有理數(shù)知識(shí)點(diǎn)及經(jīng)典題型總結(jié)講義_第1頁
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一對一個(gè)性輔導(dǎo),0.618,10整數(shù)集合:{…}分?jǐn)?shù)集合:{…}非負(fù)數(shù)集合:{…}例2、下列說法正確的是()A有理數(shù)分為正數(shù)和負(fù)數(shù)B有理數(shù)-a一定表示負(fù)數(shù)C正整數(shù)、正分?jǐn)?shù)、負(fù)整數(shù)、負(fù)分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)D有理數(shù)包括整數(shù)和分?jǐn)?shù)數(shù)軸⒈數(shù)軸的概念規(guī)定了原點(diǎn),正方向,單位長度的直線叫做數(shù)軸。注意:⑴數(shù)軸是一條向兩端無限延伸的直線;⑵原點(diǎn)、正方向、單位長度是數(shù)軸的三要素,三者缺一不可;⑶同一數(shù)軸上的單位長度要統(tǒng)一;⑷數(shù)軸的三要素都是根據(jù)實(shí)際需要規(guī)定的。2.數(shù)軸上的點(diǎn)與有理數(shù)的關(guān)系⑴所有的有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)來表示,正有理數(shù)可用原點(diǎn)右邊的點(diǎn)表示,負(fù)有理數(shù)可用原點(diǎn)左邊的點(diǎn)表示,0用原點(diǎn)表示。⑵所有的有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)表示出來,但數(shù)軸上的點(diǎn)不都表示有理數(shù),也就是說,有理數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)不是一一對應(yīng)關(guān)系。(如,數(shù)軸上的點(diǎn)π不是有理數(shù))3.利用數(shù)軸表示兩數(shù)大?、旁跀?shù)軸上數(shù)的大小比較,右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大;⑵正數(shù)都大于0,負(fù)數(shù)都小于0,正數(shù)大于負(fù)數(shù);⑶兩個(gè)負(fù)數(shù)比較,距離原點(diǎn)遠(yuǎn)的數(shù)比距離原點(diǎn)近的數(shù)小。4.數(shù)軸上特殊的最大(?。?shù)⑴最小的自然數(shù)是0,無最大的自然數(shù);⑵最小的正整數(shù)是1,無最大的正整數(shù);⑶最大的負(fù)整數(shù)是-1,無最小的負(fù)整數(shù)5.a可以表示什么數(shù)⑴a>0表示a是正數(shù);反之,a是正數(shù),則a>0;⑵a<0表示a是負(fù)數(shù);反之,a是負(fù)數(shù),則a<0⑶a=0表示a是0;反之,a是0,,則a=06.數(shù)軸上點(diǎn)的移動(dòng)規(guī)律根據(jù)點(diǎn)的移動(dòng),向左移動(dòng)幾個(gè)單位長度則減去幾,向右移動(dòng)幾個(gè)單位長度則加上幾,從而得到所需的點(diǎn)的位置。練習(xí)三例1、請畫出一條數(shù)軸,并且在數(shù)軸上標(biāo)出下面的有理數(shù):3,-2,-3.5,,0,+2,0.5.例2、如圖所示,在數(shù)軸上,點(diǎn)A,B,C,D依次表示1.5,-2,2,-2.5。說出各點(diǎn)與原點(diǎn)的位置關(guān)系以及與原點(diǎn)的距離是多少個(gè)單位長度?例3、如圖,數(shù)軸上所標(biāo)出的點(diǎn)中,相鄰兩點(diǎn)間的距離相等,則點(diǎn)表示的數(shù)為()A、30B、50C、60D、80例5、如圖,數(shù)軸的一部分被墨水污染,被污染的部分內(nèi)含有的整數(shù)為___________例6、文具店、書店和玩具店一次坐落在一條筆直的東西走向的大街上,文具店位于書店西邊20m處,玩具店位于書店東邊100m處。