2013考研數(shù)學高數(shù)強化講義

[考研數(shù)學強化班高[歡迎使用 主講：楊 TOC\o"1-1"\h\z\u第一講函數(shù)、極限、連 第二講導數(shù)與微 第三講微分中值定理與導數(shù)的應 第四講不定積 第五講定積分與反常積 第六講多元函數(shù)微分 第七講二重積 第八講無窮級數(shù)(數(shù)二不要求 第九講微分方 第十講向量代數(shù)與空間解析幾何（數(shù)學一 第十一講多元函數(shù)積分學（數(shù)學一 第十二講微積分在經(jīng)濟學上的應用（數(shù)學三 第一講函數(shù)、極限、連續(xù)(一)極限的概念定義1：對于數(shù)列anA為一個常數(shù)，若0NnNanAnanA為極限，記作liman2yfxA為一個常數(shù)，若0X>0xXfxA

fx3yfxA為一個常數(shù)，若0X1>0xX1fxAlimfxx-4yfxA為一個常數(shù)，若0X2>0xX2時，有fxA，則稱limfxAfxAlimfx

x

x時，有fxAlimfxx0xfxAlimfxx0limfxAlimfxAlimfx limfxAlimfxAlimfx a2cos x 例1：已知f(x) 1

xx

limf(xab式子中含式子中含

a,

x0

， ln(1ex 3limx2 (二)極限的性質(zhì)limfx局部有界性定理：若limfx存在，則fx局部保號性定理：若limfxA0fx0 推論：若limfx存在fx>0在局部成立，則limfx4f

在下列哪個區(qū)間有界（

A（- B（0,1） C（1,2） D（2,3）f5fx是連續(xù)函數(shù)且x01-cos

=2fxx=0點是（ B．可導，但f00 例6：導函數(shù)fx在a,b區(qū)間上連續(xù)，且f+a>0，f-b<0，下列錯誤的是（ x0a,bfx0>fx0a,b，使fx0>fx0a,b，使得fx0x0a,b，使得fx0（注 顯示B選項有誤，不是fx0<fb，而是fx0>fb四則運算：若limfxAlimgxB，則limfxgxA limfxgxABlimfxABg x,g f2h-f例7：已知f0=0，判斷 ff2h-f 例8：若limsin6xxf(x)0，則lim6f(x)為

9：已知lim

fxx

e3fx二階可導，求f0f0f0x0 ff 及 x0 (三)極限的存在準則f1xfxf2x在局部成立，且limf1xAxlimf2xA，則limfx存在且 (四)兩個重要極限sin 1①

1；②x0

e2.7182xx1、求極限lim(13x)sinx12、求極限lim(cosx)ln(1x23、求極限 x(xa)(xln(1 4、求極限 )ex (五)函數(shù)極限、無窮小關系定理：limfxA

fxAx，其中x例：若limsin6xxf(x0，則lim6f(x)

(六)無窮小量概念：若limfx0fxx,無窮小量階的比較：設fx0gxf①若xgxf②若xgf③若xgf④若xg

0，則稱fxgx高階，記作：fxog，則fxgxcc0)，則fxgx1，則fxgx等價無窮小fx~g幾個常見的等價無窮小：sinx~xarcsinx~xtanx~xarctanx~xln(1x)～x，ex1~x，1cosx~1x2，1x1~2(七)無窮大量若limfx，則稱fxx,方法一求七種未定型00,000,10 1tan1tanx1sin xln1x4x24x2+xx2+sin3、求極limlnxln14、求極限limxx2ln11x x5limxxx-

3sinxsin6、已知lim 1，求c ，k 方法二：利用等價無窮小代換1、求極限lim1lnsin31+x331+x31sinsin202、求極限2 13、求極限limxaxax+1 4limxn7x41mxbn4,b0mx 方法三：利用泰勒公式 sinx＝x x3x5

x2n1ox2n1

2n令n＝0，得sinx＝xo 令n＝1，得sinx＝x1x3ox3 令n＝2，得sinx＝x1x31x5o(x5 對②式移項可xsinx＝1x3ox366x0，若狗0，則狗sinxsinxsinsin

狗～狗61、求極限 sinxx1x3o(x3)xsinx～1 arcsinx＝x1x3ox3arcsinxx～1 tanxx1x3ox3tanxx～1 arctanx＝x1x3ox3arctanxx～1 ln1xx1x2ox2xln1x～1 ex1x1x2o(x2)cosx11x2o(x2)(1x)1x(1)x2o(x222、求極限limarctanxsin 母(分子)是x的k階無窮小，則把分子(分母)展開為k階麥克勞林公式．例如：求xsinlim sinx＝x

x3

x5

x2n1ox2n1

2n令n＝1，得sinx＝xo 令n＝2，得sinx＝x1x3ox3 令n＝3，得sinx＝x1x31x5o(x5 系數(shù)消不掉的x項數(shù)最低項為止．第二講導數(shù)與微分導數(shù)的定義yf(xx0f'(x)limylimf(x0x)f(x0 x0 fx)limf(xf(x0)0 x x0②導數(shù)定義的極限過程中，x0是不變的，而x是一個可正可負的變量．故可和左導數(shù)，即f'(x) limf(x0x)f(x0);f'(x)limf(x0x)f(x0)； f(xfxf(x④在實際考題中，要注意增量x的靈活化經(jīng)常以x(α(x等形式出現(xiàn).故原式可推廣為：f'(x)limf(x0xf(x0; 可導的條件充要條件：f'(x)存在f'(x)，f'(x)都存在，且f'(x) f'(x)0導數(shù)定義的應用

