第二講：Matlab向量與矩陣運(yùn)算3

第二講向量與矩陣運(yùn)算1向量與矩陣的生成向量與矩陣運(yùn)算

向量的生成

直接輸入:規(guī)則：向量元素必須用[]括住行向量元素必須用逗號或空格分隔列向量元素必須用分號分隔矩陣元素可以是任何matlab表達(dá)式，可以是實(shí)數(shù)，也可以是復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)可用特殊函數(shù)i，j輸入例：x=[2pi/2;sqrt(3)3+5i]a=[1,2,3,4]a=[1;2;3;4]2

向量的生成

直接輸入:

冒號運(yùn)算符：形式x=x0:step:xna=[1:4]

==>a=[1,2,3,4]b=[0:pi/3:pi]

==>

b=[0,1.0472,2.0944,3.1416]c=[6:-2:0]

==>c=[6,4,2,0]例：注意:此時(shí)[]可不用。冒號的作用：用于生成等間隔的向量，默認(rèn)間隔為1。3

向量的生成

直接輸入:

冒號運(yùn)算符

從矩陣中抽取行或列A=[123;456;789];B=A(1,:)B=123冒號的作用：用于用于選出矩陣指定行、列及元素。4

向量的生成

直接輸入:

冒號運(yùn)算符

從矩陣中抽取行或列

用matlab函數(shù)A=linspace(1,5)%產(chǎn)生1~5的100個(gè)線性等間隔的數(shù)注意：與冒號運(yùn)算符方法的區(qū)別A=logspace(1,5)%產(chǎn)生10^1~10^5的50個(gè)對數(shù)等間隔的數(shù)注意：matlab嚴(yán)格區(qū)分大小寫字母，因此a與A是兩個(gè)不同的變量。

matlab函數(shù)名必須小寫。5

矩陣的生成

直接輸入:A=[1,2,3;4,5,6;7,8,9]

由向量生成

由函數(shù)生成

通過編寫m文件生成例：>>x=[1,2,3];y=[2,3,4];>>A=[x,y],B=[x;y]例：>>loadA.mat

通過外部數(shù)據(jù)文件加載例：>>C=magic(3)6常見矩陣生成函數(shù)zeros(m,n)生成一個(gè)m

行n

列的零矩陣，m=n

時(shí)可簡寫為zeros(n)ones(m,n)生成一個(gè)m行n列的元素全為1的矩陣,

m=n

時(shí)可寫為ones(n)eye(m,n)生成一個(gè)主對角線全為1的m

行n

列矩陣,

m=n

時(shí)可簡寫為eye(n)，即為n

維單位矩陣diag(X)若X是矩陣，則diag(X)為X的主對角線向量若X是向量，diag(X)產(chǎn)生以X為主對角線的對角矩陣tril(A)提取一個(gè)矩陣的下三角部分triu(A)提取一個(gè)矩陣的上三角部分rand(m,n)產(chǎn)生0～1間均勻分布的隨機(jī)矩陣m=n

時(shí)簡寫為rand(n)randn(m,n)產(chǎn)生均值為0，方差為1的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布隨機(jī)矩陣

m=n

時(shí)簡寫為randn(n)7矩陣的修改直接修改

可用鍵找到所要修改的矩陣，用鍵移動到要修改的矩陣元素上即可修改。指令修改可以用A(,)=來修改。8例如a=[120;305;789]a=120305789a(3,3)=0a=1203057809把matlab工作空間中一些有用的數(shù)據(jù)長久保存下來的方法是生成mat數(shù)據(jù)文件。

save——將工作空間中所有的變量存到matlab.mat文件中。數(shù)據(jù)的保存與獲取默認(rèn)文件名10savedata——將工作空間中所有的變量存到data.mat文件中。savedataab——將工作空間中a和b變量存到data.mat文件中。

下次運(yùn)行matlab時(shí)即可用load指令調(diào)用已生成的mat文件。11load——loaddata——loaddataab——mat文件是標(biāo)準(zhǔn)的二進(jìn)制文件，還可以ASCII碼形式保存。即可恢復(fù)保存過的所有變量12向量的運(yùn)算向量的點(diǎn)積：格式：c=dot(A,B)%返回向量A、B的標(biāo)量積。A、B必須長度相等，與sum(a.*b)等效）c=dot(A,B,dim)向量的加減（數(shù)加減）：向量的數(shù)乘向量的叉積：格式：c=cross(A,B)%返回向量A、B的叉積向量。A、B必須3個(gè)元素的向量c=cross(A,B,dim)13矩陣操作提取矩陣的部分元素：冒號運(yùn)算符

