小學(xué)奧數(shù)之牛吃草問(wèn)題附含答案解析

“牛吃草問(wèn)題就是追及問(wèn)題，牛吃草問(wèn)題就是工程問(wèn)題?！庇?guó)大數(shù)學(xué)家牛頓曾編過(guò)這樣一道數(shù)學(xué)題：牧場(chǎng)上有一片青草，每天都生長(zhǎng)得一樣快。這片青草供給10頭牛吃，可以吃22天，或者供給16頭牛吃，可以吃10天，如果供給25頭牛吃，可以吃幾天？

解題關(guān)鍵：

牛頓問(wèn)題，俗稱“牛吃草問(wèn)題”，牛每天吃草，草每天在不斷均勻生長(zhǎng)。解題環(huán)節(jié)主要有四步：

1、求出每天長(zhǎng)草量；

2、求出牧場(chǎng)原有草量；

3、求出每天實(shí)際消耗原有草量4、最后求出可吃天數(shù)

想：這片草地天天以同樣的速度生長(zhǎng)是分析問(wèn)題的難點(diǎn)。把10頭牛22天吃的總量與16頭牛10天吃的總量相比較，得到的10×22-16×10=60，是60頭牛一天吃的草，平均分到（22-10）天里，便知是5頭牛一天吃的草，也就是每天新長(zhǎng)出的草。求出了這個(gè)條件，把25頭牛分成兩部分來(lái)研究，用5頭吃掉新長(zhǎng)出的草，用20頭吃掉原有的草，即可求出25頭牛吃的天數(shù)。

解：新長(zhǎng)出的草供幾頭牛吃1天：

（10×22-16×1O）÷(22-1O）

=（220-160）÷12

=60÷12

=5（頭）

這片草供25頭牛吃的天數(shù)：

（10-5）×22÷（25-5）

=5×22÷20

=5.5（天）

答：供25頭牛可以吃5.5天。

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“一堆草可供10頭牛吃3天，這堆草可供6頭牛吃幾天？”這道題太簡(jiǎn)單了，一下就可求出：3×10÷6＝5（天）。如果我們把“一堆草”換成“一片正在生長(zhǎng)的草地”，問(wèn)題就不那么簡(jiǎn)單了，因?yàn)椴菝刻於荚谏L(zhǎng)，草的數(shù)量在不斷變化。這類工作總量不固定（均勻變化）的問(wèn)題就是牛吃草問(wèn)題。例1牧場(chǎng)上一片青草，每天牧草都勻速生長(zhǎng)。這片牧草可供10頭牛吃20天，或者可供15頭牛吃10天。問(wèn)：可供25頭牛吃幾天？

分析與解：這類題難就難在牧場(chǎng)上草的數(shù)量每天都在發(fā)生變化，我們要想辦法從變化當(dāng)中找到不變的量?？偛萘靠梢苑譃槟翀?chǎng)上原有的草和新生長(zhǎng)出來(lái)的草兩部分。牧場(chǎng)上原有的草是不變的，新長(zhǎng)出的草雖然在變化，因?yàn)槭莿蛩偕L(zhǎng)，所以這片草地每天新長(zhǎng)出的草的數(shù)量相同，即每天新長(zhǎng)出的草是不變的。下面，就要設(shè)法計(jì)算出原有的草量和每天新長(zhǎng)出的草量這兩個(gè)不變量。

設(shè)1頭牛一天吃的草為1份。那么，10頭牛20天吃200份，草被吃完；15頭牛10天吃150份，草也被吃完。前者的總草量是200份，后者的總草量是150份，前者是原有的草加20天新長(zhǎng)出的草，后者是原有的草加10天新長(zhǎng)出的草。

200－150＝50（份），20—10＝10（天），

說(shuō)明牧場(chǎng)10天長(zhǎng)草50份，1天長(zhǎng)草5份。也就是說(shuō)，5頭牛專吃新長(zhǎng)出來(lái)的草剛好吃完，5頭牛以外的牛吃的草就是牧場(chǎng)上原有的草。由此得出，牧場(chǎng)上原有草

（l0—5）×20＝100（份）或（15—5）×10＝100（份）。

現(xiàn)在已經(jīng)知道原有草100份，每天新長(zhǎng)出草5份。當(dāng)有25頭牛時(shí)，其中的5頭專吃新長(zhǎng)出來(lái)的草，剩下的20頭吃原有的草，吃完需100÷20＝5（天）。