yf(xx0

0fxx 般要使用廣義化的式子，使分子中被減項符號f )中的表達式與減項符號f )數(shù)．(2)討論抽象函數(shù)在某點的可導性． 例1設f(0)0，則f(x)在點x0可導的充要條件為 f（A）lim1f(1cosh)存在 eh f1h01

h0hlim f(hsinh)存在. （D）

f(2hf(h)存在2

h0f(1tan2x)f(1)sinxsin

h0例3lim x f(xh)f(xh)2f4設函數(shù)f(x二階可導，求 5（2012）f(x)(ex1)(e2x"exn,其中nf(0)(1)n1(n

(1)n(n

(1)n1 (D)(1)n6

4t

t（二）求導法則、形式隱函數(shù)F(x,y) yfFb）dyFx（F0F yxt設yyx是由參數(shù)方程 ，(t)確定的函數(shù)， (1)若t和t都可導，且't0dy'td 't(2)若t和t二階可導，且't0 t'tt'td dt't't '3t 1

arctanx2 xx2xln(1t2 d22ytarctantdx23F(x

xf(xt)dtF(x

1x111 11

dtdyFxF(x第三講微分中值定理與導數(shù)的應用（一）中值定理涉及函數(shù)fx的中（即連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間ab上的性質(zhì)1、設fx在abTh1.有界性：fxkkTh2.最值定理：mfxMmMfx在ab上的最小值與最大值Th3.介值定理：當mMmMfx在aabfTh4.零點定理fafb0ab，使f0.2、涉及導數(shù)fx的中值定理Th5.費馬引理：設函數(shù)fxx0的某鄰域U(x0)內(nèi)有定義，并x0處可導，如果xU(x0)f(xf(x0（f(xf(x0f(x00.，f()0Th6.羅爾定理：設函數(shù)fx滿足條件：在閉區(qū)間a,b上連續(xù)在開區(qū)間a,b內(nèi)可導在區(qū)間端點處的函數(shù)值相等,fafb則在ab內(nèi)至少一點,使f0該定理的逆否fx0在ab內(nèi)沒有實fx0fx0a,b上至多只有一個實根a0exax2bxc的根不超過三個.Th7.拉格朗日中值定理：設函數(shù)fx滿足條件：在ab上連續(xù)在a,b內(nèi)可導則在ab內(nèi)至少一個,ffbfabTh8.柯西中值定理：設函數(shù)fx,gx滿足條件在ab上連續(xù)(2)在ab內(nèi)可導,即fx,gx均存在,gx0 fbf 則 內(nèi)至少一點, gbg g常用于處理含二階及二階以上導函數(shù)代數(shù)式的的一般思路如下：①將fx點x0處展開比最高階導數(shù)低一階的泰勒展開式；②關鍵在于如何確定x與x0，一般把題b3、涉及積分afxdxTh10.積分中值定理：設fx在ab上連續(xù),則在ab上至少一個,bafxdxfbabTh11.升級版的積分中值定理：設fx在ab上連續(xù),則在ab上至少一個,bafxdxfbab例 設f(x)在0,3上連續(xù)，在(0,3)內(nèi)可導，且f(0)f(1)f(2)3，f(3)1，0,3)f 例 設fx在0,2上連續(xù)在0,2內(nèi)二階可導又f0f1，f2232fxdx 2 證：在0,2內(nèi)至少存在一點f"例 設fx，gx在a,b上連續(xù)，證：至少存在一點a,b， fgxdxgafxdx例 設fx，gx在a,b上連續(xù)，在a,b內(nèi)可微且gx0，fa在ab內(nèi)至少存在一點，使f'gg'ff

fb0證Fx

g

，F(xiàn)aFb0Fx滿足羅爾定理的條件，故ab，F(xiàn)0fggf例 已知f(x)在0,1上連續(xù)，在0,1內(nèi)可導，f1證：至少存在一點0,1，使得f11f

kxe1xfxdxk證Fxxexf k 由羅爾1,10,1F例 設fx在a,b上連續(xù)，在a,b上可導，且滿足fa使得(1)f'2f，（2）ff

fb0，證：a例 設fx在a,b上連續(xù)，在a,b內(nèi)可導，且faf'f20(a,

fb0例 設fx在0,1上連續(xù)，在0,1內(nèi)可導，且f01，f10．證在0,1內(nèi)至少在一點，使f' 例 設fx在0,a上連續(xù)，0,a內(nèi)可導，且fa0，證明至少存在一點a，使f2f例 設fx和gx在a,b上二階可導，且g0，g"x0fafbgagb0，證明存在abf()g(f()g(證Fxfxg'xgxf因FaFb0，在a,b上滿足羅爾定理條件，故a,b，使結論成立．例11 已知fx在0,1上連續(xù)，在0,1內(nèi)可導，且f00，f11，證：(1)存在0,1，使f1．(2)存在兩個不同的點120,1，使f1f2例12 設fx在0,1上連續(xù)，在0,1內(nèi)可導，且f11，f00．證在0,1內(nèi)至少存在一點，使ff'e1．證一FxexfxFx在0,1上連續(xù)，在0,1內(nèi)可導，滿足拉F1F即1

