北師大版三角形模塊復習教案

北師大版三角形模塊復習教案1、三角形基本概念及三角形全等【知識梳理】一、三角形 1.不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形為三角形，用符號“Δ”表示；2.頂點是A、B、C的三角形，記作“ΔABC”，讀作“三角形ABC”；3.組成三角形的三條線段叫做三角形的邊，即邊AB、BC、AC，有時也用，，來表示，頂點A所對的邊BC用表示，邊AC、AB分別用，來表示；4.∠A、∠B、∠C為ΔABC的三個內(nèi)角.二、三角形中三邊的關系1.三邊關系：三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊。用字母可表示為，，；2.判斷三條線段，，能否組成三角形：（1）當，，同時成立時，能組成三角形；（2）當兩條較短線段之和大于最長線段時，則可以組成三角形。3.確定第三邊（未知邊）的取值范圍時，它的取值范圍為大于兩邊的差而小于兩邊的和，即.三、三角形中三角的關系1.三角形內(nèi)角和定理：三角形的三個內(nèi)角的和等于1800。2.三角形按內(nèi)角的大小可分為三類：（1）銳角三角形，即三角形的三個內(nèi)角都是銳角的三角形；（2）直角三角形，即有一個內(nèi)角是直角的三角形，我們通常用“RtΔ”表示“直角三角形”,其中直角∠C所對的邊AB稱為直角三角表的斜邊，夾直角的兩邊稱為直角三角形的直角邊。注：直角三角形的性質(zhì)：直角三角形的兩個銳角互余。（3）鈍角三角形，即有一個內(nèi)角是鈍角的三角形。3.判定一個三角形的形狀主要看三角形中最大角的度數(shù)。4.直角三角形的面積等于兩直角邊乘積的一半。四、三角形的三條重要線段1.三角形的角平分線：（1）三角形的一個內(nèi)角的平分線與這個角的對邊相交，這個角的頂點和交點之間的線段叫做三角形的角平分線。（2）任意三角形都有三條角平分線，并且它們相交于三角形內(nèi)一點。2.三角形的中線：（1）在三角形中，連接一個頂點與它對邊中點的線段，叫做這個三角形的中線。（2）三角形有三條中線，它們相交于三角形內(nèi)一點。3.三角形的高線：（1）從三角形的一個頂點向它的對邊所在的直線做垂線，頂點和垂足之間的線段叫做三角形的高線，簡稱為三角形的高。（2）任意三角形都有三條高線，它們所在的直線相交于一點。區(qū)別相同中線平分對邊三條中線交于三角形內(nèi)部（1）都是線段（2）都從頂點畫出（3）所在直線相交于一點角平分線平分內(nèi)角三條角平分線交于三角表內(nèi)部高線垂直于對邊（或其延長線）銳角三角形：三條高線都在三角形內(nèi)部直角三角形：其中兩條恰好是直角邊鈍角三角形：其中兩條在三角表外部五、全等圖形1.兩個能夠重合的圖形稱為全等圖形。2.全等圖形的性質(zhì)：全等圖形的形狀和大小都相同。六、全等三角形1.能夠重合的兩個三角形是全等三角形，用符號“≌”連接，讀作“全等于”。2.用“≌”連接的兩個全等三角形，表示對應頂點的字母寫在對應的位置上。七、全等三角形的判定1.三邊對應相等的兩個三角形全等，簡寫為“邊邊邊”或“SSS”。2.兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等，簡寫為“角邊角”或“ASA”。3.兩角和其中一角的對邊對應相等的兩個三角形全等，簡寫為“角角邊”或“AAS”。4.兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等，簡寫為“邊角邊”或“SAS”。作三角形;利用三角形全等測距離;【典型例題】考點1三角形中的相關概念練習【例1】如圖，AD是的中線；BE是的角平分線，CF是的高，則____________；______________；____________.【變式1】關于三角形的邊的敘述正確的是（）A.三邊互不相等B.至少有兩邊相等C.任意兩邊之和一定大于第三邊D.最多有兩邊相等【變式2】一個三角形的三個內(nèi)角中（）A.至少有一個鈍角B.至少有一個直角C.至多有一個銳角D.至少有兩個銳角考點2內(nèi)角和【例1】在中，（1），則_____________；（2），則_____________；（3），，則_____________.【變式1】如圖，已知：在中，，延長EF與BC的延長線交于G.求證：【變式2】如圖，P是內(nèi)任一點，求證：.考點3三邊之間的關系【例1】如圖，在等腰中，，一腰上的中線BD將這個等腰三角形的周長分成15和6兩部分，求這個三角形的腰長及底邊長.【變式1】已知長度為的四條線段，能組成多少個不等邊三角形？【變式2】如圖，D是內(nèi)任意一點，BD延長線與AC交于E點，連結DC.求證：.考點3三角形全等的判定【例1】下列條件中，不能判定兩個三角形全等的條件是（）A．兩邊一角對應相等B．兩角一邊對應相等C．三邊對應相等D．兩邊和它們的夾角對應相等【變式1】如圖所示，AB=DB，BC=BE，欲說明△ABE≌△DBC，則需增加的條件是（）A．∠1=∠2B．∠A=∠DC．∠E=∠CD．∠A=∠C【變式2】在數(shù)學活動小組里，小明給大家出了這樣一個題目，如圖所示，AE是∠BAC的平分線，AB=AC．（1）若D是AE上任意一點，則△ABD≌△ACD，你知道其中的道理嗎？（2）若D是AE反向延長線上一點，結論還成立嗎？試說明你的猜想．【課堂訓練】一、選擇題1.等腰三角形兩邊長分別為3，7，則它的周長為（）A．13B．17C．13或17D．不能確定2.如圖，下列說法錯誤的是（）A．∠B>∠ACDB．∠B+∠ACB=1800-∠AC．∠B+∠ACB<1800D．∠HEC>∠B3.如圖，已知AB∥CD，AB=CD,AE=FD,則圖中的全等三角形有（）A.1對B.2對C.3對D.4對二、填空題1.