晶體的對稱性

關于晶體的對稱性第一頁，共四十六頁，2022年，8月28日對稱操作所依賴的幾何要素。1.對稱操作與線性變換經過某一對稱操作，把晶體中任一點變?yōu)榭梢杂镁€性變換來表示。1對稱性與對稱操作對稱性：經過某種動作后，晶體能夠自身重合的特性。對稱操作：使晶體自身重合的動作。對稱素：第二頁，共四十六頁，2022年，8月28日操作前后，兩點間的距離保持不變，Ox1x3x2O點和X點間距與O點和點間距相等。第三頁，共四十六頁，2022年，8月28日I為單位矩陣，即：或者說A為正交矩陣，其矩陣行列式。2.簡單對稱操作(旋轉對稱、中心反映、鏡象、旋轉反演對稱)(1)旋轉對稱(Cn,對稱素為線)若晶體繞某一固定軸轉以后自身重合，則此軸稱為n次(度)旋轉對稱軸。下面我們計算與轉動對應的變換矩陣。第四頁，共四十六頁，2022年，8月28日當OX繞Ox1轉動角度時，圖中若OX在Ox2x3平面上投影的長度為R，則Ox1x3x2第五頁，共四十六頁，2022年，8月28日晶體中允許有幾度旋轉對稱軸呢?設B1ABA1是晶體中某一晶面上的一個晶列，AB為這一晶列上相鄰的兩個格點。A1ABB1第六頁，共四十六頁，2022年，8月28日若晶體繞通過格點A并垂直于紙面的u軸順時針轉角后能自身重合，則由于晶體的周期性，通過格點B也有一轉軸u。是的整數(shù)倍，A1ABB1相反若逆時針轉'角后能自身重合，則A1ABB1是的整數(shù)倍，第七頁，共四十六頁，2022年，8月28日晶體中允許的旋轉對稱軸只能是1，2，3，4，6度軸。綜合上述證明得：12346第八頁，共四十六頁，2022年，8月28日正五邊形沿豎直軸每旋轉720恢復原狀，但它不能重復排列充滿一個平面而不出現(xiàn)空隙。因此晶體的旋轉對稱軸中不存在五次軸，只有1，2，3，4，6度旋轉對稱軸。(2)中心反演(i，對稱素為點)取中心為原點，經過中心反映后，圖形中任一點變?yōu)榈诰彭?，共四十六頁?022年，8月28日(3)鏡象(m，對稱素為面)如以x3=0面作為對稱面，鏡象是將圖形的任何一點變?yōu)?4)旋轉--反演對稱若晶體繞某一固定軸轉以后，再經過中心反演,晶體自身重合，則此軸稱為n次(度)旋轉--反演對稱軸。第十頁，共四十六頁，2022年，8月28日

旋轉--反演對稱軸只能有1，2，3，4，6度軸。旋轉--反演對稱軸用表示。旋轉--反演對稱軸并不都是獨立的基本對稱素。如：1212345612第十一頁，共四十六頁，2022年，8月28日ABDCEFGH正四面體既無四度軸也無對稱心6=3+m1234566'1234第十二頁，共四十六頁，2022年，8月28日1，2，3，4，6度旋轉對稱操作。1，2，3，4，6度旋轉反演對稱操作。(3)中心反映：i。(4)鏡象反映：m。

C1，C2，C3，C4，C6

（用熊夫利符號表示）S1，S2，S3，S4，S6（用熊夫利符號表示）點對稱操作：(2)旋轉反演對稱操作：(1)旋轉對稱操作：

獨立的對稱操作有8種,即1，2，3，4，6，i，m，?；駽1，C2，C3，C4，C6

，Ci，Cs，S4。第十三頁，共四十六頁，2022年，8月28日立方體對稱性(1)立方軸C4：3個立方軸；4個3度軸；(2)體對角線C3：(3)面對角線C2：6個2度軸；第十四頁，共四十六頁，2022年，8月28日與4度軸正交的對稱面與2度軸正交的對稱面第十五頁，共四十六頁，2022年，8月28日所有點對稱操作都可由這8種操作或它們的組合來完成。一個晶體的全部對稱操作構成一個群，每個操作都是群的一個元素。對稱性不同的晶體屬于不同的群。由旋轉、中心反演、鏡象和旋轉--反演點對稱操作構成的群，稱作點群。理論證明，所有晶體只有32種點群，即只有32種不同的點對稱操作類型。這種對稱性在宏觀上表現(xiàn)為晶體外形的對稱及物理性質在不同方向上的對稱性。所以又稱宏觀對稱性。如果考慮平移，還有兩種情況，即螺旋軸和滑移反映面。第十六頁，共四十六頁，2022年，8月28日