所以，這片草地可供25頭牛吃5天。

在例1的解法中要注意三點(diǎn)：

（1）每天新長(zhǎng)出的草量是通過(guò)已知的兩種不同情況吃掉的總草量的差及吃的天數(shù)的差計(jì)算出來(lái)的。

（2）在已知的兩種情況中，任選一種，假定其中幾頭牛專吃新長(zhǎng)出的草，由剩下的牛吃原有的草，根據(jù)吃的天數(shù)可以計(jì)算出原有的草量。

（3）在所求的問(wèn)題中，讓幾頭牛專吃新長(zhǎng)出的草，其余的牛吃原有的草，根據(jù)原有的草量可以計(jì)算出能吃幾天。

例1

小軍家的一片牧場(chǎng)上長(zhǎng)滿了草，每天草都在勻速生長(zhǎng)，這片牧場(chǎng)可供10頭牛吃20天，可供12頭牛吃15天。如果小軍家養(yǎng)了24頭牛，可以吃幾天？

草速：（10×20－12×15）÷（20－15）=4

老草（路程差）：

根據(jù)：路程差=速度差×追及時(shí)間

（10－4）×20=120

或

（12－4）×15=120

追及時(shí)間=路程差÷速度差：

120÷（24－4）=6（天）

例2

一個(gè)牧場(chǎng)可供58頭牛吃7天，或者可供50頭牛吃9天。假設(shè)草的生長(zhǎng)量每天相等，每頭牛的吃草量也相等，那么，可供多少頭牛吃6天？草速：（50×9－58×7）÷（9－7）=22

老草（路程差）：

(50－22）×9=252

或

(58－22）×7=252

求幾頭牛就是求牛速,牛速=路程差÷追及時(shí)間＋草速

252÷6＋22=64(頭)

例3由于天氣逐漸冷起來(lái)，牧場(chǎng)上的草不僅不長(zhǎng)大，反而以固定的速度在減少。已知某塊草地上的草可供20頭牛吃5天，或可供15頭牛吃6天。照此計(jì)算，可供多少頭牛吃10天？

分析與解：與例1不同的是，不僅沒(méi)有新長(zhǎng)出的草，而且原有的草還在減少。但是，我們同樣可以利用例1的方法，求出每天減少的草量和原有的草量。

設(shè)1頭牛1天吃的草為1份。20頭牛5天吃100份，15頭牛6天吃90份，100-90=10（份），說(shuō)明寒冷使牧場(chǎng)1天減少青草10份，也就是說(shuō)，寒冷相當(dāng)于10頭牛在吃草。由“草地上的草可供20頭牛吃5天”，再加上“寒冷”代表的10頭牛同時(shí)在吃草，所以牧場(chǎng)原有草（20＋10）×5＝150（份）。

由150÷10＝15知，牧場(chǎng)原有草可供15頭牛吃10天，寒冷占去10頭牛，所以，可供5頭牛吃10天。例4一個(gè)水池裝一個(gè)進(jìn)水管和三個(gè)同樣的出水管。先打開(kāi)進(jìn)水管，等水池存了一些水后，再打開(kāi)出水管。如果同時(shí)打開(kāi)2個(gè)出水管，那么8分鐘后水池空；如果同時(shí)打開(kāi)3個(gè)出水管，那么5分鐘后水池空。那么出水管比進(jìn)水管晚開(kāi)多少分鐘？

分析：雖然表面上沒(méi)有“牛吃草”，但因?yàn)榭偟乃吭诰鶆蜃兓?，“水”相?dāng)于“草”

進(jìn)水管進(jìn)的水相當(dāng)于新長(zhǎng)出的草，出水管排的水相當(dāng)于牛在吃草，所以也是牛吃草問(wèn)題，解法自然也與例1相似。

出水管所排出的水可以分為兩部分：一部分是出水管打開(kāi)之前原有的水量，另一部分是開(kāi)始排水至排空這段時(shí)間內(nèi)進(jìn)水管放進(jìn)的水。因?yàn)樵械乃渴遣蛔兊?，所以可以從比較兩次排水所用的時(shí)間及排水量入手解決問(wèn)題。

