壽險(xiǎn)精算學(xué)分析課件

ActurialMathematics(壽險(xiǎn)精算學(xué))

ActurialMathematics(壽險(xiǎn)精算學(xué))

1第三章NetSinglePremiumofLifeInsurance人壽保險(xiǎn)躉繳純保費(fèi)的厘定第三章NetSinglePremiumofLife2本章結(jié)構(gòu)人壽保險(xiǎn)躉繳純保費(fèi)厘定原理theprincipalofnetsinglepremiun死亡即刻賠付保險(xiǎn)躉繳純保費(fèi)的厘定netsinglepremiumpaidatthemonentofdeath死亡年末賠付保險(xiǎn)躉繳純保費(fèi)的厘定netsinglepremiumpaidattheendoftheyearofdeath遞歸方程recursionequations計(jì)算基數(shù)commutationfunctions本章結(jié)構(gòu)人壽保險(xiǎn)躉繳純保費(fèi)厘定原理3第二章中英文單詞對(duì)照一躉繳純保費(fèi)精算現(xiàn)時(shí)值死亡即刻賠付保險(xiǎn)死亡年末給付保險(xiǎn)定額受益保險(xiǎn)NetsinglepremiumActuarialpresentvalueInsurancespayableatthemomentofdeathInsurancespayableattheendoftheyearofdeathLevelbenefitinsurance第二章中英文單詞對(duì)照一躉繳純保費(fèi)Netsinglepre4第二章中英文單詞對(duì)照二定期人壽保險(xiǎn)終身人壽保險(xiǎn)兩全保險(xiǎn)生存保險(xiǎn)延期保險(xiǎn)變額受益保險(xiǎn)TermlifeinsuranceWholelifeinsuranceEndowmentinsurancePureendowmentinsuranceDeferredinsuranceVaryingbenefitinsurance第二章中英文單詞對(duì)照二定期人壽保險(xiǎn)Termlifeins5第一節(jié)人壽保險(xiǎn)躉繳純保費(fèi)厘定的原理

第一節(jié)人壽保險(xiǎn)61、人壽保險(xiǎn)簡(jiǎn)介什么是人壽保險(xiǎn)狹義的人壽保險(xiǎn)是以被保險(xiǎn)人在保障期是否死亡作為保險(xiǎn)標(biāo)的的一種保險(xiǎn)。

廣義的人壽保險(xiǎn)是以被保險(xiǎn)人的壽命作為保險(xiǎn)標(biāo)的的一種保險(xiǎn)。它包括以保障期內(nèi)被保險(xiǎn)人死亡為標(biāo)的的狹義壽險(xiǎn)，也包括以保障期內(nèi)被保險(xiǎn)人生存為標(biāo)底的生存保險(xiǎn)和兩全保險(xiǎn)。1、人壽保險(xiǎn)簡(jiǎn)介什么是人壽保險(xiǎn)72、人壽保險(xiǎn)的分類受益金額是否恒定定額受益保險(xiǎn)levelbenefitinsurance變額受益保險(xiǎn)varyingbenefitinsurance保單簽約日和保障期期始日是否同時(shí)進(jìn)行非延期保險(xiǎn)non-deferredinsurance延期保險(xiǎn)

deferredinsurance保障標(biāo)的的不同人壽保險(xiǎn)lifeinsurance生存保險(xiǎn)pureendowmentinsurance兩全保險(xiǎn)endowmentinsurance保障期是否有限定期壽險(xiǎn)termyearinsurance終身壽險(xiǎn)wholelifeinsurance2、人壽保險(xiǎn)的分類受益金額是否恒定保障標(biāo)的的不同83、人壽保險(xiǎn)的性質(zhì)保障的長(zhǎng)期性(longterm)這使得從投保到賠付期間的投資受益（利息）成為不容忽視的因素。保險(xiǎn)賠付金額和賠付時(shí)間的不確定性(uncertainofthesizeandtimeofpayment)人壽保險(xiǎn)的賠付金額和賠付時(shí)間依賴于被保險(xiǎn)人的生命狀況。被保險(xiǎn)人的死亡時(shí)間是一個(gè)隨機(jī)變量。這就意味著保險(xiǎn)公司的賠付額也是一個(gè)隨機(jī)變量，它依賴于被保險(xiǎn)人剩余壽命分布。被保障人群的大數(shù)性(largenumberoftheinsured)這就意味著，保險(xiǎn)公司可以依靠概率統(tǒng)計(jì)的原理計(jì)算出平均賠付并可預(yù)測(cè)將來的風(fēng)險(xiǎn)。3、人壽保險(xiǎn)的性質(zhì)保障的長(zhǎng)期性(longterm)94、躉繳純保費(fèi)的厘定4.1假定條件(assumptions)假定一：同性別、同年齡、同時(shí)參保的被保險(xiǎn)人的剩余壽命是獨(dú)立同分布的。假定二：被保險(xiǎn)人的剩余壽命分布可以用經(jīng)驗(yàn)生命表進(jìn)行擬合(fitting)。假定三：保險(xiǎn)公司可以預(yù)測(cè)將來的投資受益（即預(yù)定利率）。4、躉繳純保費(fèi)的厘定4.1假定條件(assumptions)104、躉繳純保費(fèi)的厘定4.2厘定原則保費(fèi)凈均衡原則解釋所謂凈均衡原則(itisnetbecauseithasnotbeenloaded)，即保費(fèi)收入的期望現(xiàn)時(shí)值正好等于將來的保險(xiǎn)賠付金的期望現(xiàn)時(shí)值(expectationofthepresentvalueofthenetpremiumequalsexpectationofthepresentvalueofthepayment)。它的實(shí)質(zhì)是在統(tǒng)計(jì)意義上的收支平衡。是在大數(shù)場(chǎng)合下，收費(fèi)期望現(xiàn)時(shí)值等于支出期望現(xiàn)時(shí)值

4、躉繳純保費(fèi)的厘定4.2厘定原則114、躉繳純保費(fèi)的厘定4.3基本符號(hào)——投保年齡的人?！说臉O限年齡——保險(xiǎn)金給付函數(shù)?！N現(xiàn)函數(shù)?！ｋU(xiǎn)給付金在保單生效時(shí)的現(xiàn)時(shí)值4、躉繳純保費(fèi)的厘定4.3基本符號(hào)124、躉繳純保費(fèi)的厘定躉繳純保費(fèi)的定義在保單生效日一次性支付將來保險(xiǎn)賠付金的期望現(xiàn)時(shí)值

