77套歷年全國高中數(shù)學(xué)競賽試卷及答案

2017年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽（四川初賽）（5月14日下午14:30—16:30）題目一二三總成績13141516得分評卷人復(fù)核人考生注意：1.本試卷共有三大題（16個小題），全卷滿分140分2.用黑（藍(lán)）色圓珠筆或鋼筆作答。3.計(jì)算器，通訊工具不準(zhǔn)待入考場。4.解題書寫不要超過封線一，單項(xiàng)選擇題（本大題共6個小題，每小題5分，共30分）已知函數(shù)處有極值，則實(shí)數(shù)a的值是（）-2B.-1C.1D.22.已知的兩個根，則（）A.B.C.D.3.在的展開式。所有形如的項(xiàng)的系數(shù)之和是（）A.112B.448C.1792D.143364.已知的左，右焦點(diǎn)，該橢圓上存在兩點(diǎn)A,B,使得,則該橢圓的離心率的取值范圍是（）A.（0.）B.（0.）C.（，1）D.（，1）5.已知△ABC中，的最大值時（）A.B.C.2D.6.已知數(shù)列滿足：，用表示不超過實(shí)數(shù)x的最大整數(shù)，則的個位數(shù)是（）A.2B.4C.6D.8二，填空題（本大題共6個小題，每條題5分，共30分）已知函數(shù)=_________.設(shè)，其中是虛數(shù)單位，若成等比數(shù)列，則實(shí)數(shù)a的值是___________.9.若是雙曲線上的點(diǎn)，則的最小值是_________.如圖，設(shè)正方體的棱長為1，α為過直線的平面，則α截該正方體的截面面積的取值范圍是_________.11.已知實(shí)數(shù)滿足：的最大值是____.12.設(shè)集合則集合A中元素的個數(shù)是___________三，解答題（本大題共4個小題，每小題20分，共80分）13.已知數(shù)列滿足：（1）若a=3,求證：數(shù)列成等比數(shù)列，并求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若對任意的正整數(shù)n,都有，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。14.1993年，美國數(shù)學(xué)家F.Smarandache提出許多數(shù)論問題，引起國內(nèi)外相關(guān)學(xué)者的關(guān)注，其中之一便是著名的Smarandache函數(shù)。正整數(shù)n的Smarandache函數(shù)定義為，比如：（1）求數(shù)S（16）和S（2016）的值；（2）若S（n）=7,求正整數(shù)n的最大值；（3）證明：存在無窮多個合數(shù)n，使得,其中的最大質(zhì)因數(shù).如圖，軸上，且關(guān)于y軸對稱，過點(diǎn)垂直于x軸的直線與拋物線交于B,C,點(diǎn)D為線段AB上的動點(diǎn)，點(diǎn)E在線段AC上，滿足（1）求證：直線DE與此拋物線有且只有一個公共點(diǎn)；（2）設(shè)直線DE與此拋物線的公共點(diǎn)F，記△BCF與△ADE的面積分別為,求的值.16.設(shè)為實(shí)數(shù)，若對任意的實(shí)數(shù)恒成立，其中求的最大值和的最小值2017年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽（四川初賽）試題草考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)一，選擇題（本大題共6個小題，每小題5分，共30分）1.A2.B3.C4.C5.B6.A二，填空題（本大題共6個小題，每小題5分，共30分）7.10088.09.210.11.212.243三，解答題（本大題共4個小題，每小題20分，共80分）證明：（1）因?yàn)樗?，?shù)列成等比數(shù)列……5分于是即數(shù)列的通項(xiàng)公式……10分法1：因?yàn)閷θ我獾恼麛?shù)n都成立，故由（1）知①當(dāng)3<a<4時，則b<0,注意到則，即數(shù)列單調(diào)遞增從而……15分②當(dāng)a=4時，由條件可知滿足條件：③注意到，滿足條件綜上，所求實(shí)數(shù)a的取值范圍……20分法2：因?yàn)閷θ我獾恼麛?shù)n都成立，故下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)時，對任意的正整數(shù)n，都有當(dāng)時，結(jié)論成立：假設(shè)當(dāng)，……15分于是結(jié)論對也成立.由歸納原理知，對任意的正整數(shù)n，都有綜上，所求實(shí)數(shù)a的取值范圍……20分14.解：因?yàn)椤?分由又……10分（2）由又……15分（3）因?yàn)閷θ我馄尜|(zhì)數(shù)所以，存在無窮多個合數(shù)n,使得……20分15，解：設(shè)所以可得設(shè)于是設(shè)所以E的坐標(biāo)為因此直線DE的斜率為：，……5分所以直線DE的方程是化簡得，①與拋物線方程聯(lián)立，得即②此時，方程②有兩個相等的根：代入①，得所以直線DE與此拋物線有且只有一個公共點(diǎn)……10分（2）……15分設(shè)直線DE與x軸交于點(diǎn)G，令解得于是所以……20分16.解：?。?）先證：因?yàn)椤?分再證：綜上可知，α的最大值是3，β的最小值是3

