函數與導數-公開課教學設計

函數與導數一、單選題1．（2022·河南高二期末（理））中國古代十進制的算籌記數法在世界數學史上是一個偉大的創(chuàng)造.據史料推測，算籌最晚出現(xiàn)在春秋晚期或戰(zhàn)國初年.算籌記數的方法是：個位?百位?萬位?…上的數按縱式的數碼擺出；十位?千位?十萬位?…上的數按橫式的數碼擺出，如可用算籌表示為.這個數字的縱式與橫式的表示數碼如圖所示，則的運算結果用算籌表示為（）A． B．C． D．【答案】A【分析】先利用指數和對數運算化簡，再利用算籌表示法判斷.【詳解】因為，用算籌記數表示為，故選：.2．（2022·山東日照·高三開學考試）國棋起源于中國，春秋戰(zhàn)國時期已有記載，隋唐時經朝鮮傳入日本，后流傳到歐美各國.圍棋蘊含著中華文化的豐富內涵，它是中國文化與文明的體現(xiàn).圍棋使用方形格狀棋盤及黑白二色圓形棋子進行對弈，棋盤上有縱橫各19條線段形成361個交叉點，棋子走在交叉點上，雙方交替行棋，落子后不能移動，以圍地多者為勝.圍棋狀態(tài)空間的復雜度上限為，據資料顯示字宙中可觀測物質原子總數約為，則下列數中最接近數值的是（）（參考數據：）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用對數的運算法則計算后可得．【詳解】，，因此最接近于．故選：D．3．（2022·全國（理））圓的內接正方形的邊長與圓的半徑的比例稱為白銀比例，它在東方文化中的重要程度不亞于西方文化中的“黃金比例”．山西應縣釋迦塔（即著名的應縣木塔），是中國現(xiàn)存較為古老的木構塔式建筑．該木塔總高度與頂層檐柱柱頭以下部分的高度之比與白銀比例高度吻合．已知木塔頂層檐柱柱頭以下部分的高度為米，則應縣木塔的總高度大約是（）（參考數據：）A．米 B．米C．米 D．米【答案】C【分析】由題意，木塔總高度與頂層檐柱柱頭以下部分的高度之比為，又，可估計【詳解】設正方形的邊長為，圓的半徑為，則，易知白銀比例為．因為，，所以，故排除A，B，D．故選：C4．（2022·湖南省邵東市第三中學高一月考）高斯是德國著名的數學家，近代數學奠基者之一，享有“數學王子”的稱號．他和阿基米德、牛頓并列為世界三大數學家，用其名字命名的“高斯函數”為：設，用表示不超過的最大整數，則稱為高斯函數．例如，，已知函數，現(xiàn)有以下四個對函數的命題：①是偶函數②是周期函數③的值域為［0，1］④當時，其中正確的個數為（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】將表示為分段函數的形式，畫出函數圖像，由此判斷出正確選項.【詳解】由于，所以，由此畫出函數圖像如下圖所示，由圖可知，是非奇非偶函數，是周期為的周期函數，且值域為，當時，.故選項②④正確故選：C【點睛】本小題主要考查分段函數的圖像與性質，考查新定義函數概念的理解和運用，屬于中檔題.5．（2022·江蘇省震澤中學高二月考）有一個非常有趣的數列叫做調和數列，此數列的前項和已經被研究了幾百年，但是迄今為止仍然沒有得到它的求和公式，只是得到它的近似公式：當很大時，其中稱為歐拉—馬歇羅尼常數，至今為止都還不確定是有理數還是無理數．由于上式在很大時才成立，故當較小時計算出的結果與實際值之間是存在一定的誤差的，已知，用上式估算出的與實際的的誤差絕對值近似為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據題中所給的近似公式，結合對數的運算性質進行求解即可.【詳解】而，與實際的的誤差絕對值近似為：，故選：B6．（2022·山西祁縣中學高三月考（理））2022年12月17日凌晨，嫦娥五號返回器攜帶月球樣品在內蒙古四子王旗預定區(qū)域安全著陸．嫦娥五號返回艙之所以能達到如此高的再入精度，主要是因為它采用彈跳式返回彈道，實現(xiàn)了減速和再入階段彈道調整，這與“打水漂”原理類似(如圖所示)．