第三章-微分形式的基本方程課件

B3.1微分形式的質(zhì)量守恒方程B3.1.1流體運(yùn)動(dòng)的連續(xù)性原理

不可壓縮流體流進(jìn)控制體的質(zhì)量應(yīng)等于流出控制體的質(zhì)量，

稱其為流體運(yùn)動(dòng)的連續(xù)性原理。

17世紀(jì)，哈維發(fā)現(xiàn)人體血液循環(huán)理論

質(zhì)量守恒在易變形的流體中的體現(xiàn)——流動(dòng)連續(xù)性。

歷史上對(duì)連續(xù)性的認(rèn)識(shí)古

代，漏壺、水流計(jì)時(shí)16世紀(jì)，達(dá)·芬奇指出河水流速與河橫截面積成反比18世紀(jì)，達(dá)朗貝爾推導(dǎo)不可壓縮流體微分形式連續(xù)性方程B3.1.1流體運(yùn)動(dòng)的連續(xù)性原理(2-1)B3.1微分形式的質(zhì)量守恒方程B3.1.1流體運(yùn)動(dòng)的1B3.1.1流體運(yùn)動(dòng)的連續(xù)性(2-2)17世紀(jì)哈維：血液循環(huán)理論

解剖發(fā)現(xiàn)：從心臟到動(dòng)脈末端血液?jiǎn)蜗?/p>

流動(dòng)，從靜脈末端到心臟也

是單向流動(dòng)

定量測(cè)量：每小時(shí)流出心臟血液245kg

大膽預(yù)言：從動(dòng)脈到靜脈再回心臟

45年后發(fā)現(xiàn)：毛細(xì)血管的存在血液循環(huán)理論——流體連續(xù)性原理的勝利血液循環(huán)圖B3.1.1流體運(yùn)動(dòng)的連續(xù)性(2-2)17世紀(jì)哈維：血液2B3.1.2微分形式的連續(xù)性方程

x，y，z方向凈流出質(zhì)量為因密度變化引起的質(zhì)量減少為由質(zhì)量守恒定律單位時(shí)間單位體積內(nèi)邊長(zhǎng)為,,的長(zhǎng)方體控制體元，內(nèi)x方向凈流出的質(zhì)量B3.1.2微分形式的連續(xù)性方程(2-1)B3.1.2微分形式的連續(xù)性方程x，y，z方向凈流出質(zhì)3B3.1.2微分形式的連續(xù)性方程(2-2)用場(chǎng)量公式并運(yùn)用質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)概念，微分形式連續(xù)性方程為或改寫為：左邊代表一點(diǎn)鄰域內(nèi)流體體積的相對(duì)膨脹速率，右邊代表密度相對(duì)減少率。連續(xù)性方程適用于任何同種流體。不可壓縮流體連續(xù)性方程B3.1.2微分形式的連續(xù)性方程(2-2)用場(chǎng)量公式并運(yùn)4[例B3.1.2]

不可壓縮流動(dòng)連續(xù)性方程

已知：不可壓縮流體平面流動(dòng)（C為常數(shù)）求：

v

解：

由不可壓縮流動(dòng)連續(xù)性方程的二維形式可得（B3.1.11）當(dāng)f(x)=0，表示位于原點(diǎn)的點(diǎn)渦流動(dòng)；當(dāng)f(x)=U，表示點(diǎn)渦流疊加y方向速度為U的均流；討論：本例說(shuō)明對(duì)不可壓縮流動(dòng)，任一點(diǎn)的各速度分量不能是任意的,而是受到（B3.1.11）式制約的。[例B3.1.2]不可壓縮流動(dòng)連續(xù)性方程已知：不可壓縮流5B3.2作用在流體元上的力B3.2.1體積力和表面力1.體積力長(zhǎng)程力穿越空間作用到流體元上萬(wàn)有引力電磁力慣性力與流體元體積成正比體積力單位質(zhì)量流體上的體積力單位體積流體上的體積力B3.2.1體積力和表面力(2-1)B3.2作用在流體元上的力B3.2.1體積力和表面力16B3.2.1體積力和表面力(2-2)2.表面力短程力通過(guò)接觸面作用壓強(qiáng)粘性切應(yīng)力與表面面積和方位有關(guān)表面力表面力定義：作用在單位平面面積元上的短程力。n——面積元外法線單位矢－n——面積元內(nèi)法線單位矢（注意：