……20分1988年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題第一試(10月16日上午8∶00——9∶30)一．選擇題(本大題共5小題，每小題有一個正確答案，選對得7分，選錯、不選或多選均得0分)：1．設(shè)有三個函數(shù)，第一個是y=φ(x)，它的反函數(shù)是第二個函數(shù)，而第三個函數(shù)的圖象與第二個函數(shù)的圖象關(guān)于x+y=0對稱，則，第三個函數(shù)是()A．y=－φ(x)B．y=－φ(－x)C．y=－φ－1(x)D．y=－φ－1(－x)2．已知原點(diǎn)在橢圓k2x2+y2－4kx+2ky+k2－1=0的內(nèi)部，則參數(shù)k的取值范圍是()A．|k|>1B．|k|≠1C．－1<k<1D．0<|k|<13．平面上有三個點(diǎn)集M，N，P：M={(x，y)||x|+|y|<1}，N={(x，y)|eq\r((x－\f(1,2))2+(y+\f(1,2))2)+eq\r((x+\f(1,2))2+(y－\f(1,2))2)<2eq\r(2)}，P={(x，y)||x+y|<1，|x|<1，|y|<1}．則A．Meq\o(\s\up4(),\s\do())Peq\o(\s\up4(),\s\do())NB．Meq\o(\s\up4(),\s\do())Neq\o(\s\up4(),\s\do())PC．Peq\o(\s\up4(),\s\do())Neq\o(\s\up4(),\s\do())MD．A、B、C都不成立4．已知三個平面α、β、γ，每兩個之間的夾角都是θ，且α∩β=a，β∩γ=b，γ∩α=c．若有命題甲：θ>eq\f(π,3)；命題乙：a、b、c相交于一點(diǎn)．則A．甲是乙的充分條件但不必要B．甲是乙的必要條件但不充分C．甲是乙的充分必要條件D．A、B、C都不對5．在坐標(biāo)平面上，縱橫坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)叫做整點(diǎn)，我們用I表示所有直線的集合，M表示恰好通過1個整點(diǎn)的集合，N表示不通過任何整點(diǎn)的直線的集合，P表示通過無窮多個整點(diǎn)的直線的集合．則表達(dá)式⑴M∪N∪P=I；⑵N≠?．⑶M≠?．⑷P≠?中，正確的表達(dá)式的個數(shù)是A．1B．2C．3D．4二．填空題(本大題共4小題，每小題10分)：1．設(shè)x≠y，且兩數(shù)列x，a1，a2，a3，y和b1，x，b2，b3，y，b4均為等差數(shù)列，則eq\f(b4－b3,a2－a1)=．2．(eq\r(x)+2)2n+1的展開式中，x的整數(shù)次冪的各項(xiàng)系數(shù)之和為．3．在△ABC中，已知∠A=α，CD、BE分別是AB、AC上的高，則eq\f(DE,BC)=．4．甲乙兩隊(duì)各出7名隊(duì)員，按事先排好順序出場參加圍棋擂臺賽，雙方先由1號隊(duì)員比賽，負(fù)者被淘汰，勝者再與負(fù)方2號隊(duì)員比賽，……直至一方隊(duì)員全部淘汰為止，另一方獲得勝利，形成一種比賽過程．則所有可能出現(xiàn)的比賽過程的種數(shù)為．三．(15分)長為eq\r(2)，寬為1的矩形，以它的一條對角線所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)一周，求得到的旋轉(zhuǎn)體的體積．四．(15分)復(fù)平面上動點(diǎn)Z1的軌跡方程為|Z1－Z0|=|Z1|，Z0為定點(diǎn)，Z0≠0，另一個動點(diǎn)Z滿足Z1Z=－1，求點(diǎn)Z的軌跡，指出它在復(fù)平面上的形狀和位置．五．(15分)已知a、b為正實(shí)數(shù)，且eq\f(1,a)+eq\f(1,b)=1，試證：對每一個n∈N*，(a+b)n－an－bn≥22n－2n+1．1988年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽二試題一．已知數(shù)列{an}，其中a1=1，a2=2，an+2=eq\b\lc\{(\a\ac(5an+1－3an(an·an+1為偶數(shù))，,an+1－an(an·an+1為奇數(shù))．))試證：對一切n∈N*，an≠0．二．如圖，在△ABC中，P、Q、R將其周長三等分，且P、Q在AB邊上，求證：eq\f(SPQR,SABC)>eq\f(2,9)．三．在坐標(biāo)平面上，是否存在一個含有無窮多直線l1，l2，……，ln，…的直線族，它滿足條件：⑴點(diǎn)(1，1)∈ln，(n=1，2，3，……)；⑵kn+1=an－bn，其中kn+1是ln+1的斜率，an和bn分別是ln在x軸和y軸上的截距，(n=1，2，3，……)；⑶knkn+1≥0，(n=1，2，3，……)．并證明你的結(jié)論．1988年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽解答一試題一．選擇題(本大題共5小題，每小題有一個正確答案，選對得7分，選錯、不選或多選均得0分)：1．設(shè)有三個函數(shù)，第一個是y=φ(x)，它的反函數(shù)是第二個函數(shù)，而第三個函數(shù)的圖象與第二個函數(shù)的圖象關(guān)于x+y=0對稱，則，第三個函數(shù)是()A．y=－φ(x)B．y=－φ(－x)C．y=－φ－1(x)D．y=－φ－1(－x)解：第二個函數(shù)是y=φ－1(x)．第三個函數(shù)是－x=φ－1(－y)，即y=－φ(－x)．選B．2．已知原點(diǎn)在橢圓k2x2+y2－4kx+2ky+k2－1=0的內(nèi)部，則參數(shù)k的取值范圍是()A．|k|>1B．|k|≠1C．－1<k<1D．0<|k|<1解：因是橢圓，故k≠0，以(0，0)代入方程，得k2－1<0，選D．3．平面上有三個點(diǎn)集M，N，P：M={(x，y)||x|+|y|<1}，N={(x，y)|eq\r((x－\f(1,2))2+(y+\f(1,2))2)+eq\r((x+\f(1,2))2+(y－\f(1,2))2)<2eq\r(2)}，P={(x，y)||x+y|<1，|x|<1，|y|<1}．則A．Meq\o(\s\up4(),\s\do())Peq\o(\s\up4(),\s\do())NB．Meq\o(\s\up4(),\s\do())Neq\o(\s\up4(),\s\do())PC．Peq\o(\s\up4(),\s\do())Neq\o(\s\up4(),\s\do())MD．A、B、C都不成立解：M表示以(1，0)，(0．1)，(－1，0)，(0，－1)為頂點(diǎn)的正方形內(nèi)部的點(diǎn)的集合(不包括邊界)；N表示焦點(diǎn)為(eq\f(1,2)，－eq\f(1,2))，(－eq\f(1,2)，eq\f(1,2))，長軸為2eq\r(2)的橢圓內(nèi)部的點(diǎn)的集合，P表示由x+y=±1，x=±1，y=±1圍成的六邊形內(nèi)部的點(diǎn)的集合．故選A．4．已知三個平面α、β、γ，每兩個之間的夾角都是θ，且α∩β=a，β∩γ=b，γ∩α=c．若有命題甲：θ>eq\f(π,3)；命題乙：a、b、c相交于一點(diǎn)．則A．甲是乙的充分條件但不必要B．甲是乙的必要條件但不充分C．甲是乙的充分必要條件D．A、B、C都不對解：a，b，c或平行，或交于一點(diǎn)．但當(dāng)a∥b∥c時，θ=eq\f(π,3)．當(dāng)它們交于一點(diǎn)時，eq\f(π,3)<θ<π．選C．5．在坐標(biāo)平面上，縱橫坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)叫做整點(diǎn)，我們用I表示所有直線的集合，M表示恰好通過1個整點(diǎn)的集合，N表示不通過任何整點(diǎn)的直線的集合，P表示通過無窮多個整點(diǎn)的直線的集合．則表達(dá)式⑴M∪N∪P=I；⑵N≠?．⑶M≠?．⑷P≠?中，正確的表達(dá)式的個數(shù)是A．1B．2C．3D．4解：均正確，選D．二．填空題(本大題共4小題，每小題10分)：1．設(shè)x≠y，且兩數(shù)列x，a1，a2，a3，y和b1，x，b2，b3，y，b4均為等差數(shù)列，則eq\f(b4－b3,a2－a1)=．解：a2－a1=eq\f(1,4)(y－x)，b4－b3=eq\f(2,3)(y－x)，eq\f(b4－b3,a2－a1)=eq\f(8,3)．2．(eq\r(x)+2)2n+1的展開式中，x的整數(shù)次冪的各項(xiàng)系數(shù)之和為．解：(eq\r(x)+2)2n+1－(eq\r(x)－2)2n+1=2(Ceq\a(1,2n+1)2xn+Ceq\a(3,2n+1)23xn－1+Ceq\a(5,2n+1)25xn－2+…+Ceq\a(2n+1,2n+1)22n+1)．令x=1，得所求系數(shù)和=eq\f(1,2)(32n+1+1)．3．在△ABC中，已知∠A=α，CD、BE分別是AB、AC上的高，則eq\f(DE,BC)=．解：△AED∽△ABC，eq\f(DE,BC)=eq\f(AD,AC)=|cosα|．4．甲乙兩隊(duì)各出7名隊(duì)員，按事先排好順序出場參加圍棋擂臺賽，雙方先由1號隊(duì)員比賽，負(fù)者被淘汰，勝者再與負(fù)方2號隊(duì)員比賽，……直至一方隊(duì)員全部淘汰為止，另一方獲得勝利，形成一種比賽過程．則所有可能出現(xiàn)的比賽過程的種數(shù)為．解畫1行14個格子，每個格子依次代表一場比賽，如果某場比賽某人輸了，就在相應(yīng)的格子中寫上他的順序號(兩方的人各用一種顏色寫以示區(qū)別)．如果某一方7人都已失敗則在后面的格子中依次填入另一方未出場的隊(duì)員的順序號．于是每一種比賽結(jié)果都對應(yīng)一種填表方法，每一種填表方法對應(yīng)一種比賽結(jié)果．這是一一對應(yīng)關(guān)系．故所求方法數(shù)等于在14個格子中任選7個寫入某一方的號碼的方法數(shù)．∴共有Ceq\a(7,14)種比賽方式．三．(15分)長為eq\r(2)，寬為1的矩形，以它的一條對角線所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)一周，求得到的旋轉(zhuǎn)體的體積．解：過軸所在對角線BD中點(diǎn)O作MN⊥BD交邊AD、BC于M、N，作AE⊥BD于E，則△ABD旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體為兩個有公共底面的圓錐，底面半徑AE=eq\f(\r(2),\r(3))=eq\f(\r(6),3)．其體積V=eq\f(π,3)(eq\f(\r(6),3))2·eq\r(3)=eq\f(2\r(3),9)π．同樣，△BCD旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積=eq\f(2\r(3),9)π．其重疊部分也是兩個圓錐，由△DOM∽△DAB，DO=eq\f(\r(3),2)，OM=eq\f(DO·AB,DA)=eq\f(\r(6),4)．∴其體積=2·eq\f(1,3)π·(eq\f(\r(6),4))2·eq\f(\r(3),2)=eq\f(\r(3),8)π．∴所求體積=2·eq\f(2\r(3),9)π－eq\f(\r(3),8)π=eq\f(23,72)eq\r(3π)．四．(15分)復(fù)平面上動點(diǎn)Z1的軌跡方程為|Z1－Z0|=|Z1|，Z0為定點(diǎn)，Z0≠0，另一個動點(diǎn)Z滿足Z1Z=－1，求點(diǎn)Z的軌跡，指出它在復(fù)平面上的形狀和位置．解：Z1=－eq\f(1,Z)，故得|－eq\f(1,Z)－Z0|=|eq\f(1,Z)|，即|ZZ0+1|=1．|Z+eq\f(1,Z0)|=|eq\f(1,Z0)|．即以－eq\f(1,Z0)為圓心|eq\f(1,Z0)|為半徑的圓．五．(15分)已知a、b為正實(shí)數(shù)，且eq\f(1,a)+eq\f(1,b)=1．試證：對每一個n∈N*，(a+b)n－an－bn≥22n－2n+1．證明：由已知得a+b=ab．又a+b≥2eq\r(ab)，∴ab≥2eq\r(ab)，故a+b=ab≥4．于是(a+b)k=(ab)k≥22k．又ak+bk≥2eq\r(akbk)=2eq\r((a+b)k)≥2k+1．下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：1°當(dāng)n=1時，左=右=0．左≥右成立．2°設(shè)當(dāng)n=k(k≥1，k∈N)時結(jié)論成立，即(a+b)k－ak－bk≥22k－2k+1成立．則(a+b)k+1－ak+1－bk+1=(a+b)(a+b)k－(ak+bk)(a+b)+ab(ak－1+bk－1)=(a+b)[(a+b)k－ak－bk]+ab(ak－1+bk－1)≥4?(22k－2k+1)+4?2k=22(k+1)－4?2k+1+4?2k=22(k+1)－2(k+1)+1．即命題對于n=k+1也成立．故對于一切n∈N*，命題成立．二試題一．已知數(shù)列{an}，其中a1=1，a2=2，an+2=eq\b\lc\{(\a\ac(5an+1－3an(an·an+1為偶數(shù))，,an+1－an(an·an+1為奇數(shù))．))試證：對一切n∈N*，an≠0．（1988年全國高中競賽試題）分析：改證an?0(mod4)或an?0(mod3)．證明：由a1=1，a2=2，得a3=7，a4=29，……∴a1≡1，a2≡2，a3≡3(mod4)．設(shè)a3k－2≡1，a3k－1≡2，a3k≡3(mod4)．則a3k+1≡5×3－3×2=9≡1(mod4)；a3k+2≡1－3=－2≡2(mod4)；a3k+3≡5×2－3×1=7≡3(mod4)．根據(jù)歸納原理知，對于一切n∈N，a3n－2≡1，a3n－1≡2，a3n≡3(mod4)恒成立，故an?0(mod4)成立，從而an≠0．