2022-2023學(xué)年四川省遂寧市遂寧高級(jí)實(shí)驗(yàn)學(xué)校高二年級(jí)上冊(cè)學(xué)期期中數(shù)學(xué)（文）試題【含答案】

2022-2023學(xué)年四川省遂寧市遂寧高級(jí)實(shí)驗(yàn)學(xué)校高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)（文）試題一、單選題1．直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由直線方程求出斜率，根據(jù)斜率求出傾斜角.【詳解】設(shè)直線傾斜角為，由，可得，所以斜率為，由，可知傾斜角為.故選：D.2．以點(diǎn)為圓心且與直線相切的圓的方程是A． B．C． D．【答案】C【詳解】試題分析：由題意，因此圓方程為．【解析】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．3．已知直線與直線平行，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C． D．0【答案】C【分析】由直線的位置關(guān)系列式求解，【詳解】由題意知，則，得，經(jīng)檢驗(yàn)，時(shí)，故選：C4．在正方體中，P為的中點(diǎn)，則直線與所成的角為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】平移直線至，將直線與所成的角轉(zhuǎn)化為與所成的角，解三角形即可.【詳解】如圖，連接，因?yàn)椤?，所以或其補(bǔ)角為直線與所成的角，因?yàn)槠矫?，所以，又，，所以平面，所以，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2，則，，所以.故選：D5．關(guān)于直線、與平面、，有以下四個(gè)命題：①若，且，則；②若，且，則；③若，且，則；④若，且，則.其中真命題的序號(hào)是（

）A．①② B．③④ C．①④ D．②③【答案】D【分析】根據(jù)①②③④中的已知條件判斷直線、的位置關(guān)系，可判斷①②③④的正誤.【詳解】對(duì)于①，若，且，則與平行、相交或異面，①錯(cuò)誤；對(duì)于②，如下圖所示：設(shè)，因?yàn)?，在平面?nèi)作直線，由面面垂直的性質(zhì)定理可知，，，，，，因此，，②正確；對(duì)于③，若，，則，因?yàn)?，過(guò)直線作平面使得，由線面平行的性質(zhì)定理可得，，，則，因此，③正確；對(duì)于④，若，且，則與平行、相交或異面，④錯(cuò)誤.故選：D.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于空間線面位置關(guān)系的組合判斷題，解決的方法是“推理論證加反例推斷”，即正確的結(jié)論需要根據(jù)空間線面位置關(guān)系的相關(guān)定理進(jìn)行證明，錯(cuò)誤的結(jié)論需要通過(guò)舉出反例說(shuō)明其錯(cuò)誤，在解題中可以以常見(jiàn)的空間幾何體（如正方體、正四面體等）為模型進(jìn)行推理或者反駁．6．方程表示的曲線為（

）A．圓 B．圓的右半部分C．圓 D．圓的上半部分【答案】D【分析】平方后可判斷曲線的形狀.【詳解】因?yàn)椋?，即，故方程表示的曲線為圓的上半部分.故選：D.7．若、滿(mǎn)足約束條件，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】作出不等式組所表示的可行域，平移直線，找出使得該直線在軸上截距最大時(shí)對(duì)應(yīng)的最優(yōu)解，代入目標(biāo)函數(shù)即可得解.【詳解】作出不等式組所表示的可行域如下圖所示：聯(lián)立可得，即點(diǎn)，平移直線，當(dāng)該直線經(jīng)過(guò)可行域的頂點(diǎn)時(shí)，直線在軸上的截距最大，此時(shí)取最大值，即.故選：C.8．已知實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，那么的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】將配方得，由幾何意義可知，表示直線上的動(dòng)點(diǎn)與的距離的平方，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式計(jì)算點(diǎn)到直線的距離，即可求解出最小值.【詳解】由可得，可以看作直線上的動(dòng)點(diǎn)與的距離的平方，又因?yàn)辄c(diǎn)與的最小距離為到直線的距離，為，故的最小值為.故選：A.9．已知三棱錐的底面是正三角形，平面，且，則直線與平面所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】如圖所示，連接各線段，證明平面，得到即為直線與平面所成角，再計(jì)算線段長(zhǎng)度得到答案.【詳解】如圖所示：為中點(diǎn)，連接，，作于.平面，平面，故，，，故平面，平面，故，又，，故平面，即即為直線與平面所成角.設(shè)，則，，故.故選：B10．已知函數(shù)，若，且，則坐標(biāo)原點(diǎn)O與圓的位置關(guān)系是（