A(:)

A的所有元素

A(:,:)

二維矩陣A的所有元素

A(:,k)

A的第k列，A(k,:)

A的第k行

A(k:m)

A的第k到第m個(gè)元素

A(:,k:m)

A的第k到第m列組成的子矩陣A(:)與A(:,:)的區(qū)別?如何獲得由A的第一、三行和第一、二列組成的子矩陣？自己動手b=[a(1,1:2);a(3,1:2)]14矩陣操作矩陣的旋轉(zhuǎn)

fliplr(A)

左右旋轉(zhuǎn)

flipud(A)

上下旋轉(zhuǎn)

rot90(A)

逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度；

rot90(A,k)

逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)k×90度例：>>

A=[123;456]>>

B=fliplr(A)>>

C=flipud(A)>>

D=rot90(A),E=rot90(A,-1)15矩陣操作矩陣的轉(zhuǎn)置與共軛轉(zhuǎn)置

’

共軛轉(zhuǎn)置

.’

轉(zhuǎn)置，矩陣元素不取共軛例：>>

A=[12;2i3i]>>

B=A’>>

C=A.’點(diǎn)與單引號之間不能有空格！16矩陣操作改變矩陣的形狀：reshapereshape(A,m,n):

將矩陣元素按

列方向

重組成m*n的矩陣重組后得到的新矩陣的元素個(gè)數(shù)必須與原矩陣元素個(gè)數(shù)相等！

17矩陣操作查看矩陣的大?。簊ize

size(A)

列出矩陣A的行數(shù)和列數(shù)

size(A,1)

返回矩陣A的行數(shù)

size(A,2)

返回矩陣A的列數(shù)例：>>

A=[123;456]>>

size(A)>>

size(A,1)>>

size(A,2)

length(x)

返回向量

X

的長度

length(A)

等價(jià)于

max(size(A))18矩陣基本運(yùn)算

矩陣的加減：對應(yīng)分量進(jìn)行運(yùn)算要求：1.參與加減運(yùn)算的矩陣具有相同的維數(shù)2.允許參與運(yùn)算的兩矩陣之一是標(biāo)量。標(biāo)量與矩陣的所有元素分別進(jìn)行加減操作。例：>>

A=[123;456];B=[321;654]>>

C=A+B;D=A-B;

矩陣的普通乘法要求參與運(yùn)算的矩陣滿足線性代數(shù)中矩陣相乘的原則，標(biāo)量可與任何矩陣相乘例：>>

A=[123;456];B=[21;34];>>

C=A*BD=A*pi19矩陣基本運(yùn)算

矩陣的除法：/、\右除和左除

若A可逆方陣，則A\B

<==>A的逆左乘B<==>inv(A)*BB/A

<==>A的逆右乘B<==>B*inv(A)X=A\B

<==>A*X=BX=B/A

<==>X*A=B

通常，矩陣除法可以理解為

當(dāng)A和B行數(shù)相等時(shí)即可進(jìn)行左除當(dāng)A和B列數(shù)相等時(shí)即可進(jìn)行右除20矩陣的乘方

A是方陣，p是正整數(shù)A^p

表示A

的p

次冪，即p

個(gè)A

相乘。

若A是方陣，p不是正整數(shù)

A^p的計(jì)算涉及到A的特征值分解，即若

A=V*D*V-1

則

A^p=V*(D.^p)/V21矩陣的乘方

若a是標(biāo)量，A是方陣，且[V,D]=eig(A)，則

a^A＝V*(a^D)/V

若A,P均是矩陣，則A^P

無定義

若a是標(biāo)量，

則22矩陣的Kronecker乘積

矩陣

Kronecker

乘積的定義設(shè)A是n×m矩陣，B是p×q矩陣，則A與B的kronecker乘積為：

Kronecker

乘積的性質(zhì)是np×mq

矩陣；通常任何兩個(gè)矩陣都有Kronecker

乘積

Matlab

中實(shí)現(xiàn)兩個(gè)矩陣Kronecker

相乘的函數(shù)為kron(A,B)Kronecker乘積有時(shí)也稱張量積23inv——矩陣求逆det——行列式的值eig——矩陣的特征值diag——對角矩陣’——矩陣轉(zhuǎn)置sqrt——矩陣開方矩陣的其它運(yùn)算