又證：a1≡1，a2≡2(mod3)．設(shè)a2k－1≡1，a2k≡2(mod3)成立，則當(dāng)a2k－1?a2k為偶數(shù)時a2k+1≡5×2－3×1≡1(mod3)，當(dāng)a2k－1?a2k為奇數(shù)時a2k+1≡2－1≡1(mod3)，總之a(chǎn)2k+1≡1(mod3)．當(dāng)a2k?a2k+1為偶數(shù)時a2k+2≡5×1－3×2≡2(mod3)，當(dāng)a2k?a2k+1為奇數(shù)時a2k+2≡1－2≡2(mod3)，總之，a2k+2≡2(mod3)．于是an?0(mod3)．故an≠0．二．如圖，在△ABC中，P、Q、R將其周長三等分，且P、Q在AB邊上，求證：eq\f(SPQR,SABC)>eq\f(2,9)．證明：作△ABC及△PQR的高CN、RH．設(shè)△ABC的周長為1．則PQ=eq\f(1,3)．則eq\f(SPQR,SABC)=eq\f(PQ·RH,AB·CN)=eq\f(PQ,AB)·eq\f(AR,AC)，但AB<eq\f(1,2)，于是eq\f(PQ,AB)>eq\f(2,3)，AP≤AB－PQ<eq\f(1,2)－eq\f(1,3)=eq\f(1,6)，∴AR=eq\f(1,3)－AP>eq\f(1,6)，AC<eq\f(1,2)，故eq\f(AR,AC)>eq\f(1,3)，從而eq\f(SPQR,SABC)>eq\f(2,9)．三．在坐標(biāo)平面上，是否存在一個含有無窮多直線l1，l2，……，ln，…的直線族，它滿足條件：⑴點(diǎn)(1，1)∈ln，(n=1，2，3，……)；⑵kn+1=an－bn，其中kn+1是ln+1的斜率，an和bn分別是ln在x軸和y軸上的截距，(n=1，2，3，……)；⑶knkn+1≥0，(n=1，2，3，……)．并證明你的結(jié)論．證明：設(shè)an=bn≠0，即kn－1=－1，或an=bn=0，即kn=1，就有kn+1=0，此時an+1不存在，故kn≠±1．現(xiàn)設(shè)kn≠0，1，則y=kn(x－1)+1，得bn=1－kn，an=1－eq\f(1,kn)，∴kn+1=kn－eq\f(1,kn)．此時knkn+1=kn2－1．∴kn>1或kn<－1．從而k1>1或k1<－1．⑴當(dāng)k1>1時，由于0<eq\f(1,k1)<1，故k1>k2=k1－eq\f(1,k1)>0，若k2>1，則又有k1>k2>k3>0，依此類推，知當(dāng)km>1時，有k1>k2>k3>?…>km>km+1>0，且0<eq\f(1,k1)<eq\f(1,k2)<…<eq\f(1,km)<1，km+1=km－eq\f(1,km)<km－eq\f(1,k1)=km－1－eq\f(1,km－1)－eq\f(1,k1)<km－1－eq\f(2,k1)<…<k1－eq\f(m,k1)．由于k1－eq\f(m,k1)隨m的增大而線性減小，故必存在一個m值，m=m0，使k1－eq\f(m0,k1)≤1，從而必存在一個m值m=m1≤m0，使keq\s\do4(m1－1)≥1，而1>keq\s\do4(m1)=keq\s\do4(m1－1)－eq\f(1,keq\s\do4(m1－1))>0，此時keq\s\do4(m1)·keq\s\do4(m1+1)<0．即此時不存在這樣的直線族．⑵當(dāng)k1<－1時，同樣有－1<eq\f(1,k1)<0，得k1<k2=k1－eq\f(1,k1)<0．若k2<－1，又有k1<k2<k3<0，依此類推，知當(dāng)km<－1時，有k1<k2<k3<?…<km<km+1<0，且0>eq\f(1,k1)>eq\f(1,k2)>…>eq\f(1,km)>－1，km+1=km－eq\f(1,km)>km－eq\f(1,k1)=km－1－eq\f(1,km－1)－eq\f(1,k1)>km－1－eq\f(2,k1)>…>k1－eq\f(m,k1)．由于k1－eq\f(m,km)隨m的增大而線性增大，故必存在一個m值，m=m0，使k1－eq\f(m0,k1)≥－1，從而必存在一個m值，m=m1(m1≤m0)，使keq\s\do4(m1－1)≤－1，而－1<keq\s\do4(m1)=keq\s\do4(m1)－eq\f(1,keq\s\do4(m1－1))<0，此時keq\s\do4(m1)·keq\s\do4(m1+1)<0．即此時不存在這樣的直線族．綜上可知這樣的直線族不存在．廈門市參加2010年福建省高中數(shù)學(xué)競賽暨2010年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽福建賽區(qū)競賽的通知貴校教務(wù)處轉(zhuǎn)數(shù)學(xué)教研組：根據(jù)閩科協(xié)發(fā)【2010】39號文件《關(guān)于舉辦2010年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽福建賽區(qū)競賽的通知》，以及省數(shù)學(xué)會《關(guān)于2010年福建省高中數(shù)學(xué)競賽暨2010年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽福建賽區(qū)競賽的通知》，根據(jù)我市情況，有關(guān)競賽工作通知如下：一、賽制、競賽時間和命題范圍競賽分預(yù)賽和復(fù)賽兩個階段。1．預(yù)賽：（1）時間：2010年9月11日（星期六）9：00——11：30，在本市考點(diǎn)進(jìn)行。（2）試題來源：預(yù)賽試題由福建省數(shù)學(xué)學(xué)會組織命題，同時也作為《2010年福建省高中數(shù)學(xué)競賽》的試題，試題類型以全國聯(lián)賽類型為主，適當(dāng)補(bǔ)充少量全國聯(lián)賽加試部分的內(nèi)容。（3）試卷結(jié)構(gòu)：填空題10題，每題6分，滿分60分；解答題5題，每題20分，滿分100分。全卷滿分160分?？荚嚂r間150分鐘。2．復(fù)賽（1）時間與地點(diǎn)：2010年10月17日（星期日）8：00——12：10，集中在福州一中舊校區(qū)進(jìn)行考試。其中聯(lián)賽時間為8：00—9：20，加試時間為9：40—12：10。（2）試題來源與命題要求：復(fù)賽試題是由中國數(shù)學(xué)會統(tǒng)一命題的全國聯(lián)賽試題和加試試題。命題范圍以現(xiàn)行高中數(shù)學(xué)教學(xué)大綱為準(zhǔn)，加試試題的命題范圍以數(shù)學(xué)競賽大綱為準(zhǔn)。根據(jù)現(xiàn)行“高中數(shù)學(xué)競賽大綱”的要求，全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽（一試）所涉及的知識范圍不超過教育部2000年《全日制普通高級中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱》中所規(guī)定的教學(xué)要求和內(nèi)容，但方法的要求上有所提高。主要考查學(xué)生對基礎(chǔ)知識和基本技能的掌握情況，以及綜合、靈活運(yùn)用知識的能力。全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽加試（二試）與中國數(shù)學(xué)奧林匹克（冬令營）、國際數(shù)學(xué)奧林匹克接軌，在知識方面有所擴(kuò)展，適當(dāng)增加一些教學(xué)大綱之外的內(nèi)容。（3）試卷結(jié)構(gòu)：全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽（一試）試卷結(jié)構(gòu)為：填空題8題，每題8分，滿分64分；解答題3題，分別為16分、20分、20分，滿分56分。全卷滿分120分?？荚嚂r間80分鐘；全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽加試（二試）試卷結(jié)構(gòu)為：4道解答題，涉及平面幾何、代數(shù)、數(shù)論、組合四個方面。每題50分。滿分200分。考試時間150分鐘。二、參賽對象本學(xué)年度的在校高中學(xué)生均可報名，自愿參加，不影響學(xué)校的正常教學(xué)秩序。三、報名、報名費(fèi)和準(zhǔn)考證采用網(wǎng)上報名。在各校教務(wù)處的指導(dǎo)下，由高二年數(shù)學(xué)備課組長具體負(fù)責(zé)，組織學(xué)生報名參加競賽。報名表請參照樣表、統(tǒng)一用Excel文檔并按要求認(rèn)真填寫，根據(jù)省數(shù)學(xué)會要求，報名時需將所有參加考試的考生的花名冊上交，為最后評獎、頒發(fā)獲獎學(xué)生證書以及制作指導(dǎo)教師證書的依據(jù)，務(wù)必請各校認(rèn)真填寫報名表，指導(dǎo)教師以報名表上登記的為準(zhǔn)（每名學(xué)生只能上報1名指導(dǎo)教師），賽后不得更改。報名費(fèi)（按省數(shù)學(xué)會通知）統(tǒng)一收取每生18元。各參賽學(xué)校請將報名表的電子文本用E.；報名費(fèi)請直接匯入建設(shè)銀行活期存折，存折戶名：陳智猛，ATM卡號：4367421930036257416。報名截止時間是6月25日，逾期不予受理。請保留匯款的憑單備查，將本校報名人數(shù)以及匯款的金額數(shù)用手機(jī)短信形式發(fā)送至，短信聯(lián)系進(jìn)行報名的確認(rèn)。9月初召開考務(wù)會同時領(lǐng)取準(zhǔn)考證，準(zhǔn)考證請各校自行填寫，由備課組長保管，考前30分鐘再發(fā)給考生。四、考號安排學(xué)校 考號安排廈門一中 10001——10600雙十中學(xué) 10601——11200廈門六中 11201——11800外國語學(xué)校 11801——12400科技中學(xué) 12401——13000廈門二中 13001——13200湖濱中學(xué) 13201——13400學(xué)校 考號安排松柏中學(xué) 13401——13600廈門三中 13601——13800華僑中學(xué) 13801——14000禾山中學(xué) 14001——14200大同中學(xué) 14201——14400康橋中學(xué) 14401——14600集美中學(xué) 20001——20400英才學(xué)校 20401——20600灌口中學(xué) 20601——28000樂安中學(xué) 20801——21000廈門十中 21001——21400杏南中學(xué) 21401——21600海滄中學(xué) 21601——21800海滄實(shí)驗(yàn)中學(xué) 21801——22000同安一中 30001——30600啟悟中學(xué) 30601——30800第二外國語學(xué)校 30801——31000東山中學(xué) 31001——31200五顯中學(xué) 31201——31400國祺中學(xué) 31401——31600翔安一中 40001——40400新店中學(xué) 40401——40600內(nèi)厝中學(xué) 40601——40800詩扳中學(xué) 40801——41000五、考務(wù)：有關(guān)考場的設(shè)置、監(jiān)考等考務(wù)工作另行安排布置。六、獎項(xiàng)：按參賽人數(shù)的5%從高分到低分確定復(fù)賽入圍者；預(yù)賽成績?yōu)楸緟^(qū)第一名經(jīng)省數(shù)學(xué)會審核無誤后也可以直接參加復(fù)賽。另外，符合下列條件之一者可直接進(jìn)入復(fù)賽：（1）2008年、2009年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽（福建賽區(qū)）一、二等獎獲得者；（2）2010年東南地區(qū)數(shù)學(xué)奧林匹克競賽一、二等獎獲得者；（3）2010年福建省高一數(shù)學(xué)競賽（?。┣笆迕@得者；（4）2010年中國女子數(shù)學(xué)奧林匹克競賽一、二等獎獲得者。復(fù)賽試卷經(jīng)省數(shù)學(xué)會評定后，評出（省級）全國一、二、三等獎的獲獎名單報省科協(xié)、省教育廳審定，獲得（省級）全國一、二、三等獎的選手及指導(dǎo)教師由省科協(xié)和省教育廳聯(lián)合頒發(fā)獲獎證書。注意：一等獎、二等獎和三等獎均按聯(lián)賽與加試的總分評定。省數(shù)學(xué)會評出《2009年福建省高中數(shù)學(xué)競賽》一、二、三等獎后，我市在省獎之外再評出市一等獎、二等獎、三等獎，以及表揚(yáng)獎若干名。為了鼓勵各校參加高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽的積極性，研究決定：按報名人數(shù)給學(xué)校不低于10%的市級（以上）獲獎名額，鼓勵學(xué)生。廈門市教育科學(xué)研究院基礎(chǔ)教育研究室廈門市教育學(xué)會數(shù)學(xué)教學(xué)專業(yè)委員會2010年5月13日附：2010年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽福建賽區(qū)（廈門）競賽報名表考號學(xué)生姓名性別年級所在學(xué)校指導(dǎo)教師考生總數(shù)（人）應(yīng)交金額（元）（注：報名表的指導(dǎo)教師欄請認(rèn)真填寫，賽后不得更改）1992年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試卷第一試一．選擇題(每小題5分，共30分)對于每個自然數(shù)n，拋物線y(n2＋n)x2-(2n＋1)x＋1與x軸交于An，Bn兩點(diǎn)，以|AnBn|表示該兩點(diǎn)的距離，則|A1B1|＋|A2B2|＋L＋|A1992B1992|的值是()

