陜西省藍(lán)田縣高中數(shù)學(xué) 第四章 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用 4.2.2 最大值最小值問題 北師大選修11

4.2,2導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用編輯ppt導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、極值1．函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)在某個(gè)區(qū)間(a，b)內(nèi)，如果f′(x)___0，那么函數(shù)y＝f(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；如果f′(x)___0，那么函數(shù)y＝f(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．><編輯ppt2．函數(shù)極值的概念(1)判斷f(x0)是極值的方法一般地，當(dāng)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)時(shí)，①如果在x0附近的左側(cè)_______，右側(cè)_______，那么f(x0)是極大值；②如果在x0附近的左側(cè)_______，右側(cè)_______，那么f(x0)是極小值．f′(x)>0f′(x)<0f′(x)>0f′(x)<0編輯ppt(2)求可導(dǎo)函數(shù)極值的步驟①求f′(x)；②求方程__________的根；③檢查f′(x)的方程_________的根的左右兩側(cè)導(dǎo)數(shù)值的符號．如果左正右負(fù)，那么f(x)在這個(gè)根處取得________；如果左負(fù)右正，那么f(x)在這個(gè)根處取得________．(3)極大值點(diǎn)、極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)，極大值、極小值統(tǒng)稱為極值．f′(x)＝0f′(x)＝0極大值極小值編輯ppt1．函數(shù)的最值(1)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)的函數(shù)f(x)在[a，b]上必有最大值與________．(2)若函數(shù)f(x)在[a，b]上單調(diào)遞增，則f(a)為函數(shù)的最小值，f(b)為函數(shù)的________；若函數(shù)f(x)在[a，b]上單調(diào)遞減，則f(a)為函數(shù)的最大值，f(b)為函數(shù)的最小值．(3)設(shè)函數(shù)f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步驟如下：①求f(x)在(a，b)內(nèi)的極值；②將f(x)的各極值與__________比較，其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值．導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的最值及在實(shí)際生活中的應(yīng)用最小值最大值f(a)，f(b)編輯ppt2．解決優(yōu)化問題的基本思路編輯ppt1．本部分知識可以歸納為(1)三個(gè)步驟：求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的三個(gè)步驟：①確定定義域；②求導(dǎo)函數(shù)f′(x)；③由f′(x)>0(或f′(x)<0)求出相應(yīng)的單調(diào)區(qū)間．(2)兩個(gè)條件：①f′(x)>0在(a，b)上成立是f(x)在(a，b)上單調(diào)遞增的充分不必要條件．②對于可導(dǎo)函數(shù)f(x)，f′(x0)＝0是函數(shù)f(x)在x＝x0處有極值的必要不充分條件．編輯ppt2．注意單調(diào)函數(shù)的充要條件，尤其對于已知單調(diào)性求參數(shù)值(范圍)時(shí)，隱含恒成立思想．3．求極值、最值時(shí)，要求步驟規(guī)范、表格齊全；含參數(shù)時(shí)，要討論參數(shù)的大?。蠛瘮?shù)單調(diào)區(qū)間與函數(shù)極值時(shí)要養(yǎng)成列表的習(xí)慣，可使問題直觀且有條理，減少失分的可能.編輯ppt利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性1．由f′(x)>0(f′(x)<0)的解集確定函數(shù)f(x)的單調(diào)增(減)區(qū)間．若遇不等式中帶有參數(shù)時(shí)，可分類討論求得單調(diào)區(qū)間．2．由函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍的方法(1)可導(dǎo)函數(shù)在某一區(qū)間上單調(diào)，實(shí)際上就是在該區(qū)間上f′(x)≥0(或f′(x)≤0)(f′(x)在該區(qū)間的任意子區(qū)間內(nèi)都不恒等于0)恒成立，然后分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，從而獲得參數(shù)的取值范圍；編輯ppt(2)可導(dǎo)函數(shù)在某一區(qū)間上存在單調(diào)區(qū)間，實(shí)際上就是f′(x)>0(或f′(x)<0)在該區(qū)間上存在解集，這樣就把函數(shù)的單調(diào)性問題轉(zhuǎn)化成了不等式問題；(3)若已知f(x)在區(qū)間I上的單調(diào)性，區(qū)間I中含有參數(shù)時(shí)，可先求出f(x)的單調(diào)區(qū)間，令I(lǐng)是其單調(diào)區(qū)間的子集，從而可求出參數(shù)的取值范圍．編輯ppt[解題指導(dǎo)](1)已知：曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線與x軸平行．(2)分析：①由曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線與x軸平行可知f′(1)＝0即可求出k的值；②由函數(shù)解析式，求導(dǎo)進(jìn)而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．③構(gòu)造函數(shù)證明不等式．編輯ppt編輯ppt編輯ppt[點(diǎn)評]用導(dǎo)數(shù)法求可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟：編輯ppt1．求函數(shù)f(x)極值的方法求函數(shù)的極值應(yīng)先確定函數(shù)的定義域，再解方程f′(x)＝0，再判斷f′(x)＝0的根是否是極值點(diǎn)，可通過列表的形式進(jìn)行分析，若遇極值點(diǎn)含參數(shù)不能比較大小時(shí)，則需分類討論．導(dǎo)數(shù)與極值（最值）編輯ppt2．求函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上的最值的方法(1)若函數(shù)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞增或遞減，f(a)與f(b)一個(gè)為最大值，一個(gè)為最小值；(2)若函數(shù)在閉區(qū)間[a，b]內(nèi)有極值，要先求出[a，b]上的極值，與f(a)，f(b)比較，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成．編輯ppt[解題指導(dǎo)]編輯ppt編輯ppt編輯ppt[點(diǎn)評]將方程的根轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象交點(diǎn)問題，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的極大(極小)值問題．編輯ppt利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的方法(1)證明f(x)<g(x)，x∈(a，b)，可以構(gòu)造函數(shù)F(x)＝f(x)－g(x)，如果F′(x)<0，則F(x)在(a，b)上是減函數(shù)，同時(shí)若F(a)≤0，由減函數(shù)的定義可知，x∈(a，b)時(shí)，有F(x)<0，即證明了f(x)<g(x)．(2)證明f(x)>g(x)，x∈(a，b)，可以構(gòu)造函數(shù)F(x)＝f(x)－g(x)，如果F′(x)>0，則F(x)在(a，b)上是增函數(shù)，同時(shí)若F(a)≥0，由增函數(shù)的定義可知，x∈(a，b)時(shí)，有F(x)>0，即證明了f(x)>g(x)．構(gòu)造函數(shù)證明不等式恒成立問題編輯ppt【例3】

設(shè)函數(shù)f(x)＝x＋ax2＋blnx，曲線y＝f(x)過P(1，0)，且在P點(diǎn)處的切線斜率為2.(1)求a，b的值；(2)證明：f(x)≤2x－2.編輯ppt編輯ppt編輯ppt[答題模板]運(yùn)用導(dǎo)數(shù)證明不等式f(x)>g(x)成立的一般步驟：第一步：構(gòu)造h(x)＝f(x)－g(x)；第二步：求h′(x)；第三步：判斷h(x)的單調(diào)性；第四步：確定h(x)的