勾股定理的逆定理

17．2勾股定理的逆定理（第1課時）一、內(nèi)容和內(nèi)容解析1．內(nèi)容勾股定理的逆定理證明及簡單應用，原命題、逆命題的概念及相互關系.2．內(nèi)容解析勾股定理的逆定理：如果一個三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2=c2,那么這個三角形是直角三角形.它是利用三角形邊長關系來判定三角形是直角三角形的一種方法.基于以上分析，可以確定本節(jié)課的教學重點是：證明勾股定理的逆定理；用勾股定理的逆定理解決具體的問題.二、目標和目標解析1．目標（1）理解勾股定理的逆定理，經(jīng)歷“實驗—猜想—論證”的探究過程，體會“構造法”證明數(shù)學命題的基本思想方法.（2）理解原命題、逆命題、逆定理的概念及關系.2．目標解析目標（1）要求經(jīng)歷勾股定理的逆定理的探究及證明過程，并理解通過構造一個直角三角形，證明此三角形和原三角形全等，從而證明三角形為直角三角形的方法.要求能應用勾股定理的逆定理來判斷一個三角形是直角三角形.目標（2）能根據(jù)原命題寫出它的逆命題，并了解原命題為真命題時逆命題不一定為真命題.理解判斷逆命題為假命題只需舉出反例即可，但要說明逆命題，必須通過證明.三、教學問題診斷分析證明勾股定理的逆定理的實質，是通過a2+b2=c2證明三角形中有一個角為90°.勾股定理的證明方法很多,有400多種,教材也提供了多種證法,而勾股定理逆定理的證明,教材的編寫卻相當“簡潔”,即先用“構造法”構造一個直角三角形,再利用三角形全等得以證明.這個定理的證明方法學生不太容易想到.基于以上分析，可以確定本節(jié)課的教學難點是：勾股定理的逆定理的推導.四、教學過程設計1．創(chuàng)設情境問題1你能說出勾股定理的題設和結論嗎？師生活動：師生共同回憶勾股定理，并讓學生正確說出勾股定理的題設和結論，教師揭示勾股定理從形的特殊性得出邊之間的數(shù)量關系.追問：反過來，由a2+b2=c2能否確定這是一個直角三角形？設計意圖：通過對前面所學知識的歸納總結，聯(lián)想到用三邊的關系是否可以判斷一個三角形為直角三角形，提高學生發(fā)現(xiàn)反思問題的能力．問題2古埃及人曾用下面的方法得到直角：用13個等距的結,把一根繩子分成等長的12段,然后以3個結，4個結，5個結的長度為邊長，用木樁釘成一個三角形，其中一個角便是直角.按照這種做法真能得到一個直角三角形嗎？這個問題意味著，如果圍成的三角形的三邊分別為3、4、5．有下面的關系“32＋42＝52”．那么圍成的三角形是直角三角形．追問：請你測量這個圖中的最大角，它是直角嗎？然后回答問題:（1）這組數(shù)都滿足a2+b2=c2嗎？（2）再換一組數(shù)據(jù)試試:，6cm，（是否滿足a2+b2=c2，是否為直角三角形？）（3）任意滿足a2+b2=c2的三邊都可以嗎?幾何畫板再次驗證.結合勾股定理，請?zhí)岢瞿愕牟孪耄翰孪朊}:如果一個三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2=c2,那么這個三角形是直角三角形.同時，我們也進一步明白了古埃及人那樣做的道理． 師生活動：教師借助電子白板平臺演示，指導學生按要求畫出三角形，并用幾何畫板演示滿足a2+b2=c2的三邊組成的是直角三角形.由特殊到一般，引導歸納猜想出“如果三角形三邊a，b，c滿足a2＋b2＝c2，那么這個三角形就為直角三角形的結論，設計意圖：由特殊到一般，歸納猜想出“如果三角形三邊a，b，c滿足a2＋b2＝c2，那么這個三角形就為直免三角形的結論，培養(yǎng)學生動手操作能力和尋求解決數(shù)學問題的一般方法．