躉繳純保費(fèi)的厘定按照凈均衡原則，躉繳純保費(fèi)就等于4、躉繳純保費(fèi)的厘定躉繳純保費(fèi)的定義13第二節(jié)死亡即刻賠付躉繳純保費(fèi)的厘定第二節(jié)死亡即刻賠付141、死亡即刻賠付(payableatthemomentofdeath)死亡即刻賠付的含義死亡即刻賠付就是指如果被保險(xiǎn)人在保障期內(nèi)發(fā)生保險(xiǎn)責(zé)任范圍內(nèi)的死亡，保險(xiǎn)公司將在死亡事件發(fā)生之后，立刻給予保險(xiǎn)賠付。它是在實(shí)際應(yīng)用場(chǎng)合，保險(xiǎn)公司通常采用的理賠方式。由于死亡可能發(fā)生在被保險(xiǎn)人投保之后的任意時(shí)刻，所以死亡即刻賠付時(shí)刻是一個(gè)連續(xù)隨機(jī)變量，它距保單生效日的時(shí)期長(zhǎng)度就等于被保險(xiǎn)人簽約時(shí)的剩余壽命。1、死亡即刻賠付(payableatthemoment152、主要險(xiǎn)種的躉繳純保費(fèi)的厘定n年期定期壽險(xiǎn)n-yeartermlifeinsurance終身壽險(xiǎn)wholelifeinsurance延期m年的終身壽險(xiǎn)m-yeardeferredwholelifeinsurancen年期生存保險(xiǎn)n-yearpureendowmentn年期兩全保險(xiǎn)n-yearendowment延期m年的n年期的兩全保險(xiǎn)m-yeardeferredn-yearendowment遞增終身壽險(xiǎn)increasingwholelifeinsurance遞減n年定期壽險(xiǎn)decreasingn-yearterminsurance2、主要險(xiǎn)種的躉繳純保費(fèi)的厘定n年期定期壽險(xiǎn)n-yeart162.1、n年定期壽險(xiǎn)定義保險(xiǎn)人只對(duì)被保險(xiǎn)人在投保后的n年內(nèi)發(fā)生的保險(xiǎn)責(zé)任范圍內(nèi)的死亡給付保險(xiǎn)金的險(xiǎn)種，又稱為n年死亡保險(xiǎn)(theinsurerprovidesforapaymentonlyiftheinsureddieswithinthen-yearterm)。假定：歲的人，保額1元n年定期壽險(xiǎn)基本函數(shù)關(guān)系2.1、n年定期壽險(xiǎn)定義172.1、n年定期壽險(xiǎn)躉繳純保費(fèi)的符號(hào)：厘定：2.1、n年定期壽險(xiǎn)躉繳純保費(fèi)的符號(hào)：182.1、n年定期壽險(xiǎn)現(xiàn)值隨機(jī)變量的方差公式記（相當(dāng)于利息力翻倍以后求n年期壽險(xiǎn)的躉繳保費(fèi)）所以方差等價(jià)為2.1、n年定期壽險(xiǎn)現(xiàn)值隨機(jī)變量的方差公式19Example2.1.1ifshowExample2.1.1if20solutionssolutions212.2、終身壽險(xiǎn)定義保險(xiǎn)人對(duì)被保險(xiǎn)人在投保后任何時(shí)刻發(fā)生的保險(xiǎn)責(zé)任范圍內(nèi)的死亡均給付保險(xiǎn)金的險(xiǎn)種(theinsurerprovidesforapaymentfollowingthedeathoftheinsuredatanytimeinthefuture)。假定：歲的人，保額1元終身壽險(xiǎn)基本函數(shù)關(guān)系2.2、終身壽險(xiǎn)定義222.2、終身壽險(xiǎn)躉繳純保費(fèi)的符號(hào)：厘定：2.2、終身壽險(xiǎn)躉繳純保費(fèi)的符號(hào)：232.2、終身壽險(xiǎn)現(xiàn)值隨機(jī)變量的方差公式記所以方差等價(jià)為2.2、終身壽險(xiǎn)現(xiàn)值隨機(jī)變量的方差公式24Example2.2.1設(shè)(x)投保終身壽險(xiǎn)，保險(xiǎn)金額為1元保險(xiǎn)金在死亡即刻賠付簽單時(shí)，(x)的剩余壽命的密度函數(shù)為計(jì)算Example2.2.1設(shè)(x)投保終身壽險(xiǎn)，保險(xiǎn)金額為125solutionssolutions26solutionssolutions27Example2.2.2Assumethateachof100independentlivesisagexissubjecttoaconstantforceofmortality,=0.04andisinsuredforadeathbenefitamountof10units,payableatthemomentofdeathThebenefitpaymentaretobewithdrawnfromaninvestmentfundearing=0.06.Calculatetheminimumamountthatatt=0sothattheprobabilityisapproximately0.95thatsufficientfundswillbeonhandtowithdrawthebenefitpaymentatthedeathofeachindividualExample2.2.2Assumethateacho282.3、延期終身壽險(xiǎn)定義保險(xiǎn)人對(duì)被保險(xiǎn)人在投保m年后發(fā)生的保險(xiǎn)責(zé)任范圍內(nèi)的死亡均給付保險(xiǎn)金的險(xiǎn)種(provideforabenefitfollowingthedeathofoftheinsuredonlyiftheinsureddiesatleastmyearsafterpolicyissue)。假定：歲的人，保額1元，延期m年的終身壽險(xiǎn)基本函數(shù)關(guān)系2.3、延期終身壽險(xiǎn)定義292.3、延期終身壽險(xiǎn)躉繳純保費(fèi)的符號(hào)：厘定：2.3、延期終身壽險(xiǎn)躉繳純保費(fèi)的符號(hào)：302.3、延期終身壽險(xiǎn)

現(xiàn)值隨機(jī)變量的方差公式記所以方差等價(jià)于2.3、延期終身壽險(xiǎn)現(xiàn)值隨機(jī)變量的方差公式31例2.3.1假設(shè)（x）投保延期10年的終身壽險(xiǎn)，保額1元。保險(xiǎn)金在死亡即刻賠付。已知求：例2.3.1假設(shè)（x）投保延期10年的終身壽險(xiǎn)，保額1元。32例2.3.1答案例2.3.1答案33exerciseConsidera5-yeardeferredwholelifeinsurancepayableatthemomentofthedeathof(x),theindividualissubjecttoaconstantforceofmortality=0.04,forthedistributionofthepresentvalueofthebenefitpayment,at=0.10,calculateexpectaionvariacemedianexerciseConsidera5-yeardefe342.4、n年定期生存保險(xiǎn)定義被保險(xiǎn)人投保后生存至n年期滿時(shí)，保險(xiǎn)人在第n年末支付保險(xiǎn)金的保險(xiǎn)（theinsurerprovidesforapaymentattheendofthenyearsifandonlyiftheinsuredsurvivesatleastnyearsfromthetimeofpolicyissue）。假定：歲的人，保額1元，n年定期生存保險(xiǎn)基本函數(shù)關(guān)系2.4、n年定期生存保險(xiǎn)定義352.4、n年定期生存保險(xiǎn)躉繳純保費(fèi)的符號(hào)：躉繳純保費(fèi)厘定現(xiàn)值隨機(jī)變量的方差：2.4、n年定期生存保險(xiǎn)躉繳純保費(fèi)的符號(hào)：362.5、n年定期兩全保險(xiǎn)定義被保險(xiǎn)人投保后如果在n年期內(nèi)發(fā)生保險(xiǎn)責(zé)任范圍內(nèi)的死亡，保險(xiǎn)人即刻給付保險(xiǎn)金；如果被保險(xiǎn)人生存至n年期滿，保險(xiǎn)人在第n年末支付保險(xiǎn)金的保險(xiǎn)。(provideforanamounttobepayableeitherfollowingthedeathoftheinsuredoruponthesurvivaloftheinsuredtotheendofthen-yearterm,whicheveroccursfirst)。假定：歲的人，保額1元，n年定期兩全保險(xiǎn)基本函數(shù)關(guān)系2.5、n年定期兩全保險(xiǎn)定義372.5n年定期兩全保險(xiǎn)躉繳純保費(fèi)的符號(hào)：厘定記：n年定期壽險(xiǎn)現(xiàn)值隨機(jī)變量為n年定期生存險(xiǎn)現(xiàn)值隨機(jī)變量為n年定期兩全險(xiǎn)現(xiàn)值隨機(jī)變量為已知?jiǎng)t2.5n年定期兩全保險(xiǎn)躉繳純保費(fèi)的符號(hào)：382.5n年定期兩全保險(xiǎn)n年定期兩全險(xiǎn)現(xiàn)值隨機(jī)變量的方差可計(jì)算為因?yàn)樗?.5n年定期兩全保險(xiǎn)n年定期兩全險(xiǎn)現(xiàn)值隨機(jī)變量的方差可計(jì)39例2.5.1（例2.1.1續(xù)）設(shè)計(jì)算例2.5.1（例2.1.1續(xù)）設(shè)40例2.5.1答案例2.5.1答案412.6、延期m年n年定期兩全保險(xiǎn)定義被保險(xiǎn)人在投保后的前m年內(nèi)的死亡不獲賠償，從第m+1年開始為期n年的定期兩全保險(xiǎn)假定：歲的人，保額1元，延期m年的n年定期兩全保險(xiǎn)基本函數(shù)關(guān)系2.6、延期m年n年定期兩全保險(xiǎn)定義422.6、延期m年n年定期兩全保險(xiǎn)躉繳純保費(fèi)的符號(hào)：厘定2.6、延期m年n年定期兩全保險(xiǎn)躉繳純保費(fèi)的符號(hào)：432.6、延期m年n年定期兩全保險(xiǎn)記：

