第四章 系統(tǒng)的頻率特性分析

第四章頻率特性分析4.1什么是頻率特性？解對(duì)于線性定常系統(tǒng)，若輸入為諧波函數(shù)，則其穩(wěn)態(tài)輸出一定是同頻率的諧波函數(shù)，將輸出的幅值與輸入的幅值之比定義為系統(tǒng)的幅頻特性；將輸出的相位于輸入的相位之差定義為系統(tǒng)的相頻特性。將系統(tǒng)的幅頻特性和相頻特性統(tǒng)稱為系統(tǒng)的頻率特性。4.2什么叫機(jī)械系統(tǒng)的動(dòng)柔度，動(dòng)剛度和靜剛度？解若機(jī)械系統(tǒng)的輸入為力，輸出為位移（變形），則機(jī)械系統(tǒng)的頻率特性就是機(jī)械系統(tǒng)的動(dòng)柔度；機(jī)械系統(tǒng)的頻率特性的倒數(shù)就是機(jī)械系統(tǒng)的動(dòng)剛度；當(dāng)W二0時(shí)，系統(tǒng)頻率特性的倒數(shù)為系統(tǒng)的靜剛度。4.3已知機(jī)械系統(tǒng)在輸入力作用下變形的傳遞函數(shù)為2（mm/kg）,s+1求系統(tǒng)的動(dòng)剛度，動(dòng)柔度和靜剛度。解根據(jù)動(dòng)剛度和動(dòng)柔度的定義有動(dòng)柔度九(jw)=G(jw)=G(s)s=jw=—2 mm/kgjwv1動(dòng)剛度K(jw)=1=jw+1kg/mmG(jw) 2靜剛度K(jW)w=0=—(_^w=0=jw+1w=0=0.5kg/mm4.4若系統(tǒng)輸入為不同頻率w的正弦函數(shù)Asinwt,其穩(wěn)態(tài)輸出相應(yīng)為Bsin（wt+申）.求該系統(tǒng)的頻率特性。解：由頻率特性的定義有G（jw解：由頻率特性的定義有G（jw）B二ejw

ze4.5已知系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為x(C=1-1.8e-4t+0.8e-9t，試求系。統(tǒng)的幅輻頻特性與相頻特性。解：先求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，由已知條件有x(t)=1-1.8e-4t+0.8e-9t。(t>0)1X(S)=iS115115亍-18E+0.8()X(。S) 36)=X°(S)=(s+4)(s+9)jw)=G(s)jw)=G(s)s二jW36(4+jw)()+jw)(w)二G(jw)二36\16+w2?、81+w2w)w)=0-arctan-arctan二一arctan-arctan-4 9 4 94.6由質(zhì)量、彈簧、阻尼器組成的機(jī)械系統(tǒng)如圖所示。已知，m二1kg，k為彈簧的剛度，C為阻尼系統(tǒng)。若外力f(t)=2sin2tN，由實(shí)際得到系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為x=sinf2t-，oss(2丿試確定k和c。

解由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖可知，系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程為mx(t)+cx(t)+kx(t)=f(t)解由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖可知，系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程為mx(t)+cx(t)+kx(t)=f(t)ooo則系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為Gs)=—ms2+cs+km=1)即，其頻率特性為G(jw)=k—w2+jcw其中，幅頻特性為G(j?)=/ 1(其中相頻特性為由題意有，當(dāng)w二2一①2ZG(jw)=-arctan時(shí)，兀2—arctanVk—w2丿解得k=4,c=14.7試求下列系統(tǒng)的幅頻、相頻、實(shí)頻和虛頻特性a(w)、血)、u(J、U(w)o⑴G(s)=307n⑵G(')⑴G(s)=307n解依頻率特性定義有G(jw)=G(s)w其中，幅頻、相頻、實(shí)頻和虛頻特性分別為G(jw)=51+j30wA(w)=|G(jw)，p(w)=ZG(jw)，u(jw)=Re\o(jw)]，u(G(jw)=51+j30wa6)==900?2+1P(d)_-arctan30?5a6)==900?2+1P(d)_-arctan30?5900①2+1u(d)_-150?900?2+12）中G(jsLA(?)_1g0.01?2+1q(?)_-90°-arctan0.1?(?)_-0.10.01?2+1u(?)_10.01?3+?/1、_1+j0.1(d)-0.1?2+j?4.8系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為⑴（s） 當(dāng)作用輸入信號(hào)二（t）=Rsinwt時(shí)，試求該系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出。解：系統(tǒng)頻率特性為：(jw(jw…二K?.=.：■：■：=<■ :::l+-w2Ti由X□曲（t）=xL?ge（jw） sin[wt+牝（jw）]有系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出為：t)=RK二\l+-wt)=RK二\l+-w2Tisin(■.：—wm二+ ：：【.；:~)4.9 設(shè)單位反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為門匕）二亍,當(dāng)系統(tǒng)作用以下輸入信號(hào)：二：(t)=sin(t+30°)二：(t)=2cos(21-45°)

