有理數(shù)知識點及經典題型總結講義

一對一個性輔導，0.618，10整數(shù)集合：｛…｝分數(shù)集合：｛…｝非負數(shù)集合：｛…｝例2、下列說法正確的是（）A有理數(shù)分為正數(shù)和負數(shù)B有理數(shù)-a一定表示負數(shù)C正整數(shù)、正分數(shù)、負整數(shù)、負分數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)D有理數(shù)包括整數(shù)和分數(shù)數(shù)軸⒈數(shù)軸的概念規(guī)定了原點，正方向，單位長度的直線叫做數(shù)軸。注意：⑴數(shù)軸是一條向兩端無限延伸的直線；⑵原點、正方向、單位長度是數(shù)軸的三要素，三者缺一不可；⑶同一數(shù)軸上的單位長度要統(tǒng)一；⑷數(shù)軸的三要素都是根據(jù)實際需要規(guī)定的。2.數(shù)軸上的點與有理數(shù)的關系⑴所有的有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點來表示，正有理數(shù)可用原點右邊的點表示，負有理數(shù)可用原點左邊的點表示，0用原點表示。⑵所有的有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點表示出來，但數(shù)軸上的點不都表示有理數(shù)，也就是說，有理數(shù)與數(shù)軸上的點不是一一對應關系。（如，數(shù)軸上的點π不是有理數(shù)）3.利用數(shù)軸表示兩數(shù)大小⑴在數(shù)軸上數(shù)的大小比較，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大；⑵正數(shù)都大于0，負數(shù)都小于0，正數(shù)大于負數(shù)；⑶兩個負數(shù)比較，距離原點遠的數(shù)比距離原點近的數(shù)小。4.數(shù)軸上特殊的最大（?。?shù)⑴最小的自然數(shù)是0，無最大的自然數(shù)；⑵最小的正整數(shù)是1，無最大的正整數(shù)；⑶最大的負整數(shù)是-1，無最小的負整數(shù)5.a可以表示什么數(shù)⑴a>0表示a是正數(shù)；反之，a是正數(shù)，則a>0；⑵a<0表示a是負數(shù)；反之，a是負數(shù)，則a<0⑶a=0表示a是0；反之，a是0,，則a=06.數(shù)軸上點的移動規(guī)律根據(jù)點的移動，向左移動幾個單位長度則減去幾，向右移動幾個單位長度則加上幾，從而得到所需的點的位置。練習三例1、請畫出一條數(shù)軸，并且在數(shù)軸上標出下面的有理數(shù)：3，-2，-3.5，，0，+2，0.5.例2、如圖所示，在數(shù)軸上，點A,B,C,D依次表示1.5，-2，2，-2.5。說出各點與原點的位置關系以及與原點的距離是多少個單位長度？例3、如圖，數(shù)軸上所標出的點中，相鄰兩點間的距離相等，則點表示的數(shù)為（）A、30B、50C、60D、80例5、如圖，數(shù)軸的一部分被墨水污染，被污染的部分內含有的整數(shù)為___________例6、文具店、書店和玩具店一次坐落在一條筆直的東西走向的大街上，文具店位于書店西邊20m處，玩具店位于書店東邊100m處。小明從書店沿街向東走了40m，接著又向東走了60m，你知道此時小明的位置在哪嗎？例7、有理數(shù)a,b,c在數(shù)軸上的位置如圖所示，求的值四、相反數(shù)⒈相反數(shù)只有符號不同的兩個數(shù)叫做互為相反數(shù)，其中一個是另一個的相反數(shù)，0的相反數(shù)是0。注意：⑴相反數(shù)是成對出現(xiàn)的；⑵相反數(shù)只有符號不同，若一個為正，則另一個為負；⑶0的相反數(shù)是它本身；相反數(shù)為本身的數(shù)是0。2.