩形域為，取網(wǎng)格間距為h=2m,布置網(wǎng)格如圖，各邊界點的已知溫度值（度）如圖所示，試求內(nèi)結(jié)點a,b的穩(wěn)定溫度值。ab40353025322224222017例題1設(shè)圖中的矩形域為，取網(wǎng)格間解：對a,b列出方程如下：解出解：對a,b列出方程如下：解出例題2用差分法計算圖中A和B點的應(yīng)力分量。FaBxy3aaaA.71（Z向厚度）F65例題2FaBxy3aaaA.71（Z向厚度）F65解：為反映對稱性，取A為基點。令

邊界點的應(yīng)力函數(shù)值：邊界點的導數(shù)值：

由上式及，求出邊界外一行虛結(jié)點的值：

解：為反映對稱性，取A為基點。令對1點列差分方程：代入各值，解出。再求出應(yīng)力分量：

對1點列差分方程：例題3

正方形的板塊，厚度，受一對集中力F的作用，如圖。試取，應(yīng)用差分法求解該問題的應(yīng)力分量。1098HGEDIJBAChhhh323414323111276xyh=l/4FF例題31098HGEDIJBAChhhh3234143231解：⑴本題具有的兩個對稱軸，為了反映對稱性，在y向外荷載作用下，取

網(wǎng)格結(jié)點編號如圖所示。

解：⑴本題具有的兩個對稱軸，為了反映對稱性，在y⑵計算各邊界結(jié)點處的、、值。在A點及J點，各取布置于兩側(cè)，以反映荷載的對稱性，按公式（其中即AB之間面力對B點的力矩，圖中以順時針方向為正）。⑵計算各邊界結(jié)點處的、、值。求出邊界上各結(jié)點的值，如下圖所示。 結(jié)點 A B CDEGHI J

00000000讀者可檢驗，上述的值反映了邊界結(jié)點和邊界外一行虛結(jié)點上值的對稱性。

F/2F/2F/2-Fh/2-Fh/2-Fh求出邊界上各結(jié)點的值，如下圖所示。F/2F/2F/2-Fh/⑶計算邊界外一行結(jié)點的值。由得到

由得到⑶計算邊界外一行結(jié)點的值。⑷對內(nèi)結(jié)點1、2、3、4分別列出下列類型的方程：0點：對結(jié)點1，對結(jié)點2，⑷對內(nèi)結(jié)點1、2、3、4分別列出下列類型對結(jié)點1，對結(jié)點3，對結(jié)點4，解出對結(jié)點3，解出⑸按照應(yīng)力公式及，求得AJ及EI截面上的應(yīng)力分量：⑸按照應(yīng)力公式例題4

試證明，在同樣的應(yīng)變分量，和下，平面應(yīng)變情況下單位厚度的形變勢能大于平面應(yīng)力情況下的形變勢能。例題例題4例題對于平面應(yīng)變情況，只需將上式中，變換為解：平面應(yīng)力情況下，單位厚度的形變勢能是：例題(a)對于平面應(yīng)變情況，只需將上式中，解：平面應(yīng)力情況下代入，得顯然，方括號內(nèi)將式⑴中的，都作為式(b)的變換，整理后得平面應(yīng)變情況下的形變勢能公式，