設(shè)出水管每分鐘排出水池的水為1份，則2個(gè)出水管8分鐘所排的水是2×8＝16（份），3個(gè)出水管5分鐘所排的水是3×5＝15（份），這兩次排出的水量都包括原有水量和從開(kāi)始排水至排空這段時(shí)間內(nèi)的進(jìn)水量。兩者相減就是在8-5=3（分）內(nèi)所放進(jìn)的水量，所以每分鐘的進(jìn)水量是

(16-15)/3=1/3(份)

假設(shè)讓1/3個(gè)出水管專門排進(jìn)水管新進(jìn)得水,兩相抵消,其余得出水管排原有得水,可以求出原有水得水量為:(2-1/3)×8=40/3(份)或(3-1/3)×5=40/3(份)

解:設(shè)出水管每分鐘排出得水為1份,每分鐘進(jìn)水量(2×8-3×5)/(8-5)=1/3(份)

進(jìn)水管提前開(kāi)了(2-1/3)×8÷1/3=40(分)

答：出水管比進(jìn)水管晚開(kāi)40分鐘。

例5

一個(gè)水池，底部安有一個(gè)常開(kāi)的排水管，上部安有若干個(gè)同樣粗細(xì)的進(jìn)水管，當(dāng)打開(kāi)4個(gè)進(jìn)水管時(shí)需要5小時(shí)才能注滿水池；當(dāng)打開(kāi)2個(gè)進(jìn)水管時(shí)，需要15小時(shí)才能注滿水池；現(xiàn)在需要在2小時(shí)內(nèi)將水池注滿，那么至少要打開(kāi)多少個(gè)進(jìn)水管？

分析

本題沒(méi)給出排水管的排水速度，因此必須找出排水管與進(jìn)水管之間的數(shù)量關(guān)系，才能確定至少要打開(kāi)多少個(gè)進(jìn)水管.

解：本題是具有實(shí)際意義的工程問(wèn)題，因沒(méi)給出注水速度和排水速度，故需引入?yún)?shù).設(shè)每個(gè)進(jìn)水管1小時(shí)注水量為a，排水管1小時(shí)排水量為b，根據(jù)水池的容量不變，我們得方程（4a-b）×5=（2a-b）×15，化簡(jiǎn)，得：

4a-b=6a-3b，即a=b.

這就是說(shuō)，每個(gè)進(jìn)水管1小時(shí)的注水量等于排水管1小時(shí)的排水量.

再設(shè)2小時(shí)注滿水池需要打開(kāi)x個(gè)進(jìn)水管，根據(jù)水池的容量列方程，得

（xa-a）×2＝（2a-a）×15，

化簡(jiǎn)，得

2ax-2a=15a，

即

2xa=17a.（a≠0）

所以x=8.5

因此至少要打開(kāi)9個(gè)進(jìn)水管，才能在2小時(shí)內(nèi)將水池注滿.

注意：x=8.5，這里若開(kāi)8個(gè)水管達(dá)不到2小時(shí)內(nèi)將水池注滿的要求；開(kāi)8.5個(gè)水管不切實(shí)際.因此至少開(kāi)9個(gè)進(jìn)水管才行.

以上是書(shū)中給出的解法,考慮到此解法不適合給小學(xué)孩子講,所以把此題當(dāng)作牛吃草問(wèn)題來(lái)講的.

把進(jìn)水管看成"牛",排水管看成"草",滿池水就是“老草”

排水管速：（2×15－4×5）÷（15－5）=1

滿池水（路程差）：

(2－1）×15=15

或

(4－1）×5=15

幾個(gè)進(jìn)水管：15÷2＋1=8.5（個(gè))

我和學(xué)生都有個(gè)好習(xí)慣，解完一道題后要反思，這道題既然是工程問(wèn)題，那么，可不可以用工程問(wèn)題的解法來(lái)做呢？之后在課堂上當(dāng)時(shí)做了嘗試，結(jié)果答案是肯定的！

當(dāng)打開(kāi)4個(gè)進(jìn)水管時(shí)，需要5小時(shí)才能注滿水池，那么4個(gè)進(jìn)水管和1個(gè)排水管的效率就是1/5。

當(dāng)打開(kāi)2個(gè)進(jìn)水管時(shí)，需要15小時(shí)才能注滿水池，那么2個(gè)進(jìn)水管和1個(gè)排水管的效率就是1/15。