）A．點(diǎn)O在圓內(nèi) B．點(diǎn)O在圓上 C．點(diǎn)O在圓外 D．不能確定【答案】C【分析】畫(huà)出分段函數(shù)的圖象，求出關(guān)系，進(jìn)而根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系定義，可得答案．【詳解】畫(huà)出的圖象如圖：，且，且，，，得，即，則，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得等號(hào)，故等號(hào)取不到），圓，圓心坐標(biāo)，半徑為，坐標(biāo)原點(diǎn)到圓心的距離，故坐標(biāo)原點(diǎn)在圓外.故選：C．11．已知實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足：，則的取值范圍為（

）A．， B．， C．， D．，【答案】A【分析】確定圓心和半徑，將題目轉(zhuǎn)化為點(diǎn)和點(diǎn)直線的斜率，畫(huà)出圖像，計(jì)算角度，計(jì)算斜率得到答案.【詳解】表示圓心為，半徑的圓，表示點(diǎn)和點(diǎn)直線的斜率，如圖所示：直角中，，故，，故，同理可得，對(duì)應(yīng)的斜率為和.故，故選：A12．已知圓C：，圓M：，過(guò)圓M上任意一點(diǎn)P作圓C的兩條切線PE、PF，切點(diǎn)分別為E、F，則的最小值是（