F'，eeff'，即ff'證二：作輔助FxexfxexF1ee0F0故Fx在0,1上滿足羅從而0,1，使ff'e1例 設fx、gx在a,b上連續(xù)，在a,b內(nèi)可導，證在a,b內(nèi)至少存在一 得fa gabafa f f' g'證Fx

gx

f f則Fx在a,b上連續(xù)，在a,b內(nèi)可導，從而滿足拉格朗日中值FbF故b

F'(ab例 設fx在0,a上二階可導，且在0,a內(nèi)取得極大值，又對一切x0,a上都f"xKKf0fa例 證Fxexxgx1xFxgx在x1x2上滿足柯exx'1Fexx'1即2即gx2

gx1 例 設fx在1,2上可導，則1,2，有f22f1f'f 證FxfxxF11F11，由連續(xù)函數(shù)的 1,1F0 在0,上，F(xiàn)0F，故由羅爾定理0,0,1，使F0f'1例 設fx在a,b上連續(xù)，在a,b內(nèi)可導，(0ab)，證明存 ，a,使f'f'a例 設limf(x)1，且f(x)0，證明f(x)x 例 設fx在1,1上具有三階連續(xù)導數(shù)，且f10，f11，f'00．證存1,1，使f例 設fx在0,1上二階可導且f0f10，maxfx2證minf"x0 0證：因fx在0,1上連f0f10，maxfx2；故在0,1上最大值點0點，設fx0為最大值點，由費馬定理，有f'x00，將fxx0點展Taylor公式fxfxf'xxxf"xx x0，10f0f

1f"0x 12

f" 01 0f1

fx1f

1x2 2 22

f"21x0 x2x202由②f" 2 1x0因此minf"xminf",f"0 x

4 2

1

當x ,1時，min

2

x 故minf"x160例 設fx在0,1上二階導數(shù)連續(xù)，f0f10，并且當x0,1時fxA，證fxAx2證：因為fx在0,1上二階導數(shù)連續(xù)fxfxfxxxfxx2xx f0fxfx0xf10x20x f1fxfx1xf21x2x12f1

f2

1xf0f1fx

x2 f

f

f21

1fx2f1x2 1x

2 1Ax2A1x21Ax21x22 例 設f(x)在[0,1]二階可導，f(x)a，f(x)b，a，b為非負數(shù)，c(0,1)求證：f(c)2a12f(x)f(cf(c)(xc1f[(x)](xc)2，其中(xx與c之間2x0f(0)f(cf(c)(c

f()c2 1x1f(1f(cf(c)(1c

f

)(1f(1)f(0)f(c1f

)(1c)2f()c2]f(c)2a1b[(1c)2c2]2a1b(1cc)2a1 4b其中利用了對c(0,1)有(1c)21c，c2c，于是(1c)2c21.例6 設fx在a,b上二階可導，且f'af'b0，則a,b，使f'' fb4b（二）導數(shù)的幾何應用（三點兩性一線yf(xxx0yf(xxx0f(x00f(x00f(x00f(x00 f(n1)(x)0，f(n)(x) a f(a)ff f(x0

f(x0)f(x0)0，f(x0)0f(n1x00f(nx0（n為奇數(shù)（1（3）單增f(x)0limf(x；②求水平漸近線limf(xAf

ykxbklim blim(f(xkx.（存在

1f(xf(0)0，則存在0（A）f(x)在(0,)內(nèi)單調(diào)增 （B）f(x)在(,0)內(nèi)單調(diào)減（C）對任意的x(0,)有f(x)f(0) （D）對任意的x(,0)有f(x)f(0)例2設yf(x)是方程y2y4y0的一個解且f(x0)0，f(x0)0，則函數(shù)f(x)在點x0處（A）取得極大 （D）某鄰域內(nèi)單調(diào)減例3設函數(shù)f(x)在(,)內(nèi)連續(xù)，其導函數(shù)的圖形如圖所示，則f(x)有 例4設f(x)，g(x)是于零的可導函數(shù)，fxg(xfx)g(x)0axb（A）f(x)g(b)f(b)g （B）f(x)g(a)f(a)g（C）f(x)g(x)f(b)g （D）f(x)g(x)f(a)g5y

xx

x2x1

第四講不定積分 ①0dx=C(C為常數(shù) ②xadx xa1C(a1 a1③xdxlnx1

④axdx

aln

C

a

，a⑤exdxex⑦cosxdxsinx⑨sec2xdxtanx

⑥sinxdxcosx⑧csc2xdxcotx1⑩ d arcsin1 d arctanx dx1arctanx1 a2 dx1lnx

d arcsinxCa2x2 xa2(15)tanxdxlncosx(17)secxdxlnsecxtanx(19)secxtanxdxsecxx2x21 x2x21