兩者之間差了（4－2=）2個(gè)進(jìn)水管的效率，于是1個(gè)進(jìn)水管的效率是：

（1/5－1/15）÷（4－2）=1/15

1個(gè)排水管的效率是：

4×1/15－1/5=1/15

或者

2×1/15－1/15=1/15

現(xiàn)在需要在2小時(shí)內(nèi)將水池注滿，那么至少要打開(kāi)多少個(gè)進(jìn)水管？

（1/2＋1/15）÷1/15=8.5（個(gè))

例6自動(dòng)扶梯以均勻速度由下往上行駛著，兩位性急的孩子要從扶梯上樓。已知男孩每分鐘走20級(jí)梯級(jí)，女孩每分鐘走15級(jí)梯級(jí)，結(jié)果男孩用了5分鐘到達(dá)樓上，女孩用了6分鐘到達(dá)樓上。問(wèn)：該扶梯共有多少級(jí)？

分析：與例3比較，“總的草量”變成了“扶梯的梯級(jí)總數(shù)”，“草”變成了“梯級(jí)”，“?！弊兂闪恕八俣取保部梢钥闯膳３圆輪?wèn)題。上樓的速度可以分為兩部分：一部分是男、女孩自己的速度，另一部分是自動(dòng)扶梯的速度。男孩5分鐘走了20×5＝100（級(jí)），女孩6分鐘走了15×6＝90（級(jí)），女孩比男孩少走了100－90＝10（級(jí)），多用了6－5＝1（分），說(shuō)明電梯1分鐘走10級(jí)。由男孩5分鐘到達(dá)樓上，他上樓的速度是自己的速度與扶梯的速度之和，所以扶梯共有

（20＋10）×5＝150（級(jí)）。

解：自動(dòng)扶梯每分鐘走

（20×5－15×6）÷（6—5）＝10（級(jí)），

自動(dòng)扶梯共有（20＋10）×5＝150（級(jí)）。

答：扶梯共有150級(jí)。

例7某車站在檢票前若干分鐘就開(kāi)始排隊(duì)，每分鐘來(lái)的旅客人數(shù)一樣多。從開(kāi)始檢票到等候檢票的隊(duì)伍消失，同時(shí)開(kāi)4個(gè)檢票口需30分鐘，同時(shí)開(kāi)5個(gè)檢票口需20分鐘。如果同時(shí)打開(kāi)7個(gè)檢票口，那么需多少分鐘？

分析與解：等候檢票的旅客人數(shù)在變化，“旅客”相當(dāng)于“草”，“檢票口”相當(dāng)于“?！?，可以用牛吃草問(wèn)題的解法求解。旅客總數(shù)由兩部分組成：一部分是開(kāi)始檢票前已經(jīng)在排隊(duì)的原有旅客，另一部分是開(kāi)始檢票后新來(lái)的旅客。

設(shè)1個(gè)檢票口1分鐘檢票的人數(shù)為1份。因?yàn)?個(gè)檢票口30分鐘通過(guò)（4×30）份，5個(gè)檢票口20分鐘通過(guò)（5×20）份，說(shuō)明在（30-20）分鐘內(nèi)新來(lái)旅客（4×30-5×20）份，所以每分鐘新來(lái)旅客

（4×30-5×20）÷（30-20）=2（份）。

假設(shè)讓2個(gè)檢票口專門通過(guò)新來(lái)的旅客，兩相抵消，其余的檢票口通過(guò)原來(lái)的旅客，可以求出原有旅客為

（4-2）×30=60（份）或（5-2）×20=60（份）。

同時(shí)打開(kāi)7個(gè)檢票口時(shí)，讓2個(gè)檢票口專門通過(guò)新來(lái)的旅客，其余的檢票口通過(guò)原來(lái)的旅客，需要

60÷（7-2）=12（分）。

例8有三塊草地，面積分別為5，6和8公頃。草地上的草一樣厚，而且長(zhǎng)得一樣快。第一塊草地可供11頭牛吃10天，第二塊草地可供12頭牛吃14天。問(wèn)：第三塊草地可供19頭牛吃多少天？