）A． B．3 C． D．【答案】C【分析】設(shè)，利用勾股定理以及二倍角公式可得，設(shè)，令（），利用函數(shù)的單調(diào)性即可求出的最小值．【詳解】由題意知，圓的圓心為，半徑為1，圓的圓心，半徑為2，所以，∴，即，設(shè)，∴，，，，則，設(shè)，，令，，∴，即當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，∴當(dāng)時(shí)，取最小值，即的最小值為．故選：C．二、填空題13．過(guò)點(diǎn)且與直線平行的直線的方程是__________________.【答案】【分析】設(shè)與直線平行的直線的方程為，代點(diǎn)P計(jì)算即可.【詳解】設(shè)與直線平行的直線的方程為，代入點(diǎn)得，解得所以過(guò)點(diǎn)且與直線平行的直線的方程是故答案為：14．已知直線過(guò)點(diǎn)，且斜率為1，若圓上恰有3個(gè)點(diǎn)到的距離為1，則的值為_(kāi)_________.【答案】【分析】由于圓上恰有3個(gè)點(diǎn)到的距離為1，則圓心到直線的距離等于半徑減去1，列方程即可求解．【詳解】由于直線過(guò)點(diǎn)且斜率為1，則直線，圓上恰有3個(gè)點(diǎn)到的距離為1，圓心到直線的距離等于半徑減去1，圓心到直線的距離為，解得，因?yàn)椋?故答案為：.15．已知正方體的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)M、N在正方體的表面上運(yùn)動(dòng)，分別滿(mǎn)足：，平面，設(shè)點(diǎn)M、N的運(yùn)動(dòng)軌跡的長(zhǎng)度分別為m、n，則_______________.【答案】##【分析】的軌跡為半徑為2的球與正方體表面的交線，即3個(gè)半徑為2的圓弧，要滿(mǎn)足平面，則N在平行于平面的平面與正方體表面的交線上，可證得為，最后求值即可得【詳解】點(diǎn)M、N在正方體的表面上運(yùn)動(dòng)，由，則的軌跡為半徑為2的球與正方體表面的交線，即3個(gè)半徑為2的圓弧，故.正方體中，平面，平面，故平面平面，當(dāng)在上時(shí)，即滿(mǎn)足平面且N在正方體的表面上，故，故.故答案為：16．在棱長(zhǎng)為1的正方體中，為底面的中心，是棱上一點(diǎn)，且，，為線段的中點(diǎn)，給出下列命題：①四點(diǎn)共面；②三棱錐的體積與的取值有關(guān)；③當(dāng)時(shí)，；④當(dāng)時(shí)，過(guò)三點(diǎn)的平面截正方體所得截面的面積為.其中正確的有__________（填寫(xiě)序號(hào)）.【答案】①③【分析】對(duì)于①，根據(jù)相交直線確定唯一平面即可判斷；對(duì)于②，轉(zhuǎn)化頂點(diǎn)即可判斷；對(duì)于③，建立空間直角坐標(biāo)系，當(dāng)時(shí)，即可判斷；對(duì)于④，當(dāng)時(shí)，為的中點(diǎn)，過(guò)作且，則易證，易得過(guò)三點(diǎn)的平面截正方體所得截面為等腰梯形，再計(jì)算等腰梯形的面積即可判斷.【詳解】對(duì)于①，易知，因?yàn)椋运狞c(diǎn)共面，故①正確；對(duì)于②，因?yàn)槿忮F的體積等于三棱錐的體積，又易知到底面的距離等于定值，而的面積一定，所以三棱錐的體積為定值，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，所以由題知，,所以,因?yàn)?，所?所以，當(dāng)時(shí)，，解得所以與重合，所以，故③正確；對(duì)于④，當(dāng)時(shí)，為的中點(diǎn)，過(guò)作且，則易證，所以易得過(guò)三點(diǎn)的平面截正方體所得截面為等腰梯形，又易知，從而可得等腰梯形的高為，所以截面等腰梯形的面積為，故④錯(cuò)誤、故答案為：①③三、解答題17．已知直角坐標(biāo)平面內(nèi)的兩點(diǎn)，.(1)求線段的中垂線所在直線的方程；(2)一束光線從點(diǎn)射向軸，反射后的光線過(guò)點(diǎn)，求反射光線所在的直線方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）求出的中點(diǎn)坐標(biāo)及中垂線的斜率，進(jìn)而求出方程；（2）求出關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求反射光線所在的直線方程．【詳解】（1）∵，∴中點(diǎn)為.且.∴線段的中垂線的斜率為1，∴由直線方程的點(diǎn)斜式可得線段的中垂線所在直線方程為即.（2）∵關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，∴所以直線的方程為：，即反射光線所在的直線方程為18．已知圓過(guò)兩點(diǎn)，，且圓心在直線上．(1)求該圓的方程；(2)求過(guò)點(diǎn)的直線被圓截得弦長(zhǎng)最小時(shí)的直線的方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）求出的中垂線，根據(jù)求出圓心坐標(biāo)，求出半徑即可得解；（2）直線被圓截得的弦長(zhǎng)最小時(shí)是垂直于圓的直徑所在的直線，求出直線方程.【詳解】（1）解：因?yàn)閳A過(guò)兩點(diǎn)，，設(shè)的中點(diǎn)為，則，因?yàn)?，所以的中垂線方程為y-2=(x-0)，即，又因?yàn)閳A心在直線上，，解得，圓心，，故圓的方程為．（2）解：因?yàn)橹本€被圓截得弦長(zhǎng)最小時(shí)CP⊥，由過(guò)點(diǎn)，的斜率為，=-1，所以直線的方程為，故直線的方程為．19．已知四面體中面，，垂足為，，為中點(diǎn)，,（1）求證：面；（2）求點(diǎn)到面的距離．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）【分析】（1）證明線面平行,需先證明線線平行,可從三角形的中位線定理證明線線平行,從而再證線面平行.（2）求點(diǎn)到面的距離用等體積法,由,分別算出、,建立體積等式關(guān)系即可求到面的距離．【詳解】、（1）因?yàn)?所以為中點(diǎn),又因?yàn)槭侵悬c(diǎn),所以,而面,面,所以面.（2）由已知得,,,所以三角形為直角三角形其面積,三角形的面積設(shè)點(diǎn)到面的距離為,因?yàn)?即解得,所以點(diǎn)到面的距離為.【點(diǎn)睛】（1）線面平行的判定定理是：若平面外的一條直線與平面內(nèi)的一條直線平行,那么這條直線與這個(gè)平面平行,即.（2）用等體積法求點(diǎn)到平面的距離主要是一個(gè)轉(zhuǎn)換的思想,先用簡(jiǎn)單的方法求出四面體的體積,然后計(jì)算出底面三角形的面積,再根據(jù)四面體體積公式V=-Sh求出點(diǎn)到平面的距離.20．如圖，C、D是以AB為直徑的圓上兩點(diǎn)，AB=2AD=2，AC=BC，F(xiàn)是AB上一點(diǎn)，且AF=AB，將圓沿直徑AB折起，使點(diǎn)C在平面ABD的射影E在BD上，已知：,