相反數(shù)的性質與判定⑴任何數(shù)都有相反數(shù)，且只有一個；⑵0的相反數(shù)是0；⑶互為相反數(shù)的兩數(shù)和為0，和為0的兩數(shù)互為相反數(shù)，即a，b互為相反數(shù)，則a+b=03.相反數(shù)的幾何意義在數(shù)軸上與原點距離相等的兩點表示的兩個數(shù)，是互為相反數(shù)；互為相反數(shù)的兩個數(shù)，在數(shù)軸上的對應點（0除外）在原點兩旁，并且與原點的距離相等。0的相反數(shù)對應原點；原點表示0的相反數(shù)。說明：在數(shù)軸上，表示互為相反數(shù)的兩個點關于原點對稱。4.相反數(shù)的求法⑴求一個數(shù)的相反數(shù)，只要在它的前面添上負號“-”即可求得（如：5的相反數(shù)是-5）；⑵求多個數(shù)的和或差的相反數(shù)是，要用括號括起來再添“-”，然后化簡（如；5a+b的相反數(shù)是-（5a+b）。化簡得-5a-b）；⑶求前面帶“-”的單個數(shù)，也應先用括號括起來再添“-”，然后化簡(如：-5的相反數(shù)是-（-5），化簡得5)5.相反數(shù)的表示方法⑴一般地，數(shù)a的相反數(shù)是-a，其中a是任意有理數(shù)，可以是正數(shù)、負數(shù)或0。當a>0時，-a<0（正數(shù)的相反數(shù)是負數(shù)）當a<0時，-a>0（負數(shù)的相反數(shù)是正數(shù)）當a=0時，-a=0，（0的相反數(shù)是0）考試?？迹阂阎猘,b互為相反數(shù)，立馬要想到a+b=0.6.多重符號的化簡多重符號的化簡規(guī)律:“+”號的個數(shù)不影響化簡的結果，可以直接省略；“-”號的個數(shù)決定最后化簡結果；即：“-”的個數(shù)是奇數(shù)時，結果為負，“-”的個數(shù)是偶數(shù)時，結果為正。如.練習四例1、有理數(shù)的相反數(shù)是（）（A）（B）（C）3（D）–3例2、a的相反數(shù)是，-a的相反數(shù)是，0的相反數(shù)是例3、若a和b互為相反數(shù)，則a+b=例4、如果，那么，兩個實數(shù)一定是（）A.都等于0B.一正一負C.互為相反數(shù)D.互為倒數(shù)例5、如果與1互為相反數(shù)，則等于（）A．2B．C．1D．五、絕對值⒈絕對值的幾何定義一般地，數(shù)軸上表示數(shù)a的點與原點的距離叫做a的絕對值，記作|a|。2.絕對值的代數(shù)定義⑴一個正數(shù)的絕對值是它本身；⑵一個負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；⑶0的絕對值是0.可用字母表示為：①如果a>0，那么|a|=a；②如果a<0，那么|a|=-a；③如果a=0，那么|a|=0?？蓺w納為①：a≥0，<═>|a|=a（非負數(shù)的絕對值等于本身；絕對值等于本身的數(shù)是非負數(shù)。）②a≤0，<═>|a|=-a（非正數(shù)的絕對值等于其相反數(shù)；絕對值等于其相反數(shù)的數(shù)是非正數(shù)。）3.絕對值的性質任何一個有理數(shù)的絕對值都是非負數(shù)，也就是說絕對值具有非負性。所以，a取任何有理數(shù)，都有|a|≥0。即⑴0的絕對值是0；絕對值是0的數(shù)是0.即：a=0<═>|a|=0；⑵一個數(shù)的絕對值是非負數(shù)，絕對值最小的數(shù)是0.即：|a|≥0；⑶任何數(shù)的絕對值都不小于原數(shù)。即：|a|≥a；⑷絕對值是相同正數(shù)的數(shù)有兩個，它們互為相反數(shù)。即：若|x|=a（a>0），則x=±a；⑸互為相反數(shù)的兩數(shù)的絕對值相等。即：|-a|=|a|或若a+b=0，則|a|=|b|；⑹絕對值相等的兩數(shù)相等或互為相反數(shù)。即：|a|=|b|，則a=b或a=-b；⑺若幾個數(shù)的絕對值的和等于0，則這幾個數(shù)就同時為0。即|a|+|b|=0，則a=0且b=0。