小明從書店沿街向東走了40m,接著又向東走了60m,你知道此時(shí)小明的位置在哪嗎?例7、有理數(shù)a,b,c在數(shù)軸上的位置如圖所示,求的值四、相反數(shù)⒈相反數(shù)只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)叫做互為相反數(shù),其中一個(gè)是另一個(gè)的相反數(shù),0的相反數(shù)是0。注意:⑴相反數(shù)是成對出現(xiàn)的;⑵相反數(shù)只有符號(hào)不同,若一個(gè)為正,則另一個(gè)為負(fù);⑶0的相反數(shù)是它本身;相反數(shù)為本身的數(shù)是0。2.相反數(shù)的性質(zhì)與判定⑴任何數(shù)都有相反數(shù),且只有一個(gè);⑵0的相反數(shù)是0;⑶互為相反數(shù)的兩數(shù)和為0,和為0的兩數(shù)互為相反數(shù),即a,b互為相反數(shù),則a+b=03.相反數(shù)的幾何意義在數(shù)軸上與原點(diǎn)距離相等的兩點(diǎn)表示的兩個(gè)數(shù),是互為相反數(shù);互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù),在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)(0除外)在原點(diǎn)兩旁,并且與原點(diǎn)的距離相等。0的相反數(shù)對應(yīng)原點(diǎn);原點(diǎn)表示0的相反數(shù)。說明:在數(shù)軸上,表示互為相反數(shù)的兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱。4.相反數(shù)的求法⑴求一個(gè)數(shù)的相反數(shù),只要在它的前面添上負(fù)號(hào)“-”即可求得(如:5的相反數(shù)是-5);⑵求多個(gè)數(shù)的和或差的相反數(shù)是,要用括號(hào)括起來再添“-”,然后化簡(如;5a+b的相反數(shù)是-(5a+b)?;喌?5a-b);⑶求前面帶“-”的單個(gè)數(shù),也應(yīng)先用括號(hào)括起來再添“-”,然后化簡(如:-5的相反數(shù)是-(-5),化簡得5)5.相反數(shù)的表示方法⑴一般地,數(shù)a的相反數(shù)是-a,其中a是任意有理數(shù),可以是正數(shù)、負(fù)數(shù)或0。當(dāng)a>0時(shí),-a<0(正數(shù)的相反數(shù)是負(fù)數(shù))當(dāng)a<0時(shí),-a>0(負(fù)數(shù)的相反數(shù)是正數(shù))當(dāng)a=0時(shí),-a=0,(0的相反數(shù)是0)考試常考:已知a,b互為相反數(shù),立馬要想到a+b=0.6.多重符號(hào)的化簡多重符號(hào)的化簡規(guī)律:“+”號(hào)的個(gè)數(shù)不影響化簡的結(jié)果,可以直接省略;“-”號(hào)的個(gè)數(shù)決定最后化簡結(jié)果;即:“-”的個(gè)數(shù)是奇數(shù)時(shí),結(jié)果為負(fù),“-”的個(gè)數(shù)是偶數(shù)時(shí),結(jié)果為正。如.練習(xí)四例1、有理數(shù)的相反數(shù)是()(A)(B)(C)3(D)–3例2、a的相反數(shù)是,-a的相反數(shù)是,0的相反數(shù)是例3、若a和b互為相反數(shù),則a+b=例4、如果,那么,兩個(gè)實(shí)數(shù)一定是()A.都等于0B.一正一負(fù)C.互為相反數(shù)D.互為倒數(shù)例5、如果與1互為相反數(shù),則等于()A.2B.C.1D.五、絕對值⒈絕對值的幾何定義一般地,數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離叫做a的絕對值,記作|a|。2.絕對值的代數(shù)定義⑴一個(gè)正數(shù)的絕對值是它本身;⑵一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù);⑶0的絕對值是0.