高中數(shù)學(xué)高考 2021屆高三大題優(yōu)練10 導(dǎo)數(shù)虛設(shè)零點(diǎn)問(wèn)題（理） 教師版

導(dǎo)數(shù)虛設(shè)零點(diǎn)問(wèn)題導(dǎo)數(shù)虛設(shè)零點(diǎn)問(wèn)題大題優(yōu)練10優(yōu)優(yōu)選例題例1．已知函數(shù)．（1）若曲線在處的切線與軸垂直，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若對(duì)任意，不等式恒成立，求的取值集合．【答案】（1）的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）．【解析】（1）由題意知：，且，解得，∴．∵的定義域?yàn)?，即，且函?shù)在上為增函數(shù)，，即當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，∴的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為．（2）（法一）且定義域?yàn)椋佼?dāng)時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，顯然不符合題意；②當(dāng)時(shí)，，不合題意；③當(dāng)時(shí)，令，得，即．令，則，所以在上單調(diào)遞增，則存在，使得，兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)可得．當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，，∴．令，則．由，得；由，得，從而，所以．又，所以，∴，故的取值集合為．（法二），令，則等價(jià)于．設(shè)，則，①當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞減，因?yàn)?，所以不恒成立．②?dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則．令，則．由，得；由，得，從而，所以．又，所以，∴，故的取值集合為．

模擬模擬優(yōu)練1．已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）若恒成立，求正整數(shù)的最大值．參考數(shù)據(jù)：．【答案】（1）答案見(jiàn)解析；（2）4．【解析】（1），因?yàn)?，則，當(dāng)，即時(shí)，對(duì)恒成立，∴在上單調(diào)遞減．當(dāng)，即時(shí)，令，得，由，解得；由，解得，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，綜上所述，當(dāng)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減．（2）∵當(dāng)時(shí)，，即對(duì)恒成立．令，得，令，則，因?yàn)?，所以，是增函?shù)，因?yàn)椋?，所以，使，由，得，?dāng)，，單調(diào)遞減；當(dāng)，，單調(diào)遞增，所以時(shí)，取得最小值，為，所以，又為正整數(shù)，所以，所以正整數(shù)的最大值為4．2．已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，求證：．【答案】（1）單調(diào)遞減區(qū)間為，無(wú)單調(diào)遞增區(qū)間；（2）證明見(jiàn)解析．【解析】（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?dāng)時(shí)，，則．記，則．顯然在上單調(diào)遞減，且，所以當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以，即恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減．所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，無(wú)單調(diào)遞增區(qū)間．（2）要證，只需證．①當(dāng)時(shí)，，，，不等式顯然成立；②當(dāng)時(shí)，，，由，可得，于是原問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為求證，即證．令，則，令，則，易知在上單調(diào)遞增，又，，所以存在使得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，，故當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，即，綜上，．3．已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若當(dāng)時(shí)，，求證：．【答案】（1）答案見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析．【解析】（1），當(dāng)，定義域?yàn)?，令，得；，得，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)，定義域?yàn)?，令，得；，得，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減．（2）要證，，即證，令，則，設(shè)，則，令，其中，．當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減；所以，，則對(duì)任意的，，所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，因?yàn)椋?，由零點(diǎn)存在定理可知，存在，使得，可得．當(dāng)時(shí)，，即，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，即，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增．，令，，，則函數(shù)在時(shí)單調(diào)遞減，所以，，所以，，因此，對(duì)任意的，，即．4．已知函數(shù)，．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2），若為極值點(diǎn)，其中為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)．證明：．【答案】（1）單調(diào)增區(qū)間為和，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間；（2）證明見(jiàn)解析．【解析】（1），∵的定義域?yàn)?，∴，由，可得或；由，可得，所以函?shù)的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為．（2）∵，∴，令，則，又在時(shí)恒成立，所以在是單調(diào)增函數(shù)，又∵，，則存在，使得，所以在上，，單調(diào)遞減，在上，，單調(diào)遞增．所以為的極值點(diǎn)，則，兩邊取對(duì)數(shù)可得，即，∴，令，∴在上恒成立，∴在上單調(diào)遞減，所以，∴．5．已知函數(shù)．（1）求的最值；（2）若對(duì)恒成立，求的取值范圍．【答案】（1）最小值為，無(wú)最大值；（2）．【解析】（1），令，得；令，得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以的最小值為，無(wú)最大值．（2）由