（非負數(shù)的常用性質：若幾個非負數(shù)的和為0，則有且只有這幾個非負數(shù)同時為0）4.有理數(shù)大小的比較⑴利用數(shù)軸比較兩個數(shù)的大?。簲?shù)軸上的兩個數(shù)相比較，左邊的總比右邊的??；⑵利用絕對值比較兩個負數(shù)的大小：兩個負數(shù)比較大小，絕對值大的反而小；異號兩數(shù)比較大小，正數(shù)大于負數(shù)。5.絕對值的化簡①當a≥0時，|a|=a；②當a≤0時，|a|=-a6.已知一個數(shù)的絕對值，求這個數(shù)一個數(shù)a的絕對值就是數(shù)軸上表示數(shù)a的點到原點的距離，一般地，絕對值為同一個正數(shù)的有理數(shù)有兩個，它們互為相反數(shù)，絕對值為0的數(shù)是0，沒有絕對值為負數(shù)的數(shù)。例1.已知︱a︱=5,︱b︱=8,且︱a+b︱=-(a+b),試求a+b的值。練習2.已知︱a︱=5,︱b︱=8,且∣ab∣=-ab,試求a+b的值。有理數(shù)的加減法1.有理數(shù)的加法法則⑴同號兩數(shù)相加，取相同的符號，并把絕對值相加；⑵絕對值不相等的異號兩數(shù)相加，取絕對值較大的加數(shù)的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值；⑶互為相反數(shù)的兩數(shù)相加，和為零；⑷一個數(shù)與零相加，仍得這個數(shù)。2.有理數(shù)加法的運算律⑴加法交換律：a+b=b+a⑵加法結合律：(a+b)+c=a+(b+c)在運用運算律時，一定要根據(jù)需要靈活運用，以達到化簡的目的，通常有下列規(guī)律：①互為相反數(shù)的兩個數(shù)先相加——“相反數(shù)結合法”；②符號相同的兩個數(shù)先相加——“同號結合法”；③分母相同的數(shù)先相加——“同分母結合法”；④幾個數(shù)相加得到整數(shù)，先相加——“湊整法”；⑤整數(shù)與整數(shù)、小數(shù)與小數(shù)相加——“同形結合法”。3.加法性質一個數(shù)加正數(shù)后的和比原數(shù)大；加負數(shù)后的和比原數(shù)小；加0后的和等于原數(shù)。即：⑴當b>0時，a+b>a⑵當b<0時，a+b<a⑶當b=0時，a+b=a4.有理數(shù)減法法則減去一個數(shù)，等于加上這個數(shù)的相反數(shù)。用字母表示為：a-b=a+(-b)。5.有理數(shù)加減法統(tǒng)一成加法的意義在有理數(shù)加減法混合運算中，根據(jù)有理數(shù)減法法則，可以將減法轉化成加法后，再按照加法法則進行計算。在和式里，通常把各個加數(shù)的括號和它前面的加號省略不寫，寫成省略加號的和的形式。如：(-8)+(-7)+(-6)+(+5)=-8-7-6+5.和式的讀法：①按這個式子表示的意義讀作“負8、負7、負6、正5的和”②按運算意義讀作“負8減7減6加5”6.有理數(shù)加減混合運算中運用結合律時的一些技巧：Ⅰ.把符號相同的加數(shù)相結合（同號結合法）(-33)-(-18)+(-15)-(+1)+(+23)原式=-33+(+18)+(-15)+(-1)+(+23)（將減法轉換成加法）=-33+18-15-1+23（省略加號和括號）=(-33-15-1)+(18+23)（把符號相同的加數(shù)相結合）=-49+41（運用加法法則一進行運算）=-8（運用加法法則二進行運算）Ⅱ.把和為整數(shù)的加數(shù)相結合（湊整法）(+6.6)+(-5.2)-(-3.8)+(-2.6)-(+4.8)原式=(+6.6)+(-5.2)+(+3.8)+(-2.6)+(-4.8)（將減法轉換成加法）=6.6-5.2+3.8-2.6-4.8（省略加號和括號）=(6.6-2.6)+(-5.2-4.8)+3.8（把和為整數(shù)的加數(shù)相結合）=4-10+3.8（運用加法法則進行運算）=7.8-10（把符號相同的加數(shù)相結合，并進行運算）=-2.2（得出結論）Ⅲ.