（1）求證：AD⊥平面BCE；（2）求三棱錐A﹣CFD的體積．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）.【分析】（1）根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角為直角，得到AD⊥BD，結(jié)合CE⊥平面ADB得AD⊥CE，所以AD⊥平面BCE；（2）由已知條件求出F到AD的距離等于E到AD的距離，由VA﹣CFD＝VC﹣AFD，利用等積法能求出三棱錐A﹣CFD的體積．【詳解】（1）證明：依題AD⊥BD，∵CE⊥平面ABD，∴CE⊥AD，∵BD∩CE=E，∴AD⊥平面BCE．（2）由（2）知AD∥EF，AD⊥ED，且ED=BD﹣BE=1，∴F到AD的距離等于E到AD的距離為1．∴S△FAD==．∵CE⊥平面ABD，∴VA﹣CFD=VC﹣AFD===．【點(diǎn)睛】求解空間幾何體體積的常用策略：（1）公式法：對(duì)于規(guī)則幾何體的體積問(wèn)題，直接利用公式即可破解；（2）切割法：對(duì)于不規(guī)則的幾何體，可以將其分割成規(guī)則的幾何體，再利用公式分別求解之后進(jìn)行相加求和即可；（3）補(bǔ)形法：同樣對(duì)于不規(guī)則的幾何體，還可以將其補(bǔ)形成規(guī)則圖形，求出規(guī)則幾何體的體積后減去多于部分即可求解，但需注意的是補(bǔ)形后多于部分的幾何體也應(yīng)該是規(guī)則的，若不是規(guī)則的，此方法不建議使用.（4）等體積法：一個(gè)幾何體無(wú)論怎樣變化，其體積是不會(huì)發(fā)生變化的.如果遇到一個(gè)幾何體的底面面積和高較難求解時(shí)，常常采用此種方法進(jìn)行解題.21．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知以為圓心的圓及其上一點(diǎn)．(1)設(shè)圓N與x軸相切，與圓M外切，且圓心N在直線x＝6上，求圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)平行于OA的直線l與圓M相交于B，C兩點(diǎn)，且BC＝OA，求直線l的方程．【答案】(1)(2)或【分析】（1）設(shè)，則圓為：，，從而得到，由此能求出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．（2）由題意得，，設(shè)，則圓心到直線的距離：，由此能求出直線的方程．【詳解】（1）解：在直線上，設(shè)，圓與軸相切，圓為：，，又圓與圓外切，圓，即圓，圓心，半徑；，解得，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）解：由題意得，，設(shè)，則圓心到直線的距離：，則，，即，解得或，直線的方程為：或．22．已知過(guò)原點(diǎn)的動(dòng)直線與圓相交于不同的兩點(diǎn)，．（1）求圓的圓心坐標(biāo)；（2）求線段的中點(diǎn)的軌跡的方程；（3）是否存在實(shí)數(shù)，使得直線與曲線只有一個(gè)交點(diǎn)？若存在，求出的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由．【答案】（1）；（2）；（3）存在，或．【分析】（1）通過(guò)將圓的一般式方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程即得結(jié)論；（2）設(shè)當(dāng)直線的方程為y=kx，通過(guò)聯(lián)立直線與圓的方程，利用根的判別式大于0、韋達(dá)定理、中點(diǎn)坐標(biāo)公式