例題(c)代入，得例題(c)從式(c)可見，在平面應(yīng)變情況下，形變勢能中的第一、二、三項均大于平面應(yīng)力情況下的值，而第四項不變。因此，平面應(yīng)變的形變勢能大于平面應(yīng)力的形變勢能U。例題從式(c)可見，在平面應(yīng)變情況下，形變勢能中例題5圖中表示一板塊，受到鉛直方向均布拉力作用下發(fā)生拉伸變形，并使之兩端固定下來，若在其中切開一小口AB時，試說明板的形變勢能將發(fā)生什么變化？例題CDEFAB例題5圖中表示一板塊，受到鉛直方向均布拉力作用下發(fā)解：⑴當AB線切開時，AB線上的應(yīng)力趨于0。而形變勢能是正定的，，當這部應(yīng)力時，相應(yīng)的形變勢能也失去因此，板的總的形變勢能減少。 ⑵當AB線切開后，邊界CD和EF仍是固定的，我們可以比較兩種狀態(tài)：例題解：⑴當AB線切開時，AB線上的應(yīng)力趨于例題(b)AB線張開，出現(xiàn)裂紋。這是穩(wěn)定的平衡狀態(tài)。由于系統(tǒng)的穩(wěn)定平衡狀態(tài)與鄰近的狀態(tài)相比，總勢能處于極小值，而(a)、(b)兩種狀態(tài)的外力勢能不變，因此，(b)的形變勢能小于(a)，即形變勢能將減少。例題(a)AB切開后，仍然處于閉合狀態(tài)，不發(fā)生張開。這是不穩(wěn)定的平衡狀態(tài)；(b)AB線張開，出現(xiàn)裂紋。這是穩(wěn)定的平例題例題6單位厚度的深梁，兩側(cè)邊固定，上下邊受均布荷載q作用，如圖所示。試用位移變分法求解其位移。取，。題圖有錯：y=-b處的面力應(yīng)指向下。例題qyxbuvbaaoq例題6單位厚度的深梁，兩側(cè)邊固定，解：在圖示荷載作用下，深梁的位移應(yīng)對稱于x軸，而反對稱于y軸。因此，位移分量u應(yīng)為、的奇函數(shù)，而v為x、y的偶函數(shù)，xy如圖所示?？梢栽O(shè)定位移勢函數(shù)如下：解：在圖示荷載作用下，深梁的位移應(yīng)對稱于x軸，而反對稱于y軸上式已滿足兩端的約束邊界條件，以及對稱和反對稱性條件。以下按瑞利-里茨法進行計算。例題例題假設(shè)只取u，v中一項，即將u和v代入形變勢能公式（平面應(yīng)力問題），得：例題假設(shè)只取u，v中一項，即例題

在本題中體力，在邊界上只有的均布荷載，。由此，瑞利-里茨方程成為

例題再積分求U，例題再積分求U，邊界是，且，從到積分。再將U代入上式，得到兩個求的方程：邊界是，且當取，且時，上兩式方程簡化為由此解出,位移分量的解答是例題例題例題7圖中所示的薄板，厚度，三邊固定，一邊受到均布壓力q的作用。試用瑞利-里茨的位移變分法求解，其中取，。例題例題7圖中所示的薄板，厚度，三邊固定aabxyqaabxyq解：在瑞利-里茨法中，設(shè)定位移試函數(shù)應(yīng)滿足位移邊界條件，并應(yīng)反映圖示問題的對稱性。取解：在瑞利-里茨法中，設(shè)定位移試函數(shù)應(yīng)滿足位移邊界條件上式已反映了位移對稱于y軸的要求：v為x的偶函數(shù)，u為x的奇函數(shù)。僅取各一項進行運算，由于體力，面力只存在于AB邊（），因此求解的位移變分方程為：例題上式已反映了位移對稱于y軸的要求：v為x的例題當，且取泊松系數(shù)時，形變勢能簡化為將u、v代入,例題（a）（b）當，且取泊松系數(shù)時，形形變勢能U為將U及代入式(a)，(b)，得(c)(d)形變勢能U為將U及從式(c)、(d)解出例題于是得到位移分量，再求應(yīng)力分量，取，得：從式(c)、(d)解出例題于是得到位移分量，再求應(yīng)力分量例題在對稱軸上，x=0，,在邊界，,例題在對稱軸上，x=0，本題中，由于u，v中各只取一項，且取，因此，求出的位移解的精度較低；而由近似解的位移求應(yīng)力時，其應(yīng)力精度要降低一階，其精度更差些。對于實際問題，應(yīng)取更多的項數(shù)進行計算。本題中，由于u，v中各只取一項，且取

第五章教學參考資料

（一）本章學習重點及要求

1.彈性力學的基本解法是，根據(jù)靜力平衡條件，形變和位移之間的幾何條件和形變與應(yīng)力之間的物理條件建立微分方程和邊界條件，并由此求解應(yīng)力、形變和位移。從數(shù)學上看，彈性力學問題可化為微分方程的邊值問題，通過求解，得出函數(shù)式的精確解答。教學參考資料第五章教學參考資料 但是對于工程實際問題，由于荷載、邊界等較為復雜，難以求出函數(shù)式的解答。從彈性力學基本理論建立以來，為了解決工程實際問題，人們就探討了各種可供應(yīng)用的近似解法。彈性力學中最主要的近似解法是變分法、差分法和有限單元法分法。教學參考資料 但是對于工程實際問題，由于荷載、邊界等較為復雜，難

2.差分法是微分方程的一種近似數(shù)值解法。在差分法中，將連續(xù)函數(shù)用一些結(jié)點上的函數(shù)值來代替，并從而將微分方程及其邊界條件變換為差分(代數(shù))方程，使問題易于求解。在這種方法中，采用了將函數(shù)離散的手段。教學參考資料2.差分法是微分方程的一種近似數(shù)值解教學參考