二.(t)二sin(t+30°)-2cos(21-45°)解：系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為⑴&)=三亍二士十二三貝Hl(jw)==^=^^=?f?：；汀-二E 計(jì)“(1)因?yàn)?W=l；所以 亡(jw)=w?三2(t)=三sin(t+30°—5.2°)=0.90sin(t+24.8°)^'1222)因?yàn)閣=2；所以-(jw)—三?廠：「「工(t)=2X-：：二二二f=1.79cos(2t—55.3°)3)有疊加原理有：二斗(t)=二:二(t)+二工(t)=0.905sin(t+24.8°)—1.79cos2t-55.3°)4-10設(shè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為K，式中，時(shí)間常數(shù)T=0?5秒，放大Ts+1系數(shù)K=10。求在頻率f=1Hz,幅值R=10的正弦輸入信號(hào)作用下,系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)輸出咒(t)的幅值與相位。解：根據(jù)定義與已知有101+j101+j0.5?jTto+1K二10G3)二KT二G3)二KT二0.5jT?+1K=10101+j0.5?①=3.06xej(-72.5。)二6.3?-咒(t)二10x3.06sin(6.3t-72.5。)=30.6sin(6.3t—72.5。)o故X(t)的幅值與相位分別為30.6和-72.5°o4-11知系統(tǒng)傳遞函數(shù)方框圖如圖(題4.11)所示，現(xiàn)作用于系統(tǒng)輸入信號(hào)Z(t)=sin2t，試求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出。系統(tǒng)的傳遞i函數(shù)如下：(1)G(s)=丄，H(s)=1;s+1G(s)=5，H(s)=1;sG(s)=5，H(s)=2。s+1圖(題4.11圖(題4.11)解：因?yàn)閆(t)=sin2ti則輸入的幅值為X=1，輸入的頻率為3=2i對(duì)于(1)GGG(j3)= 5 = 5 e-arctan? =5幺-八8.4。B 6+j? <36+32 3=2v40X(t)=xo對(duì)于(2)G(s)=B-5 e-j21.8-5 e-j21.8°=2何B 5+jT<25+t2咒(t)=X?|G(jT)|sin(Tt+ZG(jT))=0.93sin(2t-21.8°)o i對(duì)于（3）G(s)=BG(s)1+G(s)H(s)5對(duì)于（3）G(s)=BG(s)1+G(s)H(s)5s+11511+jT5121+T2e-arctan5 e-j10.3°(t)=X?G(jT)sin(Tt+ZG(jT))=5sin(2t-10.3°)4-12求出下列函數(shù)的Nyquist曲線(1)4-12求出下列函數(shù)的Nyquist曲線(1)系統(tǒng)頻率特性1 1 0.01*jTG(jT)= =u)1+0?01t21+0.0001T21+0.0001T21其中，丨g(Jt)1=11+0.0001T2VZG(Jt)=—arctan0.01T1 0.01*Tu(T)= v(T)=———()1+0.0001T2 ()1+0.0001T2因此，u因此，u、v滿足關(guān)系11(u-2)2+v2=(2)象限的半圓。其象限的半圓。其Nyquist圖如圖（題4.12（1））（2）系統(tǒng)頻率特性Gj)=]_0.01jGj)=]_0.01j?0.01j1+0.000132v(3)=0.0131+0.0001323)系統(tǒng)頻率特性G(j3)=1其中，丨G(J3)|=!1+0.000132ZG(j3)=arctan0.0131u(3)=()1+0.000132因此，u、v滿足關(guān)系(u-1/2)2+v2=(1/2)2又因?yàn)閡〉0、v〉0,系統(tǒng)頻率特性的Nyquist曲線為一個(gè)位于第一象限的半圓。其Nyquist圖如圖(題4.12(2))1-1+0.01j31 0.013=1+0.000132 1+0.0001321\]1+0.000132ZG(j3)=—兀—arctan0.013u(?)=一 v(?)=一J丿1+0.000132 J丿1+0.000132因此，u、V滿足關(guān)系 (u-—)2+v2=(—)222又因?yàn)閡<0、v<0系統(tǒng)頻率特性的Nyquist曲線為一個(gè)位于第三象限的半圓。其Nyquist圖如圖(題4.12(3))1⑷系統(tǒng)頻率特性G(J3)=(—*。叫?)?0.11+0.01J3+0.000132*3其中，IG(JIG(J3)|ZG(J3)=—一—arctan0.1w3\1+0.000132 2u(30.1)=—1+0.0132v(3)=一當(dāng)w=0時(shí)，IG(J3)|=o+0.0132*3“ZG(J3)=—2u(3)=一0.1