分析與解：例1是在同一塊草地上，現(xiàn)在是三塊面積不同的草地。為了解決這個(gè)問(wèn)題，只需將三塊草地的面積統(tǒng)一起來(lái)。

［5，6，8］＝120。

因?yàn)?公頃草地可供11頭牛吃10天，120÷5＝24，所以120公頃草地可供11×24＝264（頭）牛吃10天。

因?yàn)?公頃草地可供12頭牛吃14天，120÷6＝20，所以120公頃草地可供12×20＝240（頭）牛吃14天。

120÷8＝15，問(wèn)題變?yōu)椋?20公頃草地可供19×15＝285（頭）牛吃幾天？

因?yàn)椴莸孛娣e相同，可忽略具體公頃數(shù)，所以原題可變?yōu)椋?/p>

“一塊勻速生長(zhǎng)的草地，可供264頭牛吃10天，或供240頭牛吃14天，那么可供285頭牛吃幾天？”

這與例1完全一樣。設(shè)1頭牛1天吃的草為1份。每天新長(zhǎng)出的草有

（240×14－264×10）÷（14－10）＝180（份）。草地原有草（264—180）×10＝840（份）?？晒?85頭牛吃

840÷（285—180）＝8（天）。

所以，第三塊草地可供19頭牛吃8天。

例9牧場(chǎng)上有一片牧草，供24頭牛6周吃完，供18頭牛10周吃完．假定草的生長(zhǎng)速度不變，那么供19頭牛需要幾周吃完？分析：這個(gè)問(wèn)題的難點(diǎn)在于，草一邊被牛吃掉，一邊仍在生長(zhǎng)，也就是說(shuō)牧草的總量隨時(shí)間的增加而增加．但不管牧草怎么增長(zhǎng)，牧場(chǎng)原有草量與每天（或每周）新長(zhǎng)的草量是不變的，因此必須先設(shè)法找出這兩個(gè)量來(lái)．我們可以先畫(huà)線段圖（如圖5—1）．從上面圖對(duì)比可以看出，18頭牛吃10周的草量比24頭牛吃6周的草量多，多出的部分恰好相當(dāng)于4周新生長(zhǎng)的草量．這樣就可以求出草的生長(zhǎng)速度，有了每周新長(zhǎng)的草量，就可以用24頭牛吃6周的草量減去6周新長(zhǎng)的草量，或用18頭牛吃10周的草量減去10周新長(zhǎng)的草量，得到牧場(chǎng)原有的草量．有了原有的草量和新長(zhǎng)的草量，問(wèn)題就能很順利求解了．解：設(shè)1頭牛吃一周的草量的為一份．（1）24頭牛吃6周的草量24×6=144（份）（2）18頭牛吃10周的草量18×10=180（份）（3）（10-6）周新長(zhǎng)的草量180-144=36（份）（4）每周新長(zhǎng)的草量36÷（10-6）=9（份）（5）原有草量24×6-9×6=90（份）或18×10-9×10=90（份）（6）全部牧草吃完所用時(shí)間不妨讓19頭牛中的9頭牛去吃新長(zhǎng)的草量，剩下的10頭牛吃原有草量，有90÷（19-9）=9（周）答：供19頭牛吃9周．例1020匹馬72天可吃完32公頃牧草，16匹馬54天可吃完24公頃的草．假設(shè)每公頃牧草原有草量相等，且每公頃草每天的生長(zhǎng)速度相同．那么多少匹馬36天可吃完40公頃的牧草？分析：同例1一樣，解這個(gè)題的關(guān)鍵在于求出每公頃每天新長(zhǎng)的草量及每公頃原有草量即可．設(shè)1匹馬吃一天的草量為一份．20匹馬72天吃32公頃的牧草，相當(dāng)于一公頃原有牧草加上72天新長(zhǎng)的草量，可供20×72÷32=45匹馬吃一天，即每公頃原有牧草加上72天新長(zhǎng)的草量為45份．同樣，由16匹馬54天吃24公頃的草量，知每公頃原有牧草加上54天新長(zhǎng)的草量為16×54÷24=36份．這兩者的差正好對(duì)應(yīng)了每公頃72-54=18天新長(zhǎng)的草量，于是求得每公頃每天新長(zhǎng)的草量，從而求出每公頃原有草量，這樣問(wèn)題便能得到解決．解：（1）每公頃每天新長(zhǎng)的草量（20×72÷32-16×54÷24）÷（72-54）=0.5（份）（2）每公頃原有草量20×72÷32-0.5×72=9（份）或16×54÷24-0.5×54=9（份）（3）40公頃原有草量9×40=360（份）（4）40公頃36天新長(zhǎng)的草量0.5×36×40=720（份）（5）40公頃的牧草36天吃完所需馬匹數(shù)（360+720）÷36=30（匹）答：30匹馬36天可吃完40公頃的牧草．例11有三輛不同車速的汽車同時(shí)從同一地點(diǎn)出發(fā)，沿同一公路追趕前面的一個(gè)騎車人．這三輛車分別用3分鐘，5分鐘，8分鐘分別追上騎車人．已知快速車每小時(shí)54千米，中車速每小時(shí)39．6千米，那么慢車的車速是多少（假設(shè)騎車人的速度不變）？分析根據(jù)題意先畫(huà)出線段圖，如圖5—2．從圖5—2可以看出，要求慢車的車速，只要求出慢車行8分鐘的路程.慢車8分鐘的路程等于路程ab加上路程be．a(chǎn)b表示三車出發(fā)時(shí)騎車人已騎出的一段距離，這段距離用快車行3分鐘的路程ac減去騎車人行3分鐘的路程bc得到，騎車人3分鐘行的路程是多少，關(guān)鍵求出騎車人的速度，由圖中可以看出，中速車行5分鐘的路程ad減去快車行3分鐘的路程ac恰好為路程cd，路程cd是騎車人5-3=2分鐘行的路程，于是求出了騎車人的速度．be表示騎車人8分鐘行的路程，也就容易求出，這樣慢車的速度便可以迎刃而解了．解：快車速度54千米／小時(shí)=900米／分鐘中速車速度39．6千米／小時(shí)=660米／分鐘（1）騎車人的速度（660×5-900×3）÷（5-3）=300（米／分鐘）（2）三車出發(fā)時(shí)騎車人距三車出發(fā)地的距離900×3-300×3=1800（米）（3）慢車8分鐘行的路程1800+300×8=4200（米）（4）慢車的車速4200÷8=525（米／分）=31.5千米／小時(shí)答：慢車的車速為每小時(shí)31.5千米．練習(xí)1：有一片牧場(chǎng)，已知飼牛27頭，6天把草吃盡。飼牛23頭，則9天吃盡。如果飼牛21頭，問(wèn)幾天吃盡？