m年延期n年定期壽險(xiǎn)現(xiàn)值隨機(jī)變量為m年延期n年定期生存險(xiǎn)現(xiàn)值隨機(jī)變量為m年延期n年定期兩全險(xiǎn)現(xiàn)值隨機(jī)變量為已知?jiǎng)t現(xiàn)值隨機(jī)變量的方差2.6、延期m年n年定期兩全保險(xiǎn)記：44exercise例：考慮一個(gè)50歲的人，其死亡服從計(jì)算下列五種保險(xiǎn)計(jì)劃的躉繳凈保費(fèi)，保額均為1000元，在死亡發(fā)生時(shí)立即給付。五年定期壽險(xiǎn)終身壽險(xiǎn)五年生存保險(xiǎn)五年兩全保險(xiǎn)五年延期終身壽險(xiǎn)exercise例：考慮一個(gè)50歲的人，其死亡服從452.7、遞增終身壽險(xiǎn)定義：遞增終身壽險(xiǎn)是變額受益保險(xiǎn)的一種特殊情況。假定受益金額為剩余壽命的線性遞增函數(shù)特別：一年遞增一次(provide1atthemomentofdeathduringthefirstyear,2atthemomentofthesecondyearandsoon)一年遞增m次(thebenefitwillbe1/matthemomentofdeathduringthefirstmthofayearofthetermoftheinsuranceandincreasingby1/matmthlyintervalsthroughoutthetermoftheinsurance)一年遞增無窮次（連續(xù)遞增）(thelimitingcaseofthemthlyincreasing)2.7、遞增終身壽險(xiǎn)定義：遞增終身壽險(xiǎn)是變額受益保險(xiǎn)的一種特462.7.1一年遞增一次現(xiàn)值隨機(jī)變量躉繳保費(fèi)厘定2.7.1一年遞增一次現(xiàn)值隨機(jī)變量472.7.2一年遞增m次現(xiàn)值隨機(jī)變量躉繳保費(fèi)厘定2.7.2一年遞增m次現(xiàn)值隨機(jī)變量482.7.3一年遞增無窮次（連續(xù)遞增）現(xiàn)值隨機(jī)變量躉繳保費(fèi)厘定2.7.3一年遞增無窮次（連續(xù)遞增）現(xiàn)值隨機(jī)變量49例2.7.1例：Z是（x）的n年定期壽險(xiǎn)，bt為死亡時(shí)給付額的現(xiàn)值隨機(jī)變量，計(jì)算Var(Z)，其中bt=(1+i)t提示：例2.7.1例：Z是（x）的n年定期壽險(xiǎn)，bt為死亡時(shí)給付額502.8、遞減定期壽險(xiǎn)定義：遞減定期壽險(xiǎn)是變額受益保險(xiǎn)的另一種特殊情況。假定受益金額為剩余壽命的線性遞減函數(shù)特別：一年遞減一次(providenatthemomentofthedeathduringthefirstyear,n-1atmomentofdeathduringthesecondyearandsoon)一年遞減m次(thebenefitwillbe1/matthemomentofdeathduringthefirstmthofayearofthetermoftheinsuranceanddecreasingby1/matmthlyintervals)一年遞減無窮次（連續(xù)遞減）(thelimitingcaseofthemthlydecreasing)2.8、遞減定期壽險(xiǎn)定義：遞減定期壽險(xiǎn)是變額受益保險(xiǎn)的另一種512.8.1一年遞減一次現(xiàn)值隨機(jī)變量躉繳保費(fèi)厘定2.8.1一年遞減一次現(xiàn)值隨機(jī)變量522.8.2一年遞減m次現(xiàn)值隨機(jī)變量躉繳保費(fèi)厘定2.8.2一年遞減m次現(xiàn)值隨機(jī)變量532.8.3一年遞減無窮次（連續(xù)遞減）現(xiàn)值隨機(jī)變量躉繳保費(fèi)厘定2.8.3一年遞減無窮次（連續(xù)遞減）現(xiàn)值隨機(jī)變量543、計(jì)算未來給付現(xiàn)值隨機(jī)變量zt的高階矩3、計(jì)算未來給付現(xiàn)值隨機(jī)變量zt的高階矩553、計(jì)算未來給付現(xiàn)值隨機(jī)變量zt的高階矩若，則的計(jì)算結(jié)果只須將的計(jì)算結(jié)果中的換為k即可，無需重新計(jì)算，這是一種很直接的運(yùn)算技巧，比如3、計(jì)算未來給付現(xiàn)值隨機(jī)變量zt的高階矩若56第三節(jié)死亡年末賠付躉繳純保費(fèi)的厘定第三節(jié)死亡年末賠付571、死亡年末賠付（payableattheendoftheyearofdeath）死亡年末賠付的含義死亡年末陪付是指如果被保險(xiǎn)人在保障期內(nèi)發(fā)生保險(xiǎn)責(zé)任范圍內(nèi)的死亡，保險(xiǎn)公司將在死亡事件發(fā)生的當(dāng)年年末給予保險(xiǎn)賠付。由于賠付時(shí)刻都發(fā)生在死亡事件發(fā)生的當(dāng)年年末，所以死亡年末陪付時(shí)刻是一個(gè)離散隨機(jī)變量，它距保單生效日的時(shí)期長(zhǎng)度就等于被保險(xiǎn)人簽約時(shí)的整值剩余壽命加一。這正好可以使用以整值年齡為刻度的生命表所提供的生命表函數(shù)。所以死亡年末賠付方式是保險(xiǎn)精算師在厘定躉繳保費(fèi)時(shí)通常先假定的理賠方式。1、死亡年末賠付（payableattheendof582、基本符號(hào)