3.變分法是彈性力學中另一獨立的求解方法。

在變分法中根據(jù)平衡狀態(tài)時的能量處于極小值的條件，建立變分方程，并進行求解。彈性力學中的變分方程和微分方程是互通的，可以互相導出。 由于變分法得出的常常是近似的解答，所以也將變分法歸入彈性力學的近似解法。

教學參考資料教學參考資料4.有限單元法是20世紀中期發(fā)展起來的彈性力學近似解法。在有限單元法中,首先將區(qū)域離散化，把連續(xù)體變換為離散化結(jié)構(gòu)；然后將連續(xù)體的能量極小值條件應(yīng)用到離散化結(jié)構(gòu)，從而建立求解的方法。有限單元法應(yīng)用計算機進行計算，可以有效地解決各種復雜的工程問題。教學參考資料4.有限單元法是20世紀中期發(fā)展起來教學參考資料

5.對于工程技術(shù)人員來講，這些彈性力學的近似解法，是用來解決實際問題的有效手段。因此，讀者不僅要理解，而且要能應(yīng)用這些近似解法。教學參考資料5.對于工程技術(shù)人員來講，這些彈性力學的近似

1.導數(shù)的差分公式拋物線差分公式,

線性向前差分公式,

線性向后差分公式,教學參考資料

（二）本章內(nèi)容提要教學參考資料（二）本章內(nèi)容提要邊界條件

教學參考資料

2.應(yīng)力函數(shù)的差分解法相容方程邊界條件教學參考資料2.應(yīng)力函數(shù)的差分解法應(yīng)力公式教學參考資料應(yīng)力公式教學參考資料

3.變分法是研究泛函及其極值的求解方法。

彈性力學中的位移變分法，是取位移函數(shù)為宗量，由總勢能處于極小值的條件來導出變分方程，然后進行求解的。以下列出平面應(yīng)力問題的有關(guān)變分公式及方程。教學參考資料3.變分法是研究泛函及其極值的求解方法。教學參考資料4.彈性體的功和能總勢能外力功外力勢能形變(內(nèi)力)勢能教學參考資料教學參考資料

5.在虛位移上彈性體的功和能

虛位移(位移變分),是在約束條件允許下，在平衡狀態(tài)附近的微小位移增量。虛位移狀態(tài)

其中u，v為實際平衡狀態(tài)下的位移。教學參考資料5.在虛位移上彈性體的功和能教學參考資料當虛位移發(fā)生時，外力的虛功外力勢能的變分形變勢能的變分教學參考資料當虛位移發(fā)生時，教學參考資料

6.變分方程⑴在封閉系統(tǒng)中，假定沒有非機械能的改變，也沒有動能的改變，則按照能量守恒定律，在虛位移過程中，形變勢能的增加應(yīng)等于外力勢能的減少，即上式也可以改用下列各形式表示和解釋。⑵位移變分方程教學參考資料6.變分方程教學參考資料⑶虛功方程⑷最小勢能原理

其中?；蛘弑硎緸?，教學參考資料⑶虛功方程教學參考資料⑸位移變分方程的又一形式教學參考資料⑸位移變分方程的又一形式教學參考資料

7.位移變分法⑴瑞利－里茨法：設(shè)定位移試函數(shù)，

預(yù)先滿足上的約束邊界條件，再滿足瑞利－里茨變分方程，教學參考資料7.位移變分法教學參考資料⑵伽遼金法：設(shè)定位移勢函數(shù)預(yù)先滿足上的約束邊界條件和上的應(yīng)力邊界條件，再滿足伽遼金變分方程，教學參考資料⑵伽遼金法：設(shè)定位移勢函數(shù)預(yù)先滿足教學參考資料