(16)cotxdxlnsinx(18)cscxdxlncscxcotx(20)cscxcotxdxcscxeaxsinbxdx

a2

eaxcosbxdx eaxbsinbxacosbxCa21）湊微分法fgxg'xdxfgxdgxf狗d的積分變量x廣義化為gx，公式仍例如：由xadx xa1C(a1a廣義化后gxag'xdx

dg a1由xdxlnx11g'xdx1dgxlngxC ①

②e-x③x2+x411⑤2

④4x+9xlnx1lnx1x21fxdxxφtfφtφ'tdtgtdtGtC＝Gφ1x法．(1)三角函數(shù)代換a2 xasint,ta2 a2x2xatant,t πx2

xasect,0t

x 換當被積函數(shù)含有根式ax2bx

φ2xkφ2xkk2k2φ2φ2xkaxaebx當被積函數(shù)含有根式naxbaxaebxnaxnaxmaxmax

tllax t值 地是，當lnx，arcsinx，arctanx與Pnx或eαx作乘除時，優(yōu)先考慮分部積分法d12d12x21①xlnx2d ② 1 1 1③e2x2ex3d ④ dvduudvuvvdu，這個方法主要適用于求udv比較 vdu取的一般原則Pnxxn次多項式．被積函數(shù)為PxekxPxsinaxPxcosax等形式時，一般來說選取 uPn被積函數(shù)為PnxlnxPnxarcsinxPnxarctanx等形式時，其中一般分別選取ulnxuarcsinxuarctanx．①x2exdxx2ex2xex2ex x2 ex ex ex ②x2sin2xdx1x2cos2x1xsin2x1cos2x ③lnx2④arcsinx2⑤exsinxeex⑥ex2xcos42⑦ dsin3①x26x132x②x23x2③ ③ 1xx2形如sinmxcosnxdsin2x11cos2xcos2x11cos2x化簡，然后再 ①sin2xcos3xd ②sin2xcos4xd解：①原式＝sin2x1sin2xcosxdsin2xsin4xdsinx1sin3x1sin5x ②因sin2xcos4x＝1sin22xcos2x8＝1sin22xcos2x8

11cos4x故sin2xcos4xdx1sin32x1x1sin4x ex1sin①1sinxd ②1cos d形如asinxbcosxdxcsinxdcos例：3sinx4cosxd2sinxcos解：令3sinx4cosxA2sinxcosxB2cosxsinA2B1 故原式2dx 2cosxsinxd 2sinxcos2xln2sinxcosx第五講定積分與反常積分(一)定積分的概念b fxdxlimfx(maxxb 注：要深刻把握定義中的分割、代替、求和、取極限的這種分析問題的思想和方可積(定積分存在)的必要條件：若fx在ab可積，則fx在ab有可積的充分條件：①閉區(qū)間abfx在ab②閉區(qū)間 b上至多有可列個間斷點的有界函數(shù)一定可積③閉區(qū)間a,b上單調(diào)有界函數(shù)一(二)定積分的性質(zhì) bfxdxbfudu a2.afxdx0 可加性：bfxdxcfxdxbfxdxa、b 保號性：若fx在ab上可積，且fx0，

bfxdx0afx在ab上可積fx0，則bfxdxa 1：若fxgx在ab上可積fxgx，則bfxdxbgxd 2fx在ab上可mfxMbambfxdxba πIπtanxd π

.I

dx，則有 4 4

0tanA．I1I2 B．1I1 C．I2I1 D．1I2 ①絕對值不等式：bfxdxbfxd b②許瓦爾茲不等式：bfxgxd f2xdxbg2xdb a例f(x在ab上連fx0bfxdx1，試aaabfxsinxdx2bfxcosxdx2aa(三)定積分的計算設fx在ab上連續(xù)Fx是fx的一個原函數(shù)bfxdxFbFaFx 注：使用牛頓—萊布尼茨公式必須注意fx的連續(xù)性．bfxdxy0ya

fxxaxbRR

dx1πR2RR2R2x(2aa2a2(x2)2x2x1

dxd

πdx (adx (a 2fx在aa上連a0，則ⅰ)當fx為奇函數(shù)

aa

fxdx0fx為偶函數(shù)，則

fxdx2afxd0afx為一般函數(shù)，則a

fxdx

afxf

dx

fxfxda afx是以T為周期的周期函數(shù)，則anTfxdxnTfxd

12x2+xcos1+1+1--（調(diào)頭代換i）t-x,x-ii）t-x,x0, iii）t-x,x0,2 n1!!πn 2sinxdx2cosxdx n1 πxfsinxdxππfsinxd 2 sin例：0sinxcos

dx被積函數(shù)含取整函數(shù)時，被積函數(shù)含絕對值符號時，被積函數(shù)含偶次方根，開方時一般要取絕對值，

fx2dxbab

fxdx上限x的取值范圍分別求積分．被積函數(shù)含參變量時，假設t是積分變x是參x是常數(shù)，分．(2x3x2,1x例1：設fx ，求函數(shù)Fxxftdt的表達式x

,0x 答案：當1x0Fxx2t3t2dtt21t3

1x3x21 1

當0x1Fx1ftdt1ftdt0ftd12

ex

xlnex1ln例2：計算0 1-sin3：計I1exd0（五）定積分的應用Sbf(xg(x)]dx（直角坐標系）S1r2()d（極坐標系 2（St2(t)(t)dt（參數(shù)方程VbSxda