——?dú)q投保的人整值剩余壽命——保險(xiǎn)金在死亡年末給付函數(shù)——貼現(xiàn)函數(shù)。——保險(xiǎn)賠付金在簽單時(shí)的現(xiàn)時(shí)值。——保險(xiǎn)賠付金在簽單現(xiàn)時(shí)值的期望。2、基本符號(hào)——?dú)q投保的人整593、定期壽險(xiǎn)死亡年末賠付場(chǎng)合基本函數(shù)關(guān)系記k為被保險(xiǎn)人整值剩余壽命，則3、定期壽險(xiǎn)死亡年末賠付場(chǎng)合基本函數(shù)關(guān)系603、定期壽險(xiǎn)死亡年末賠付場(chǎng)合躉繳純保費(fèi)的符號(hào)：厘定：3、定期壽險(xiǎn)死亡年末賠付場(chǎng)合躉繳純保費(fèi)的符號(hào)：613、定期壽險(xiǎn)死亡年末賠付場(chǎng)合現(xiàn)值隨機(jī)變量的方差公式記等價(jià)方差為3、定期壽險(xiǎn)死亡年末賠付場(chǎng)合現(xiàn)值隨機(jī)變量的方差公式624、死亡年末給付躉繳純保費(fèi)公式歸納終身壽險(xiǎn)延期m年的n年定期壽險(xiǎn)延期m年的終身壽險(xiǎn)n年期兩全保險(xiǎn)延期m年的n年期兩全保險(xiǎn)遞增終身壽險(xiǎn)遞減n年定期壽險(xiǎn)4、死亡年末給付躉繳純保費(fèi)公式歸納終身壽險(xiǎn)延期m年的n年定期63例3.4.1（x）歲的人投保5年期的定期壽險(xiǎn)，保險(xiǎn)金額為1萬元，保險(xiǎn)金死亡年末給付，按美國(guó)示例生命表計(jì)算（1）20歲的人按實(shí)質(zhì)利率為2.5%計(jì)算的躉繳純保費(fèi)。（2）60歲的人按實(shí)質(zhì)利率為2.5%計(jì)算的躉繳純保費(fèi)。（3）20歲的人按實(shí)質(zhì)利率為6%計(jì)算的躉繳純保費(fèi)。（4）60歲的人按實(shí)質(zhì)利率為6%計(jì)算的躉繳純保費(fèi)。例3.4.1（x）歲的人投保5年期的定期壽險(xiǎn)，保險(xiǎn)金額為1萬64例3.4.1答案例3.4.1答案65例3.4.2例：如果死亡服從，利率為0.04，并且設(shè)利率為0.04時(shí)，，計(jì)算例3.4.2例：如果死亡服從，利率為0.66例3.4.2答案例3.4.2答案67例3.4.3有一份保險(xiǎn)，若（80）在第（k+1）年死亡，（k=0,1,2……），則在其死亡年末支付k+1，假設(shè)（1）V=0.925（2）則該保險(xiǎn)的躉繳凈保費(fèi)為4，計(jì)算當(dāng)時(shí)，該保險(xiǎn)的躉繳保費(fèi)。例3.4.3有一份保險(xiǎn)，若（80）在第（k+1）年死亡，（k68例3.4.3答案例3.4.3答案695、死亡年末給付與死亡即刻給付躉繳純保費(fèi)之間的關(guān)系(UDD)以終身壽險(xiǎn)為例，有剩余壽命等于整值剩余壽命加死亡之年分?jǐn)?shù)生存壽命：在UDD假設(shè)下，k,s為相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且s服從均勻分布

5、死亡年末給付與死亡即刻給付躉繳純保費(fèi)之間的關(guān)系(UDD)705、死亡年末給付與死亡即刻給付躉繳純保費(fèi)之間的關(guān)系(UDD)在滿足如下兩個(gè)條件的情況下，死亡即刻賠付凈躉繳純保費(fèi)是死亡年末賠付凈躉繳純保費(fèi)的倍。條件1：條件2：只依賴于剩余壽命的整數(shù)部分，即

5、死亡年末給付與死亡即刻給付躉繳純保費(fèi)之間的關(guān)系(UDD)715、死亡年末給付與死亡即刻給付躉繳純保費(fèi)之間的關(guān)系(UDD)5、死亡年末給付與死亡即刻給付躉繳純保費(fèi)之間的關(guān)系(UDD)725、死亡年末給付與死亡即刻給付躉繳純保費(fèi)之間的關(guān)系(UDD)對(duì)于連續(xù)遞增的連續(xù)型和離散型躉繳保費(fèi)，由于其支付額并不滿足的關(guān)系式，因此相互關(guān)系要復(fù)雜一些5、死亡年末給付與死亡即刻給付躉繳純保費(fèi)之間的關(guān)系(UDD)73例3.5.1（x）歲的人投保5年期的兩全保險(xiǎn)，保險(xiǎn)金額為1萬元，保險(xiǎn)金死亡即刻給付，按附錄美國(guó)示例生命表計(jì)算（1）20歲的人按實(shí)質(zhì)利率為2.5%計(jì)算的躉繳純保費(fèi)。（2）60歲的人按實(shí)質(zhì)利率為2.5%計(jì)算的躉繳純保費(fèi)。（3）20歲的人按實(shí)質(zhì)利率為6%計(jì)算的躉繳純保費(fèi)。（4）60歲的人按實(shí)質(zhì)利率為6%計(jì)算的躉繳純保費(fèi)。例3.5.1（x）歲的人投保5年期的兩全保險(xiǎn)，保險(xiǎn)金額為1萬74例3.5.1答案例3.5.1答案75例3.5.2對(duì)（50）歲的男性第一年死亡即刻給付5000元，第二年死亡即刻給付4000元，以此按年遞減5年期人壽保險(xiǎn)，根據(jù)附錄美國(guó)示例生命表，以及死亡均勻分布假定，按年實(shí)質(zhì)利率6%計(jì)算躉繳純保費(fèi)。例3.5.2對(duì)（50）歲的男性第一年死亡即刻給付5000元，76例3.5.2答案例3.5.2答案77exerciseCalculatethenetsinglepremiumandthevariancefora10000,3-yearendowmentinsuranceprovidingthedeathbenefitatthemomentofdeathforamaleagedat35atissueofthepolicy.usetheillustrativelifetable,theuniformdistributionofdeathsassumptionandi=0.06exerciseCalculatethenetsing78第四節(jié)遞推公式Recursionequations第四節(jié)遞推公式791、終身壽險(xiǎn)離散型躉繳純保費(fèi)遞推公式及變形1、終身壽險(xiǎn)離散型躉繳純保費(fèi)遞推公式及變形801、終身壽險(xiǎn)離散型躉繳純保費(fèi)遞推公式及變形公式一：理解(x)的單位金額終身壽險(xiǎn)在第一年末的價(jià)值等于(x)在第一年死亡的情況下1單位的賠付額,或生存滿一年的情況下凈躉繳保費(fèi)。

1、終身壽險(xiǎn)離散型躉繳純保費(fèi)遞推公式及變形公式一：811、終身壽險(xiǎn)離散型躉繳純保費(fèi)遞推公式及變形1、終身壽險(xiǎn)離散型躉繳純保費(fèi)遞推公式及變形821、終身壽險(xiǎn)離散型躉繳純保費(fèi)遞推公式及變形公式二：解釋：個(gè)x歲的被保險(xiǎn)人所繳的躉繳保費(fèi)之和經(jīng)過一年的積累，當(dāng)年年末可為所有的被保險(xiǎn)人提供次年的凈躉繳保費(fèi)，還可以為所有在當(dāng)年去世的被保險(xiǎn)人提供額外的。