和不一定與垂直）B3.2.1體積力和表面力(2-2)2.表面力短程力通過(guò)接7B3.2.2重力場(chǎng)在直角坐標(biāo)系的重力場(chǎng)中稱為重力勢(shì)，代表單位質(zhì)量流體具有的重力勢(shì)能B3.2.2重力場(chǎng)B3.2.2重力場(chǎng)在直角坐標(biāo)系的重力場(chǎng)中稱為重力勢(shì)，代表8B3.2.3應(yīng)力場(chǎng)1.運(yùn)動(dòng)粘性流體中的應(yīng)力狀態(tài)一點(diǎn)的表面應(yīng)力用過(guò)該點(diǎn)三個(gè)坐標(biāo)面上三組表面力分量唯一確定應(yīng)力狀態(tài)與作用力的大小、方向、作用面方位有關(guān)上的應(yīng)力分量為上的應(yīng)力分量為上的應(yīng)力分量為B3.2.3應(yīng)力場(chǎng)(4-1)應(yīng)力矩陣B3.2.3應(yīng)力場(chǎng)1.運(yùn)動(dòng)粘性流體中的應(yīng)力狀態(tài)一點(diǎn)的表面9作用在任意方位面元上的表面應(yīng)力表面應(yīng)力的分量式B3.2.3應(yīng)力場(chǎng)(4-2)作用在外法矢沿x軸向的面積元dAx上三個(gè)應(yīng)力分量如圖示作用在任意方位面元上的表面應(yīng)力表面應(yīng)力的分量式B3.2.310B3.2.3應(yīng)力場(chǎng)(4-3)2.靜止流體中的應(yīng)力狀態(tài)靜止流體的應(yīng)力狀態(tài)結(jié)論：靜止流體中一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)只用一個(gè)標(biāo)量靜壓強(qiáng)p表示.只有法向應(yīng)力無(wú)切應(yīng)力B3.2.3應(yīng)力場(chǎng)(4-3)2.靜止流體中的應(yīng)力狀態(tài)靜止11B3.2.3應(yīng)力場(chǎng)(4-4)3.應(yīng)力的常用表達(dá)式運(yùn)動(dòng)粘性流體中的(平均)壓強(qiáng)在法向應(yīng)力中把壓強(qiáng)分離出來(lái)為附加法向應(yīng)力分量（與流體元線應(yīng)變率有關(guān)）壓強(qiáng)矩陣偏應(yīng)力矩陣應(yīng)力矩陣表示為B3.2.3應(yīng)力場(chǎng)(4-4)3.應(yīng)力的常用表達(dá)式運(yùn)動(dòng)粘性12[例B3.2.3]

平面線性剪切流中的應(yīng)力狀態(tài)

已知：平面線性剪切流求：

應(yīng)力狀態(tài)

解:附加法向應(yīng)力切應(yīng)力討論：附加法向應(yīng)力與該方向的線應(yīng)變率有關(guān)，平面線性剪切流中任一點(diǎn)處在x、y方向的線應(yīng)變率均為零，因此相應(yīng)的附加法向應(yīng)力也均為零，x,y方向的法向應(yīng)力均等于平衡壓強(qiáng)；粘性切應(yīng)力則在全流場(chǎng)保持常數(shù)。

法向應(yīng)力（k為常數(shù)）[例B3.2.3]平面線性剪切流中的應(yīng)力狀態(tài)已知：平面線13[例B3.2.3A]

剛體旋轉(zhuǎn)流動(dòng):純旋轉(zhuǎn)(2-1)

已知：二維不可壓縮平面流場(chǎng)為求：

試分析該流場(chǎng)中的應(yīng)力狀態(tài)

（k為常數(shù)）解：附加法向應(yīng)力[例B3.2.3A]剛體旋轉(zhuǎn)流動(dòng):純旋轉(zhuǎn)(2-1)已知：14流體中任一點(diǎn)的法向應(yīng)力為

切向應(yīng)力為討論：（1）線應(yīng)變率處處為零，附加法向應(yīng)力為零，全流場(chǎng)的法向應(yīng)力均等于平衡壓強(qiáng)。（2）角變形率也處處為零，全流場(chǎng)的粘性切應(yīng)力為零，流體和剛體一樣作定軸旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)。[例B3.2.3A]

剛體旋轉(zhuǎn)流動(dòng):純旋轉(zhuǎn)(2-2)