可用字母表示為:①如果a>0,那么|a|=a;②如果a<0,那么|a|=-a;③如果a=0,那么|a|=0。可歸納為①:a≥0,<═>|a|=a(非負(fù)數(shù)的絕對值等于本身;絕對值等于本身的數(shù)是非負(fù)數(shù)。)②a≤0,<═>|a|=-a(非正數(shù)的絕對值等于其相反數(shù);絕對值等于其相反數(shù)的數(shù)是非正數(shù)。)3.絕對值的性質(zhì)任何一個(gè)有理數(shù)的絕對值都是非負(fù)數(shù),也就是說絕對值具有非負(fù)性。所以,a取任何有理數(shù),都有|a|≥0。即⑴0的絕對值是0;絕對值是0的數(shù)是0.即:a=0<═>|a|=0;⑵一個(gè)數(shù)的絕對值是非負(fù)數(shù),絕對值最小的數(shù)是0.即:|a|≥0;⑶任何數(shù)的絕對值都不小于原數(shù)。即:|a|≥a;⑷絕對值是相同正數(shù)的數(shù)有兩個(gè),它們互為相反數(shù)。即:若|x|=a(a>0),則x=±a;⑸互為相反數(shù)的兩數(shù)的絕對值相等。即:|-a|=|a|或若a+b=0,則|a|=|b|;⑹絕對值相等的兩數(shù)相等或互為相反數(shù)。即:|a|=|b|,則a=b或a=-b;⑺若幾個(gè)數(shù)的絕對值的和等于0,則這幾個(gè)數(shù)就同時(shí)為0。即|a|+|b|=0,則a=0且b=0。(非負(fù)數(shù)的常用性質(zhì):若幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0,則有且只有這幾個(gè)非負(fù)數(shù)同時(shí)為0)4.有理數(shù)大小的比較⑴利用數(shù)軸比較兩個(gè)數(shù)的大?。簲?shù)軸上的兩個(gè)數(shù)相比較,左邊的總比右邊的??;⑵利用絕對值比較兩個(gè)負(fù)數(shù)的大?。簝蓚€(gè)負(fù)數(shù)比較大小,絕對值大的反而??;異號(hào)兩數(shù)比較大小,正數(shù)大于負(fù)數(shù)。5.絕對值的化簡①當(dāng)a≥0時(shí),|a|=a;②當(dāng)a≤0時(shí),|a|=-a6.已知一個(gè)數(shù)的絕對值,求這個(gè)數(shù)一個(gè)數(shù)a的絕對值就是數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離,一般地,絕對值為同一個(gè)正數(shù)的有理數(shù)有兩個(gè),它們互為相反數(shù),絕對值為0的數(shù)是0,沒有絕對值為負(fù)數(shù)的數(shù)。例1.已知︱a︱=5,︱b︱=8,且︱a+b︱=-(a+b),試求a+b的值。練習(xí)2.已知︱a︱=5,︱b︱=8,且∣ab∣=-ab,試求a+b的值。有理數(shù)的加減法1.有理數(shù)的加法法則⑴同號(hào)兩數(shù)相加,取相同的符號(hào),并把絕對值相加;⑵絕對值不相等的異號(hào)兩數(shù)相加,取絕對值較大的加數(shù)的符號(hào),并用較大的絕對值減去較小的絕對值;⑶互為相反數(shù)的兩數(shù)相加,和為零;⑷一個(gè)數(shù)與零相加,仍得這個(gè)數(shù)。2.有理數(shù)加法的運(yùn)算律⑴加法交換律:a+b=b+a⑵加法結(jié)合律:(a+b)+c=a+(b+c)在運(yùn)用運(yùn)算律時(shí),一定要根據(jù)需要靈活運(yùn)用,以達(dá)到化簡的目的,通常有下列規(guī)律:①互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)先相加——“相反數(shù)結(jié)合法”;②符號(hào)相同的兩個(gè)數(shù)先相加——“同號(hào)結(jié)合法”;③分母相同的數(shù)先相加——“同分母結(jié)合法”;④幾個(gè)數(shù)相加得到整數(shù),先相加——“湊整法”;⑤整數(shù)與整數(shù)、小數(shù)與小數(shù)相加——“同形結(jié)合法”。3.