把分母相同或便于通分的加數(shù)相結合（同分母結合法）--+-+-原式=(--)+(-+)+(+-)=-1+0-=-1Ⅳ.既有小數(shù)又有分數(shù)的運算要統(tǒng)一后再結合（先統(tǒng)一后結合）(+0.125)-(-3)+(-3)-(-10)-(+1.25)原式=(+)+(+3)+(-3)+(+10)+(-1)=+3-3+10-1=(3-1)+(-3)+10=2-3+10=-3+13=10Ⅴ.把帶分數(shù)拆分后再結合（先拆分后結合）-3+10-12+4原式=(-3+10-12+4)+(-+)+(-)=-1++=-1++=-Ⅵ.分組結合2-3-4+5+6-7-8+9…+66-67-68+69原式=(2-3-4+5)+(6-7-8+9)+…+(66-67-68+69)=0Ⅶ.先拆項后結合（1+3+5+7…+99）-（2+4+6+8…+100）有理數(shù)的乘除法1.有理數(shù)的乘法法則法則一：兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘；（“同號得正，異號得負”專指“兩數(shù)相乘”的情況，如果因數(shù)超過兩個，就必須運用法則三）法則二：任何數(shù)同0相乘，都得0；法則三：幾個不是0的數(shù)相乘，負因數(shù)的個數(shù)是偶數(shù)時，積是正數(shù)；負因數(shù)的個數(shù)是奇數(shù)時，積是負數(shù)；法則四：幾個數(shù)相乘，如果其中有因數(shù)為0,則積等于0.2.倒數(shù)乘積是1的兩個數(shù)互為倒數(shù)，其中一個數(shù)叫做另一個數(shù)的倒數(shù)，用式子表示為a·=1（a≠0），就是說a和互為倒數(shù)，即a是的倒數(shù)，是a的倒數(shù)。注意：①0沒有倒數(shù)；②求假分數(shù)或真分數(shù)的倒數(shù)，只要把這個分數(shù)的分子、分母點顛倒位置即可；求帶分數(shù)的倒數(shù)時，先把帶分數(shù)化為假分數(shù)，再把分子、分母顛倒位置；③正數(shù)的倒數(shù)是正數(shù)，負數(shù)的倒數(shù)是負數(shù)。（求一個數(shù)的倒數(shù)，不改變這個數(shù)的性質）；④倒數(shù)等于它本身的數(shù)是1或-1,不包括0?？荚嚱洺？迹阂阎猘,b互為倒數(shù)，立馬要想到ab=1.例2.已知a，b互為相反數(shù)，c，d互為倒數(shù)，x的絕對值為5．試求下式的值：3.有理數(shù)的乘法運算律⑴乘法交換律：一般地，有理數(shù)乘法中，兩個數(shù)相乘，交換因數(shù)的位置，積相等。即ab=ba⑵乘法結合律：三個數(shù)相乘，先把前兩個數(shù)相乘，或者先把后兩個數(shù)相乘，積相等。即(ab)c=a(bc).⑶乘法分配律：一般地，一個數(shù)同兩個數(shù)的和相乘，等于把這個數(shù)分別同這兩個數(shù)相乘，在把積相加。即a(b+c)=ab+ac4.有理數(shù)的除法法則（1）除以一個不等0的數(shù)，等于乘以這個數(shù)的倒數(shù)。（2）兩數(shù)相除，同號得正，異號得負，并把絕對值相除。0除以任何一個不等于0的數(shù)，都得05.有理數(shù)的乘除混合運算（1）乘除混合運算往往先將除法化成乘法，然后確定積的符號，最后求出結果。（2）有理數(shù)的加減乘除混合運算，如無括號指出先做什么運算，則按照‘先乘除，后加減’的順序進行。練習3.快速計算（1)減法沒有結合律!（2）除法沒有結合律!（3）除法沒有分配律!（4）同一級運算時一定要從左向右!有理數(shù)的乘方1.乘方的概念求n個相同因數(shù)的積的運算，叫做乘方，乘方的結果叫做冪。在中，a叫做底數(shù)，n叫做指數(shù)。2.乘方的性質（1）負數(shù)的奇次冪是負數(shù)，負數(shù)的偶次冪的正數(shù)。