流體中任一點(diǎn)的法向應(yīng)力為切向應(yīng)力為討論：（1）線應(yīng)變率處處15B3.3微分形式的動(dòng)量方程按牛頓第二定律，長(zhǎng)方體流體元的運(yùn)動(dòng)方程為各面元上

x方向表面應(yīng)力的分量如圖示。B3.3微分形式的動(dòng)量方程(2-1)

表面力合力

dFsx

由應(yīng)力梯度造成B3.3微分形式的動(dòng)量方程按牛頓第二定律，長(zhǎng)方體流體元的運(yùn)16x方向的體積力分量為將dFsx和dFbx代入運(yùn)動(dòng)方程，并利用和質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)概念，可化為同理可得上式稱為粘性流體運(yùn)動(dòng)一般微分方程，適用于任何流體。

B3.3微分形式的動(dòng)量方程(2-2)x方向的體積力分量為將dFsx和dFbx代入運(yùn)動(dòng)方程，并利17B3.4納維－斯托克斯方程斯托克斯假設(shè)：1.將牛頓粘性定律從一維推廣到三維；2.流體各向同性；3.靜止時(shí)法向應(yīng)力等于靜壓強(qiáng)。均代入粘性流體運(yùn)動(dòng)一般微分方程對(duì)牛頓流體（μ＝常數(shù)）B3.4納維－斯托克斯方程(4-1)

不可壓縮條件（ρ＝常數(shù)）B3.4納維－斯托克斯方程斯托克斯假設(shè)：1.將牛頓粘性定18B3.4納維－斯托克斯方程(4-2)

可得均質(zhì)不可壓縮牛頓流體的納維-斯托克斯方程(N－S方程)N－S方程的適用條件是：常數(shù)常數(shù)，B3.4納維－斯托克斯方程(4-2)可得均質(zhì)不可壓縮牛19B3.4納維－斯托克斯方程(4-3)

N－S方程的矢量式為N－S方程的意義和求解：

物理意義是：慣性力與體積力、壓力、粘性力平衡

u、v、w、p，方程組是封閉的；加上連續(xù)性方程，四個(gè)方程求解四個(gè)未知數(shù)在邊界條件較簡(jiǎn)單時(shí)可求解析解;在邊界條件較復(fù)雜時(shí)可求數(shù)值解;對(duì)不同的流動(dòng)專題可作不同程度的簡(jiǎn)化（見(jiàn)專題篇）。

B3.4納維－斯托克斯方程(4-3)N－S方程的矢量式20B3.4納維－斯托克斯方程(4-4)N－S方程＝－＋－－平衡方程相對(duì)平衡方程歐拉方程－慣性力體積力＝粘性力＋＝＝＝＋壓力00B3.4納維－斯托克斯方程(4-4)N－S方程＝－＋－21B3.5邊界條件與初始條件1.常見(jiàn)邊界條件(1)固體壁面粘性流體：不滑移條件(圖a)無(wú)粘性流體：法向速度連續(xù)(圖b)v=v固

vn=v

n固

(2)外流無(wú)窮遠(yuǎn)條件v=v∞，

p=p∞

B3.5邊界條件與初始條件

(2-1)B3.5邊界條件與初始條件1.常見(jiàn)邊界條件(1)固體壁面22(3)內(nèi)流出入口條件v

=vin

(out)，

p

=pin(out)

(4)自由面條件2.初始條件定常流時(shí)無(wú)初始條件不定常流時(shí)給出某時(shí)刻的參數(shù)值：v(t0),p(t0),ρ

(t0)

等B3.5邊界條件與初始條件(2-2)

(3)內(nèi)流出入口條件v=vin(out)，p23[例B3.5.1A]

沿斜坡的重力粘性層流(3-1)已知：不可壓牛頓流體在重力作用下沿斜坡(θ)作定常層流流動(dòng)，流層 深h，自由面上為大氣壓（p＝0）。(a)求：(1)速度分布(2)壓強(qiáng)分布(3)切應(yīng)力分布(4)流量

解：在圖示坐標(biāo)系中連續(xù)性方程和N－S方程為(b)(c)[例B3.5.1A]沿斜坡的重力粘性層流(3-1)已知：不24[例B3.5.1A]

沿斜坡的重力粘性層流(3-2)因v＝0，由（a）式由（c）式由邊界條件(1):y=h,p=0,C(x)=,壓強(qiáng)分布為且，由(b)式積分兩次[例B3.5.1A]沿斜坡的重力粘性層流(3-2)因v＝025流量