加法性質(zhì)一個(gè)數(shù)加正數(shù)后的和比原數(shù)大;加負(fù)數(shù)后的和比原數(shù)??;加0后的和等于原數(shù)。即:⑴當(dāng)b>0時(shí),a+b>a⑵當(dāng)b<0時(shí),a+b<a⑶當(dāng)b=0時(shí),a+b=a4.有理數(shù)減法法則減去一個(gè)數(shù),等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)。用字母表示為:a-b=a+(-b)。5.有理數(shù)加減法統(tǒng)一成加法的意義在有理數(shù)加減法混合運(yùn)算中,根據(jù)有理數(shù)減法法則,可以將減法轉(zhuǎn)化成加法后,再按照加法法則進(jìn)行計(jì)算。在和式里,通常把各個(gè)加數(shù)的括號(hào)和它前面的加號(hào)省略不寫,寫成省略加號(hào)的和的形式。如:(-8)+(-7)+(-6)+(+5)=-8-7-6+5.和式的讀法:①按這個(gè)式子表示的意義讀作“負(fù)8、負(fù)7、負(fù)6、正5的和”②按運(yùn)算意義讀作“負(fù)8減7減6加5”6.有理數(shù)加減混合運(yùn)算中運(yùn)用結(jié)合律時(shí)的一些技巧:Ⅰ.把符號(hào)相同的加數(shù)相結(jié)合(同號(hào)結(jié)合法)(-33)-(-18)+(-15)-(+1)+(+23)原式=-33+(+18)+(-15)+(-1)+(+23)(將減法轉(zhuǎn)換成加法)=-33+18-15-1+23(省略加號(hào)和括號(hào))=(-33-15-1)+(18+23)(把符號(hào)相同的加數(shù)相結(jié)合)=-49+41(運(yùn)用加法法則一進(jìn)行運(yùn)算)=-8(運(yùn)用加法法則二進(jìn)行運(yùn)算)Ⅱ.把和為整數(shù)的加數(shù)相結(jié)合(湊整法)(+6.6)+(-5.2)-(-3.8)+(-2.6)-(+4.8)原式=(+6.6)+(-5.2)+(+3.8)+(-2.6)+(-4.8)(將減法轉(zhuǎn)換成加法)=6.6-5.2+3.8-2.6-4.8(省略加號(hào)和括號(hào))=(6.6-2.6)+(-5.2-4.8)+3.8(把和為整數(shù)的加數(shù)相結(jié)合)=4-10+3.8(運(yùn)用加法法則進(jìn)行運(yùn)算)=7.8-10(把符號(hào)相同的加數(shù)相結(jié)合,并進(jìn)行運(yùn)算)=-2.2(得出結(jié)論)Ⅲ.把分母相同或便于通分的加數(shù)相結(jié)合(同分母結(jié)合法)--+-+-原式=(--)+(-+)+(+-)=-1+0-=-1Ⅳ.既有小數(shù)又有分?jǐn)?shù)的運(yùn)算要統(tǒng)一后再結(jié)合(先統(tǒng)一后結(jié)合)(+0.125)-(-3)+(-3)-(-10)-(+1.25)原式=(+)+(+3)+(-3)+(+10)+(-1)=+3-3+10-1=(3-1)+(-3)+10=2-3+10=-3+13=10Ⅴ.把帶分?jǐn)?shù)拆分后再結(jié)合(先拆分后結(jié)合)-3+10-12+4原式=(-3+10-12+4)+(-+)+(-)=-1++=-1++=-Ⅵ.分組結(jié)合2-3-4+5+6-7-8+9…+66-67-68+69原式=(2-3-4+5)+(6-7-8+9)+…+(66-67-68+69)=0Ⅶ.先拆項(xiàng)后結(jié)合(1+3+5+7…+99)-(2+4+6+8…+100)有理數(shù)的乘除法1.有理數(shù)的乘法法則法則一:兩數(shù)相乘,同號(hào)得正,異號(hào)得負(fù),并把絕對值相乘;(“同號(hào)得正,異號(hào)得負(fù)”專指“兩數(shù)相乘”的情況,如果因數(shù)超過兩個(gè),就必須運(yùn)用法則三)法則二:任何數(shù)同0相乘,都得0;法則三:幾個(gè)不是0的數(shù)相乘,負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)是偶數(shù)時(shí),積是正數(shù);負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)是奇數(shù)時(shí),積是負(fù)數(shù);法則四:幾個(gè)數(shù)相乘,如果其中有因數(shù)為0,則積等于0.2.