追問:古埃及人用這種方法確實得到的是直角,你知道為什么嗎？設計意圖：探究的問題與學生的生活經(jīng)驗相關聯(lián)，并且滲透了數(shù)學史知識，因此喚起了學生的探究興趣，引起了學生的認知沖突，觸發(fā)了學生的多元思考.2．證明逆定理問題3:請寫出這個命題的題設和結論.追問:你能根據(jù)以上題設和結論畫圖并寫出已知求證嗎?已知:如圖,△ABC的三邊長a，b，c滿足a2+b2=c2求證:△ABC是直角三角形問題4:要證明△ABC是直角三角形,只要證∠C=90°,由已知條件能直接證明嗎?追問:不能直接證明,怎么辦呢?前面我們已學習過勾股定理，而此問題中的已知條件a2+b2=c2類似于勾股定理中的結論.如果要想應用已有知識，首先想到的是應用勾股定理，而要應用勾股定理就必須得有直角三角形這個條件，所以想到要構造一個直角三角形和這個三角形全等，再應用全等性質得到直角.證明:作△A’B’C’，使∠C’=90°，A’C’=，B’C’=，那么A’B’=（勾股定理）又∵（已知）∴A’B’=，A’B’=c(A’B’＞0)在△ABC和△A’B’C’中，BC==B’C’CA==C’A’AB==A’B’∴△ABC≌△A’B’C’(SSS)∴∠C=∠C’=90°，∴△ABC是直角三角形老師還要告訴大家的是，本題的構造法是一種很特殊的構造法，叫同一法.我們將猜想證出，得到勾股定理的逆定理（板書），它是判定直角三角形的又一種方法.勾股定理的逆定理的證明方法不止這一種，目前有8種，有興趣的同學可以課下繼續(xù)研究.設計意圖:用構造的方法或同一法來證明數(shù)學問題是一個富有思考性的問題，怎樣構造？為什么這樣構造？你是怎樣想到的？等等.這對培養(yǎng)學生的數(shù)學思維能力極為有益.但如果教師很突然地構造了直角三角形，只是讓學生計算一下，來說明兩個三角形是否全等，這就降低了教學的要求.長此以往，“機械學習”也在所難免.學生自己經(jīng)過探索發(fā)現(xiàn)的命題，無論從思想感情上，還是在學習興趣上，都要比直接給出命題再加以證明更富有吸引力.數(shù)學創(chuàng)造往往開始于不嚴格的發(fā)散思維，而繼之以嚴格的邏輯分析思維，即收斂思維，有了猜想的結果，猜想正確的證明就變成了學生自發(fā)的需要.“先猜，后證”，這是大多數(shù)科學的發(fā)現(xiàn)之道.從而也突破了本節(jié)難點.3.互逆命題,互逆定理問題5：比較勾股定理的逆定理和勾股定理,這兩個命題的題設和結論有何關系？設計意圖：認識什么樣的兩個命題是互逆命題，明白什么是原命題，什么是逆命題?你前面遇到過有互逆命題嗎?說出下列命題的逆命題．這些命題的逆命題成立嗎?(1)兩條直線平行，內(nèi)錯角相等．(2)如果兩個實數(shù)相等，那么它們的平方相等．(3)全等三角形的對應角相等．設計意圖:當學生探究得到了勾股定理的逆定理，如果教師馬上轉向例題，講定理的應用，勢必造成學生對數(shù)學定理的膚淺理解，失去了一次培養(yǎng)學生反思的良好機會.于是，教師繼續(xù)提出問題讓學生思考.當學生發(fā)現(xiàn)所證定理和前面的勾股定理是互逆關系，進而也理解了原定理、逆定理、原命題、逆命題等數(shù)學概念，這時教師繼續(xù)追問：如果一個原命題成立，那么它的逆命題成立嗎？讓學生舉例說明，最后學生得出結論：一個原命題成立，它的逆命題不一定成立.事實上，對于原定理、逆定理、原命題、逆命題等數(shù)學概念，學生是比較容易理解的，在得出勾股定理的逆定理后，讓學生將其作為“副產(chǎn)品”來探究發(fā)現(xiàn)，既保證了本節(jié)課的重點，又節(jié)約了時間，提高了教學效率.4．定理應用例1判斷由a、b、c組成的三角形是不是直角三角形？