（5）n度螺旋軸：若繞軸旋轉2/n角以后，再沿軸方向平移l(T/n)，晶體能自身重合，則稱此軸為n度螺旋軸。其中T是軸方向的周期，l是小于n的整數(shù)。n只能取1、2、3、4、6。（6）滑移反映面：若經過某面進行鏡象操作后，再沿平行于該面的某個方向平移T/n后，晶體能自身重合，則稱此面為滑移反映面。T是平行方向的周期，n可取2或4。點對稱操作加上平移操作構成空間群。全部晶體構有230種空間群，即有230種對稱類型。第十七頁，共四十六頁，2022年，8月28日2晶系和布喇菲原胞根據(jù)不同的點對稱性，將晶體分為7大晶系，14種布喇菲晶格。為布喇菲原胞三個基矢，分別為取間的夾角。7大晶系的特征及布喇菲晶格如下所述：第十八頁，共四十六頁，2022年，8月28日1.三斜晶系：2.單斜晶系：3.三角晶系：簡單三斜(1)簡單單斜(2)底心單斜(3)三角(4)4.正交晶系：簡單正交(5)，底心正交(6)體心正交(7)，面心正交(8)5.四角系：(正方晶系)簡單四角(9)，體心四角(10)6.六角晶系：六角(11)7.立方晶系：簡立方(12)，體心立方(13)，面心立方(14)第十九頁，共四十六頁，2022年，8月28日簡單三斜(1)簡單單斜(2)底心單斜(3)1.三斜晶系：2.單斜晶系：3.三角晶系：三角(4)第二十頁，共四十六頁，2022年，8月28日4.正交晶系：簡單正交(5)底心正交(6)體心正交(7)面心正交(8)5.四角系：(正方晶系)體心四角(10)簡單四角(9)第二十一頁，共四十六頁，2022年，8月28日6.六角晶系：六角(11)7.立方晶系：簡立方(12)體心立方(13)面心立方(14)第二十二頁，共四十六頁，2022年，8月28日第二十三頁，共四十六頁，2022年，8月28日3點群的表示符號通用的點群符號有兩種:一是傳統(tǒng)的熊夫利(Schonflis或熊夫里斯)符號;二是赫曼-莫吉恩(Hermann-Mauguin)符號：扼要地概括了點群中對稱元素的配置情況,包含信息較多,已為國際晶體學界所采用，故通稱為國際符號。獨立的8種對稱操作：熊夫利符號：C1，C2，C3，C4，C6，Ci，Cs，S4國際符號：1，2，3，4，6，i，m

，。第二十四頁，共四十六頁，2022年，8月28日32個晶體學點群由上述的8種獨立的宏觀對稱元素按一定的規(guī)則（即對稱元素至少要通過一個公共點；組合時不能出現(xiàn)5次軸及大于6的對稱軸）進行組合，總共有32種組合形式，稱為32個晶體學點群。晶體的宏觀外形不論形狀如何，必屬于這32個晶體學點群中的某一個。第二十五頁，共四十六頁，2022年，8月28日對稱性的高低晶系特征對稱元素晶胞類型點群對稱元素序號熊夫里斯記號國際記號低三斜無12單斜