8.對變分法的簡單評價⑴位移變分法適用于具有各種邊界條件的問題，因此，它的適用范圍廣泛。⑵變分法中設(shè)定試函數(shù)時，一般總是局限于某種函數(shù)的范圍內(nèi)，不是完全任意的。因此，變分法得出的通常是近似解。⑶由于位移解答是近似的，在求導運算后要降低精度。因此在位移變分法中，應(yīng)力的精度低于位移的精度。教學參考資料8.對變分法的簡單評價教學參考資料⑷用變分法求解實際問題時，主要的難點在于：a.設(shè)定試函數(shù)必須預(yù)先滿足一定的邊界條件；b.當試函數(shù)中所取項數(shù)較多時，計算工作量很大。但與求解微分方程的解法相比，變分法具有更容易和更有可能地解決實際問題的能力。因此，變分法得到了廣泛的應(yīng)用。教學參考資料⑷用變分法求解實際問題時，主要的難點在于：教學參考資料例題第一節(jié)差分公式的推導第二節(jié)應(yīng)力函數(shù)的差分解第三節(jié)應(yīng)力函數(shù)差分解的實例第四節(jié)彈性體的形變勢能和外力勢能第五節(jié)位移變分方程第六節(jié)位移變分法習題的提示和答案教學參考資料第五章用差分法和變分法解平面問題第七節(jié)位移變分法例題例題第一節(jié)差分公式的推導第二節(jié)應(yīng)力函數(shù)的差分解第三節(jié)彈性力學的基本解法是，根據(jù)靜力平衡條件、形變與位移之間的幾何條件和形變與應(yīng)力之間的物理條件，建立微分方程和邊界條件。近似解法

因此，彈性力學問題屬于微分方程的邊值問題。通過求解，得出函數(shù)表示的精確解答。§5-1差分公式的推導彈性力學的基本解法是，根據(jù)靜力平衡條件、形變

對于工程實際問題，由于荷載和邊界較復雜，難以求出函數(shù)式的解答。為此，人們探討彈性力學的各種近似解法，主要有變分法、差分法和有限單元法。近似解法對于工程實際問題，由于荷載和邊界較復雜，難以

差分法是微分方程的一種數(shù)值解法。它不是去求解函數(shù)，而是求函數(shù)在一些結(jié)點上的值。 fxo差分法 差分法是微分方程的一種數(shù)值解法。它不是去求解函數(shù)

差分法的內(nèi)容是：差分法將微分方程用差分方程（代數(shù)方程）代替，于是，求解微分方程的問題化為求解差分方程的問題。將導數(shù)用有限差商來代替，將微分用有限差分來代替，差分法的內(nèi)容是：差分法將微分方程用差分方程（代數(shù)方

導數(shù)差分公式的導出：導數(shù)差分公式在平面彈性體上劃分等間距h的兩組網(wǎng)格，分別∥x、y軸。網(wǎng)格交點稱為結(jié)點，h稱為步長。 導數(shù)差分公式的導出：導數(shù)差分公式在平面彈性應(yīng)用泰勒級數(shù)公式將在點展開，(a)應(yīng)用泰勒級數(shù)公式將在點展開，(a)1、拋物線差分公式─略去式(a)中以上項，分別用于結(jié)點1、3，拋物線差分公式結(jié)點3：結(jié)點1：1、拋物線差分公式─略去式(a)中以上項，分別用拋物線差分公式式(b)又稱為中心差分公式，并由此可導出高階導數(shù)公式。從上兩式解出o點的導數(shù)公式，拋物線差分公式式(b)又稱為中心差分公式，并由此可導出高階導

應(yīng)用泰勒級數(shù)導出差分公式，可得出統(tǒng)一的格式，避免任意性，并可估計其誤差量級，式(b)的誤差為。拋物線差分公式應(yīng)用泰勒級數(shù)導出差分公式，可得出統(tǒng)一的格式，避免任意性2、線性差分公式─在式(a)中僅取一、二項時，誤差量級為。線性差分公式式(c)稱為向前差分公式。對結(jié)點1，得：2、線性差分公式─在式(a)中僅取一、二項時，誤差量級為對結(jié)點3，得：

式(d)稱為向后差分公式。

線性的向前或向后差分公式，主要用于對時間導數(shù)的公式中。線性的向前或向后差分公式，主要用于

穩(wěn)定溫度場中的溫度場函數(shù)T(x,y)應(yīng)滿足下列方程和邊界條件：

（在A中）, (a)

（在上）,

(b)

（在上）.