πbf2xdx

2πbxfxdxaAx2y22xyxAx21f2b旋轉體側面積(數(shù)學三不要求)S2πa1f2b ybaafxdxfx在ab上的平(六)有關變限積分函數(shù)

x

arctan(1t)dtd1：求極限

x(1cos2f(x在(,

xf(tx)f(tx)d 2

x04x22解：令utx，有xf(tx)dt f(u)du0f(t)d 2令vtx，xf(tx)dt2xf(v)dv f(t)d2 2故原極限＝

f(t)dt

f(tdtlimf(2x22f lim4f'(2x4f'(2x)f

d2d例3：設函數(shù)yy(x)由參數(shù)方程 12lnt (td2dy d

d e12lnt解：dydydtdt12lntt d dtd dd

2(12ln 212ln 212lnd

2(12ln

d2(12lnt)d

e d2y2dx2

4t212lntx9時，由912t2及t1得t2∴d2d

e4te4t212lnt

t

4f(xg(x)1f(xtdtlimf(x)A，Ag'(x)0g'(x)x0x

1x210x25gx0fudu，其fx

x11x

gx在區(qū)間0,2A．B．遞 0gxx1u21 0gx 111x3x,0x 1 x2x ,1x limgx limgxx x 故gx在x＝1連續(xù)，從而在(0，2)內(nèi)連續(xù)重要結論：若fx在ab上可積，

xftdt在ab上連afx在ab上連續(xù)，則xftdt在ab上可導．a(chǎn)故直接選擇D6:設fx是連續(xù)函Fx是fx的原函數(shù)A．當fx為奇函Fx必是偶B．當fx為偶函FxC．當fxFxD．當fx是單調(diào)遞增函數(shù)，F(xiàn)x必是單調(diào)增函數(shù)7:設fx連續(xù)，下列函數(shù)中必為偶函數(shù)的是(D)A．xft2d0C．xtftftd0

B．xf2td0D．xtftftd00

D．在x＝0間斷的偶函例9:求函數(shù)fx x2x2tet2dt的單調(diào)區(qū)間與極值1解：函數(shù)fx的定義域為,，由fxx2

2 xdt x

tet2d2f'x2x2

dt

x2xx

et2d 1．列表討論如x01f'—0＋0—0＋f↘↗↘↗因此，fx的單調(diào)增加區(qū)間為(－1，01,；fx的單調(diào)減少區(qū)間為,10,1fx的極小值f111tet2dt0；極大1f00tet2dt111 2 ex例10:fx sintd2(1fxπf(2)求fxx

x：（1）fxπfxπf

sintdt令tuπ

2sinudu

f(2)由(1)知fx以下為周期，故只需求出fx在0,πf'xsinxπsinxcosxsin 2 3令f'x0得x ，x 4 4

23π 3π2

4 f 4

2sintdt2222 222(七)反常積分 fxdx的定 fxdxlimfxd bfxdxabfxdx的定 bfxdxlimbfxd ab若上述極限存在，則稱反常積fxdx收斂，否則稱bfxdx的定 fxdxfxdx fxd fxdx (1)fxdx的計 fxdxFxFF Fxfx在a,上的一個原函數(shù)FlimFxbb

fxdx的計

fxdxF FbFFx是fx在b上的一個原函FlimF (3)fxdx的計 fxdxfxdx f 若b是fx的唯一奇點， 函數(shù)fx的反常積bfxdx ε0afxd

bfxdxabfxdxa若a是fx的唯一奇點， 函數(shù)fx的反常積b

bfxdxabfxdx ε0bfxdxa若ca,b是fx的唯一奇點， 函數(shù)fx的反常積 bfxdxcfxdxbfx

bfxdx定義abfxdxa以b

fxdx的計

bfxdxFx

F Fxfx在abFblimFx．以abfxdxabfxdxFxbFbFaFx是fxab上的一個原函數(shù) FalimF以ca,b

bfxdx的計a bfxdxcfxdxbfxd 可．6.反常積分計算及判斷斂散性無窮區(qū)間的反常積分1d

d

ax xa函數(shù)的反常積分a dx1x14x2

1dxxp

x0p1p1x12解：原x123 x3πsec4tan

π

3令x 3

21 cos 3x3例2：計算積分x32x d x原式

2 d

x2 d

arcsin2x1

arcsin1xx

1x

21 2 3 23 1x21π 2 1x21π 24

x1

1

ln2 2

2 x2 d因此2

2 33xlnx2

2 40lnx例3：計 dx．13131ln1xdx1xt3tlnt3dt9tlnt319t2lnt 21dt 122t 2t

t 2 23t2lnt33C 2

3

2

0ln1 2 331從而 dx21x3ln1x2313 3 3lim1x32ln1x30 2 2 2 2 1 2 21 1x x

dx 1 1

x ～，ln1

~x2

x 1x x 例 判別I1xp11xq1lnxdx的斂散性0fx～1xq1x11xq，于是根據(jù)上面的重要結 I1xqdx d x1為收斂奇點qlimxlnx00x0lnxx，則xp1xp1xp1lnxxp1lnxxp1xxp1，x0為收斂奇點p11p0第六講多元函數(shù)微分學（一）基本概念(x)(yy2200若ε0，0，使得適合0(x)(yy2200f(xy，適合|f(xyA|Af(xyPP0x0y0時的極限，記作limf(x,y)APP0的方式必須是任意的，若找出一種趨近方式極限不存在，則極限必不存在，即使有無限種方式PP0時，f(x,y)A，也不能肯定極限存在．0f(xyxyx2y2P(xy沿坐標軸P(0,0)f(xy)0，但0ykxP0P(xyP0x0y0f(xyf(x0y0zf(xyP0處連續(xù)．若函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)每一點都連續(xù)，則稱函數(shù)在D內(nèi)連續(xù)zfxy