(A)(B)(C)(D)已知如圖的曲線是以原點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓的一部分，則這一曲線的方程是()

(A)(x＋)(y＋)=0(B)(x-)(y-)=0

(C)(x＋)(y-)=0(D)(x-)(y＋)=0設(shè)四面體四個面的面積分別為S1，S2，S3，S4，它們的最大值為S，記=/S，則一定滿足()

(A)2<≤4(B)3<<4(C)2.5<≤4.5(D)3.5<<5.5在△ABC中，角A，B，C的對邊分別記為a，b，c(b11)，且都是方程=logb(4x-4)的根，則△ABC()

(A)是等腰三角形，但不是直角三角形(B)是直角三角形，但不是等腰三角形

(C)是等腰直角三角形(D)不是等腰三角形，也不是直角三角形設(shè)復(fù)數(shù)z1，z2在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)分別為A，B，且|z1|=4，4z12-2z1z2＋z22=0，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△OAB的面積為()

(A)8(B)4(C)6(D)12設(shè)f(x)是定義在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)，且滿足下列關(guān)系f(10＋x)f(10-x)，f(20-x)-f(20＋x)，則f(x)是

(A)偶函數(shù)，又是周期函數(shù)(B)偶函數(shù)，但不是周期函數(shù)

(C)奇函數(shù)，又是周期函數(shù)(D)奇函數(shù)，但不是周期函數(shù)二．填空題(每小題5分共30分)設(shè)x，y，z是實(shí)數(shù)，3x，4y，5z成等比數(shù)列，且成等差數(shù)列，則的值是______．在區(qū)間[0，p]中，三角方程cos7xcos5x的解的個數(shù)是______．從正方體的棱和各個面上的對角線中選出k條，使得其中任意兩條線段所在的直線都是異面直線，則k的最大值是_____．設(shè)z1，z2都是復(fù)數(shù)，且|z1|=3，|z2|=5|z1＋z2|=7，則arg()3的值是______．設(shè)數(shù)列a1，a2，L，an，L滿足a1a21，a32，且對任何自然數(shù)n，都有anan＋1an＋211，又anan＋1an＋2an＋3an＋an＋1＋an＋2＋an＋3，則a1＋a2＋L＋a100的值是____．函數(shù)f(x)=-的最大值是_____．三、(20分)求證：．四、(20分)設(shè)l，m是兩條異面直線，在l上有A，B，C三點(diǎn)，且AB=BC，過A，B，C分別作m的垂線AD，BE，CF，垂足依次是D，E，F(xiàn)，已知AD=，BE=CF=，求l與m的距離．五、(20分)設(shè)n是自然數(shù)，fn(x)(x10，1)，令y=x＋.