倒數(shù)乘積是1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù),其中一個(gè)數(shù)叫做另一個(gè)數(shù)的倒數(shù),用式子表示為a·=1(a≠0),就是說a和互為倒數(shù),即a是的倒數(shù),是a的倒數(shù)。注意:①0沒有倒數(shù);②求假分?jǐn)?shù)或真分?jǐn)?shù)的倒數(shù),只要把這個(gè)分?jǐn)?shù)的分子、分母點(diǎn)顛倒位置即可;求帶分?jǐn)?shù)的倒數(shù)時(shí),先把帶分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù),再把分子、分母顛倒位置;③正數(shù)的倒數(shù)是正數(shù),負(fù)數(shù)的倒數(shù)是負(fù)數(shù)。(求一個(gè)數(shù)的倒數(shù),不改變這個(gè)數(shù)的性質(zhì));④倒數(shù)等于它本身的數(shù)是1或-1,不包括0。考試經(jīng)??迹阂阎猘,b互為倒數(shù),立馬要想到ab=1.例2.已知a,b互為相反數(shù),c,d互為倒數(shù),x的絕對值為5.試求下式的值:3.有理數(shù)的乘法運(yùn)算律⑴乘法交換律:一般地,有理數(shù)乘法中,兩個(gè)數(shù)相乘,交換因數(shù)的位置,積相等。即ab=ba⑵乘法結(jié)合律:三個(gè)數(shù)相乘,先把前兩個(gè)數(shù)相乘,或者先把后兩個(gè)數(shù)相乘,積相等。即(ab)c=a(bc).⑶乘法分配律:一般地,一個(gè)數(shù)同兩個(gè)數(shù)的和相乘,等于把這個(gè)數(shù)分別同這兩個(gè)數(shù)相乘,在把積相加。即a(b+c)=ab+ac4.有理數(shù)的除法法則(1)除以一個(gè)不等0的數(shù),等于乘以這個(gè)數(shù)的倒數(shù)。(2)兩數(shù)相除,同號(hào)得正,異號(hào)得負(fù),并把絕對值相除。0除以任何一個(gè)不等于0的數(shù),都得05.有理數(shù)的乘除混合運(yùn)算(1)乘除混合運(yùn)算往往先將除法化成乘法,然后確定積的符號(hào),最后求出結(jié)果。(2)有理數(shù)的加減乘除混合運(yùn)算,如無括號(hào)指出先做什么運(yùn)算,則按照‘先乘除,后加減’的順序進(jìn)行。練習(xí)3.快速計(jì)算(1)減法沒有結(jié)合律!(2)除法沒有結(jié)合律!(3)除法沒有分配律!(4)同一級(jí)運(yùn)算時(shí)一定要從左向右!有理數(shù)的乘方1.乘方的概念求n個(gè)相同因數(shù)的積的運(yùn)算,叫做乘方,乘方的結(jié)果叫做冪。在中,a叫做底數(shù),n叫做指數(shù)。2.乘方的性質(zhì)(1)負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù),負(fù)數(shù)的偶次冪的正數(shù)。(2)正數(shù)的任何次冪都是正數(shù),0的任何正整數(shù)次冪都是0。練習(xí)4:計(jì)算:練習(xí)5.為正整數(shù)時(shí),+的值是()A.2B.-2C.0D.不能確定練習(xí)6:1.計(jì)算:2.已知,求的值。練習(xí)7:觀察下列算式發(fā)現(xiàn)規(guī)律:,,,,,,,……,用你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律寫出:的末位數(shù)字是________。練習(xí)8:某校初一年級(jí)共有8個(gè)班,以每班65人為標(biāo)準(zhǔn),超過的人數(shù)記為正數(shù),不足的人數(shù)記為負(fù)數(shù),統(tǒng)計(jì)情況記錄如下:-1,-6,+2,-3,+4,0,-7,+3,求該校初一年級(jí)總?cè)藬?shù)。