或m345

2/m

正交兩個互相垂直的m或三個互相垂的67

8中四方910

11

127個晶系和32種晶體學點群的劃分第二十六頁，共四十六頁，2022年，8月28日對稱性的高低晶系特征對稱元素晶胞類型點群對稱元素序號熊夫里斯記號國際記號中四方131415三方菱面體晶胞161718六方晶胞1920續(xù)表：第二十七頁，共四十六頁，2022年，8月28日對稱性的高低晶系特征對稱元素晶胞類型點群對稱元素序號熊夫里斯記號國際記號中六方21222324622252627高立方在立方的體對角線方向2829303132續(xù)表：第二十八頁，共四十六頁，2022年，8月28日晶體點群的記號晶系123立方Cubicaa＋b＋ca＋b六方hexagonalca2a＋b四方tetragonalcaa＋b三方rhombohetrona＋b＋ca－b――正交orthorhombicabc單斜monoclinicb――――三斜anorthic第二十九頁，共四十六頁，2022年，8月28日舉例簡單立方體的表示：432正四方體(c>a=b)的表示：422或4mm正三方的表示：32第三十頁，共四十六頁，2022年，8月28日D2h－PmnlD2h是點群的熊夫利記號;國際記號：P為簡單點陣;mnl表示晶體中3個方向的對稱性。討論鈦酸鋇在各種溫度下的結構及其表示：第三十一頁，共四十六頁，2022年，8月28日附錄國際符號根據(jù)各種晶類的對稱性可以是三項、或二項、或一項符號組成，它分別表示晶體某三個、或二個、或一個方向上的對稱元素。如果在某一個方向上，同時具有對稱軸和垂直于此軸的對稱面，則寫成分數(shù)形式。如2/m,4/m。第三十二頁，共四十六頁，2022年，8月28日熊夫利斯（Sch?enfles）符號Cn：字母表示旋轉的意思，組標n表示旋轉的次數(shù)，n=1、2、3、4、6。例如C2代表二次旋轉軸。Cnh：表示除了n次旋轉軸外，還包括一個與此軸垂直的對稱面。（2/m）Cnv：表示除了n次旋轉軸外，還包括一個與此軸重合（即平行）的對稱面。Cni：表示除了n次旋轉軸外，還包括一個對稱中心。第三十三頁，共四十六頁，2022年，8月28日Ci：表示有一個對稱中心。S4：表示有一個四次旋轉倒反軸。Dn：表示除了n次主旋轉軸外，還包括n個與之軸垂直的二次旋轉軸。Dnh：表示除了Dn的對稱性外，還包括一個與主旋轉軸垂直的對稱面，和n個與二次旋轉軸重合（即平行）的對稱面。Dnd：表示除了Dn的對稱性外，還包括n個平分兩個二次旋轉軸夾角的對稱面。第三十四頁，共四十六頁，2022年，8月28日T：除了四個三次旋轉軸外，還包括三個正交的二次旋轉軸。Th：除了T的對稱性外，還包括與二次旋轉軸垂直的三個對稱面。Td：除了T的對稱性外，還包括六個平分兩個二次旋轉軸夾角的對稱面。O：包括三個互相垂直的四次旋轉軸，六個二次旋轉軸，和四個三次旋轉軸。Oh：除了O的對稱性外，還包括Td與Th的對稱面。第三十五頁，共四十六頁，2022年，8月28日國際符號由兩部分組成空間群的國際符號由兩部分組成:第一部分為大寫字母：P：原始格子、O：心，A：100、B：010、C：001I：體心、F：面心、R：菱面體第二部分為對稱類型的國際符號第三十六頁，共四十六頁，2022年，8月28日部分規(guī)則符號：/m:表示反映面與主軸垂直。如3/m:表示垂直于3重旋轉軸的面；m:表示反映面與主軸平行。此時c2與m等價。體心立方的長方體：選擇參量是c,a,a+b對應的是4,2,2。第三十七頁，共四十六頁，2022年，8月28日極射球的對稱操作黑點表示平面外面點，圓圈表示平面里面點在平面的投影上橫線表示投射i：點變圓圈；m表示面，在分子時面與軸平行，在分母時表示面與軸垂直，用一條黑線（直徑）表示。旋轉軸的表示也有兩種，中心點的符號與紅線加兩端的符號表示。

第三十八頁，共四十六頁，2022年，8月28日第三十九頁，共四十六頁，2022年，8月28日BaTiO3的XRD衍射圖四方tetragonal結構的軸：caa＋bP4mm4mm