一個等腰三角形的兩條邊長分別為8cm和3cm，那么它的周長為．2.在△ABC中，∠A=900，∠B-∠C=240，那么∠B=，∠C=．3.已知：如圖，∠A=∠C，∠B=∠D，那么AB與CD的位置關系是，AD與BC的位置關系是．三、解答題1.如圖在△ABC中，DE∥BC，∠DBE=300，∠EBC=250，求∠BDE的度數(shù)．2.如圖，在直角△ABC中，∠ABC=90０，CD是高，∠1=35０，求∠2，∠B與∠A的度數(shù)．3.已知：如圖，在△ABC中，∠B=∠C，AD平分外角∠EAC，說明AD∥BC．4.如圖，已知點P在△ABC內(nèi)任一點，試說明∠A與∠P的大小關系．5.在△ABC中，∠A=∠C=∠ABC，BD是角平分線，求∠A及∠BDC的度數(shù)．6.已知，如圖，AB∥CD，AE平分∠BAC，CE平分∠ACD，求∠E的度數(shù)．【課后作業(yè)】一、選擇題1．已知三角形的兩邊a=3，b=7，第三邊是c，且a＜b＜c，則c的取值范圍是（）A．4＜c＜7B．7＜c＜10C．4＜c＜10D．7＜c＜132．已知等腰三角形的周長為16，且一邊長為3，則腰長為（）A．3B．10C．6.5D．3或6.53．三角形中，最大角α的取值范圍是（）A．0°＜α＜90°B．60°＜α＜180°C．60°≤α＜90°D．60°≤α＜180°4.如圖，∠ABD，∠ACD的角平分線交于點P，若∠A=50°，∠D=10°，則∠P的度數(shù)為（）A．15°B．20°C．25°D．30°5.如圖，在△ABC中，AD是∠A的外角平分線，P是AD上異于A的任意一點，設PB=，PC=，AB=，AC=，則（）與（）的大小關系是（）A．B．C．D．無法確定6.如圖所示，已知△ABC≌△ADE，BC的延長線交DE于F，∠B=∠D=25°，∠ACB=∠AED=105°，∠DAC=10°，則∠DFB為（）A．40°B．50°C．55°D．60°二、填空題從長度為3、4、5、6、7的五條線段中任取三條線段能構成三角形的概率為2．已知△ABC的三邊長分別是、、，化簡||-||=三、解答題1.如圖，△ABC中，D是BC的中點，過D點的直線GF交AC于F，交AC的平行線BG于G點，DE⊥DF，交AB于點E，連結EG、EF.（1）求證：BG=CF;（2）請你判斷BE+CF與EF的大小關系，并說明理由。2.在數(shù)學活動小組里，小明給大家出了這樣一個題目，如圖所示，AE是∠BAC的平分線，AB=AC．（1）若D是AE上任意一點，則△ABD≌△ACD，你知道其中的道理嗎？（2）若D是AE反向延長線上一點，結論還成立嗎？試說明你的猜想．3.已知：如圖E在△ABC的邊AC上，且∠AEB=∠ABC。(1)求證：∠ABE=∠C；(2)若∠BAE的平分線AF交BE于F，F(xiàn)D∥BC交AC于D，設AB=5，AC=8，求DC的長。2、特殊三角形的證明知識梳理一、全等三角形1．定義：能夠完全重合的兩個三角形是全等三角形．2．性質(zhì)：全等三角形的對應邊、對應角相等．3．判定：SAS、SSS、ASA、AAS、HL．二、等腰三角形1．性質(zhì)：等腰三角形的兩個底角相等（等邊對等角）．2．判定：有兩個角相等的三角形是等腰三角形（等角對等邊）．3．推論：等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合（即“三線合一”）．4．等邊三角形的性質(zhì)及判定定理性質(zhì)定理1：等邊三角形的三個角都相等，并且每個角都等于60°；等邊三角形是軸對稱圖形，有三條對稱軸．判定定理2：有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形；三個角都相等的三角形是等邊三角形．5．含30°的直角三角形的邊的性質(zhì)定理：在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半．三、直角三角形1．勾股定理及其逆定理定理：直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方．逆定理：如果三角形的兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形．2．命題與逆命題（1）命題包括題設與結論兩部分．（2）逆命題是將原命題的題設和結論交換位置得到的．3．直角三角形全等的判定定理定理：斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等．四、線段的垂直平分線1．線段垂直平分線的性質(zhì)及判定性質(zhì)：線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等．判定：到一條線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上．2．三角形三邊的垂直平分線的性質(zhì)三角形三邊的垂直平分線相交于一點，并且這一點到三個頂點的距離相等．3．如何用尺規(guī)作圖法作線段的垂直平分線分別以線段的兩個端點A、B為圓心，以大于AB的長為半徑作弧，兩弧交于兩點；過兩交點作直線,則直線就是線段AB的垂直平分線（如圖1）．（圖1）五、角平分線1．角平分線的性質(zhì)及判定定理性質(zhì)：角平分線上的點到這個角的兩邊距離相等；判定：在一個角的內(nèi)部，且到角的兩邊的距離相等的點，在這個角的平分線上．2．三角形三條角平分線的性質(zhì)定理性質(zhì)：三角形的三條角平分線相交于一點，并且這一點到三條邊的距離相等．3．如何用尺規(guī)作圖法作出角平分線作∠ABC的角平分線：