1.求證:fn＋1(x)=yfn(x)-fn－1(x)，(n>1)

2.用數(shù)學(xué)歸納法證明：fn(x)=1993年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試卷第一試一．選擇題(每小題5分，共30分)若M＝{(x，y)||tgpy|+sin2px0}，N＝{(x，y)|x2+y2≤2}，則MN的元素個數(shù)是（）

(A)4(B)5(C)8(D)9已知f(x)＝asinx+b+4(a，b為實(shí)數(shù))，且f(lglog310)5，則f(lglg3)的值是（）

(A)-5(B)-3(C)3(D)隨a，b取不同值而取不同值集合A，B的并集AB＝{a1，a2，a3}，當(dāng)A1B時，(A，B)與(B，A)視為不同的對，則這樣的(A，B)對的個數(shù)是（）

（A）8（B）9（C）26（D）27若直線x＝被曲線C：(x－arcsina)(x－arccosa)＋(y－arcsina)(y＋arccosa)＝0所截的弦長為d，當(dāng)a變化時d的最小值是()

(A)(B)(C)(D)p在△ABC中，角A，B，C的對邊長分別為a，b，c，若c-a等于AC邊上的高h(yuǎn)，則的值是()

(A)1(B)(C)(D)-1設(shè)m，n為非零復(fù)數(shù)，i為虛數(shù)單位，z?C，則方程|z＋ni|＋|z－mi|＝n與|z＋ni|－|z－mi|＝－m在同一復(fù)平面內(nèi)的圖形(F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn))是()二．填空題（每小題5分，共30分）二次方程(1－i)x2＋(l＋i)x＋(1＋il)＝0(i為虛數(shù)單位，l?R)有兩個虛根的充分必要條件是l的取值范圍為________．實(shí)數(shù)x，y滿足4x2－5xy＋4y2＝5，設(shè)S＝x2＋y2，則_______．若z?C，arg(z2-4)＝，arg(z2+4)＝，則z的值是________．整數(shù)的末兩位數(shù)是_______．設(shè)任意實(shí)數(shù)x0＞x1＞x2＞x3＞0，要使≥恒成立，則k的最大值是_______．三位數(shù)(100，101，L，999)共900個，在卡片上打印這些三位數(shù)，每張卡片上打印一個三位數(shù)，有的卡片所印的，倒過來看仍為三位數(shù)，如198倒過來看是861；有的卡片則不然，如531倒過來看是，因此，有些卡片可以一卡二用，于是至多可以少打印_____張卡片．三．（本題滿分20分）三棱錐S－ABC中，側(cè)棱SA、SB、SC兩兩互相垂直，M為三角形ABC的重心，D為AB的中點(diǎn)，作與SC平行的直線DP．證明：(1)DP與SM相交；(2)設(shè)DP與SM的交點(diǎn)為，則為三棱錐S－ABC的外接球球心．四．（本題滿分20分）設(shè)0＜a＜b，過兩定點(diǎn)A(a，0)和B(b，0)分別引直線l和m，使與拋物線y2＝x有四個不同的交點(diǎn)，當(dāng)這四點(diǎn)共圓時，求這種直線l與m的交點(diǎn)P的軌跡．五．（本題滿分20分）設(shè)正數(shù)列a0，a1，a2，L，an，L滿足(n≥2)且a0＝a1＝1．求{an}的通項(xiàng)公式．1994年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題第一試一．選擇題(每小題6分，共36分)1．設(shè)a，b，c是實(shí)數(shù)，則對任何實(shí)數(shù)x，不等式都成立的充要條件是(A)a，b同時為0，且c>0(B)(C)(D)2．給出下列兩個命題：(1)設(shè)a，b，c都是復(fù)數(shù)，如果，則；(2)設(shè)a，b，c都是復(fù)數(shù)，如果，則．則下述說法正確的是(A)命題(1)正確，命題(2)也正確(B)命題(1)正確，命題(2)錯誤(C)命題(1)錯誤，命題(2)也錯誤(D)命題(1)錯誤，命題(2)正確3．已知數(shù)列滿足，且，其前n項(xiàng)之和為，則滿足不等式的最小整數(shù)n是(A)5(B)6(C)7(D)84．已知，則下列三數(shù)：，，的大小關(guān)系是(A)x＜z<y(B)y＜z＜x(C)z＜x＜y(D)x＜y＜z5．在正n棱錐中，相鄰兩側(cè)面所成的二面角的取值范圍是(A)(B)(C)(D)6．在平面直角坐標(biāo)系中，方程(a，b是不相等的兩個正數(shù))所代表的曲線是(A)三角形(B)正方形(C)非正方形的長方形(D)非正方形的菱形二、填空題(每小題9分，共54分)1．已知有向線段PQ的起點(diǎn)P和終點(diǎn)Q的坐標(biāo)分別為(-1，1)和(2，2)，若直線l：x＋my＋m＝0與PQ的延長線相交，則m的取值范圍是______．2．已知且，則=_____．3．已知點(diǎn)集，，則點(diǎn)集中的整點(diǎn)(即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn))的個數(shù)為_____．4．設(shè)，則的最大值是______．5．已知一平面與一正方體的12條棱的夾角都等于，則=___6．已知95個數(shù)，每個都只能取＋1或兩個值之一，則它們的兩兩之積的和的最小值是___．1995年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽第一試一．選擇題(每小題6分，共36分)1.設(shè)等差數(shù)列滿足且，Sn為其前項(xiàng)之和，則Sn中最大的是()(A)(B)(C)(D)2.設(shè)復(fù)平面上單位圓內(nèi)接正20邊形的20個頂點(diǎn)所對應(yīng)的復(fù)數(shù)依次為，則復(fù)數(shù)Z11995，Z21995，所對應(yīng)的不同的點(diǎn)的個數(shù)是()(A)4(B)5(C)10(D)203.如果甲的身高數(shù)或體重數(shù)至少有一項(xiàng)比乙大，則稱甲不亞于乙，在100個小伙子中，如果某人不亞于其他99人，就稱他為棒小伙子，則，100個小伙子中的棒小伙子最多可能有()(A)1個(B)2個(C)50個(D)100個4.已知方程在區(qū)間(2n-1，2n+1]上有兩個不相等的實(shí)根，則k的取值范圍是()(A)(B)(C)(D)以上都不是5.的大小關(guān)系是()(A)(B)(C)(D)6.設(shè)O是正三棱錐P-ABC底面三角形ABC的中心，過O的動平面與PC交于S，與PA，PB的延長線分別交于Q，R，則和式(A)有最大值而無最小值(B有最小值而無最大值(C)既有最大值又有最小值，兩者不等(D)是一個與面QPS無關(guān)的常數(shù)二、填空題(每小題9分，共54分)1.設(shè)為一對共軛復(fù)數(shù)，若，且為實(shí)數(shù)，則_____．2.一個球的內(nèi)接圓錐的最大體積與這個球的體積之比為_______．3.用[x]表示不大于實(shí)數(shù)x的最大整數(shù)，方程的實(shí)根個數(shù)是______．4.直角坐標(biāo)平面上，滿足不等式組的整點(diǎn)個數(shù)是______．5.將一個四棱錐的每個頂點(diǎn)染上一種顏色，并使同一條棱的兩端點(diǎn)異色，如果只有5種顏色可使用，則不同的染色方法的總數(shù)是______．6.設(shè)M={1，2，3，…，1995}，A是M的子集且滿足條件:當(dāng)時，，則A中元素的個數(shù)最多是______．一九九六年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽選擇題（本題滿分36分，每小題6分）把圓x2+(y–1)2=1與橢圓9x2+(y+1)2=9的公共點(diǎn),用線段連接起來的圖形是_________.(A)線段(B)不等邊三角形(C)等邊三角形(D)四邊形等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1＝1536,公比是q＝．用Tn表示它的前n項(xiàng)之積，則Tn(n?N)最大的是____________(A)T9(B)T11(C)T12(D)T133.存在在整數(shù)n，使是整數(shù)的質(zhì)數(shù)p．(A)不存在(B)只有一個(C)多于一個，但為有限個(D)有無窮多個4設(shè)x?(–，0)，以下三個數(shù)：a1=cos(sinxp),a2=sin(cosxp),a3=cos(x+1)p的大小關(guān)系是__________．(A)a3<a2<a1(B)a1<a3<a2(C)a3<a1<a2(D)a2<a3<a15.如果在區(qū)間[1,2]上,函數(shù)f(x)=x2+px+q與g(x)=x+()2在同一點(diǎn)取相同的最小值,則f(x)在該區(qū)間上的最大值是__________.(A)(B)(C)(D)以上答案都不對6.高為8的圓臺內(nèi)有一個半徑為2的球O1,球心O1在圓臺的軸上.球O1與圓臺上底面、側(cè)面都相切.圓臺內(nèi)可再放入一個半徑為3的球O2,使得球O2與球O1、圓臺的下底面及側(cè)面都只有一個公共點(diǎn),除球O2,圓臺內(nèi)最多還能放入半徑為3的球的個數(shù)是_____________.(A)1(B)2(C)3(D)4填空題(本題滿分54分,每小題9分)集合{x|–1￡log()10<–,x?N}的真子集的個數(shù)是_____________________．復(fù)平面上非零復(fù)數(shù)z1、z2在以i為圓心1為半徑的圓上，z1z1的實(shí)部為零，z1的輻角主值為，則z2=____________．3.曲線C的極坐標(biāo)方程是r=1+cosq,點(diǎn)A的極坐標(biāo)是(2,0)．曲線C在它所在的平面內(nèi)繞A旋轉(zhuǎn)一周,則它掃過的圖形的面積是______________．4.已知將給定的兩個全等的三棱錐的底面粘在一起,恰得到一個所有二面角都相等的六面體,并且該六面體的最短棱的長為2,則最遠(yuǎn)的兩個基本點(diǎn)頂點(diǎn)的距離是__________．5.從給定的六種不同顏色中選用若干種顏色.將一個正方體的六個面染色,每面恰染一種顏色,每兩個具有公共棱的面染成不同顏色.則不同的染色方案共有_____________種.(注:如果我們對兩個相同的正方體染色后,可以通過適當(dāng)?shù)姆D(zhuǎn),使得兩個正方體的上、下、左、右、前、后六個對應(yīng)面的染色都相同,則,我們就說這兩個正方體的染色方案相同).6.在直角坐標(biāo)平面上，以（199，0）為圓心，以199為半徑的圓周上，整點(diǎn)（即橫、縱坐標(biāo)皆為整數(shù)的點(diǎn)）的個數(shù)為_______________．1997年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試卷(10月5日上午8:00-10:00)一、選擇題(每小題6分，共36分)1．已知數(shù)列{}滿足(n≥2)，x1a，x2b，記Snx1＋x2＋L＋xn，則下列結(jié)論正確的是