現(xiàn)將石片扔向水面，假設石片第一次接觸水面的速率為100m/s，這是第一次“打水漂”，然后石片在水面上多次“打水漂”，每次“打水漂”的速率為上一次的90%，若要使石片的速率低于60m/s，則至少需要“打水漂”的次數為(參考數據：取ln≈－，ln≈－（）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【分析】設石片第n次“打水漂”時的速率為vn，再根據題意列出不等式求解即可【詳解】設石片第n次“打水漂”時的速率為vn，則vn＝100×－1.由100×－1<60，得－1<，則(n－1)ln<ln，即n－1>≈≈，則n>，故至少需要“打水漂”的次數為6.故選：C7．（2022·黑龍江齊齊哈爾市教育局高二期末（文））對于三次函數，給出定義：設是函數的導數，是的導數，若方程有實數解，則稱點為函數的“拐點”.經過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個三次函數都有“拐點”，任何一個三次函數都有對稱中心，且“拐點”就是對稱中心.設函數，則（）A．0 B．1 C．2 D．4【答案】D【分析】由題意對已知函數求兩次導數可得圖象關于點對稱，即，即可得到結論．【詳解】解：因為，所以，，由，得，解得，而，故函數關于點對稱，故，所以，所以故選：D8．（2022·江蘇省震澤中學高二月考）在數學中，布勞威爾不動點定理是拓撲學里一個非常重要的不動點定理，它可應用到有限維空間，并構成一般不動點定理的基石，布勞威爾不動點定理得名于荷蘭數學家魯伊茲·布勞威爾（L.E.J.Brouwer），簡單的講就是對于滿足一定條件的連續(xù)函數存在一個點，使得，那么我們稱該函數為“不動點函數”，下列為“不動點函數”的是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據題意逐個解方程判斷即可【詳解】解：對于A，由，得，即，方程無解，所以A不符合題意，對于B，由，得，即，方程無解，所以B不符合題意，對于C，由，得當時，，即，解得或，所以此函數為“不動點函數”，所以C正確，對于D，由，得，即，方程無解，所以D不符合題意，，故選：C二、多選題9．（2022·全國高二課時練習）（多選）材料：函數是描述客觀世界中變量關系和規(guī)律的最為基本的數學語言和工具，初等函數是由常數和基本初等函數經過有限次的有理運算及有限次的復合所產生的，且能用一個解析式表示的函數，如函數（），我們可以作變形：，所以可看作是由函數和復合而成的，即（）為初等函數．根據以上材料，對于初等函數（）的說法正確的是（）A．無極小值 B．有極小值1 C．無極大值 D．有極大值【答案】AD【分析】根據給定信息，對函數變形并求導，進而判斷其極值情況即可得解.【詳解】依題意，，，求導得：，由，得，當時，，函數在上單調遞增，當時，，函數在上單調遞減，所以有極大值，無極小值.故選：AD10．（2022·全國高三）德國數學家狄里克雷（Dirichlet）是解析數論的創(chuàng)始人之一，對數論、數學分析和數學物理有突出貢獻，我們稱函數，為狄里克雷函數．記，則下列的敘述中正確的是（）A．的值域為B．是周期函數C．是奇函數D．是單調函數【答案】BC【分析】函數的值域為，可判斷A；根據函數的周期性和定義和函數的定義可判斷B；由函數的奇偶性的定義可判斷C；取特殊函數值可判斷D．【詳解】函數的值域為，故A錯誤；對于任意的有理數，當為有理數時，也是有理數，則，當為無理數時，也是無理數，則，即函數是周期函數，故B正確；的定義域為，當為有理數時，是有理數，則，當為無理數時，是無理數，則，即為偶函數，故，故C正確；，，，顯然不是單調函數，故D錯誤，故選：BC．11．（2022·江蘇省前黃高級中學）意大利著名畫家列奧納多·達芬奇（—）的畫作《抱銀貂的女人》中，女士脖頸上懸掛的黑色珍珠項鏈與主人相互映襯呈現(xiàn)出不一樣的美與光澤，有人曾提出：固定項鏈的兩端，使其在重力的作用下自然下垂，項鏈所形成的曲線是什么？