(1)a＝15,b＝8,c＝17(2)a＝11,b＝13,c＝12解（1）∵152＋82＝225＋64＝289172＝289∴152＋82＝172∴這個三角形是直角三角形（2）∵112＋122＝169＋196＝265132＝169∴112＋122≠132∴這個三角形不是直角三角形鞏固練習:下面以a,b,c為邊長的三角形是不是直角三角形？如果是那么哪一個角是直角？(1)a=25b=20c=15(2)a=13b=14c=15(3)a=1b=2c=(4)a:b:c=3:4:5像25,20,15,能夠成為直角三角形三條邊長的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù).追問：我們見國哪些勾股數(shù)？介紹勾股數(shù)的歷史:我國古代數(shù)學和天文著作《周髀算經(jīng)》中記載的“勾三股四弦五”就是最簡單的一組勾股數(shù)，即3,4,5，它是人們認識發(fā)現(xiàn)最早的一組勾股數(shù).勾股數(shù)有無數(shù)組，最早研究并發(fā)現(xiàn)大批勾股數(shù)的是古巴比倫人.經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)，距今大約3000年前，古巴比倫人留下了一份數(shù)學手稿(古巴比倫數(shù)學泥板書)中記下了下面15組勾股數(shù)：⑴119,120,169⑵3367,3456,4825⑶4601,4800,6649⑷12709,13500,18541⑸65，72，97⑹319,360,481⑺2291,2700,3541⑻799,960,1249⑼481,600,769⑽4961,6480,8161⑾45，60,75⑿1679,2400,2929⒀161,240,289⒁1771,2700,3229⒂56,90,106三千年前的古人，就能取得如此輝煌的成就，確實令人驚訝和崇敬！設計意圖:鞏固逆定理，對學生滲透數(shù)學文化，感受古人的智慧.5.小結談談你的收獲:(1)勾股定理的逆定理,它的作用是什么?我們是用什么方法證明這個定理的?(2)什么叫做互逆命題、原命題與逆命題?什么稱為互為逆定理?6.課后作業(yè)書34頁：習題第1題、第4題、第5題練習冊：第一課時A（B組選做）7.達標測評：1、三角形三邊長a、b、c滿足條件(a+b)2－c2=2ab，則此三角形是（）A、銳角三角形B、直角三角形C、鈍角三角形D、等邊三角形2、已知△ABC的三邊長為a、b、c且a=m2－n2，b=2mn,c=m2+n2，(m>n,m、n是正整數(shù),則此三角形是直角三角形嗎?說明理由.3、已知：如圖，四邊形ABCD中，∠B＝900，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13,求四邊形ABCD的面積?五、課后反思1．“問題-探究”教學的一些思考：本節(jié)課的核心是“問題-探究”.探究的本質是對“未知”不懈的“追問”，通過對問題的不斷解決和“追問”，探究出未知的數(shù)學世界，這既符合數(shù)學知識本身發(fā)展的規(guī)律，也符合學生個體心理發(fā)展的規(guī)律.探究學習可以是有意義的，也可能是機械的.探究式學習有時也被人們稱為“問題導向式”的學習，因此“數(shù)學問題”往往被視為探究式學習的核心.沒有問題的思考，不是真正的思考；沒有思考的探究，不是真正的探究.2．營造數(shù)學文化：本節(jié)課多次滲透了數(shù)學史的知識：古埃及確定直角的方法，中國的《周髀算經(jīng)》，古巴比侖數(shù)學泥板書，旨在激發(fā)興趣，提高學生們的創(chuàng)新意識.3．借助媒體：經(jīng)過