1、終身壽險(xiǎn)離散型躉繳純保費(fèi)遞推公式及變形公式二：831、終身壽險(xiǎn)離散型躉繳純保費(fèi)遞推公式及變形公式三：解釋：年齡為x的被保險(xiǎn)人在活到x+1歲時(shí)的凈躉繳保費(fèi)與當(dāng)初歲時(shí)的凈躉繳保費(fèi)之差等于保費(fèi)的一年利息減去提供一年的保險(xiǎn)成本。

1、終身壽險(xiǎn)離散型躉繳純保費(fèi)遞推公式及變形公式三：841、終身壽險(xiǎn)離散型躉繳純保費(fèi)遞推公式及變形公式四：解釋(y)的躉繳純保費(fèi)等于其未來所有年份的保險(xiǎn)成本的現(xiàn)時(shí)值之和。

1、終身壽險(xiǎn)離散型躉繳純保費(fèi)遞推公式及變形公式四：852、其他保單類型離散型躉繳純保費(fèi)遞推公式2、其他保單類型離散型躉繳純保費(fèi)遞推公式862、其他保單類型離散型躉繳純保費(fèi)遞推公式2、其他保單類型離散型躉繳純保費(fèi)遞推公式872、其他保單類型離散型躉繳純保費(fèi)遞推公式2、其他保單類型離散型躉繳純保費(fèi)遞推公式88Example4.2.1If

Example4.2.1If89solutionssolutions90exercise簡(jiǎn)化exercise簡(jiǎn)化91第五節(jié)計(jì)算基數(shù)Commutationfunctions第五節(jié)計(jì)算基數(shù)921、常用計(jì)算基數(shù)計(jì)算基數(shù)引進(jìn)的目的：簡(jiǎn)化計(jì)算常用基數(shù)：1、常用計(jì)算基數(shù)計(jì)算基數(shù)引進(jìn)的目的：簡(jiǎn)化計(jì)算932、用計(jì)算基數(shù)表示常見險(xiǎn)種的躉繳純保費(fèi)2、用計(jì)算基數(shù)表示常見險(xiǎn)種的躉繳純保費(fèi)942、用計(jì)算基數(shù)表示常見險(xiǎn)種的躉繳純保費(fèi)2、用計(jì)算基數(shù)表示常見險(xiǎn)種的躉繳純保費(fèi)952、用計(jì)算基數(shù)表示常見險(xiǎn)種的躉繳純保費(fèi)2、用計(jì)算基數(shù)表示常見險(xiǎn)種的躉繳純保費(fèi)962、用計(jì)算基數(shù)表示常見險(xiǎn)種的躉繳純保費(fèi)2、用計(jì)算基數(shù)表示常見險(xiǎn)種的躉繳純保費(fèi)972、用計(jì)算基數(shù)表示常見險(xiǎn)種的躉繳純保費(fèi)2、用計(jì)算基數(shù)表示常見險(xiǎn)種的躉繳純保費(fèi)98例5.2.1考慮第1年死亡即刻賠付10000，第2年死亡即刻賠付9000元并以此類推遞減人壽保險(xiǎn)。按附錄2生命表及i=0.06計(jì)算（30）的人躉繳純保費(fèi)。（1）保障期至第10年底（2）保障期至第5年底例5.2.1考慮第1年死亡即刻賠付10000，第2年死亡即刻99例5.2.1答案例5.2.1答案100

ActurialMathematics(壽險(xiǎn)精算學(xué))

ActurialMathematics(壽險(xiǎn)精算學(xué))

101第三章NetSinglePremiumofLifeInsurance人壽保險(xiǎn)躉繳純保費(fèi)的厘定第三章NetSinglePremiumofLife102本章結(jié)構(gòu)人壽保險(xiǎn)躉繳純保費(fèi)厘定原理theprincipalofnetsinglepremiun死亡即刻賠付保險(xiǎn)躉繳純保費(fèi)的厘定netsinglepremiumpaidatthemonentofdeath死亡年末賠付保險(xiǎn)躉繳純保費(fèi)的厘定netsinglepremiumpaidattheendoftheyearofdeath遞歸方程recursionequations計(jì)算基數(shù)commutationfunctions本章結(jié)構(gòu)人壽保險(xiǎn)躉繳純保費(fèi)厘定原理103第二章中英文單詞對(duì)照一躉繳純保費(fèi)精算現(xiàn)時(shí)值死亡即刻賠付保險(xiǎn)死亡年末給付保險(xiǎn)定額受益保險(xiǎn)NetsinglepremiumActuarialpresentvalueInsurancespayableatthemomentofdeathInsurancespayableattheendoftheyearofdeathLevelbenefitinsurance第二章中英文單詞對(duì)照一躉繳純保費(fèi)Netsinglepre104第二章中英文單詞對(duì)照二定期人壽保險(xiǎn)終身人壽保險(xiǎn)兩全保險(xiǎn)生存保險(xiǎn)延期保險(xiǎn)變額受益保險(xiǎn)TermlifeinsuranceWholelifeinsuranceEndowmentinsurancePureendowmentinsuranceDeferredinsuranceVaryingbenefitinsurance第二章中英文單詞對(duì)照二定期人壽保險(xiǎn)Termlifeins105第一節(jié)人壽保險(xiǎn)躉繳純保費(fèi)厘定的原理

第一節(jié)人壽保險(xiǎn)1061、人壽保險(xiǎn)簡(jiǎn)介什么是人壽保險(xiǎn)狹義的人壽保險(xiǎn)是以被保險(xiǎn)人在保障期是否死亡作為保險(xiǎn)標(biāo)的的一種保險(xiǎn)。

廣義的人壽保險(xiǎn)是以被保險(xiǎn)人的壽命作為保險(xiǎn)標(biāo)的的一種保險(xiǎn)。它包括以保障期內(nèi)被保險(xiǎn)人死亡為標(biāo)的的狹義壽險(xiǎn)，也包括以保障期內(nèi)被保險(xiǎn)人生存為標(biāo)底的生存保險(xiǎn)和兩全保險(xiǎn)。1、人壽保險(xiǎn)簡(jiǎn)介什么是人壽保險(xiǎn)1072、人壽保險(xiǎn)的分類受益金額是否恒定定額受益保險(xiǎn)levelbenefitinsurance變額受益保險(xiǎn)varyingbenefitinsurance保單簽約日和保障期期始日是否同時(shí)進(jìn)行非延期保險(xiǎn)non-deferredinsurance延期保險(xiǎn)