解：假設(shè)1頭牛1天吃的草為1.

⑴每天新長(zhǎng)的草：（23×9-27×6）÷（9-6）=15

⑵牧場(chǎng)原有的牧草：27×6-15×6=72

⑵21頭牛幾天把草吃盡：72÷（21-15）=12

計(jì)算這種牛頓問(wèn)題，必須明確一個(gè)道理，就是牧場(chǎng)上的草不是固定不變的，而是在不斷地生長(zhǎng)，計(jì)算時(shí)要把這一點(diǎn)考慮進(jìn)去。（江蘇人民出版社《小學(xué)數(shù)學(xué)袖珍手冊(cè)》）

牛頓問(wèn)題是牛頓在1707年提出的著名命題，其思想方法在實(shí)踐中有重要的應(yīng)用。

沒(méi)看吧主的解，試做了一下：

設(shè)原有草X，每天長(zhǎng)草Y，每天每牛吃草Z，

得方程組：1、X+6Y=Z*27*6

2、X+9Y=Z*23*9

3、X+?Y=Z*21*?

由1、2得Y=15Z，X=72Z，代入3，

得到:72Z+15?Z=21?Z

得到:?=12.

練習(xí)2:小明步行從甲地出發(fā)到乙地，李剛騎摩托車同時(shí)從乙地出發(fā)到甲地.48分鐘后兩人相遇，李剛到達(dá)甲地后馬上返回乙地，在第一次相遇后16分鐘追上小明.如果李剛不停地往返于甲、乙兩地，那么當(dāng)小明到達(dá)乙地時(shí)，李剛共追上小明幾次？

試解：根據(jù)題意，設(shè)李速度為X，小明速度為Y，得到：

16*（X-Y）=2*48Y，得：X=7Y，即李的速度是小明的7倍，換句話說(shuō)，小明走完全程時(shí)，李剛走完了七個(gè)全程的距離，到達(dá)甲地，可知，中途和小明相會(huì)7次，其中“追上”3次，

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習(xí)題1.牧場(chǎng)上有一片勻速生長(zhǎng)的草地，可供27頭牛吃6周，或供23頭牛吃9周，那么它可供21頭牛吃幾周？