f'x,ylimfx0x,y0fx0,y0xx0,y0 x0,y f'x,ylimfx0,y0yx0,y fx，fy表示函數(shù)沿平行于x軸、y軸的變化率，是切線TxTy的斜率，fxtan,fy=tan注：對于求某一點P0處的一階偏導數(shù)值有三求f'x, 把y固定在y的一元函數(shù)fx,y的導數(shù)， f'x,ydfx,y d 0xd f'x,ydxf'x,ydx0,y0 例1：fx,y=x+2y+y- ，求f0,1,f 2fx,y,z

xdfy2

x2

x xy

x yxx 3f(xy

xyx2-y2,(x,y) x2

f(0,0f (x, 2 2zxyxy2 4z=f(xyy2=2,fx,1=x+2,fyx,1=x+1z=f(xyzfx,y在點x0y0的某一鄰域內(nèi)有定義zfx0xy0yfx0y0x2y若zA0xB0yo，其中A，B與x，y無關，x2yx0，y0的高階無窮小，則稱zfxyPx0y0A0xB0分．ⅰ)如何判定可微zf'x,yxf'x,yx2ylim x2y ①dzAdxBdyxdxyd偏導連續(xù)可 zfu,v，ux,y，vx, z z z zxuxvx；yuyvzfu,v，ux，vx，dzzduz u vwfu,v，ux,y,z，vx,y,z，wwuw u vwfu，ux,y,z，wdwu，wdw du duzfx,u,v，ux,y，vx,y，zf'1f'uf'v u v

①隱函數(shù)存在定理：設Fx,y,zx0y0z0點的某鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏導數(shù)且Fxyz0Fxyz0Fxyz0在xyz的某鄰域 Fd Fd d F'x,由Fx,y0確定y為x的函 0 xd yd d

x F'F'x,

F'x,y,

F'x,y,zzx,y，由方程Fx,y,z0確定 x

y zz F'x,y, F'x,y,zzFxyz0dy兩邊

F'F'dyF'dz yd zd程組

d

d dGx,y, G'G' G' yd zdddx

F F 例1：二元函數(shù)zfx,y在0,0點可微的一個充分條件為A． fx,yf0,00x,y

fx,0f0,00，且limf0yf0,0 fx,yfC． x,y x2

y Dlimfx,0f0,00，且limf0yf0,0 例2：考慮二元函數(shù)fx,y的下面四條性質(zhì)：①fx,y在點x0y0處連續(xù)；②fx,y在點x0y0處的兩個偏導③fx,y在點x0y0處可微；④fx,y在點x0y0處的兩個偏導數(shù)存在PQP推出性質(zhì)Q，則有(A) x3：設uxyxyxyxytdt，其中具有二階導數(shù)，具有一x2u 2u 2u 2u

f y,ysinx，其中fu,v具有連續(xù)的二階偏導數(shù)，求xy例5：設zfx,y在點1,1處可微，且f1,11，f 2，

3x

xfx,fx,x，求d3 d x1 確定exyxy

xzsin和ex 和ex 解 ff f y z由exyxy2兩邊對x求導得exyyxdyyxdy 解出

(分子和分母消除公因子(exyxzsin sin(x 由ex

dt兩邊對x求導,得ex

(1 0dz

ex(x

(x 解出 1 sin(x所以dufyf1e(xz)x x sin(xz)

5y20 ab的值，使等式在變換xay,xby u u uuuaub

xx

u

2u 2u 2u 2u

2x2x2xx2xx22

2uuu2u22u2u2u

a2ub2uab

2 y

2u u 2 2 yaba(a2b)b(b2a)

4x212xy5y2(5a12a4)25b12b4212ab10ab8則5a212a40;5b212b40;12ab10ab8 a

a

uf(xyz)有連續(xù)偏導數(shù)，zz(xy)由方xexyeyzez所確定,求設zfx,y在點x,y可微分(或存在偏導數(shù)f'x, ，f'x,y)，且在 x,y處有極值，則在該點的偏導數(shù)必為零，即f'x,yf'x, 0，此時的 x0y0稱為駐zfx,y在點x0,y0的某個鄰域內(nèi)連續(xù)且有一階、二階連續(xù)偏導數(shù)，又f'x,y0，f'x,y0 Afx,y，Bfx,y， 則ⅰ)判別式B2AC0時，在點x0,y0A0判別式B2AC0判式B2AC0時，特定．(2)條件極值(拉格朗日乘數(shù)問題zfx,y在條件x,y0下的極Fx,yfx,yλx,拉氏函 目標函 條件函F'0，F(xiàn)'0，F(xiàn)'0 解出x,根據(jù)問題的實際意義說明Fx,y為所求的極值．(不需要判在有界閉區(qū)域D上求最值的步驟：zfxyD內(nèi)的極值9zx4y4x22xyy210：已知fuv具有連續(xù)的二階偏導數(shù)，f1,12是fuv的極值zfxyfxy

22zziuzivfxy,fxyfxy,fxyfx2z

u u 1 2 zxf"xy,fx,yf"xy,fx,yf'x,yf'(x,y)f"xy,fx,yz 11 12 12 f"xy,fx,yf'x,yf'xy,f(x,y)if"(x,22 2 f"2,2f'2,2 12zf(xy)的全微分dz2xdx2ydy,并且f(1,1)2.求f(xy D(xy