deferredinsurance保障標(biāo)的的不同人壽保險(xiǎn)lifeinsurance生存保險(xiǎn)pureendowmentinsurance兩全保險(xiǎn)endowmentinsurance保障期是否有限定期壽險(xiǎn)termyearinsurance終身壽險(xiǎn)wholelifeinsurance2、人壽保險(xiǎn)的分類受益金額是否恒定保障標(biāo)的的不同1083、人壽保險(xiǎn)的性質(zhì)保障的長(zhǎng)期性(longterm)這使得從投保到賠付期間的投資受益（利息）成為不容忽視的因素。保險(xiǎn)賠付金額和賠付時(shí)間的不確定性(uncertainofthesizeandtimeofpayment)人壽保險(xiǎn)的賠付金額和賠付時(shí)間依賴于被保險(xiǎn)人的生命狀況。被保險(xiǎn)人的死亡時(shí)間是一個(gè)隨機(jī)變量。這就意味著保險(xiǎn)公司的賠付額也是一個(gè)隨機(jī)變量，它依賴于被保險(xiǎn)人剩余壽命分布。被保障人群的大數(shù)性(largenumberoftheinsured)這就意味著，保險(xiǎn)公司可以依靠概率統(tǒng)計(jì)的原理計(jì)算出平均賠付并可預(yù)測(cè)將來的風(fēng)險(xiǎn)。3、人壽保險(xiǎn)的性質(zhì)保障的長(zhǎng)期性(longterm)1094、躉繳純保費(fèi)的厘定4.1假定條件(assumptions)假定一：同性別、同年齡、同時(shí)參保的被保險(xiǎn)人的剩余壽命是獨(dú)立同分布的。假定二：被保險(xiǎn)人的剩余壽命分布可以用經(jīng)驗(yàn)生命表進(jìn)行擬合(fitting)。假定三：保險(xiǎn)公司可以預(yù)測(cè)將來的投資受益（即預(yù)定利率）。4、躉繳純保費(fèi)的厘定4.1假定條件(assumptions)1104、躉繳純保費(fèi)的厘定4.2厘定原則保費(fèi)凈均衡原則解釋所謂凈均衡原則(itisnetbecauseithasnotbeenloaded)，即保費(fèi)收入的期望現(xiàn)時(shí)值正好等于將來的保險(xiǎn)賠付金的期望現(xiàn)時(shí)值(expectationofthepresentvalueofthenetpremiumequalsexpectationofthepresentvalueofthepayment)。它的實(shí)質(zhì)是在統(tǒng)計(jì)意義上的收支平衡。是在大數(shù)場(chǎng)合下，收費(fèi)期望現(xiàn)時(shí)值等于支出期望現(xiàn)時(shí)值

4、躉繳純保費(fèi)的厘定4.2厘定原則1114、躉繳純保費(fèi)的厘定4.3基本符號(hào)——投保年齡的人。——人的極限年齡——保險(xiǎn)金給付函數(shù)。——貼現(xiàn)函數(shù)?！ｋU(xiǎn)給付金在保單生效時(shí)的現(xiàn)時(shí)值4、躉繳純保費(fèi)的厘定4.3基本符號(hào)1124、躉繳純保費(fèi)的厘定躉繳純保費(fèi)的定義在保單生效日一次性支付將來保險(xiǎn)賠付金的期望現(xiàn)時(shí)值

躉繳純保費(fèi)的厘定按照凈均衡原則，躉繳純保費(fèi)就等于4、躉繳純保費(fèi)的厘定躉繳純保費(fèi)的定義113第二節(jié)死亡即刻賠付躉繳純保費(fèi)的厘定第二節(jié)死亡即刻賠付1141、死亡即刻賠付(payableatthemomentofdeath)死亡即刻賠付的含義死亡即刻賠付就是指如果被保險(xiǎn)人在保障期內(nèi)發(fā)生保險(xiǎn)責(zé)任范圍內(nèi)的死亡，保險(xiǎn)公司將在死亡事件發(fā)生之后，立刻給予保險(xiǎn)賠付。它是在實(shí)際應(yīng)用場(chǎng)合，保險(xiǎn)公司通常采用的理賠方式。由于死亡可能發(fā)生在被保險(xiǎn)人投保之后的任意時(shí)刻，所以死亡即刻賠付時(shí)刻是一個(gè)連續(xù)隨機(jī)變量，它距保單生效日的時(shí)期長(zhǎng)度就等于被保險(xiǎn)人簽約時(shí)的剩余壽命。1、死亡即刻賠付(payableatthemoment1152、主要險(xiǎn)種的躉繳純保費(fèi)的厘定n年期定期壽險(xiǎn)n-yeartermlifeinsurance終身壽險(xiǎn)wholelifeinsurance延期m年的終身壽險(xiǎn)m-yeardeferredwholelifeinsurancen年期生存保險(xiǎn)n-yearpureendowmentn年期兩全保險(xiǎn)n-yearendowment延期m年的n年期的兩全保險(xiǎn)m-yeardeferredn-yearendowment遞增終身壽險(xiǎn)increasingwholelifeinsurance遞減n年定期壽險(xiǎn)decreasingn-yearterminsurance2、主要險(xiǎn)種的躉繳純保費(fèi)的厘定n年期定期壽險(xiǎn)n-yeart1162.1、n年定期壽險(xiǎn)定義保險(xiǎn)人只對(duì)被保險(xiǎn)人在投保后的n年內(nèi)發(fā)生的保險(xiǎn)責(zé)任范圍內(nèi)的死亡給付保險(xiǎn)金的險(xiǎn)種，又稱為n年死亡保險(xiǎn)(theinsurerprovidesforapaymentonlyiftheinsureddieswithinthen-yearterm)。假定：歲的人，保額1元n年定期壽險(xiǎn)基本函數(shù)關(guān)系2.1、n年定期壽險(xiǎn)定義1172.1、n年定期壽險(xiǎn)躉繳純保費(fèi)的符號(hào)：厘定：2.1、n年定期壽險(xiǎn)躉繳純保費(fèi)的符號(hào)：1182.1、n年定期壽險(xiǎn)現(xiàn)值隨機(jī)變量的方差公式記（相當(dāng)于利息力翻倍以后求n年期壽險(xiǎn)的躉繳保費(fèi)）所以方差等價(jià)為2.1、n年定期壽險(xiǎn)現(xiàn)值隨機(jī)變量的方差公式119Example2.1.1ifshowExample2.1.1if120solutionssolutions1212.2、終身壽險(xiǎn)定義保險(xiǎn)人對(duì)被保險(xiǎn)人在投保后任何時(shí)刻發(fā)生的保險(xiǎn)責(zé)任范圍內(nèi)的死亡均給付保險(xiǎn)金的險(xiǎn)種(theinsurerprovidesforapaymentfollowingthedeathoftheinsuredatanytimeinthefuture)。假定：歲的人，保額1元終身壽險(xiǎn)基本函數(shù)關(guān)系2.2、終身壽險(xiǎn)定義1222.2、終身壽險(xiǎn)躉繳純保費(fèi)的符號(hào)：厘定：2.2、終身壽險(xiǎn)躉繳純保費(fèi)的符號(hào)：1232.2、終身壽險(xiǎn)現(xiàn)值隨機(jī)變量的方差公式記所以方差等價(jià)為2.2、終身壽險(xiǎn)現(xiàn)值隨機(jī)變量的方差公式124Example2.2.1設(shè)(x)投保終身壽險(xiǎn)，保險(xiǎn)金額為1元保險(xiǎn)金在死亡即刻賠付簽單時(shí)，(x)的剩余壽命的密度函數(shù)為計(jì)算Example2.2.1設(shè)(x)投保終身壽險(xiǎn)，保險(xiǎn)金額為1125solutionssolutions126solutionssolutions127Example2.2.2Assumethateachof100independentlivesisagexissubjecttoaconstantforceofmortality,=0.04andisinsuredforadeathbenefitamountof10units,payableatthemomentofdeathThebenefitpaymentaretobewithdrawnfromaninvestmentfundearing=0.06.Calculatetheminimumamountthatatt=0sothattheprobabilityisapproximately0.95thatsufficientfundswillbeonhandtowithdrawthebenefitpaymentatthedeathofeachindividualExample2.2.2Assumethateacho1282.3、延期終身壽險(xiǎn)定義保險(xiǎn)人對(duì)被保險(xiǎn)人在投保m年后發(fā)生的保險(xiǎn)責(zé)任范圍內(nèi)的死亡均給付保險(xiǎn)金的險(xiǎn)種(provideforabenefitfollowingthedeathofoftheinsuredonlyiftheinsureddiesatleastmyearsafterpolicyissue)。假定：歲的人，保額1元，延期m年的終身壽險(xiǎn)基本函數(shù)關(guān)系2.3、延期終身壽險(xiǎn)定義1292.3、延期終身壽險(xiǎn)躉繳純保費(fèi)的符號(hào)：厘定：2.3、延期終身壽險(xiǎn)躉繳純保費(fèi)的符號(hào)：1302.3、延期終身壽險(xiǎn)