解答這類問(wèn)題，困難在于草的總量在變，它每天，每周都在均勻地生長(zhǎng)，時(shí)間愈長(zhǎng)，草的總量越多.草的總量是由兩部分組成的：某個(gè)時(shí)間期限前草場(chǎng)上原有的草量；這個(gè)時(shí)間期限后草場(chǎng)每天（周）生長(zhǎng)而新增的草量.因此，必須設(shè)法找出這兩個(gè)量來(lái)。

假設(shè)一頭牛一周吃草一份

則23頭牛9周吃的總草量：1×23×9=207份

27頭牛6周吃的總草量：1×27×6=162份

所以每周新生長(zhǎng)的草量：（207-162）÷（9-6）=15份

牧場(chǎng)上原有草量：1×27×6-15×6=72份，（或1×23×9-15×9=72份）

牧場(chǎng)上的草21頭牛幾周才能吃完呢？解決這個(gè)問(wèn)題相當(dāng)于把21頭牛分成兩部分：一部分看成專吃牧場(chǎng)上原有的草，另一部分看成專吃新生長(zhǎng)的草.

假設(shè)有15頭牛專吃新生長(zhǎng)的草，另一部分21-15=6頭牛專去吃原有的草

則牧場(chǎng)上原有的的草夠吃72÷6=12周

即這個(gè)牧場(chǎng)上的草夠21頭牛吃12周.2.由于天氣逐漸變冷，牧場(chǎng)上的草每天以均勻的速度減少。已知某草地上的草可供20頭牛吃5天，或供15頭牛吃6天。那么它可供多少頭牛吃10天？

假設(shè)一頭牛一天吃草一份

則20頭牛5天吃的總草量：1×20×5=100份

15頭牛6天吃的總草量：1×15×6=90份

所以每天枯草量：（100-90）÷（6-5）=10份

牧場(chǎng)上原有草量：1×20×5+10×5=150份

牧場(chǎng)上的草可供多少頭牛吃10天？

（150-10×10）÷10=5頭牛

3.一塊草地，每天生長(zhǎng)的速度相同.現(xiàn)在這片牧草可供16頭牛吃20天，或者供80只羊吃12天.如果一頭牛一天的吃草量等于4只羊一天的吃草量，那么10頭牛與60只羊一起吃可以吃多少天？

由于1頭牛每天的吃草量等于4只羊每天的吃草量，故60只羊每天的吃草量和15頭牛每天吃草量相等，80只羊每天吃草量與20頭牛每天吃草量相等。

所以問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為：這片牧草可供16頭牛吃20天，或者供20頭牛吃12天.那么（10+15）=25頭牛可以吃多少天

設(shè)一牛一天吃草一份

則每天長(zhǎng)草（1×16×20-1×20×12）÷（20-12）=10份

原有草1×16×20-10×20=120份

假設(shè)25頭牛中，10頭牛專吃每天新長(zhǎng)的10份草，另外的25-10=15頭牛專吃原有草

則120÷15=8天

即這塊草場(chǎng)可供10頭牛和60只羊吃8天。

4.一只船發(fā)現(xiàn)漏水時(shí)，已經(jīng)進(jìn)了一些水，水勻速進(jìn)入船內(nèi).如果12人淘水，3小時(shí)淘完；如5人淘水，10小時(shí)淘完.如果要求2小時(shí)淘完，要安排多少人淘水？

設(shè)1人1小時(shí)的淘水量為“1份”

則12人3小時(shí)淘水：1×12×3=36份

5人10小時(shí)淘水：1×5×10=50份

所以每小時(shí)漏進(jìn)水：（50-36）÷（10-3）=2份

淘水時(shí)已漏進(jìn)的水：36-2×3=30份

所以如果要求2小時(shí)淘完，要安排（30+2×2）÷2=17人淘水

5.一水庫(kù)原有存水量一定，河水每天均勻入庫(kù).5臺(tái)抽水機(jī)連續(xù)20天可抽干；6臺(tái)同樣的抽水機(jī)連續(xù)15天可抽干.若要求6天抽干，需要多少臺(tái)同樣的抽水機(jī)？

設(shè)1臺(tái)抽水機(jī)連1天抽水1份

則5臺(tái)抽水機(jī)連續(xù)20天抽水5×20=100份

6臺(tái)抽水機(jī)連續(xù)15天抽水6×15=90份

每天進(jìn)水（100-90）÷（20-15）=2份

原有的水100-2×20=60份

所以若6天抽完，共需抽水機(jī)（60+2×6）÷6=12臺(tái)