(c)例1 穩(wěn)定溫度場中的溫度場函數(shù)T(x,y)應(yīng)滿足下列方程和穩(wěn)定溫度場的基本方程(a)是拉普拉斯方程；在上的第一類邊界條件是已知邊界上的溫度值；在上的第二類邊界條件是已知熱流密度值，其中是導熱系數(shù)。穩(wěn)定溫度場的基本方程(a)是拉普拉斯方程；在上的第

現(xiàn)在我們將式(a)、(b)、(c)轉(zhuǎn)化為差分形式。應(yīng)用圖5－1網(wǎng)格，和拋物線差分公式，彈性力學簡明教程-第四版-徐芝綸第五章課件（1）將化為差分公式，得（2）若x邊界516上為第一類邊界條件，則已知。（3）若y邊界627上為第二類邊界條件，已知，則(d)（1）將化為差分公式，得(d)

由于所以得

這時，邊界點2的是未知的，對2點須列出式（d）的方程。此方程涉及到值，可將式（e）代入。(e)

由于所以得(e)

例2穩(wěn)定溫度場問題的差分解。設(shè)圖中的矩形域為6m×4m，取網(wǎng)格間距為h=2m，布置網(wǎng)格如圖，各邊界點的已知溫度值如圖所示，試求內(nèi)結(jié)點a、b的穩(wěn)定溫度值。ab40353025322224222017例2ab40353025322224222017解：對a、b列出方程如下：解出

（度）.（度）.1.比較導數(shù)的拋物線差分公式和線性差分公式的區(qū)別。2.應(yīng)用拋物線差分公式(5-2)，試導出三階導數(shù)的差分公式。思考題1.比較導數(shù)的拋物線差分公式和線性差分公式的區(qū)別。思考題對于單連體，按應(yīng)力函數(shù)求解時，應(yīng)滿足:§5-2應(yīng)力函數(shù)的差分解按求解對于單連體，按應(yīng)力函數(shù)求解時，應(yīng)滿足:§5（3）求出后，由下式求應(yīng)力（假設(shè)無體力）:

按求解按求解差分法求解1.應(yīng)力公式(c)的差分表示。對于o點，

差分法求解：差分法求解1.應(yīng)力公式(c)的差分表示。對于o點，差分法求相容方程(e)化為：對每一內(nèi)結(jié)點，為未知，均應(yīng)列出式(e)的方程。2.相容方程(a)的差分表示，相容方程(e)化為：對每一內(nèi)結(jié)點，為對邊界內(nèi)一行結(jié)點列式(e)方程時，需要求出邊界點和邊界外一行結(jié)點（虛結(jié)點）的值。 為了求虛結(jié)點的值，需要求出邊界點的、值。相容方程相容方程

3.應(yīng)用應(yīng)力邊界條件(b)，求出邊界點的、、值。邊界條件 3.應(yīng)用應(yīng)力邊界條件(b)，求出邊界點的、、⑴應(yīng)力邊界條件用表示取出坐標的正方向作為邊界線s的正向（圖中為順時針向），當移動時，為正，而為負，∴外法線的方向余弦為邊界條件⑴應(yīng)力邊界條件用表示邊界條件(f)邊界條件即將上式和式(d)代入式(b)，得(f)邊界條件即將上式和式(d)代入式(b)，得邊界條件式(f)、(g)分別是應(yīng)力邊界條件的微分、積分形式。再將式(f)對s積分，從固定的基點A到邊界任一點B，得邊界條件式(f)、(g)分別是應(yīng)力邊界條件的微分、積分形通過分部積分從A到B積分，得邊界條件(h)⑵由全微分求邊界點的

通過分部積分邊界條件(h)⑵由全微分⑶∵A為定點，、和、、均為常數(shù)，而式(h)中，加減x，y的一次式不影響應(yīng)力，∴可取 故邊界結(jié)點的和導數(shù)值，由式(g)、(h)簡化為邊界條件⑶∵A為定點，、和、

式(i)的物理意義是：第一式表示從A到B邊界上x向面力的主矢量；第二式表示從A到B邊界上y向面力的主矢量改號;第三式表示從A到B邊界上面力對B點的力距，圖中以順時針向為正。因此，可以按物理意義直接求邊界條件和式(i)的物理意義是：邊界條件和⑷由式(i)的第三式，可求出邊界點的值;由式(i)的前兩式，可求出邊界點的、值，然后再求出邊界外一行虛結(jié)點的值。邊界條件⑷由式(i)的第三式，可求出邊界點的邊界（1）在邊界上選定基點A，令，然后計算邊界上各結(jié)點的、、；求解步驟（2）由邊界結(jié)點的、值，求出邊界外一行虛結(jié)點的值；4.應(yīng)力函數(shù)差分解的步驟（1）在邊界上選定基點A，求解步驟（2）由邊界結(jié)點的（3）對邊界內(nèi)所有結(jié)點列式(e)的方程，聯(lián)立求各結(jié)點的值；求解步驟（5）按式(d)求各結(jié)點的應(yīng)力。（4）求出邊界外一行虛結(jié)點的值；（3）對邊界內(nèi)所有結(jié)點列式(e)的方程，求解步驟（5）按思考題1、將應(yīng)力函數(shù)看成是覆蓋于區(qū)域A和邊界s上的一個曲面，則在邊界上，各點的值與從A（基點）到B面力的合力距有關(guān)，的一階導數(shù)值與A到B的面力的合力（主矢量）有關(guān)；而在區(qū)域內(nèi)，應(yīng)力分量與曲面的曲率、扭率有關(guān)。思考題§5－3應(yīng)力函數(shù)差分解的實例問題