現(xiàn)值隨機(jī)變量的方差公式記所以方差等價(jià)于2.3、延期終身壽險(xiǎn)現(xiàn)值隨機(jī)變量的方差公式131例2.3.1假設(shè)（x）投保延期10年的終身壽險(xiǎn)，保額1元。保險(xiǎn)金在死亡即刻賠付。已知求：例2.3.1假設(shè)（x）投保延期10年的終身壽險(xiǎn)，保額1元。132例2.3.1答案例2.3.1答案133exerciseConsidera5-yeardeferredwholelifeinsurancepayableatthemomentofthedeathof(x),theindividualissubjecttoaconstantforceofmortality=0.04,forthedistributionofthepresentvalueofthebenefitpayment,at=0.10,calculateexpectaionvariacemedianexerciseConsidera5-yeardefe1342.4、n年定期生存保險(xiǎn)定義被保險(xiǎn)人投保后生存至n年期滿時(shí)，保險(xiǎn)人在第n年末支付保險(xiǎn)金的保險(xiǎn)（theinsurerprovidesforapaymentattheendofthenyearsifandonlyiftheinsuredsurvivesatleastnyearsfromthetimeofpolicyissue）。假定：歲的人，保額1元，n年定期生存保險(xiǎn)基本函數(shù)關(guān)系2.4、n年定期生存保險(xiǎn)定義1352.4、n年定期生存保險(xiǎn)躉繳純保費(fèi)的符號(hào)：躉繳純保費(fèi)厘定現(xiàn)值隨機(jī)變量的方差：2.4、n年定期生存保險(xiǎn)躉繳純保費(fèi)的符號(hào)：1362.5、n年定期兩全保險(xiǎn)定義被保險(xiǎn)人投保后如果在n年期內(nèi)發(fā)生保險(xiǎn)責(zé)任范圍內(nèi)的死亡，保險(xiǎn)人即刻給付保險(xiǎn)金；如果被保險(xiǎn)人生存至n年期滿，保險(xiǎn)人在第n年末支付保險(xiǎn)金的保險(xiǎn)。(provideforanamounttobepayableeitherfollowingthedeathoftheinsuredoruponthesurvivaloftheinsuredtotheendofthen-yearterm,whicheveroccursfirst)。假定：歲的人，保額1元，n年定期兩全保險(xiǎn)基本函數(shù)關(guān)系2.5、n年定期兩全保險(xiǎn)定義1372.5n年定期兩全保險(xiǎn)躉繳純保費(fèi)的符號(hào)：厘定記：n年定期壽險(xiǎn)現(xiàn)值隨機(jī)變量為n年定期生存險(xiǎn)現(xiàn)值隨機(jī)變量為n年定期兩全險(xiǎn)現(xiàn)值隨機(jī)變量為已知?jiǎng)t2.5n年定期兩全保險(xiǎn)躉繳純保費(fèi)的符號(hào)：1382.5n年定期兩全保險(xiǎn)n年定期兩全險(xiǎn)現(xiàn)值隨機(jī)變量的方差可計(jì)算為因?yàn)樗?.5n年定期兩全保險(xiǎn)n年定期兩全險(xiǎn)現(xiàn)值隨機(jī)變量的方差可計(jì)139例2.5.1（例2.1.1續(xù)）設(shè)計(jì)算例2.5.1（例2.1.1續(xù)）設(shè)140例2.5.1答案例2.5.1答案1412.6、延期m年n年定期兩全保險(xiǎn)定義被保險(xiǎn)人在投保后的前m年內(nèi)的死亡不獲賠償，從第m+1年開始為期n年的定期兩全保險(xiǎn)假定：歲的人，保額1元，延期m年的n年定期兩全保險(xiǎn)基本函數(shù)關(guān)系2.6、延期m年n年定期兩全保險(xiǎn)定義1422.6、延期m年n年定期兩全保險(xiǎn)躉繳純保費(fèi)的符號(hào)：厘定2.6、延期m年n年定期兩全保險(xiǎn)躉繳純保費(fèi)的符號(hào)：1432.6、延期m年n年定期兩全保險(xiǎn)記：