有理數(shù)的混合運(yùn)算做有理數(shù)的混合運(yùn)算時(shí),應(yīng)注意以下運(yùn)算順序:1.先乘方,再乘除,最后加減;2.同級(jí)運(yùn)算,從左到右進(jìn)行;3.如有括號(hào),先做括號(hào)內(nèi)的運(yùn)算,按小括號(hào),中括號(hào),大括號(hào)依次進(jìn)行??茖W(xué)記數(shù)法把一個(gè)大于10的數(shù)表示成的形式(其中,n是正整數(shù)),這種記數(shù)法是科學(xué)記數(shù)法。如:地球上的陸地面積約為149000000km2,用科學(xué)記數(shù)法表示為。第1講作業(yè)一.填空題1.-│-7│的相反數(shù)為____,相反數(shù)等于本身的數(shù)為_______.2.已知│x│=,│y│=,且xy>0,則x-y=______.3.x與2的差為,則-x=_____.4.近似數(shù)1.50精確到_______,78950用科學(xué)記數(shù)法表示為_____.5.按規(guī)律寫數(shù),-,,-,…第6個(gè)數(shù)是______.二、選擇題1.下列說法正確的是()最小的有理數(shù)是0;最大的負(fù)整數(shù)是-1;最小的自然數(shù)是1;最小的正數(shù)是1.2.下列說法正確的是()兩個(gè)有理數(shù)的和為零,則這兩個(gè)有理數(shù)都為0;兩個(gè)有理數(shù)的和一定大于其中任何一個(gè)加數(shù);兩個(gè)有理數(shù)的和為正數(shù),則這兩個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)加數(shù)是正數(shù);兩個(gè)有理數(shù)的和為負(fù)數(shù),則這兩個(gè)數(shù)一定都是負(fù)數(shù).3.下列說法正確的是()一個(gè)正數(shù)減去一個(gè)負(fù)數(shù),結(jié)果是正數(shù);零減去一個(gè)數(shù)一定是負(fù)數(shù);一個(gè)負(fù)數(shù)減去一個(gè)負(fù)數(shù),結(jié)果是負(fù)數(shù);“-2-3”讀作“負(fù)2減負(fù)3”4.下列說法正確的是()A.個(gè)有理數(shù)相乘,當(dāng)因數(shù)是奇數(shù)個(gè)時(shí),積為負(fù);B.個(gè)有理數(shù)相乘,當(dāng)正因數(shù)有奇數(shù)個(gè)時(shí),積為負(fù);C.個(gè)有理數(shù)相乘,當(dāng)負(fù)因數(shù)有奇數(shù)個(gè)時(shí),積為負(fù);D.個(gè)有理數(shù)相乘,當(dāng)積為負(fù)時(shí),負(fù)因數(shù)有奇數(shù)個(gè).5.下列說法正確的是()相反數(shù)是本身的數(shù)是1和0;倒數(shù)是本身的數(shù)是1和0;絕對值是本身的數(shù)是0和正數(shù);平方等于64的數(shù)是8.6、已知字母、表示有理數(shù),如果+=0,則下列說法正確的是()A.、中一定有一個(gè)是負(fù)數(shù)B.、都為0C.與不可能相等D.與的絕對值相等7、一個(gè)數(shù)的平方為16,則這個(gè)數(shù)是()A.或B.C.D.或8、絕對值大于2且小于5的所有整數(shù)的和是()A.7B.-7C.0D.510、等于()A.B.C.D.11、數(shù)軸上的點(diǎn)A、B、C、D分別表示數(shù)a、b、c、d,已知A在B的右側(cè),C在B的左側(cè),D在B、C之間,則下列式子成立的是()A、a<b<c<dB、b<c<d<aC、c<d<b<aD、c<b<d<a12、若x為有理數(shù),則必是()A、非正數(shù)B、非負(fù)數(shù)C、0D、正數(shù)13、下列各語句中正確的是()A、若a>-0

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