速度分布為討論：壓強(qiáng)和切應(yīng)力為線性分布，速度分布為y的二次函數(shù)，流量為h的三次函數(shù)。

切應(yīng)力分布[例B3.5.1A]

沿斜坡的重力粘性層流(3-3)由邊界條件(2):y=0,u=0

可得

C2

=0由邊界條件(3):y=b,流量速度分布為討論：壓強(qiáng)和切應(yīng)力為線性分布，速度分布為y的26B3.6壓強(qiáng)場(chǎng)由N－S方程粘性流動(dòng)＋＝絕對(duì)平衡相對(duì)平衡無(wú)粘性流動(dòng)＝＝＋＝B3.6壓強(qiáng)場(chǎng)

＋＋B3.6壓強(qiáng)場(chǎng)由N－S方程粘性流動(dòng)＋＝絕對(duì)平衡相對(duì)平衡無(wú)粘27B3.6.1靜止重力流體中的壓強(qiáng)分布均質(zhì)靜止流體ρ=常數(shù)，u＝v＝w＝0在重力場(chǎng)中上式說(shuō)明：z方向壓強(qiáng)梯度由單位體積流體的重力決定。積分可得B3.6.1靜止重力流體中的壓強(qiáng)分布

(3-1)1.壓強(qiáng)分布一般表達(dá)式由N-S方程可得B3.6.1靜止重力流體中的壓強(qiáng)分布均質(zhì)靜止流體28B3.6.1靜止重力流體中的壓強(qiáng)分布(3-2)2.具有自由液面的重力液體壓強(qiáng)公式為自由面上的壓強(qiáng)，h為淹深(1)在垂直方向壓強(qiáng)與淹深成線性關(guān)系(2)在水平方向壓強(qiáng)保持常數(shù)B3.6.1靜止重力流體中的壓強(qiáng)分布(3-2)2.具有自由29B3.6.1靜止重力流體中的壓強(qiáng)分布(3-3)3.等壓面在連通的同種流體中的等壓強(qiáng)面稱為等壓面。在靜止重力流體中的等壓面為水平面h＝常數(shù)右圖中3－3為等壓面非等壓面1－1為不連通液體2－2為不同液體B3.6.1靜止重力流體中的壓強(qiáng)分布(3-3)3.等壓面在30[例B3.6.1]

靜壓強(qiáng)分布圖[例B3.6.1]靜壓強(qiáng)分布圖31B3.6.2壓強(qiáng)計(jì)示方式與單位壓強(qiáng)計(jì)示方式習(xí)慣上取壓強(qiáng)基準(zhǔn)真空度

完全真空絕對(duì)壓強(qiáng)表壓強(qiáng)大氣壓強(qiáng)B3.6.2壓強(qiáng)計(jì)算方法與單位(2-1)由壓強(qiáng)公式p0提供壓強(qiáng)基準(zhǔn)B3.6.2壓強(qiáng)計(jì)示方式與單位壓強(qiáng)計(jì)示方式習(xí)慣上取壓強(qiáng)基準(zhǔn)32B3.6.2壓強(qiáng)計(jì)算方法與單位(2-2)

2.壓強(qiáng)單位標(biāo)準(zhǔn)大氣壓atm(標(biāo)準(zhǔn)國(guó)際大氣模型)液柱高：?國(guó)際單位制（SI）：帕斯卡Pa

毫米汞柱mmHg（血壓計(jì)）米水柱mH2O

（水頭高）測(cè)壓管高度

h=pA/ρgB3.6.2壓強(qiáng)計(jì)算方法與單位(2-2)2.壓強(qiáng)單位標(biāo)33[例B3.6.2]

單管測(cè)壓計(jì)（2－1）已知：圖示密封容器中液體(ρ),在A點(diǎn)接上單管測(cè)壓計(jì)求：

與測(cè)壓管高度h的關(guān)系解：(表壓強(qiáng))h為被測(cè)點(diǎn)的淹深，稱為測(cè)壓管高度.討論：液面在壓強(qiáng)推動(dòng)下上升至h高度，壓強(qiáng)勢(shì)能轉(zhuǎn)化為重力勢(shì)能。

壓強(qiáng)勢(shì)能重力勢(shì)能[例B3.6.2]單管測(cè)壓計(jì)（2－1）已知：圖示密封容器中34[例B3.6.2]