m年延期n年定期壽險(xiǎn)現(xiàn)值隨機(jī)變量為m年延期n年定期生存險(xiǎn)現(xiàn)值隨機(jī)變量為m年延期n年定期兩全險(xiǎn)現(xiàn)值隨機(jī)變量為已知?jiǎng)t現(xiàn)值隨機(jī)變量的方差2.6、延期m年n年定期兩全保險(xiǎn)記：144exercise例：考慮一個(gè)50歲的人，其死亡服從計(jì)算下列五種保險(xiǎn)計(jì)劃的躉繳凈保費(fèi)，保額均為1000元，在死亡發(fā)生時(shí)立即給付。五年定期壽險(xiǎn)終身壽險(xiǎn)五年生存保險(xiǎn)五年兩全保險(xiǎn)五年延期終身壽險(xiǎn)exercise例：考慮一個(gè)50歲的人，其死亡服從1452.7、遞增終身壽險(xiǎn)定義：遞增終身壽險(xiǎn)是變額受益保險(xiǎn)的一種特殊情況。假定受益金額為剩余壽命的線性遞增函數(shù)特別：一年遞增一次(provide1atthemomentofdeathduringthefirstyear,2atthemomentofthesecondyearandsoon)一年遞增m次(thebenefitwillbe1/matthemomentofdeathduringthefirstmthofayearofthetermoftheinsuranceandincreasingby1/matmthlyintervalsthroughoutthetermoftheinsurance)一年遞增無窮次（連續(xù)遞增）(thelimitingcaseofthemthlyincreasing)2.7、遞增終身壽險(xiǎn)定義：遞增終身壽險(xiǎn)是變額受益保險(xiǎn)的一種特1462.7.1一年遞增一次現(xiàn)值隨機(jī)變量躉繳保費(fèi)厘定2.7.1一年遞增一次現(xiàn)值隨機(jī)變量1472.7.2一年遞增m次現(xiàn)值隨機(jī)變量躉繳保費(fèi)厘定2.7.2一年遞增m次現(xiàn)值隨機(jī)變量1482.7.3一年遞增無窮次（連續(xù)遞增）現(xiàn)值隨機(jī)變量躉繳保費(fèi)厘定2.7.3一年遞增無窮次（連續(xù)遞增）現(xiàn)值隨機(jī)變量149例2.7.1例：Z是（x）的n年定期壽險(xiǎn)，bt為死亡時(shí)給付額的現(xiàn)值隨機(jī)變量，計(jì)算Var(Z)，其中bt=(1+i)t提示：例2.7.1例：Z是（x）的n年定期壽險(xiǎn)，bt為死亡時(shí)給付額1502.8、遞減定期壽險(xiǎn)定義：遞減定期壽險(xiǎn)是變額受益保險(xiǎn)的另一種特殊情況。假定受益金額為剩余壽命的線性遞減函數(shù)特別：一年遞減一次(providenatthemomentofthedeathduringthefirstyear,n-1atmomentofdeathduringthesecondyearandsoon)一年遞減m次(thebenefitwillbe1/matthemomentofdeathduringthefirstmthofayearofthetermoftheinsuranceanddecreasingby1/matmthlyintervals)一年遞減無窮次（連續(xù)遞減）(thelimitingcaseofthemthlydecreasing)2.8、遞減定期壽險(xiǎn)定義：遞減定期壽險(xiǎn)是變額受益保險(xiǎn)的另一種1512.8.1一年遞減一次現(xiàn)值隨機(jī)變量躉繳保費(fèi)厘定2.8.1一年遞減一次現(xiàn)值隨機(jī)變量1522.8.2一年遞減m次現(xiàn)值隨機(jī)變量躉繳保費(fèi)厘定2.8.2一年遞減m次現(xiàn)值隨機(jī)變量1532.8.3一年遞減無窮次（連續(xù)遞減）現(xiàn)值隨機(jī)變量躉繳保費(fèi)厘定2.8.3一年遞減無窮次（連續(xù)遞減）現(xiàn)值隨機(jī)變量1543、計(jì)算未來給付現(xiàn)值隨機(jī)變量zt的高階矩3、計(jì)算未來給付現(xiàn)值隨機(jī)變量zt的高階矩1553、計(jì)算未來給付現(xiàn)值隨機(jī)變量zt的高階矩若，則的計(jì)算結(jié)果只須將的計(jì)算結(jié)果中的換為k即可，無需重新計(jì)算，這是一種很直接的運(yùn)算技巧，比如3、計(jì)算未來給付現(xiàn)值隨機(jī)變量zt的高階矩若156第三節(jié)死亡年末賠付躉繳純保費(fèi)的厘定第三節(jié)死亡年末賠付1571、死亡年末賠付（payableattheendoftheyearofdeath）死亡年末賠付的含義死亡年末陪付是指如果被保險(xiǎn)人在保障期內(nèi)發(fā)生保險(xiǎn)責(zé)任范圍內(nèi)的死亡，保險(xiǎn)公司將在死亡事件發(fā)生的當(dāng)年年末給予保險(xiǎn)賠付。由于賠付時(shí)刻都發(fā)生在死亡事件發(fā)生的當(dāng)年年末，所以死亡年末陪付時(shí)刻是一個(gè)離散隨機(jī)變量，它距保單生效日的時(shí)期長(zhǎng)度就等于被保險(xiǎn)人簽約時(shí)的整值剩余壽命加一。這正好可以使用以整值年齡為刻度的生命表所提供的生命表函數(shù)。所以死亡年末賠付方式是保險(xiǎn)精算師在厘定躉繳保費(fèi)時(shí)通常先假定的理賠方式。1、死亡年末賠付（payableattheendof1582、基本符號(hào)

——?dú)q投保的人整值剩余壽命——保險(xiǎn)金在死亡年末給付函數(shù)——貼現(xiàn)函數(shù)?！ｋU(xiǎn)賠付金在簽單時(shí)的現(xiàn)時(shí)值。——保險(xiǎn)賠付金在簽單現(xiàn)時(shí)值的期望。2、基本符號(hào)——?dú)q投保的人整1593、定期壽險(xiǎn)死亡年末賠付場(chǎng)合基本函數(shù)關(guān)系記k為被保險(xiǎn)人整值剩余壽命，則3、定期壽險(xiǎn)死亡年末賠付場(chǎng)合基本函數(shù)關(guān)系1603、定期壽險(xiǎn)死亡年末賠付場(chǎng)合躉繳純保費(fèi)的符號(hào)：厘定：3、定期壽險(xiǎn)死亡年末賠付場(chǎng)合躉繳純保費(fèi)的符號(hào)：1613、定期壽險(xiǎn)死亡年末賠付場(chǎng)合現(xiàn)值隨機(jī)變量的方差公式記等價(jià)方差為3、定期壽險(xiǎn)死亡年末賠付場(chǎng)合現(xiàn)值隨機(jī)變量的方差公式1624、死亡年末給付躉繳純保費(fèi)公式歸納終身壽險(xiǎn)延期m年的n年定期壽險(xiǎn)延期m年的終身壽險(xiǎn)n年期兩全保險(xiǎn)延期m年的n年期兩全保險(xiǎn)遞增終身壽險(xiǎn)遞減n年定期壽險(xiǎn)4、死亡年末給付躉繳純保費(fèi)公式歸納終身壽險(xiǎn)延期m年的n年定期163例3.4.1（x）歲的人投保5年期的定期壽險(xiǎn)，保險(xiǎn)金額為1萬元，保險(xiǎn)金死亡年末給付，按美國(guó)示例生命表計(jì)算（1）20歲的人按實(shí)質(zhì)利率為2.5%計(jì)算的躉繳純保費(fèi)。（2）60歲的人按實(shí)質(zhì)利率為2.5%計(jì)算的躉繳純保費(fèi)。（3）20歲的人按實(shí)質(zhì)利率為6%計(jì)算的躉繳純保費(fèi)。（4）60歲的人按實(shí)質(zhì)利率為6%計(jì)算的躉繳純保費(fèi)。例3.4.1（x）歲的人投保5年期的定期壽險(xiǎn)，保險(xiǎn)金額為1萬164例3.4.1答案例3.4.1答案165例3.4.2例：如果死亡服從，利率為0.04，并且設(shè)利率為0.04時(shí)，，計(jì)算例3.4.2例：如果死亡服從，利率為0.166例3.4.2答案例3.4.2答案167例3.4.3有一份保險(xiǎn)，若（80）在第（k+1）年死亡，（k=0,1,2……），則在其死亡年末支付k+1，假設(shè)（1）V=0.925（2）則該保險(xiǎn)的躉繳凈保費(fèi)為4，計(jì)算當(dāng)時(shí)，該保險(xiǎn)的躉繳保費(fèi)。例3.4.3有一份保險(xiǎn)，若（80）在第（k+1）年死亡，（k168例3.4.3答案例3.4.3答案1695、死亡年末給付與死亡即刻給付躉繳純保費(fèi)之間的關(guān)系(UDD)以終身壽險(xiǎn)為例，有剩余壽命等于整值剩余壽命加死亡之年分?jǐn)?shù)生存壽命：在UDD假設(shè)下，k,s為相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且s服從均勻分布

5、死亡年末給付與死亡即刻給付躉繳純保費(fèi)之間的關(guān)系(U