注冊設(shè)備工程師年培訓(xùn)課件三

一、不定積分五、平面曲線積分四、重積分積分學(xué)二、定積分三、廣義積分六、積分應(yīng)用一、不定積分1.不定積分概念定義：

若在區(qū)間I

上定義的兩個函數(shù)F(x)及f(x)滿足則稱F(x)為f(x)在區(qū)間

I

上的一個原函數(shù).在區(qū)間

I上的原函數(shù)全體稱為定義：上的不定積分2.基本積分表從不定積分定義可知:或或利用逆向思維(k

為常數(shù))或或3.求不定積分方法（1）直接積分法通過簡單變形,利用基本積分公式和運算法則求不定積分的方法(要求記住基本積分公式）.第一類換元的基本思路第一類換元的關(guān)鍵是湊微分，常用的湊微分結(jié)果有（2）

換元積分法第二類換換元的解解題思路路為使用該公式的的關(guān)鍵為第二類換元常常見類型有三三角代換換倒代換根根式代換等等（3.）分部積分法法一般經(jīng)驗:按“反,對,冪,指,三”的順序,排前者取為u.（1）當(dāng)被積函數(shù)數(shù)為對數(shù)函數(shù)數(shù)和反三角函函數(shù)時,取被積函數(shù)為為u(2)當(dāng)被積函數(shù)為為兩種不同類類型函數(shù)乘積積時例3求積分解（再次使用分分部積分法））解兩邊同時對求導(dǎo),得2、定積分的性性質(zhì)性質(zhì)1性質(zhì)2性質(zhì)31、定積分定義義：二、定積分性質(zhì)5推論：（1）（2）性質(zhì)4性質(zhì)7(定積分中值定定理)性質(zhì)6積分中值公式式3、積分上限函函數(shù)的導(dǎo)數(shù)也可寫成牛頓—萊布尼茨公式式4、牛頓—萊布尼茨公式式5、定積分的計計算法換元公式（2）第二類換元元法（3）分部積分法法分部積分公式式（1）湊微分法6、重要結(jié)論為正偶數(shù)為大于1的正奇數(shù)三、廣義積分分(1)無窮限的廣義義積分(2)無界函數(shù)的廣廣義積分1.二重積分的性性質(zhì)(k為常數(shù))為D的面積,則四、重積分（（化為累次積積分）特別,由于則5.若在D上6.設(shè)D的面積為,則有7.(二重積分的中中值定理)在閉區(qū)域D上為D的面積,則至少存在一一點使連續(xù),2.在直角坐標(biāo)系系下計算二重重積分若D為X–型區(qū)域則若D為Y–型區(qū)域則解3.在極坐標(biāo)系下下計算二重積積分例9.計算二重積分分其中D為圓周所圍成的閉區(qū)區(qū)域.提示:由于積分區(qū)域域關(guān)于X軸對稱，被積積函數(shù)為偶函函數(shù)，考慮上上半圓。再利利用極坐標(biāo)原式例10.交換下列積分分順序解:積分域由兩部部分組成:視為Y–型區(qū)域,則方法1.三次積分法3.在直角坐標(biāo)系系下計算三重重積分方法2.截面法（先二二后一）記作在該區(qū)間內(nèi)作作2.在柱坐標(biāo)系下下計算三重積積分在柱坐標(biāo)系下下化三重積分分為三次積分分是將積分區(qū)區(qū)域在某個坐坐標(biāo)面上投影影，將投影區(qū)區(qū)域用極坐標(biāo)標(biāo)表示，最后后找出另一個個坐標(biāo)的變化化范圍。3.在球面坐標(biāo)系系下計算三重重積分五、平面曲線線積分計算定積分轉(zhuǎn)化且上的連續(xù)函數(shù)數(shù),是定義在光滑滑曲線弧則曲線積分說明:

積分限必須滿足1.對弧長的曲線線積分的計算算如果曲線L的方程為則有例11.計算其中L是拋物線與點B(1,1)之間的一段弧弧.解:上點O(0,0)2.對坐標(biāo)的曲線線積分的計算算法在有向光滑弧弧L上有定義且L的參數(shù)方程為為則曲線積分連續(xù),存在,且有特別是,如果L的方程為則例12.計算其中L為(1)半徑為a圓心在原點的的上半圓周,方向為逆時針針方向;(2)從點A(a,0)沿x軸到點B(–a,0).解:(1)取L的參數(shù)方程為為(2)取L的方程為則則規(guī)定：封閉曲曲線沿逆時針針方向為正方方向設(shè)區(qū)域D是由分段光滑滑正向曲線L圍成,則有格林公式函數(shù)在D上具有連續(xù)一一階偏導(dǎo)數(shù),3.格林公式例13.計算其中L為上半從O(0,0)到A(4,0).解:為了使用格林林公式,添加輔助線段段它與L所圍原式圓周區(qū)域為D,則1.平面圖形的面面積設(shè)曲線與直線及x軸所圍曲則邊梯形面積為為A,右下圖圖所示示圖形形面積積為六、積積分應(yīng)應(yīng)用例14.計算兩兩條拋拋物線線在第一一象限限所圍圍所圍圖圖形的的面積積.解:由得交點點例15.求橢圓圓解:利用對對稱性性,所圍圖圖形的的面積積.有利用橢橢圓的的參數(shù)數(shù)方程程應(yīng)用定定積分分換元元法得得當(dāng)a=b時得圓圓面積積公式式(1)曲線弧弧由直直角坐坐標(biāo)方方程給給出:所求弧弧長2.平面曲曲線的的弧長長(2)曲線弧弧由參參數(shù)方方程給給出:所求弧弧長連續(xù)曲曲線段段軸旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)一周周圍成成的立立體體體積時時,有當(dāng)考慮慮連續(xù)續(xù)曲線線段繞y軸旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)一周周圍成成的立立體體體積