（2）正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)，0的任何正整數(shù)次冪都是0。練習4：計算：練習5．為正整數(shù)時，+的值是（）A．2B．-2C．0D．不能確定練習6：1.計算：2.已知，求的值。練習7：觀察下列算式發(fā)現(xiàn)規(guī)律：，，，，，，，……，用你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律寫出：的末位數(shù)字是________。練習8：某校初一年級共有8個班，以每班65人為標準，超過的人數(shù)記為正數(shù)，不足的人數(shù)記為負數(shù)，統(tǒng)計情況記錄如下：-1，-6，+2，-3，+4，0，-7，+3，求該校初一年級總人數(shù)。有理數(shù)的混合運算做有理數(shù)的混合運算時，應注意以下運算順序：1.先乘方，再乘除，最后加減；2.同級運算，從左到右進行；3.如有括號，先做括號內的運算，按小括號，中括號，大括號依次進行。科學記數(shù)法把一個大于10的數(shù)表示成的形式（其中，n是正整數(shù)），這種記數(shù)法是科學記數(shù)法。如:地球上的陸地面積約為149000000km2，用科學記數(shù)法表示為。第1講作業(yè)一．填空題1．－│－7│的相反數(shù)為____，相反數(shù)等于本身的數(shù)為_______．2．已知│x│=，│y│=，且xy>0，則x－y=______．3．x與2的差為，則－x=_____．4．近似數(shù)1.50精確到_______，78950用科學記數(shù)法表示為_____．5．按規(guī)律寫數(shù)，－，，－，…第6個數(shù)是______．二、選擇題1.下列說法正確的是（）最小的有理數(shù)是0；最大的負整數(shù)是－1；最小的自然數(shù)是1；最小的正數(shù)是1.2.下列說法正確的是（）兩個有理數(shù)的和為零，則這兩個有理數(shù)都為0；兩個有理數(shù)的和一定大于其中任何一個加數(shù)；兩個有理數(shù)的和為正數(shù)，則這兩個數(shù)中至少有一個加數(shù)是正數(shù)；兩個有理數(shù)的和為負數(shù)，則這兩個數(shù)一定都是負數(shù).3.下列說法正確的是（）一個正數(shù)減去一個負數(shù)，結果是正數(shù)；零減去一個數(shù)一定是負數(shù)；一個負數(shù)減去一個負數(shù)，結果是負數(shù)；“－2－3”讀作“負2減負3”4.下列說法正確的是（）A.個有理數(shù)相乘，當因數(shù)是奇數(shù)個時，積為負；B.個有理數(shù)相乘，當正因數(shù)有奇數(shù)個時，積為負；C.個有理數(shù)相乘，當負因數(shù)有奇數(shù)個時，積為負；D.個有理數(shù)相乘，當積為負時，負因數(shù)有奇數(shù)個.5.下列說法正確的是（）相反數(shù)是本身的數(shù)是1和0；倒數(shù)是本身的數(shù)是1和0；絕對值是本身的數(shù)是0和正數(shù)；平方等于64的數(shù)是8.6、已知字母、表示有理數(shù)，如果+=0，則下列說法正確的是（）A.、中一定有一個是負數(shù)B.、都為0C.與不可能相等D.與的絕對值相等7、一個數(shù)的平方為16，則這個數(shù)是（）A.或B.C.D.或8、絕對值大于2且小于5的所有整數(shù)的和是（）A.7B.－7C.0D.510、等于（）A．B.C.D.11、數(shù)軸上的點A、B、C、D分別表示數(shù)a、b、c、d，已知A在B的右側，C在B的左側，D在B、C之間，則下列式子成立的是（）A、a<b<c<dB、b<c<d<aC、c<d<b<aD、c<b<d<a12、若x為有理數(shù)，則必是（）A、非正數(shù)B、非負數(shù)C、0D、正數(shù)13、下列各語句中正確的是（）A、若a>-0