這就是著名的“懸鏈線問題”，后人給出了懸鏈線的函數解析式，其中為懸鏈線系數，稱為雙曲余弦函數，其表達式為（其中為自然對數的底數，下同），相應地，雙曲正弦函數的表達式為．若直線與雙曲余弦函數和雙曲正弦函數分別相交于，曲線在點處的切線與曲線在點處的切線相交于點，則下列結論中正確的是（）A． B．C．隨的增大而減小 D．的面積隨的增大而減小【答案】BD【分析】利用指數冪的運算性質進行計算并比較結果可判斷A，B；寫出點A，B坐標，求出曲線在A，B處切線方程，再求出及面積即可判斷C，D作答.【詳解】對于A，，當且僅當時取“=”，A不正確；對于B，，B正確；對于C，D，點，對雙曲余弦函數求導得，對雙曲正弦函數求導得，切線PA：，切線PB：，聯(lián)立兩條切線方程，解得點，，因函數在上隨x的增大先減小再增大，于是得隨m的增大先減小再增大，C不正確；面積隨m的增大而減小，D正確.故選：BD12．（2022·重慶市楊家坪中學高三）英國數學家牛頓在17世紀給出了一種求方程近似根的方法——牛頓迭代平法，做法如下：如圖，設r是的根，選取作為r的初始近似值，過點作曲線的切線，則l與x軸的交點的橫坐標，稱是r的一次近似值；過點作曲線的切線，則該切線與x軸的交點的橫坐標為x2，稱x2是r的二次近似值；重復以上過程，得r的近似值序列，其中，稱是r的n+1次近似值，這種求方程近似解的方法稱為牛頓迭代法.若使用該方法求方程的近似解，則（）A．若取初始近似值為1，則該方程解的二次近似值為B．若取初始近似值為2，則該方程解的二次近似值為C．D．【答案】ABC【分析】構造函數，并求得導數，然后按照題干的定義依次代值計算結合排除法可得結果.【詳解】構造函數，則，取初始近似值，則，，則A正確；取初始近似值，則，，則B正確；根據題意，可知，，，，上述四式相加，得，則D不正確，C正確，故選：ABC.三、填空題13．（2022·福建）被譽為“數學之神”之稱的阿基米德最早利用逼近的思想證明了如下結論：拋物線的弦與拋物線所圍成的封閉圖形的面積，等于拋物線的弦與經過弦的端點的兩條切線所圍成的三角形面積的三分之于二，這個結論就是著名的阿基米德定理，在平面直角坐標系中，已知直線：與拋物線：交于，兩點，則弦與拋物線所圍成的封閉圖形的面積為___________.【答案】【分析】利用積分的幾何意義，進行求積分即可得解.【詳解】聯(lián)立，得，.所以弦與拋物線所圍成的封閉圖形的面積為.故答案為：.14．（2022·山西祁縣中學高三月考（理））聲音是物體振動產生的聲波，其中包含著正弦函數．純音的數學模型是函數y＝Asinωt，我們聽到的聲音是由純音合成的，稱之為復合音．若一個復合音的數學模型是函數f(x)＝sinx＋sin2x，則下列結論正確的是________．(填序號)①2π是f(x)的一個周期；②f(x)在[0，2π]上有3個零點；③f(x)的最大值為；④f(x)在上是增函數．【答案】①②③【分析】對①，根據正弦函數的周期判斷即可；對②，根據正弦的二倍角公式化簡，再求解零點即可；對③④，求導分析f(x)的單調性，再求最值即可【詳解】y＝sinx的最小正周期是2π，y＝sin2x的最小正周期是＝π，所以f(x)＝sinx＋sin2x的最小正周期是2π，故①正確；當f(x)＝sinx＋sin2x＝0，x∈[0，2π]時，sinx＋sinxcosx＝0，即sinx(1＋cosx)＝0，即sinx＝0或1＋cosx＝0，解得x＝0或x＝π或x＝2π，所以f(x)在[0，2π]上有3個零點，故②正確；f(x)＝sinx＋sin2x＝sinx＋sinxcosx，f′(x)＝cosx＋cos2x－sin2x＝2cos2x＋cosx－1，令f′(x)＝0，解得cosx＝或cosx＝－1，當x∈或x∈時，<cosx<1，此時f′(x)>0，則f(x)在，上單調遞增，當x∈時，－1≤cosx<，此時f′(x)≤0但不恒為0，則f(x)在上單調遞減，則當x＝時，函數f(x)取得最大值，為f＝sin＋sin＝＋＝，故③正確，④錯誤．