1上的最大值和最小值 第七講二重積分1．定義fxydlimnfi,iDd0D幾何意fx,y0時，fxydD為底，zfxyD fx,yd

d

2x

fx,ydy

d

2y

fx,ydd 1xdD

1y①能積 fx,ydfrcos,rsinr 2dr2frcos,r rd x2y2yx x2x2y例 設I

d,I2

cos(xy)dI3cos(xy)d，其中

2 Dxy|x2y21}(A)I3I2I1 (B)I1I2I3(C)I2I1I3 (D)I3I1I2例 設I1(x2y2)d,I2x2y2(A)I1I2I3

2|xy|dI3(x2y2)dxy |x||(B)I2I3I1(C)I3I1I2 (D)I3I2I13IsinxdxdyDyxy2xy3 D4D

1x2y2dxdyDyxx1y01r2cosD1r2cosDDr,0rsec0π

drd445D

ydxdyDyxy2xyI ydy dxπ 11 61xsinyd11xdx1xsinydy DD由0,0，1,0，1,2和0,1所構成例7. 設區(qū)域D為x2y2R2，則 D(a2b2)d D例 設區(qū)域D{(x,y)|x2y24,x0,y0},f(x)為D上正值連續(xù)函數(shù)，a,b常數(shù)，則af(x)bf(y)d f(x)f((A)abπ．

(C)(a (D)ab2例 計算x[1yf(x2y2)]d，其中D是由yx3,y1,x1圍成的區(qū)域，fDD例 計算D

x2y2dxdyDx2y22ay(a0)所圍成 解x2y2d.xdyπd2asin D8a3πsin333

cos3(3

πcos0329例 計算(xy)d，其中D由x2y2xy所確定D2y例 計算ydxdy，其中D是由x2,y0,y2yD解法 2y2y

DydxdyD

ydx0y(2

2yy20022ydy2y2yy20042y1y1)2dy(y1sint024(1sint)cos2tdt4222yd4π 2202y1(y1)2dy2(y1)1y12dy21(y1)2 2(y1)1(y1)2dy02而2

221(y1)2dyπ2 2

yd

ydy

πd

2sin 8 8242

3πsin4d4

04831π4π 解法 (y1)dD故ydy11]dd4π 解法 由 算公式知ydyS.由于積分域D關于y=1對稱，則y1，DS4π2yd4π 例

x2 |x||y|f(x,y) x2x2

,1|x||y|f(xy)dDxy|x||y|D例 計算y2d，其中D由xa(tsint)(0t2π)與y0圍成 y 解

y2d

y(x) y

1

2πay3 312πa3(1cost)3a(1cos316a4

sin8

t 32a4

64a4 2

udu 35例 計算min{x,y}e(x2y2)d，其中D為全平面D例 22y0I f(x,y)dxy0 1 I1dy f(x, I dx2f(x,y)dy.I2 f(cos,sin)d 2a例 交換累次積分I2 4

f(cossin)d的次序a0例 計算累次積分2dyxsinπxdy 2sinπxdy1

2 2原式

sinπxdx22ycosπy

4 2 π

2 48 例 設f(x)為連續(xù)函數(shù)，F(xiàn)(t)tdytf(x)dx，則F(x) (A)2f (B)f (C)f 解法 f

F(t)1dx1f(x)dy1(x1)f(x)dx.則F(tt1)f(tF(2f(2) 解法 f(t) 例 設f(t)在0,上連續(xù)，且滿足f(t)解顯然f(0)1, f x2y2)dxdy2π2tf(1

4πt2

1x2x22x2y2

x2y2

2π2tf(1 f(t)e4πt2π2tf(1)d f(t)8πte4πt28πtff(t)e8πtdt(8πte4πt2e8πtdtdtC)(4πt2C)e4πt2f(0)1得C1f(t4πt21)e4πt2例 設f(x,y)是定義在0x1,0y1上的連續(xù)函數(shù)，f(0,0)1，求極

x 0dt

f(t,.. 1解法

0dt

f

f(t,

x 1exf(t,

lim (1e

~xlim

limx2f(c,

(0c

1f(0,0)1 解法 D0dtxf(t,u)duf(t,u)dtduf(D其中(,DSD的面積 1而S0dttdux

(xt)dtx3f(,)1 lim0x

tf

f(0,0) 1

例22. 設f(x,y)在單位圓x2y21上有連續(xù)一階偏導數(shù)，且在邊界上取值為零，證明：f(0,0)lim1 xfxyfydxdy其中D為圓環(huán)域ε2x2y21.02πx2Dx2y2D

d[cosfx(cos,sin)sinfy(cos,sin1[f(cos,sin)|]d f(cos,sin lim

xfxyfydxdylimf(cos,sin)f(0,D02πD

x2

1xf2 1f2 例 設f(x)在[0,1]上單調(diào)減的正值函數(shù)，證明：0 0xf 0f第八講無窮級數(shù)(數(shù)二不要求式子u1u2"un或簡寫為un叫做無窮級un叫做級數(shù)的一般項級數(shù)前nSnu1u2"un稱為級數(shù)un若部分和數(shù)列S1S2，…，Sn，…的極限存在，則稱級數(shù)un收斂，并稱此極限 SlimSn為級數(shù)unSun nlimSn 設k0，則kun與unkunkun 收斂級數(shù)的和(差)仍收斂，且有unvnunvn 級數(shù)un收斂的必要條件是limun0 ①若兩個級數(shù)un與vn，一個收斂，一個發(fā)散，則unvn發(fā)散；若un vn均發(fā)散，則級數(shù)unvn的斂散性不定 若un0，則稱un為正項級數(shù)．正項級數(shù)的特點是部分和序列Sn是單調(diào)遞增而單增序列收斂序列有上界，由此可見：正項級數(shù)收斂部分和序列有上界．這正是 若limn11