(A)x100＝－a，S100＝2b－a(B)x100＝－b，S100=2b－a

(C)x100＝－b，S100＝b－a(D)x100＝－a，S100＝b－-a2．如圖，正四面體ABCD中，E在棱AB上，F(xiàn)在棱CD上，使得

，

記其中表示EF與AC所成的角，表示EF與BD所成的角，則(A)在單調(diào)增加

(B)在單調(diào)減少

(C)在(0，1)單調(diào)增加，而在(1，＋單調(diào)減少

(D)在(0，＋)為常數(shù)3.設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)及公差均為非負(fù)整數(shù)，項(xiàng)數(shù)不少于3，且各項(xiàng)的和為972，則這樣的數(shù)列共有

(A)2個(B)3個(C)4個(D)5個4．在平面直角坐標(biāo)系中，若方程表示的曲線為橢圓，則m的取值范圍為

(A)(0，1)(B)(1，＋(C)(0，5)(D)(5，＋5．設(shè)，a=arcsin，，則

(A)(B)

(C)(D)6．如果空間三條直線a，b，c兩兩成異面直線，則與a，b，c都相交的直線有

(A)0條(B)1條(C)多于1的有限條(D)無窮多條填空題(每小題9分，共54分)設(shè)x，y為實(shí)數(shù)，且滿足，則x＋y=.過雙曲線的右焦點(diǎn)作直線l交雙曲線于A、B兩點(diǎn)，若實(shí)數(shù)使得|AB|=的直線l恰有3條，則＝.已知復(fù)數(shù)z滿足，則z的幅角主值范圍是．已知三棱錐S-ABC的底面是以AB為斜邊的等腰三角形，SA＝SB＝SC＝2，AB＝2，設(shè)S、A、B、C四點(diǎn)均在以O(shè)為球心的某個球面上，則點(diǎn)O到平面ABC的距離為．設(shè)ABCDEF為正六邊形，一只青蛙開始在頂點(diǎn)A處，它每次可隨意地跳到相鄰兩頂點(diǎn)之一．若在5次之內(nèi)跳到D點(diǎn)，則停止跳動；若5次之內(nèi)不能到達(dá)D點(diǎn)，則跳完5次也停止跳動，則這只青蛙從開始到停止，可能出現(xiàn)的不同跳法共種．設(shè)a=lgz＋lg[x(yz)-1＋1]，b=lgx-1＋lg(xyz＋1)，c=lgy＋lg[(xyz)-1＋1]，記a，b，c中最大數(shù)為M，則M的最小值為．

一九九八年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試卷（10月11日上午800—1000）選擇題（本題滿分36分，每小題6分）若a＞1,b＞1且lg(a+b)=lga+lgb，則lg(a-1)+lg(b-1)的值

(A)等于lg2(B)等于1(C)等于0(D)不是與a,b無關(guān)的常數(shù)若非空集合A={x2a+1≤x≤3a-5},B={x|3≤x≤22}，則能使AíAB成立的所有a的集合是()

(A){a|1≤a≤9}(B){a|6≤a≤9}(C){a|a≤9}(D)各項(xiàng)均為實(shí)數(shù)的等比數(shù)列{an}前n項(xiàng)和記為Sn，若S10=10,S30=70，則S40等于()

(A)150(B)-200(C)150或-200(D)400或-50設(shè)命題P：關(guān)于x的不等式a1x2+b1x+c1＞0與a2x2+b2x+c2＞0的解集相同；命題Q：。則命題Q

(A)是命題P的充分必要條件(B)是命題P的充分條件但不是必要條件

(C)是命題P的必要條件但不是充分條件

(D)既不是命題P的充分條件也不是命題P的必要條件設(shè)E,F,G分別是正四面體ABCD的棱AB,BC,CD的中點(diǎn)，則二面角C-FG-E的大小是()

(A)(B)

(C)(D)在正方體的8個頂點(diǎn)，12條棱的中點(diǎn)，6個面的中心及正方體的中心共27個點(diǎn)中，共線的三點(diǎn)組的個數(shù)是()

(A)57(B)49(C)43(D)37填空題（本題滿分54分，每小題9分）若是以2為周期的偶函數(shù)，當(dāng)時，，則,,由小到大的排列是_________________.設(shè)復(fù)數(shù)z=(≤≤18)，復(fù)數(shù)z,(1+i)z,2在復(fù)平面上對應(yīng)的三個點(diǎn)分別是P,Q,R，當(dāng)P,Q,R不共線時，以線段PQ,PR為兩邊的平行四邊形的第四個頂點(diǎn)為S，則點(diǎn)S到原點(diǎn)距離的最大值是_______.從0,1,2,3,4,5,6,7,8,9這10個數(shù)中取出3個數(shù)，使其和為不小于10的偶數(shù)，不同的取法有________種.各項(xiàng)為實(shí)數(shù)的等差數(shù)列的公差為4，其首項(xiàng)的平方與其余各項(xiàng)之和不超過100，這樣的數(shù)列至多有___________項(xiàng).若橢圓與拋物線有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_____________.△ABC中，∠C=90°,∠B=30°,AC=2，M是AB的中點(diǎn)，將△ACM沿CM折起，使A,B兩點(diǎn)間的距離為，此時三棱錐A-BCM的體積等于________.（本題滿分20分）

已知復(fù)數(shù)z=1-sin+icos()，求z的共軛復(fù)數(shù)的輻角主值。（本題滿分20分）

設(shè)函數(shù)(a＜0)，對于給定的負(fù)數(shù)a，有一個最大的正數(shù)l(a)，使得在整個區(qū)間[0,l(a)]上，不等式|f(x)|≤5都成立。

問：a為何值時l(a)最大？求出這個最大的l(a)，證明你的結(jié)論。（本題滿分20分）

已知拋物線及定點(diǎn),B(-a,0),，M是拋物線上的點(diǎn)，設(shè)直線AM,BM與拋物線的另一交點(diǎn)分別為M1,M2.