此題無函數(shù)式解答。應(yīng)用差分法求解。

正方形深梁,上邊受均布荷載，下邊兩角點處有支承反力維持平衡，試求其應(yīng)力?！?－3應(yīng)力函數(shù)差分解的實例問題此題無函數(shù)式解1.本題具有對稱性，取y軸如圖，并取以反映對稱性。取網(wǎng)格如圖。取網(wǎng)格如圖。 首先考慮對稱性，可以減少未知值數(shù)目，并大量減少計算工作量。 按照物理意義，求出邊界點上的和其導數(shù)值（如書中所示）：

首先考慮對稱性，可以減少未知值數(shù)目，并大量減少計算工─AB間y向面力主矢量號，─AB間x向面力主矢量，

─AB間面力對B點力矩，注意符號為正.

5.求出應(yīng)力，如AM線上各點應(yīng)力，并繪出分布圖。4.求出邊界外一行虛結(jié)點的

值。3.對每一內(nèi)點列差分方程，求出。2.由邊界點的導數(shù)值，求出邊界外一行

虛結(jié)點的值。5.求出應(yīng)力，如AM線上各點應(yīng)力，并繪4.求出邊

比較：材料力學解─AM上為直線分布，彈性力學解─AM上為曲線分布，

由此又說明，材料力學解法只適用于桿件。比較比較：比較

（1）差分法是解微分方程邊值問題和彈性力學問題的有效方法。（2）差分法簡便易行，且總能求出解答。（3）差分法可配合材料力學、結(jié)構(gòu)力學解法，精確地分析結(jié)構(gòu)的局部應(yīng)力狀 態(tài)。

差分法優(yōu)點：差分法評價 差分法優(yōu)點：差分法評價（1）對于曲線邊界和不等間距網(wǎng)格的計算較麻煩。（2）差分法比較適用于平面問題或二維問題。（3）凡是近似解，在求導運算時會降低精度。如的誤差為，則應(yīng)力的誤差為。

缺點：差分法評價（1）對于曲線邊界和不等間距網(wǎng)格的計算缺點：差分法評思考題：1.試用線性向前或向后差分公式，導出的差分方程。a（Z向厚度）AyB2FFFxaaa2.用差分法計算圖中A點的應(yīng)力分量。思考題：a（Z向厚度）AyB2FFFxaaa2.用差§5－4彈性體的形變勢能

外力勢能彈性力學變分法，又稱為能量法。因其中的泛函就是彈性體的能量。泛函─是以函數(shù)為自變量（宗量）的一種函數(shù)。變分法，是研究泛函及其極值的求解方法?！?－4彈性體的形變勢能

外力勢能彈性力應(yīng)力變分法─取應(yīng)力函數(shù)為自變量，并以余能極小值條件導出變分方程。本章只介紹位移變分法。位移變分法─取位移函數(shù)為自變量，并以勢能極小值條件導出變分方程。彈性力學變分法，是區(qū)別于微分方程邊值問題的另一種獨立解法。其中分為：應(yīng)力變分法─取應(yīng)力函數(shù)為自變量，并以位移變分法─取位移函外力勢能─外力做了功，必然消耗了相同值的勢能。當取時的外力功和能為零，則：(b)外力功和外力勢能1.彈性體上的外力功和外力勢能外力功：外力勢能─外力做了功，必然消耗了相同值的勢能。當取形變勢能（2）∵應(yīng)力和應(yīng)變均從0增長到，故單位體積上，應(yīng)力所做的功是非線性關(guān)系─線性關(guān)系─（1）作用于微小單元上的應(yīng)力，是鄰近部分物體對它的作用力，可看成是作用于微小單元上的“外力”。2.應(yīng)力的功和形變勢能（內(nèi)力勢能）形變勢能（2）∵應(yīng)力和應(yīng)變均從0增長到，（線性的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系非線性的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系線性的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系非線性的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系（3）對于平面應(yīng)力問題或平面應(yīng)變問題