2015年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試 理科數(shù)學（北京卷） word版

好教育云平臺高考真題第頁（共=sectionpages6*16頁）2015年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（北京卷）理科數(shù)學答案一、選擇題（共8小題，每小題5分，共40分）（1）A(2)D（3）B（4）B（5）C（6）C（7）C（8）D二、填空題（共6小題，每小題5分，共30分）（9）40（10）（11）1（12）1（13）（14）1，≤a<1或a≥2三、解答題（共6小題，共80分）（15）（共13分）解：（=1\*ROMANI）因為 所以的最小正周期為2（Ⅱ）因為，所以當，即時，取得最小值。所以在區(qū)間上的最小值為（16）（本小題13分）解：設(shè)時間為“甲是A組的第i個人”，時間為“乙是B組的第i個人”，i=1,2，…，7.由題意可知,i=1,2，…，7.（Ⅰ）由題意知，時間“甲的康復(fù)時間不少于14天”等價于“甲是A組的第5人，或者第6人，或者第7人”，所以甲的康復(fù)時間不少于14天的概率是（Ⅱ）設(shè)時間C為“甲的康復(fù)時間比乙的康復(fù)時間長”.由題意知，C=.因此=10=10=（Ⅲ）a=11或a=18（17）（本小題14分）解：（=1\*ROMANI）因為△AEF是等邊三角形，O為EF的中點，所以AO⊥EF.又因為平面AEF⊥平面EFCB，AO平面AEF，所以AO⊥平面EFCB.所以AO⊥BE.

（Ⅱ）取BC中點G，連接OG.由題設(shè)知EFCB是等腰梯形，所以O(shè)G⊥EF.由（=1\*ROMANI）知AO⊥平面EFCB又OG平面EFCB，所以O(shè)A⊥OG.如圖建立空間直角坐標系O-xyz，則E（a,0,0），A（0，0，），B（2，（2-a），0），=（-a，0，），=（a-2，（a-2）,0）.設(shè)平面ABE的法向量為n=（x,y,z）則：即令z=1，則x=，y=-1.于是n=（，-1,1）平面AEF是法向量為p=（0,1,0）所以cos（n，p）==.由題知二維角F-AE-B為鈍角，所以它的余弦值為（Ⅲ）因為BE⊥平面AOC，所以BE⊥OC，即.因為=（a-2，（a-2），0），=（-2，（2-a），0），所以=-2（a-2）-3.由及0<a<2，解得a=，（18）（本小題13分）解：（=1\*ROMANI）因為=ln（1+x）-ln（1-x），所以=，=2.又因為=0，所以曲線y=在點（0，）處的切線方程為y=2x.（Ⅱ）令=-2(x+)，則=-2（1+）=.因為>0（0<x<1），所以在區(qū)間（0,1）上單調(diào)遞增。所以>=0，x∈（0，1），即當x∈（0，1）時，>2(x+).（Ⅲ）由（Ⅱ）知，當k《2時，>k(x+)對x∈（0，1）恒成立.當k>2時，令=-k(x+)，則=-k（1+）=.所以當時，<0，因此在區(qū)間（0，）上單調(diào)遞減.當時，<=0，即<k(x+).所以當K>2時，>k(x+)并非對x∈（0，1）恒成立.綜上可知，k的最大值為2。（19）（本小題14分）解：（Ⅰ）由題意得解得=2.故橢圓C的方程為設(shè)M（，0）.因為m≠0，所以-1<n<1.直線PA的方程為y-1=，所以=，即M（，0）.

（Ⅱ）因為點B與點A關(guān)于x軸對稱，所以B（m，-n），設(shè)N(,0)，\則=.“存在點Q（0，）使得ZOQM=ZONQ等價”，“存在點Q（0，）使得=”即滿足.因為，，，所以.所以=或=-.故在y軸上存在點Q，使得OQM=ONQ.點Q的坐標為（0，）或（0，-）.(20)（本小題13分）（Ⅰ）6，12，24（Ⅱ）因為集合M存在一個元素是3的倍數(shù)，所以不妨設(shè)是3的倍數(shù).由可歸納證明對任意，是3的倍數(shù).如果k=1，則M的所有元素都是3的倍數(shù).如果k>1，因為=2或=2-36，所以2是3的倍數(shù)，于是是3的倍數(shù)，；類似可得，，…，都是3的倍數(shù)，從而對任意，是3的倍數(shù)，因此M的所有元素都是3的倍數(shù).綜上，若集合M存在一個元素是3的倍數(shù)，則M的所有元素都是3的倍數(shù).（Ⅲ）由，可歸納證明.由于是正整數(shù)，所以是2的倍數(shù).從而當時，是4的倍數(shù).如果是3的倍數(shù)，由（Ⅱ）知對所有正整數(shù)n，是3的倍數(shù).因此當時，.這時M