求證：當(dāng)M點(diǎn)在拋物線上變動時（只要M1,M2存在且M1≠M(fèi)2），直線M1M2恒過一個定點(diǎn)，并求出這個定點(diǎn)的坐標(biāo)。1999年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽選擇題（滿分36分，每小題6分）給定公比為q(q≠1)的等比數(shù)列{an}，設(shè)b1＝a1＋a2＋a3，b2＝a4＋a5＋a6，…，bn＝a3n-2＋a3n-1＋a3n,…，則數(shù)列{bn}()

(A)是等差數(shù)列(B)是公比為q的等比數(shù)列

(C)是公比為q3的等比數(shù)列(D)既非等差數(shù)列也非等比數(shù)列平面直角坐標(biāo)系中，縱、橫坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)叫做整點(diǎn)，則，滿足不等式(|x|－1)2＋(|y|-1)2＜2的整點(diǎn)(x，y)的個數(shù)是()

(A)16(B)17(C)18(D)25若(log23)x-(log53)x≥(log23)-(log53)，則()

(A)x-y≥0(B)x＋y≥0(C)x-y≤0(D)x＋y≤0給定下列兩個關(guān)于異面直線的命題：

命題Ⅰ：若平面a上的直線a與平面b上的直線b為異面直線，直線c是a與b的交線，則，c至多與a,b中的一條相交；

命題Ⅱ：不存在這樣的無窮多條直線，它們中的任意兩條都是異面直線。

則，()

(A)命題Ⅰ正確，命題Ⅱ不正確(B)命題Ⅱ正確，命題Ⅰ不正確

(C)兩個命題都正確(D)兩個命題都不正確在某次乒乓球單打比賽中，原計(jì)劃每兩名選手恰比賽一場，但有3名選手各比賽了2場之后就退出了，這樣，全部比賽只進(jìn)行了50場。則，在上述3名選手之間比賽的場數(shù)是()

(A)0(B)1(C)2(D)3已知點(diǎn)A(1,2)，過點(diǎn)(5,-2)的直線與拋物線y2＝4x交于另外兩點(diǎn)B,C，則，△ABC是()

(A)銳角三角形(B)鈍角三角形(C)直角三角形(D)答案不確定填空題（滿分54分，每小題9分）已知正整數(shù)n不超過2000，并且能表示成不少于60個連續(xù)正整數(shù)之和，則，這樣的n的個數(shù)是___________．已知＝arctg，則，復(fù)數(shù)的輻角主值是_________．在△ABC中，記BC＝a，CA＝b，AB＝c，若9a2＋9b2-19c2＝0，則＝__________．已知點(diǎn)P在雙曲線上，并且P到這條雙曲線的右準(zhǔn)線的距離恰是P到這條雙曲線的兩個焦點(diǎn)的距離的等差中項(xiàng)，則，P的橫坐標(biāo)是_____．已知直線ax＋by＋c＝0中的a，b，c是取自集合{-3，-2，-1，0，1，2，,3}中的3個不同的元素，并且該直線的傾斜角為銳角，則，這樣的直線的條數(shù)是______．已知三棱錐S-ABC的底面是正三角形，A點(diǎn)在側(cè)面SBC上的射影H是△SBC的垂心，二面角H-AB-C的平面角等于30°,SA＝2。則三棱錐S-ABC的體積為__________．三、(滿分20分)已知當(dāng)x?[0,1]時，不等式恒成立，試求的取值范圍．四、(滿分20分)給定A(-2,2)，已知B是橢圓上的動點(diǎn)，F(xiàn)是左焦點(diǎn)，當(dāng)|AB|＋|BF|取最小值時，求B的坐標(biāo)．五、(滿分20分)給定正整數(shù)n和正數(shù)M，對于滿足條件≤M的所有等差數(shù)列a1,a2,a3,….，試求S＝an＋1＋an＋2＋…＋a2n＋1的最大值．2000年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試卷（10月15日上午8:00-9:40）一、選擇題（本題滿分36分，每小題6分）1．設(shè)全集是實(shí)數(shù)，若A={x|≤0}，B={x|=},則是()(A){2}(B){-1}(C){x|x≤2}(D)2．設(shè)sina＞0,cosa＜0,且sin＞cos,則的取值范圍是()(A)(2kp+,2kp+),kZ(B)(+,+),kZ(C)(2kp+,2kp+p),kZ(D)(2kp+,2kp+)(2kp+,2kp+p),kZ3．已知點(diǎn)A為雙曲線x2-y2=1的左頂點(diǎn)，點(diǎn)B和點(diǎn)C在雙曲線的右分支上，△ABC是等邊三角形，則△ABC的面積是()(A)

(B)

(C)3

(D)64．給定正數(shù)p,q,a,b,c，其中p1q，若p,a,q是等比數(shù)列，p,b,c,q是等差數(shù)列，則一元二次方程bx2-2ax+c=0()(A)無實(shí)根(B)有兩個相等實(shí)根(C)有兩個同號相異實(shí)根(D)有兩個異號實(shí)根5．平面上整點(diǎn)（縱、橫坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)）到直線的距離中的最小值是()(A)

(B)

(C)

(D)6．設(shè)，則以w,w3,w7,w9為根的方程是()(A)x4+x3+x2+x+1=0(B)x4-x3+x2-x+1=0(C)x4-x3-x2+x+1=0(D)x4+x3+x2-x-1=0二、填空題（本題滿分54分，每小題9分）7．a(chǎn)rcsin(sin2000°)=__________.8．設(shè)an是(3-的展開式中x項(xiàng)的系數(shù)(n=2,3,4,…)，則)=________.9．等比數(shù)列a+log23,a+log43,a+log83的公比是____________.10．在橢圓(a＞b＞0)中，記左焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)為A，短軸上方的端點(diǎn)為B.若該橢圓的離心率是，則∠ABF=_________.11．一個球與正四面體的六條棱都相切，若正四面體的棱長為a，則這個球的體積是________.12．如果：(1)a,b,c,d都屬于{1,2,3,4};(2)a1b,b1c,c1d,d1a;(3)a是a,b,c,d中的最小值，則，可以組成的不同的四位數(shù)的個數(shù)是_________.三、解答題(本題滿分60分，每小題20分)13．設(shè)Sn=1+2+3+…+n,nN，求f(n)=的最大值.14．若函數(shù)在區(qū)間[a,b]上的最小值為2a，最大值為2b，求[a,b].15．已知C0:x2+y2=1和C1:(a＞b＞0)。試問：當(dāng)且僅當(dāng)a,b滿足什么條件時，對C1上任意一點(diǎn)P，均存在以P為項(xiàng)點(diǎn),與C0外切,與C1內(nèi)接的平行四邊形？并證明你的結(jié)論。2001年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽題1、已知a為給定的實(shí)數(shù)，則集合M={x|x2-3x-a2+2=0,x∈R}的子集的個數(shù)為（A）1（B）2（C）4（D）不確定2、命題1：長方體中，必存在到各頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)；命題2：長方體中，必存在到各棱距離相等的點(diǎn)；命題3：長方體中，必存在到各面距離相等的點(diǎn)；以上三個命題中正確的有（A）0個（B）1個（C）2個（D）3個3、在四個函數(shù)y=sin|x|,y=cos|x|,y=|ctgx|,y=lg|sinx|中以為周期、在（0，）上單調(diào)遞增的偶函數(shù)是（A）y=sin|x|（B）y=cos|x|（C）y=|ctgx|（D）y=lg|sinx|4、如果滿足∠ABC=60°，AC=12，BC=k的⊿ABC恰有一個，則k的取值范圍是（A）k=8（B）0<k≤12（C）≥12（D）0<k≤的短軸長等于。8、若復(fù)數(shù)z1,z2滿足|z1|=2,|z2|=3,3z1-2z2=-I,則z1z2=。9、正方體ABCD—A1B1C1D1的棱長為1，則直線A1C1與BD1的距離是。10、不等式的解集為。FABCDFABCDE12、在一個正六邊形的六個區(qū)域栽種觀賞植物（如圖），要求同一場塊中種同一種植物，相鄰的兩塊種不同的植物?，F(xiàn)有4種不同的植物可供選擇，則有種栽種方案。解答題（本題滿分60分，每小題20分）13、設(shè){an}為等差數(shù)列，{bn}為等比數(shù)列，且，，（a1<a2）,又，試求{an}的首項(xiàng)與公差。14、設(shè)曲線C1:(a為正常數(shù))與C2:y2=2(x+m)在x軸上方公有一個公共點(diǎn)P。求實(shí)數(shù)m的取值范圍（用a表示）；O為原點(diǎn)，若C1與x軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)A，當(dāng)0<a<時，試求⊿OAP的面積的最大值（用a表示）。15、用電阻值分別為a1、a2、a3、a4、a5、a6、（a1>a2>a3>a4>a5>a6）的電阻組裝成一個如圖的組件，在組裝中應(yīng)如何選取電阻，才能使該組件總電阻值最??？證明你的結(jié)論。2002年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題及參考答案試題一、選擇題（本題滿分36分，每小題6分）1、函數(shù)f(x)=log1/2(x2-2x-3)的單調(diào)遞增區(qū)間是（）。（A）（－∞,－1）（B）（－∞,1）（C）（1,＋∞）（D）（3,＋∞）2、若實(shí)數(shù)x，y滿足(x+5)2+(y-12)2=142，則x2+y2的最小值為（）。（A）2（B）1（C）√3（D）√23、函數(shù)f(x)=x/1-2x-x/2（）（A）是偶函數(shù)但不是奇函數(shù)（B）是奇函數(shù)但不是偶函數(shù)