U形管測(cè)壓計(jì)（2－2）解：沿U形管右支液面取等壓面，列平衡方程已知：圖示封閉容器中為水,U形管水銀測(cè)壓計(jì) 中Δh

=10cm求：

(,表壓強(qiáng)真空壓強(qiáng)絕對(duì)壓強(qiáng)）[例B3.6.2]U形管測(cè)壓計(jì)（2－2）解：沿U形管右支35[例B3.6.2A]

U形管差壓計(jì)解：沿U形管左支液面取等壓面1－1已知：圖示盛滿水封閉容器高差, U形管水銀測(cè)壓計(jì)中液面差Δh

=10cm求：

(,表壓強(qiáng)絕對(duì)壓強(qiáng)）[例B3.6.2A]U形管差壓計(jì)解：沿U形管左支液面取等36B3.6.3運(yùn)動(dòng)流場(chǎng)中的壓強(qiáng)分布?jí)簭?qiáng)系數(shù)1.慣性力對(duì)壓強(qiáng)分布的影響p0，v0為參考值，對(duì)外流場(chǎng)取p∞，v∞

B3.6.3運(yùn)動(dòng)流場(chǎng)中的壓強(qiáng)分布

(3-1)文丘里管流動(dòng)B3.6.3運(yùn)動(dòng)流場(chǎng)中的壓強(qiáng)分布?jí)簭?qiáng)系數(shù)1.慣性力對(duì)壓強(qiáng)37B3.6.3運(yùn)動(dòng)流場(chǎng)中的壓強(qiáng)分布無(wú)粘流場(chǎng)壓強(qiáng)分布靜止流場(chǎng)壓強(qiáng)分布2.粘性力對(duì)壓強(qiáng)分布的影響B(tài)3.6.3運(yùn)動(dòng)流場(chǎng)中的壓強(qiáng)分布(3-2)

B3.6.3運(yùn)動(dòng)流場(chǎng)中的壓強(qiáng)分布無(wú)粘流場(chǎng)靜止流場(chǎng)壓強(qiáng)38B3.6.3運(yùn)動(dòng)流場(chǎng)中的壓強(qiáng)分布汽車與飛機(jī)繞流B3.6.3運(yùn)動(dòng)流場(chǎng)中的壓強(qiáng)分布(3-3)

3.復(fù)雜物面的壓強(qiáng)分布B3.6.3運(yùn)動(dòng)流場(chǎng)中的壓強(qiáng)分布汽車與飛機(jī)繞流B3.6.39B3.1微分形式的質(zhì)量守恒方程B3.1.1流體運(yùn)動(dòng)的連續(xù)性原理

不可壓縮流體流進(jìn)控制體的質(zhì)量應(yīng)等于流出控制體的質(zhì)量，

稱其為流體運(yùn)動(dòng)的連續(xù)性原理。

17世紀(jì)，哈維發(fā)現(xiàn)人體血液循環(huán)理論

質(zhì)量守恒在易變形的流體中的體現(xiàn)——流動(dòng)連續(xù)性。

歷史上對(duì)連續(xù)性的認(rèn)識(shí)古

代，漏壺、水流計(jì)時(shí)16世紀(jì)，達(dá)·芬奇指出河水流速與河橫截面積成反比18世紀(jì)，達(dá)朗貝爾推導(dǎo)不可壓縮流體微分形式連續(xù)性方程B3.1.1流體運(yùn)動(dòng)的連續(xù)性原理(2-1)B3.1微分形式的質(zhì)量守恒方程B3.1.1流體運(yùn)動(dòng)的40B3.1.1流體運(yùn)動(dòng)的連續(xù)性(2-2)17世紀(jì)哈維：血液循環(huán)理論

解剖發(fā)現(xiàn)：從心臟到動(dòng)脈末端血液?jiǎn)蜗?/p>

流動(dòng)，從靜脈末端到心臟也

是單向流動(dòng)

定量測(cè)量：每小時(shí)流出心臟血液245kg

大膽預(yù)言：從動(dòng)脈到靜脈再回心臟

45年后發(fā)現(xiàn)：毛細(xì)血管的存在血液循環(huán)理論——流體連續(xù)性原理的勝利血液循環(huán)圖B3.1.1流體運(yùn)動(dòng)的連續(xù)性(2-2)17世紀(jì)哈維：血液41B3.1.2微分形式的連續(xù)性方程