（1）以B點為圓心，任意長為半徑,在BA和BC上取BD=BE；

（2）分別以D、E為圓心，任意長為半徑做弧線,兩弧線相交于F點（兩個弧半徑相同）；

（3）過F點作射線OF．

則OF為∠ABC的角平分線．典例分析考點1等腰三角形【例1】如果等腰三角形的底角為50°，那么它的頂角為（）A．50°B．60°C．70°D．80°【例2】一個等腰三角形的兩邊長分別是3和7，則它的周長為（）A．17B．15C．13D．13或17必做變式題：1．若等腰三角形的一個外角為110°，則它的底角為（）A．55°B．70°C．55°或70°D．以上答案都不對選做變式題：2．已知等腰三角形的兩邊長分別為a、b，且a、b滿足，則此等腰三角形的周長為（）A．7或8B．6或10C．6或7D．7或10考點2直角三角形【例3】下列說法正確的有（）（1）一個銳角及斜邊對應相等的兩個直角三角形全等；（2）一個銳角及一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等；（3）兩個銳角對應相等的兩個直角三角形全等；（4）有兩條邊相等的兩個直角三角形全等；（5）有斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等．A．2個B．3個C．4個D．5個必做變式題：1．如圖2所示，在四邊形ABCD中，CB=CD，∠ABC=∠ADC=90°，∠BAC=35°，則∠BCD為度．（圖2）選做變式題：2．如圖3，四邊形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，BD=BC，CE⊥BD于點E．求證：AD=BE．（圖3）考點3命題【例4】證明命題“等腰三角形底邊上的中點到兩腰的中點距離相等”，寫出已知、求證．必做變式題：1．寫出命題“同角的余角相等”的條件：；結論：．選做變式題：2．寫出命題“有兩角互余的三角形是直角三角形”的逆命題并證明．考點4線段的垂直平分線、角平分線【例5】如圖4，在△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分線交AB于D，交BC于E，連接AE，若CE=5，AC=12，則BE的長是（）A．13B．10C．12D．5（圖4）（圖5）【例6】如圖5，AD是△ABC中∠BAC的角平分線，DE⊥AB于點E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，則AC長是（）A．3B．4C．6D．5必做變式題：1．如圖6，在Rt△ABC中，∠ACB=60°，DE是斜邊AC的中垂線，分別交AB、AC于D、E兩點．若BD=2，則AC的長是．（圖6）選做變式題：2．如圖7，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC交AC于點D，DE垂直平分線段AB，（1）試找出圖中相等的線段，并說明理由．（2）若DE=1cm，BD=2cm，求AC的長．（圖7）【例7】已知：如圖8，中，，．（1）用直尺和圓規(guī)作的垂直平分線，分別交、于點、(保留作圖痕跡，不寫作法)；（2）猜想與之間有何數(shù)量關系，并證明你的猜想．AABC（圖8）必做變式題：1．作圖題：在下圖△ABC所在平面中，（1）作距△ABC三邊距離相等的點P；（2）作距△ABC三個頂點距離相等的點Q．選做變式題：2．如圖，求作：點P，使點P在∠AOB的平分線上，且PM=PN（要求：用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）．課堂小結1．注意利用等腰三角形與直角三角形的性質(zhì)解決問題．2．注意挖掘線段垂直平分線與角平分線題目中的隱含條件，這是重難點．3．命題的證明是近年來的新題型需要掌握．4．尺規(guī)作圖屬于簡單題型，但要足夠重視，牢固掌握．當堂檢測1．★★有下列長度的三條線段，能組成等腰三角形的是()A．2cm，2cm，4cmB．3cm，8cm，3cmC．3cm，4cm，6cmD．5cm，4cm，4cm2．★★由下列條件不能判定△ABC為直角三角形的是（）A．∠A＋∠B＝∠CB．∠A：∠B：∠C＝1：3：2C．（b＋c）（b－c）＝a2D．，，3．★★★如圖9，AB=AC=A