6.有三塊草地，面積分別為5、6和8公頃。草地上的草一樣厚，而且長(zhǎng)得一樣快。第一塊草地可供11頭牛吃10天，第二塊草地可供12頭牛吃14天。問(wèn)第三塊草地可供19頭牛吃多少天？

將三塊草地的面積統(tǒng)一起來(lái)：

即[5，6，8]=120

第一塊草地可供11頭牛吃10天，120/5=24，變?yōu)?20公頃草地可供11×24=264頭牛吃10天

第二塊草地可供12頭牛吃14天，120/6=20，變?yōu)?20公頃草地可供12×20=240頭牛吃14天

120/8=15，問(wèn)題變?yōu)?20公頃草地可供19×15=285頭牛吃多少天

于是，假設(shè)一頭牛一天吃草一份

所以120公頃草地每天新生長(zhǎng)的草：（240×14-264×10）÷（14-10）=180份

120公頃草地原有草：264×10-180×10=840份

所以可供285頭牛吃840÷（285-180）=8天

即第三塊草地可供19頭牛吃8天

7.經(jīng)測(cè)算，地球上資源可供100億人生活100年，或可供80億人生活300年。假設(shè)地球新生資源速度一定，那么為滿足人類不斷發(fā)展需要，地球最多能養(yǎng)活多少億人？

設(shè)1億人1年消費(fèi)資源1份

則100億人生活100年消費(fèi)資源100*100=10000份

80億人生活300年消費(fèi)資源80*300=24000份

所以每年新生資源（24000-10000）÷（300-100）=70份

為滿足人類不斷發(fā)展需要，應(yīng)使每年消費(fèi)的總資源不超過(guò)每年新生資源

所以地球最多能養(yǎng)活70÷1=70億人

8.某車站在檢票前若干分鐘就開(kāi)始排隊(duì)，每分鐘來(lái)的旅客人數(shù)一樣多。從開(kāi)始檢票到等候檢票的隊(duì)伍消失，同時(shí)開(kāi)4個(gè)檢票口需30分鐘，同時(shí)開(kāi)5個(gè)檢票口需20分鐘，如果同時(shí)開(kāi)7個(gè)檢票口，那么需多少分鐘？

假設(shè)1個(gè)檢票口1分鐘檢票1組

則4個(gè)檢票口30分鐘檢票4*30=120組

5個(gè)檢票口20分鐘檢票5*20=100組

所以每分鐘來(lái)的旅客：（120-100）÷（30-20）=2組

開(kāi)始檢票前已來(lái)旅客：120-2×30=60組

所以如果同時(shí)開(kāi)7個(gè)檢票口，那么需60÷（7-2）=12分鐘

9.畫(huà)展9點(diǎn)開(kāi)門，但早有人排隊(duì)等候入場(chǎng)，從第一個(gè)觀眾來(lái)到時(shí)起，每分鐘來(lái)的觀眾人數(shù)一樣多，如果開(kāi)3個(gè)入場(chǎng)口，9點(diǎn)9分就不再有人排隊(duì)；如果開(kāi)5個(gè)檢票口，9點(diǎn)5分就沒(méi)有人排隊(duì)。那么第一個(gè)觀眾到達(dá)時(shí)間是8點(diǎn)多少分？

假設(shè)1個(gè)入口1分鐘進(jìn)入人數(shù)為1組

則3個(gè)入口9分鐘進(jìn)入人數(shù)3*9=27組

5個(gè)入口5分鐘進(jìn)入人數(shù)5*5=25組

所以每分鐘來(lái)的觀眾人數(shù)：（27-25）÷（9-5）=0.5組

開(kāi)門前已來(lái)的觀眾：25-0.5*5=22.5組

所以第一個(gè)觀眾到達(dá)時(shí)間是9點(diǎn)-（22.5÷0.5）分=8點(diǎn)15分10.牧場(chǎng)上有一片勻速生長(zhǎng)的草地，可供17頭牛吃30天，或供19頭牛吃24天?，F(xiàn)有一群牛吃了6天后賣掉4頭，余下的牛又吃了2天將草吃完。這群牛原來(lái)有多少頭？

設(shè)1頭牛1天吃草1份

則17頭牛30天吃草：1×17×30=510份

19頭牛24天吃草：1×19×24=456份

所以每天新生草：（510-456）÷（30-24）=9份

牧場(chǎng)上