x，y，z方向凈流出質(zhì)量為因密度變化引起的質(zhì)量減少為由質(zhì)量守恒定律單位時(shí)間單位體積內(nèi)邊長(zhǎng)為,,的長(zhǎng)方體控制體元，內(nèi)x方向凈流出的質(zhì)量B3.1.2微分形式的連續(xù)性方程(2-1)B3.1.2微分形式的連續(xù)性方程x，y，z方向凈流出質(zhì)42B3.1.2微分形式的連續(xù)性方程(2-2)用場(chǎng)量公式并運(yùn)用質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)概念，微分形式連續(xù)性方程為或改寫為：左邊代表一點(diǎn)鄰域內(nèi)流體體積的相對(duì)膨脹速率，右邊代表密度相對(duì)減少率。連續(xù)性方程適用于任何同種流體。不可壓縮流體連續(xù)性方程B3.1.2微分形式的連續(xù)性方程(2-2)用場(chǎng)量公式并運(yùn)43[例B3.1.2]

不可壓縮流動(dòng)連續(xù)性方程

已知：不可壓縮流體平面流動(dòng)（C為常數(shù)）求：

v

解：

由不可壓縮流動(dòng)連續(xù)性方程的二維形式可得（B3.1.11）當(dāng)f(x)=0，表示位于原點(diǎn)的點(diǎn)渦流動(dòng)；當(dāng)f(x)=U，表示點(diǎn)渦流疊加y方向速度為U的均流；討論：本例說(shuō)明對(duì)不可壓縮流動(dòng)，任一點(diǎn)的各速度分量不能是任意的,而是受到（B3.1.11）式制約的。[例B3.1.2]不可壓縮流動(dòng)連續(xù)性方程已知：不可壓縮流44B3.2作用在流體元上的力B3.2.1體積力和表面力1.體積力長(zhǎng)程力穿越空間作用到流體元上萬(wàn)有引力電磁力慣性力與流體元體積成正比體積力單位質(zhì)量流體上的體積力單位體積流體上的體積力B3.2.1體積力和表面力(2-1)B3.2作用在流體元上的力B3.2.1體積力和表面力145B3.2.1體積力和表面力(2-2)2.表面力短程力通過(guò)接觸面作用壓強(qiáng)粘性切應(yīng)力與表面面積和方位有關(guān)表面力表面力定義：作用在單位平面面積元上的短程力。n——面積元外法線單位矢－n——面積元內(nèi)法線單位矢（注意：

和不一定與垂直）B3.2.1體積力和表面力(2-2)2.表面力短程力通過(guò)接46B3.2.2重力場(chǎng)在直角坐標(biāo)系的重力場(chǎng)中稱為重力勢(shì)，代表單位質(zhì)量流體具有的重力勢(shì)能B3.2.2重力場(chǎng)B3.2.2重力場(chǎng)在直角坐標(biāo)系的重力場(chǎng)中稱為重力勢(shì)，代表47B3.2.3應(yīng)力場(chǎng)1.運(yùn)動(dòng)粘性流體中的應(yīng)力狀態(tài)一點(diǎn)的表面應(yīng)力用過(guò)該點(diǎn)三個(gè)坐標(biāo)面上三組表面力分量唯一確定應(yīng)力狀態(tài)與作用力的大小、方向、作用面方位有關(guān)上的應(yīng)力分量為上的應(yīng)力分量為上的應(yīng)力分量為B3.2.3應(yīng)力場(chǎng)(4-1)應(yīng)力矩陣B3.2.3應(yīng)力場(chǎng)1.運(yùn)動(dòng)粘性流體中的應(yīng)力狀態(tài)一點(diǎn)的表面48作用在任意方位面元上的表面應(yīng)力表面應(yīng)力的分量式B3.2.3應(yīng)力場(chǎng)(4-2)作用在外法矢沿x軸向的面積元dAx上三個(gè)應(yīng)力分量如圖示作用在任意方位面元上的表面應(yīng)力表面應(yīng)力的分量式B3.2.349B3.2.3應(yīng)力場(chǎng)(4-3)2.靜止流體中的應(yīng)力狀態(tài)靜止流體的應(yīng)力狀態(tài)結(jié)論：靜止流體中一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)只用一個(gè)標(biāo)量靜壓強(qiáng)p表示.只有法向應(yīng)力無(wú)切應(yīng)力B3.2.3應(yīng)力場(chǎng)(4-3)2.靜止流體中的應(yīng)力狀態(tài)靜止50B3.2.3應(yīng)力場(chǎng)(4-4)3.應(yīng)力的常用表達(dá)式運(yùn)動(dòng)粘性流體中的(平均)壓強(qiáng)在法向應(yīng)力中把壓強(qiáng)分離出來(lái)為附加法向應(yīng)力分量（與流體元線應(yīng)變率有關(guān)）壓強(qiáng)矩陣偏應(yīng)力矩陣應(yīng)力矩陣表示為B3.2.3應(yīng)力場(chǎng)(4-4)3.應(yīng)力的常用表達(dá)式運(yùn)動(dòng)粘性51[例B3.2.3]