n

1un若

n1un1un注意：比值判別法與根值判別法是充分但非必要的，即由unun0)收斂不能推nlimun11或 nn n1vnun收斂若0uncvnc0)，則u發(fā)散

v發(fā)散 n

當0lun與vn 當l0vn收斂un 當lvn發(fā)散un 設un0vn0nun與vn 窮小時 項級數(shù)un與vn同斂散；若當n時，un是vn的高價無窮小， 收斂 項級數(shù)un收斂等比級 aqn，(a0)，當q1時收斂；q1時發(fā)散 np級數(shù)pp1p1n 級數(shù)nlnpnp1p1f 0,證明級數(shù)f(

（二）任意項級數(shù)

un可正，可負，可 若un收斂，則un也收斂，稱un 若un收斂而un發(fā)散，則稱un 定理 若un收斂,則un必收斂n

n定理 若un條件收斂,則其所有正項(或負項)所構成級數(shù)一定發(fā)散n（三）交錯級數(shù)（1nunun0

1nunun0，則當unun1，且limun0nn n1

(a

ann!(aπ(1cosnπ( n)pln11n

n xxn1xdx (nn211) nn1 3：設un為正項級數(shù)，下列結論正確的是（Blimnun0,則un收斂 若存在非零常數(shù)，使limnu, u發(fā)散 un收斂，則limn2u

u發(fā)散，則存在非零常數(shù)，使得limnu(1)nlnn n

n2a2

例5：設正項數(shù)列{an}單調(diào)減少，且(1)nan發(fā)散，試問級數(shù) 是否收斂

nk

n1an6k0，則級數(shù)

(C n2 D．收斂或發(fā)散與n22 27：設常數(shù)0，且級數(shù)a

(1)n|an|(C (D)斂散性與有關例8：設級數(shù)un收斂，則必收斂的級數(shù)為

(B)u

(C)(u2n1u2n (u

解法 直接法由于un收斂，則un1也收斂.從而有(unun1)收斂，故應 解法 排除 1)取un

lnn由交錯級數(shù)的萊不尼茲準則知un收斂，但

n

n2 2)取un ,顯然u收斂u2 n u)

1

n1 n1 2nn1 2n 12n2n 12n2n 由

,而 發(fā)散，則(u2n1u2n)發(fā)散，(C)

n1

1．定義1：設u1xu2xu3x，…，unx，…為定義在區(qū)間Ｉ上的函數(shù)列，稱級 unx為定義在區(qū)間Ｉ上的函數(shù)項級數(shù)

(n0定義2

xn稱為x的冪級若冪級數(shù)

axnxxx0

x1

x

axn絕對收斂n若冪級數(shù)

xnxx1x

1x1

xnAbel定理，若冪級數(shù)

R0RxR

xn絕對收斂；當xR時 n0

xnR稱為冪級數(shù)

xn的收斂半徑．區(qū)間x0Rx0RxR

xn可能收斂也可能發(fā)散．由xRRRRRRR或R,R為

xn2.冪級數(shù)

Abel比值法：如果

1/ ，收斂半徑R

Rnn

9：設冪級數(shù)a

與b

與，則冪級數(shù)nxnn收斂半徑為（

bn n1bn （B）3

3

52(1)n10：求冪級數(shù)

x設冪級數(shù)

xnR，則在R,R1)

xn的和函fx是連續(xù)

a

n

xR,

n n

axn

ax

na

nnnn3)

xnxx

fxdxx

n anxd

an

dx

n xR,， 0

n0 n0n3n

(xnn2(1)nn(x2例12an(x1)nx0x2發(fā)散，則該冪級數(shù)收斂域為.設fx在點x0的某一鄰域內(nèi)具有任意階導數(shù)，則冪級數(shù)fnx0 稱為fxx0處的泰勒數(shù)．x00

f

xnf

f0

f

xn ex1x "

!!

sin

12n1

!!

cos

x2x3

n1 1x

" " 11

1xx2x3"xn 11

1xx2x3"1nxn x x

n(2n (n2f(x) 1265xf(x)arctan11f(x) (x

x1a0acosnπxbsinnπx的級數(shù)稱為三角函數(shù)，其中a，a，b n1

anbn，…都是三角函數(shù)系 πx,sinπx,cos2πx,sin2πx"cosnπx,sinnπx,"之

任意兩個不同函數(shù)的乘積在l,l上的積分為零，稱此三角函數(shù)系在l,l上是正1fx是以2l為周期的函數(shù)，且在ll或0,2l上可積，則稱a1lfxcosnπxdx12lfxcosnπxdxn0，1，2，…

f

dx

2lf

dx，n0 l l fxFourier系數(shù)f a0acosnπxbsinnπx n1

稱為函數(shù)fxFourier級數(shù)，表示為 nπ nπxfx

an2l2l

bn 3fx在ll數(shù)．奇函數(shù)fx在l,l上的傅立葉級數(shù)只有正弦項，稱為正項級定理：(收斂定理—Dirichlet充分條件)設fx2l的周期函數(shù)，若fxl,l內(nèi)連續(xù)或只有有限個第一類間斷點；且至多只有有限個極值點，則由Fouriera1lfxcosnπxdx，n0