24矩陣的數(shù)組運(yùn)算

數(shù)組運(yùn)算：對應(yīng)元素進(jìn)行運(yùn)算點(diǎn)與算術(shù)運(yùn)算符之間不能有空格！

數(shù)組運(yùn)算包括：點(diǎn)加、點(diǎn)減（與矩陣加減運(yùn)算等校）、點(diǎn)乘、點(diǎn)除、點(diǎn)冪

相應(yīng)的數(shù)組運(yùn)算符為：“.*”，

“./”，

“.\”和“

.^”參與運(yùn)算的對象必須具有相同的形狀！例：>>

A=[123;456];B=[321;654];>>

C=A.*B;D=A./B;E=A.\B;F=A.^B;25a=[123;456;789];b=[246;135;7910];a.*bans=281841530497290a*bans=25374655851098513317226a./b=b.\a—都是a的元素被b的對應(yīng)元素除a.\b=b./a—都是a的元素被b的對應(yīng)元素除例:a=[123];b=[456];c1=a.\b;c2=b./ac1=4.00002.50002.0000c2=4.00002.50002.000027a=[123];b=[456];z=a.^bz=1.0032.00729.0028函數(shù)取值設(shè)x是變量，f

是一個(gè)函數(shù)

當(dāng)x=a是標(biāo)量時(shí)，f(x)=f(a)也是一個(gè)標(biāo)量

當(dāng)x=[a,b,…,c]是向量時(shí)，f(x)=[f(a),f(b),…,f(c)]函數(shù)作用在矩陣上的取值

若A是矩陣，則f(A)是一個(gè)與A同形狀的矩陣

f作用在x的每個(gè)分量上29函數(shù)取值例：>>

x=[0:pi/4:pi];A=[123;456];>>

y1=sin(x);y2=exp(A);y3=sqrt(A);例：30矩陣的超越函數(shù)

Matlab

提供了三種矩陣函數(shù)：expm、sqrtm、logm詳情參見聯(lián)機(jī)幫助（helpexpm/sqrtm/logm）

更一般的矩陣函數(shù)：

funm

funm(A,@fun)參數(shù)fun的可以是

exp,，log，cos，sin，cosh，sinh

31數(shù)與數(shù)組的點(diǎn)冪x.^y

=[1^4,2^5,3^6]=[1,32,729]

x.^2

=[1^2,2^2,3^2]=[1,4,9]

2.^x

=?

例：x=[123];y=[456];2.^[x;y]=?Matlab中的所有標(biāo)點(diǎn)符號必須在英文狀態(tài)下輸入32Matlab中常見數(shù)學(xué)函數(shù)sin、cos、tan、cot、sec、csc、…asin、acos、atan、acot、asec、acsc、…exp、log、log2、log10、sqrtabs、conj、real、imag、signfix、floor、ceil、round、mod、remmax、min、sum、mean、sort、fftnorm、rank、det、inv、eig、lu、qr、svd……log

是自然對數(shù)，即以

e

為底數(shù)mod(x,y)

結(jié)果與y

同號，rem(x,y)

則與

x

同號max

等函數(shù)的參數(shù)是矩陣時(shí)，是作用在矩陣各列上33符號的作用逗號和分號的作用

逗號和分號可作為指令間的分隔符，matlab允許多條語句在同一行出現(xiàn)。

分號如果出現(xiàn)在指令后，屏幕上將不顯示結(jié)果。34注意：只要是賦過值的變量，不管是否在屏幕上顯示過，都存儲在工作空間中，以后可隨時(shí)顯示或調(diào)用。變量名盡可能不要重復(fù)，否則會覆蓋。當(dāng)一個(gè)指令或矩陣太長時(shí)，可用???續(xù)行35冒號的作用

用于生成等間隔的向量，默認(rèn)間隔為1。用于選出矩陣指定行、列及元素。循環(huán)語句36小結(jié)

本節(jié)介紹了matlab語言的向量與矩陣運(yùn)算功能，通過學(xué)習(xí)應(yīng)該掌握：如何創(chuàng)建矩陣、修改矩陣矩陣及數(shù)組運(yùn)算符號的用法37上機(jī)作業(yè)試分別生成5階的單位陣、8階均勻分布的隨機(jī)矩陣

及其下三角矩陣生產(chǎn)列向量x=[1,3,5,7,