平面線性剪切流中的應(yīng)力狀態(tài)

已知：平面線性剪切流求：

應(yīng)力狀態(tài)

解:附加法向應(yīng)力切應(yīng)力討論：附加法向應(yīng)力與該方向的線應(yīng)變率有關(guān)，平面線性剪切流中任一點(diǎn)處在x、y方向的線應(yīng)變率均為零，因此相應(yīng)的附加法向應(yīng)力也均為零，x,y方向的法向應(yīng)力均等于平衡壓強(qiáng)；粘性切應(yīng)力則在全流場(chǎng)保持常數(shù)。

法向應(yīng)力（k為常數(shù)）[例B3.2.3]平面線性剪切流中的應(yīng)力狀態(tài)已知：平面線52[例B3.2.3A]

剛體旋轉(zhuǎn)流動(dòng):純旋轉(zhuǎn)(2-1)

已知：二維不可壓縮平面流場(chǎng)為求：

試分析該流場(chǎng)中的應(yīng)力狀態(tài)

（k為常數(shù)）解：附加法向應(yīng)力[例B3.2.3A]剛體旋轉(zhuǎn)流動(dòng):純旋轉(zhuǎn)(2-1)已知：53流體中任一點(diǎn)的法向應(yīng)力為

切向應(yīng)力為討論：（1）線應(yīng)變率處處為零，附加法向應(yīng)力為零，全流場(chǎng)的法向應(yīng)力均等于平衡壓強(qiáng)。（2）角變形率也處處為零，全流場(chǎng)的粘性切應(yīng)力為零，流體和剛體一樣作定軸旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)。[例B3.2.3A]

剛體旋轉(zhuǎn)流動(dòng):純旋轉(zhuǎn)(2-2)

流體中任一點(diǎn)的法向應(yīng)力為切向應(yīng)力為討論：（1）線應(yīng)變率處處54B3.3微分形式的動(dòng)量方程按牛頓第二定律，長(zhǎng)方體流體元的運(yùn)動(dòng)方程為各面元上

x方向表面應(yīng)力的分量如圖示。B3.3微分形式的動(dòng)量方程(2-1)

表面力合力

dFsx

由應(yīng)力梯度造成B3.3微分形式的動(dòng)量方程按牛頓第二定律，長(zhǎng)方體流體元的運(yùn)55x方向的體積力分量為將dFsx和dFbx代入運(yùn)動(dòng)方程，并利用和質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)概念，可化為同理可得上式稱為粘性流體運(yùn)動(dòng)一般微分方程，適用于任何流體。

B3.3微分形式的動(dòng)量方程(2-2)x方向的體積力分量為將dFsx和dFbx代入運(yùn)動(dòng)方程，并利56B3.4納維－斯托克斯方程斯托克斯假設(shè)：1.將牛頓粘性定律從一維推廣到三維；2.流體各向同性；3.靜止時(shí)法向應(yīng)力等于靜壓強(qiáng)。均代入粘性流體運(yùn)動(dòng)一般微分方程對(duì)牛頓流體（μ＝常數(shù)）B3.4納維－斯托克斯方程(4-1)

不可壓縮條件（ρ＝常數(shù)）B3.4納維－斯托克斯方程斯托克斯假設(shè)：1.將牛頓粘性定57B3.4納維－斯托克斯方程(4-2)

可得均質(zhì)不可壓縮牛頓流體的納維-斯托克斯方程(N－S方程)N－S方程的適用條件是：常數(shù)常數(shù)，B3.4納維－斯托克斯方程(4-2)可得均質(zhì)不可壓縮牛58B3.4納維－斯托克斯方程(4-3)

N－S方程的矢量式為N－S方程的意義和求解：

物理意義是：慣性力與體積力、壓力、粘性力平衡

u、v、w、p，方程組是封閉的；加上連續(xù)性方程，四個(gè)方程求解四個(gè)未知數(shù)在邊界條件較簡(jiǎn)單時(shí)可求解析解;在邊界條件較復(fù)雜時(shí)可求數(shù)值解;對(duì)不同的流動(dòng)專題可作不同程度的簡(jiǎn)化（見(jiàn)專題篇）。