（C）既是偶函數(shù)又是奇函數(shù)（D）既不是偶函數(shù)也不是奇函數(shù)4、直線x/4+y/3=1與橢圓x2/16+y2/9=1相交于A，B兩點(diǎn)，該橢圓上點(diǎn)P，使得ΔPAB面積等于3，這樣的點(diǎn)P共有（）。（A）1個（B）2個（C）3個（D）4個5、已知兩個實(shí)數(shù)集合A＝｛a1,a2,…,a100｝與B＝｛b1,b2,…,b50｝，若從A到B的映射f使得B中每個元素都有原象，且f(a1)≤f(a2)≤…≤f(a100)則這樣的映射共有（）。（A）C50100（B）C4899（C）C49100（D）C49996、由曲線x2=4y,x2=-4y,x=4,x=-4圍成的圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積為V1；滿足x2+y2≤16,x2+(y-2)2≥4,x2+(y+2)2≥4的點(diǎn)（x,y）組成的圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積為V2，則（）。（A）V1=（1/2）V2(B)V1=（2/3）V2(C)V1=V2(D)V1=2V2二、填空題（本題滿分54分，每小題9分）7、已知復(fù)數(shù)Z1,Z2滿足∣Z1∣＝2,∣Z2∣＝3,若它們所對應(yīng)向量的夾角為60°,則∣(Z1＋Z2)/(Z1＋Z2)∣=。8、將二項(xiàng)式（√x+1/（24√x））n的展開式按x的降冪排列，若前三項(xiàng)系數(shù)成等差數(shù)列，則該展開式中x的冪指數(shù)是整數(shù)的項(xiàng)共有個。9、如圖，點(diǎn)P1，P2，…，P10分別是四面體頂點(diǎn)或棱的中點(diǎn)，則在同一平面上的四點(diǎn)組（P1，Pi，Pj，Pk）（1＜i＜j＜k≤10）有個。10、已知f(x)是定義在R上的函數(shù)，f(1)=1且對任意x∈R都有f(x+5)≥f(x)+5，f(x+1)≤f(x)+1。若g(x)=f(x)+1-x，則g(2002)=。11、若log4(x+2y)+log4(x-2y)=1，則∣x∣-∣y∣的最小值是。12、使不等式sin2x+acosx+a2≥1+cosx對一切x∈R恒成立的負(fù)數(shù)a的取值范圍是。三、解答題（本題滿分60分，每小題20分）13、已知點(diǎn)A（0,2）和拋物線y2=x+4上兩點(diǎn)B，C使得AB⊥BC，求點(diǎn)C的縱坐標(biāo)的取值范圍。14、如圖，有一列曲線P0，P1，P2……，已知P0所圍成的圖形是面積為1的等邊三角形，Pk+1是對Pk進(jìn)行如下操作得到：將Pk的每條邊三等分，以每邊中間部分的線段為邊，向外作等邊三角形，再將中間部分的線段去掉（k=0,1,2,）。記Sn為曲線Pn所圍成圖形的面積。

（1）求數(shù)列｛Sn｝的通項(xiàng)公式；

（2）求limSn.

n→∞15、設(shè)二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R,a≠0)滿足條件：

（1）當(dāng)x∈R時,f(x-4)=f(2-x),且f(x)≥x;

（2）當(dāng)x∈(0,2)時，f(x)≤((x+1)/2)2;

（3）f(x)在R上的最小值為0.

求最大的m(m＞1)，使得存在t∈R，只要x∈[1,m]，就有f(x+t)≤x。2003年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽第一試選擇題（每小題6分,滿分36分）刪去正整數(shù)數(shù)列1,2,3,……中的所有完全平方數(shù)，得到一個新數(shù)列．這個新數(shù)列的第2003項(xiàng)是

(A)2046(B)2047(C)2048(D)2049設(shè)a,b?R,ab≠0，則，直線ax-y+b=0和曲線bx2+ay2=ab的圖形是OxyxyOxyOxyO(A)(B)(C)(D)過拋物線y2=8(x+2)的焦點(diǎn)F作傾斜角為60°的直線．若此直線與拋物線交于A,B兩點(diǎn)，弦AB的中垂線與x軸交于P點(diǎn)，則線段PF的長等于

(A)(B)(C)(D)8若x?[-,-]，則y=tan(x+)-tan(x+)+cos(x+)的最大值是

(A)(B)(C)(D)已知x,y都在區(qū)間(-2,2)內(nèi)，且xy＝-1，則函數(shù)u=+的最小值是

(A)(B)(C)(D)在四面體ABCD中，設(shè)AB=1，CD=，直線AB與CD的距離為2，夾角為，則四面體ABCD的體積等于

(A)(B)(C)(D)填空題(每小題9分,滿分54分)不等式|x|3-2x2-4|x|+3＜0的解集是__________.設(shè)F1,F2是橢圓的兩個焦點(diǎn)，P是橢圓上的點(diǎn)，且|PF1|:|PF2|=2:1，則△PF1F2的面積等于__________.已知A={x|x2-4x+3＜0,x?R},B={x|≤0,x2-2(a+7)x+5≤0,x?R}．若AíB,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是____________.已知a,b,c,d均為正整數(shù)，且logab=,logcd=，若a-c=9,則b-d=________.將八個半徑都為1的球分兩層放置在一個圓柱內(nèi)，并使得每個球和其相鄰的四個球相切，且與圓柱的一個底面及側(cè)面都相切，則此圓柱的高等于________.設(shè)Mn={(十進(jìn)制)n位純小數(shù)0.|ai只取0或1(i=1,2,…,n-1)，an=1}，Tn是Mn中元素的個數(shù)，Sn是Mn中所有元素的和，則=_______.解答題(每小題20分，滿分60分)已知,證設(shè)A、B、C分別是復(fù)數(shù),,對應(yīng)的不共線三點(diǎn)。證：曲線與中平行于AC的中位線只有一個公共點(diǎn)，并求出此點(diǎn)。一張紙上畫有半徑為R的圓O和圓內(nèi)一定點(diǎn)A，且OA=a，折疊紙片，使圓周上某一點(diǎn)剛好與A點(diǎn)重合，這樣的每一種折法，都留下一條直線折痕，當(dāng)取遍圓周上所有點(diǎn)時，求所有折痕所在直線上點(diǎn)的集合。1994年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題第一試一、選擇題(每小題6分，共36分)1、設(shè)a,b,c是實(shí)數(shù),則對任何實(shí)數(shù)x,不等式都成立的充要條件是(A)a,b同時為0,且c>0(B)(C)(D)2、給出下列兩個命題：(1).設(shè)a,b,c都是復(fù)數(shù)，如果,則.(2).設(shè)a,b,c都是復(fù)數(shù)，如果,則.則下述說法正確的是(A)命題(1)正確,命題(2)也正確(B)命題(1)正確,命題(2)錯誤(C)命題(1)錯誤,命題(2)也錯誤(D)命題(1)錯誤,命題(2)正確3、已知數(shù)列滿足,且,其前n項(xiàng)之和為,則滿足不等式的最小整數(shù)n是(A)5(B)6(C)7(D)84、已知,則下列三數(shù):,,的大小關(guān)系是(A)x<z<y(B)y<z<x(C)z<x<y(D)x<y<z5、在正n棱錐中,相鄰兩側(cè)面所成的二面角的取值范圍是(A)(B)(C)(D)6、在平面直角坐標(biāo)系中,方程(a,b是不相等的兩個正數(shù))所代表的曲線是(A)三角形(B)正方形(C)非正方形的長方形(D)非正方形的菱形二、填空題(每小題9分，共54分)1.已知有向線段PQ的起點(diǎn)P和終點(diǎn)Q的坐標(biāo)分別為(-1,1)和(2,2)，若直線與PQ的延長線相交，則m的取值范圍是______.2.已知且則=_____.3.已知點(diǎn)集,,則點(diǎn)集中的整點(diǎn)(即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn))的個數(shù)為_____.4.設(shè),則的最大值是______.5.已知一平面與一正