v(3)=—00當(dāng)w=10時(shí)，IG(J3)|=0.0707ZG(J3)=一二當(dāng)W=8時(shí),u(3)=一0.05IG(J3)|=0v(3)=—0.05ZG(j3)=—1800其Nyquist圖如圖(題4.12(4))(5)這是一個(gè)典型的二階振蕩環(huán)節(jié)n=10,8=0.5)其特性曲線為j?1G(j?)=1+0.1j?-0.01?2ImIm\—0.01? 0.1JD\一0.0132』+0.01?2IG(IG(j?)|=1貞一0?01?2)+0?01?2ZG(j?)=—arctan10?100-?2、/1—0.2丿u(?)=1—0.01?2 0.01?20.1?v(?)=—( 4 其中，

當(dāng)?=0時(shí)，丨G(j?)|=1ZG(j?)=0u(?)=1當(dāng)?=?n=10時(shí),|G(j?)|=1ZG(j?)=－900u(?)=0 v(?)=－1當(dāng)?二?r=?*n時(shí),ZG(j?)=－54.70ZG(j?)=1800u(?u(?)=0 v(?)=－1當(dāng)?二?r=?*n時(shí),ZG(j?)=－54.70ZG(j?)=1800u(?)=0v(?)=0其Nyquist圖如圖（題4.12（5））IntReWw=0一54.7。（6）傳遞函數(shù)1G(s)=(1+0.5s)(1+2s)1s2+2.5s+1系統(tǒng)G(je)1-?2(1—?2)2+6.25?22.5?(1-?2)2+6.25?2其中，G(j3)=1、:(1—W2)2+6.25e2ZG(jw)=-arctan2.5W其中，G(j3)=1、:(1—W2)2+6.25e2ZG(jw)=-arctan2.5W1-W21—W2(1-w2)2+6.25w22.5W(1—w2)2+6.25w2當(dāng)3=0時(shí)， G(j3)=1U(3)=1當(dāng)3=W=1時(shí)，G(j3)=0.4nu(3)=0當(dāng)3=8時(shí)， G(j3)=0u(3)=0ZG(j3)=0v(3)=0ZG(jw)=-90°v(3)=-0.4ZG(jw)=-180v(3)=0因?yàn)樽枘岜萭=1、25〉0.707,故不存在諧振頻率.其Nyquist圖如圖(4.12(6)).(7)傳遞函數(shù)G(s)s(0.1s+1)(0.5s+1)10.05s3+0.6s2+s系統(tǒng)頻率特性G(j3)=jW(0.1jW+1)(0.5s+1)1j(w-0.05w3)一0.6w30.6W2(0.6w2)2+(w-0.05w3)2(w-0.05w3)(0.6w2)2+(w-0.05w3)2其中，G(j3)= ZG(j3)=-nJ(0.6w2)2+(w-0.05w3)2(w-0.05w3)+arctan1-w20.6w2(0.6w2)2+(w-0.05w3)0.6w2(0.6w2)2+(w-0.05w3)2(0.6w2)2+(w-0.05w3)2當(dāng)3=0時(shí)， G(j3)=8ZG(j3)=-90u(3)=—0.6V(3)=—81另v(3)=0,得 3= =4,472^0.05此時(shí),u(3)=—0.08當(dāng)3=8時(shí)， G(j3)=0 ZG(j3)=-270°u(3)=0 v(3)=0其Nyquist圖如圖(題4.12(7)).⑻傳遞函數(shù)吐）=蘭爲(wèi)爲(wèi)）=系統(tǒng)頻率特性G(j3)=7.5(0.23+1)(jo+1)=(7.5-1.5o2)+j9oG(j3)=jo(100-32+16j3)jGo。?-33)-16w2780+153225632+(100—32)780+153225632+(100—32)2J(1632)2+(1003-33)2其中， ZG(jw)=arctan0.23+arctan3—90°—arctan100-32TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"/、 780+15e2 —U(3)= >0(100-w2)2+256?27.5(0.2e4-1.8?2+100)小\o"CurrentDocument"v(3)=— <0(100?-?3)2+(16?2)2當(dāng)3=0時(shí)，G(j3)=8ZG(j3)=-90°u(3)=0.078(3)=—8當(dāng)3=8時(shí)，G(j3)=0ZG(jw)=-270°u(3)=0v(3)=0其Nyquist如圖(題4.12(8)).

(9)傳遞函數(shù)G(s