B3.4納維－斯托克斯方程(4-3)N－S方程的矢量式59B3.4納維－斯托克斯方程(4-4)N－S方程＝－＋－－平衡方程相對(duì)平衡方程歐拉方程－慣性力體積力＝粘性力＋＝＝＝＋壓力00B3.4納維－斯托克斯方程(4-4)N－S方程＝－＋－60B3.5邊界條件與初始條件1.常見(jiàn)邊界條件(1)固體壁面粘性流體：不滑移條件(圖a)無(wú)粘性流體：法向速度連續(xù)(圖b)v=v固

vn=v

n固

(2)外流無(wú)窮遠(yuǎn)條件v=v∞，

p=p∞

B3.5邊界條件與初始條件

(2-1)B3.5邊界條件與初始條件1.常見(jiàn)邊界條件(1)固體壁面61(3)內(nèi)流出入口條件v

=vin

(out)，

p

=pin(out)

(4)自由面條件2.初始條件定常流時(shí)無(wú)初始條件不定常流時(shí)給出某時(shí)刻的參數(shù)值：v(t0),p(t0),ρ

(t0)

等B3.5邊界條件與初始條件(2-2)

(3)內(nèi)流出入口條件v=vin(out)，p62[例B3.5.1A]

沿斜坡的重力粘性層流(3-1)已知：不可壓牛頓流體在重力作用下沿斜坡(θ)作定常層流流動(dòng)，流層 深h，自由面上為大氣壓（p＝0）。(a)求：(1)速度分布(2)壓強(qiáng)分布(3)切應(yīng)力分布(4)流量

解：在圖示坐標(biāo)系中連續(xù)性方程和N－S方程為(b)(c)[例B3.5.1A]沿斜坡的重力粘性層流(3-1)已知：不63[例B3.5.1A]

沿斜坡的重力粘性層流(3-2)因v＝0，由（a）式由（c）式由邊界條件(1):y=h,p=0,C(x)=,壓強(qiáng)分布為且，由(b)式積分兩次[例B3.5.1A]沿斜坡的重力粘性層流(3-2)因v＝064流量

速度分布為討論：壓強(qiáng)和切應(yīng)力為線性分布，速度分布為y的二次函數(shù)，流量為h的三次函數(shù)。

切應(yīng)力分布[例B3.5.1A]

沿斜坡的重力粘性層流(3-3)由邊界條件(2):y=0,u=0

可得

C2

=0由邊界條件(3):y=b,流量速度分布為討論：壓強(qiáng)和切應(yīng)力為線性分布，速度分布為y的65B3.6壓強(qiáng)場(chǎng)由N－S方程粘性流動(dòng)＋＝絕對(duì)平衡相對(duì)平衡無(wú)粘性流動(dòng)＝＝＋＝B3.6壓強(qiáng)場(chǎng)

＋＋B3.6壓強(qiáng)場(chǎng)由N－S方程粘性流動(dòng)＋＝絕對(duì)平衡相對(duì)平衡無(wú)粘66B3.6.1靜止重力流體中的壓強(qiáng)分布均質(zhì)靜止流體ρ=常數(shù)，u＝v＝w＝0在重力場(chǎng)中上式說(shuō)明：z方向壓強(qiáng)梯度由單位體積流體的重力決定。積分可得B3.6.1靜止重力流體中的壓強(qiáng)分布

(3-1)1.壓強(qiáng)分布一般表達(dá)式由N-S方程可得B3.6.1靜止重力流體中的壓強(qiáng)分布均質(zhì)靜止流體67B3.6.1靜止重力流體中的壓強(qiáng)分布(3-2)2.具有自由液面的重力液體壓強(qiáng)公式為自由面上的壓強(qiáng)，h為淹深(1)在垂直方向壓強(qiáng)與淹深成線性關(guān)系(2)在水平方向壓強(qiáng)保持常數(shù)B3.6.1靜止重力流體中的壓強(qiáng)分布(3-2)2.具有自由68B3.6.1靜止重力流體中的壓強(qiáng)分布(3-3)3.等壓面在連通的同種流體中的等壓強(qiáng)面稱為等壓面。在靜止重力流體中的等壓面為水平面h＝常數(shù)右圖中3－3為等壓面非等壓面1－1為不連通液體2－2為不同液體B3.6.1靜止重力流體中的壓強(qiáng)分布(3-3)3.