故答案為：①②③15．（2022·江蘇淮安·）在18世紀，法國著名數學家拉格日在他的《解析函數論》中，第一次提到拉格朗日中值定理，其定理陳述如下，如果函數f（x）區(qū)間[a，b]上連續(xù)不斷，在開區(qū)間（a，b）內可導（存在導函數），在區(qū)間（a，b）內至少存在一個點x0∈（a，b），使得f（b）﹣f（a）＝（b﹣a），則x＝x0稱為函數y＝f（x）在閉區(qū)間[a，b]上的中值點，則關于x的f（x）＝ex+mx在區(qū)間[﹣1，1]上的中值點x0的值為__________________.【答案】【分析】由拉格朗日中值定理可得,求導函數，代入計算即可得出結果.【詳解】解：當x∈[﹣1，1]時，由拉格朗日中值定理可得＝，∵f'（x）＝ex+m，∴+m，即，∴.故答案為：.16．（2022·河北保定·高三月考（理））如圖所示，太極圖是由黑白兩個魚形紋組成的圖案，俗稱陰陽魚，太極圖展現(xiàn)了一種相互轉化，相對統(tǒng)一的和諧美，定義：能夠將圓O的周長和面積同時等分成兩個部分的函數稱為圓O的一個“太極函數”，則下列有關說法中：①函數是圓O：的一個太極函數；②函數是圓O：的一個太極函數；③函數是圓O：的一個太極函數；④函數是圓O：的一個太極函數．所有正確的是_________．【答案】①②③④【分析】建立平面直角坐標系，作出每個函數的圖像，探討每個函數的對稱性，進而得到答案.【詳解】①兩曲線的對稱中心均為點，且兩曲線交于兩點，所以能把圓一分為二，如圖，故正確；②函數關于點對稱，經過圓的圓心，且兩曲線交于兩點，如圖：所以函數是圓的一個太極函數，故正確；③函數為奇函數，如圖：所以函數是圓的一個太極函數，故正確；④函數為奇函數，且單調遞增，如圖，所以函數是圓的一個太極函數，故正確．故答案為：①②③④.四、解答題17．（2022·全國）《九章算術》是古代中國乃至東方的第一部自成體系的數學專著，書中記載了一種名為“芻甍”的五面體．“芻薨”字面意思為茅草屋頂，圖1是一棟農村別墅，為全新的混凝土結構，它由上部屋頂和下部主體兩部分組成．如圖2，屋頂五面體為芻薨”，其中前后兩坡屋面和是全等的等腰梯形，左右兩坡屋面和是全等的三角形，點在平面和上射影分別為，，已知m，m，梯形的面積是面積的倍．設．（1）求屋頂面積關于的函數關系式．（2）已知上部屋頂造價與屋頂面積成正比，比例系數為，下部主體造價與其高度成正比，比例系數為．現(xiàn)欲造一棟總高度為m的別墅，試問：當為何值時，總造價最低？【答案】（1）；（2）當為時，該別墅總造價最低．【分析】（1）先求得,進而求得屋頂面積關于的函數關系式.（2）首先求得別墅總造價，利用導數求得當時，總造價最低.【詳解】（1）由題意，知平面，因為平面，所以．在中，，，所以．所以的面積為．所以屋頂面積．所以關于的函數關系式為．（2）在，，所以下部主體高度為．所以別墅總造價為．設，，則，令，得，又，所以．與隨的變化情況如下表：0所以當時，在上有最小值．所以當為時，該別墅總造價最低．18．（2022·湖南衡陽市八中高一期末）若函數在時，函數值的取值區(qū)間恰為，就稱區(qū)間為的一個“倒域區(qū)間”．定義在上的奇函數，當時，．（1）求的解析式；（2）求函數在內的“倒域區(qū)間”；（3）若函數在定義域內所有“倒域區(qū)間”上的圖象作為函數的圖象，是否存在實數，使集合恰含有2個元素？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．【答案】（1）；（2）；（3）存在；．【分析】（1）運用奇函數的性質即可求得函數的解析式；（2）根據題意列出方程組，從而求解；（3）分析題意得出，從而只需考慮或兩種情況；再根據（2）的結論求出，從而根據方程思想求的值.【詳解】（1）當時，．所以．（2）設，因為在上遞減，所以，整理得，解得．所以在內的“倒域區(qū)間”為．（3）因為在時，函數值的取值區(qū)間恰為，其中，，所以，即，同號，所以只需考慮或，當時，根據的圖象知，最大值為1，，，所以，由（2）知在內的“倒域區(qū)間”為；當，最小值為，，，所以，同理知在內的“倒域區(qū)間”為．所以．依題意：拋物線與函數的圖象有兩個交點時，一個交點在第一象限，一個交點在第三象限．因此，應當使方程在內恰有一個實數根，并且使方程在內恰有一個實數．由方程在內恰有一根知；由方程在內恰有一根知，綜上知：．19．（2022·全國高二課時練習）用數學的眼光看世界就能發(fā)現(xiàn)很多數學之“美”．現(xiàn)代建筑講究線條感，曲線之美讓人稱奇．衡量曲線彎曲程度的重要指標是曲率，曲線的曲率定義如下：若是的導函數，是的導函數，則曲線在點處的曲率．（1）若曲線與在處的曲率分別為，比較大小；（2）求正弦曲線曲率的最大值．【答案】（1）；（2）1．【分析】（1）求出導函數及導函數的導數，根據曲率定義直接計算，然后比較．（2）求，再求，然后曲率，用換元法，函數的單調性求得最大值．【詳解】（1），，所以，，，，所以；（2），，所以，，令，則，設，則，顯然當時，，遞減，所以．最大值為1，所以的最大值為1．【點睛】關鍵點點睛：本題考查新定義“曲率”，解題關鍵是理解曲率的定義，實質就是對導函數再求導得，然后根據所給公式求出的曲率．20．（2022·蚌埠田家炳中學高二月考（文））定義在D上的函數，若滿足：對任意，存在常數，都有成立，則稱是D上的有界函數，其中M稱為函數的上界．（1）設，判斷在上是否是有界函數，若是，說明理由，并寫出所有上界的值的集合；若不是，也請說明理由；（2）若函數在上是以4為上界的有界函數，求實數a的取值范圍．【答案】（1）是有界函數，理由見解析，；（2）.【分析】（1）分離常數后,根據函數的單調性,在區(qū)間內求得最大值與最小值,即可根據有界函數的定義求得的取值范圍.（2）根據有界函數定義,可得的值域，代入解析式可分離得的不等式組，利用換元法轉化為二次不等式形式,結合恒成立條件,即可求得的取值范圍.【詳解】，則在上是增函數；故；即，故，故是有界函數；故的所有上界的值的集合是；由題意知，對恒成立．即：，令，，所以，對恒成立，，設，，由由于在上遞增，在上遞減，在上的最大值為，在上的最小值為，實數a的取值范圍為．【點睛】關鍵點點睛：根據新定義有界函數，函數的上界，函數在上是以4為上界的有界函數轉化為對恒成立是解題關鍵，然后分離參數，求函數的最大值與最小值是難點，屬于中檔題.21．（2022·上海市控江中學高一期末）若函數的定義域為，集合，若存在非零實數使得任意都有，且，則稱為上的-增長函數.(1)已知函數，函數，判斷和是否為區(qū)間上的增長函數，并說明理由；(2)已知函數，且是區(qū)間上的-增長函數，求正整數的最小值；(3)如果是定義域為的奇函數，當時，，且為上的增長函數，求實數的取值范圍.【答案】(1)是，不是，理由見解析；(2)；(3).【分析】(1)利用給定定義推理判斷或者反例判斷而得；(2)把恒成立的不等式等價轉化，再求函數最小值而得解；(3)根據題設條件，寫出函數f(x)的解析式，再分段討論求得，最后證明即為所求.【詳解】(1)g(x)定義域R，，g(x)是，取x=-1，，h(x)不是，函數是區(qū)間上的增長函數，函數不是；(2)依題意，，而n>0，關于x的一次函數是增函數，x=-4時，所以n2-8n>0得n>8，從而正整數n的最小值為9；(3)依題意，，而，f(x)在區(qū)間[-a2,a2]上是遞減的，則x，x+4不能同在區(qū)間[-a2,a2]上，4>a2-(-a2)=2a2，又x∈[-2a2，0]時，f(x)≥0，x∈[0，2a2]時，f(x)≤0，若2a2<4≤4a2，當x=-2a2時，x+4∈[0，2a2]，f(x+4)≤f(x)不符合要求，所以4a2<4，即-1<a<1.因為：當4a2<4時，①x