考研數(shù)學(xué)講義、極限和連續(xù)性一元函數(shù)微分學(xué)積分學(xué)

函數(shù)、極限和連續(xù)性；一元函數(shù)微分學(xué)；一元函數(shù)積分學(xué)1函數(shù)、函數(shù)的極限和連本章包括3節(jié)，即函數(shù)、極限和函數(shù)的連續(xù)函一、基本內(nèi)yfDy域，通常記作D(f)。比如 說明：（1）函數(shù)包含兩個關(guān)鍵點：定義域和對應(yīng)規(guī)則。與自變量和因變量所用的符號關(guān)一時刻只有一個溫度，產(chǎn)量隨月份變化，一定的月份只有一個產(chǎn)量等函數(shù)有三種表示法：解析法、表格法和圖形法。微積分主要討論解析形式函考試側(cè)重221f(x)

lg(x21)

的定義域解：使函數(shù)有意義的x2xx21lg(x21)14 2 D(fD(f)=(,11)∪(11,(2)函數(shù)相同的兩個基本要2) f(x)g(x) f(x) x(xg(x)1sin2 xf(x)lnx g(x)2ln| xf(x)2log2 g(x)則稱f(x)在(a,b)上有界，否則稱f(x)在(a,b)上。3y=sinx在(,+)上|sinx|≤1y=sinx在(,+)y=tanx在(0,)上。y=lgx在(0,1)2y=x2在(0,1)上有界，但在(,+)函數(shù)的單調(diào)性：在區(qū)間(a,b)內(nèi)任取兩x1x2x1<x2f(x1)<f(x2)，稱函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)是單調(diào)減少的(或稱單調(diào)遞減)。4y=x2在(,0)上是單調(diào)減少，在(0,+)圖 y=x2的圖 圖 y=x3的圖 在(,+)上是單調(diào)增上面的(,0)(0,+)，(,+)函數(shù)的奇偶性：函數(shù)f(x)的定義域D關(guān)于原點對稱，如果對任意xD，都有f(x)=f(x)，稱f(x)為偶函數(shù)，如果有f(x)=f(x)，則f(x)稱為奇函數(shù)。y=x2為偶函數(shù)， 關(guān)于y軸對稱y=x3為奇函數(shù) 關(guān)于原點對稱函數(shù)的周期性：存在常數(shù)0，使得x)=x)恒成立，則稱函數(shù)為周期T例如 由于sin(2k+x)=sinx，周期為2考試側(cè)重點常見的奇函數(shù)：sinx，tanx，xn（其中n為奇數(shù)，fxf2常見的偶函數(shù)：cosx，xn（其中n為偶數(shù)，f(x)f25f(x)ln(xf(x)ln((x

x21)1x x2x2(x)21)1x x2x2x2x2

x)f反函數(shù)定義：設(shè)函數(shù)y=f(x)的定D，值域為Z(f)，如果yZ(f)，都有唯一確定的xD與之對應(yīng)且滿y=f(x)x是定義在Z(f)y為自變量的函數(shù)，記為x=f1(y)，yZ(f)，并稱其為函數(shù)y=f(x)的反函數(shù)。y=x3x(,+)的反函數(shù)為x3y說明：（1）不是所有的函數(shù)都存在反函數(shù)。例如y=x2x=f(y)y=f(x)互為反函數(shù)y=f(x)。幾何上，在同一直角坐標系中，y=f(x)的圖形與y=f(x)的圖形關(guān)于直5求yln(x

圖 y=ex與y=lnx的圖x21)解：這個函數(shù)不太容易觀察出值域，但是對任意 y(,+)，由方x2x2yln(x x21)，得x ey， eyx2x21x

ey2所以y

x21)的反函數(shù)yex2

∩其中x為自變量，y為因變量，u為中間變量。說明：不是任何兩個函數(shù)都可以復(fù)合的，例如y=f(u)=lnu，u=(x)=x2不能復(fù)合 ex,x7f(x)

(x|x|)，g(x) x2,x

f(x)

1(x|x|)

0,x x,x0,g(x)f(g(xg(x)g(x由于對于任x，有g(shù)(x)0，所ex,xf(g(x))g(x)x2,xef(x)另一個函數(shù)g(f(x))f2

f(x)f(x)初等函基本初等函

f2(x)0,xxx2,xy=c（2） （4）對數(shù)函數(shù)：ylogax（a>0,a≠1）（5）三角函數(shù)：y=sinx,y=cosx,y=tanx, 初等函sinesine常見的經(jīng)濟函

arctan(xlnx)x需求函數(shù)：Q=Q(p)表示給定某商品或服務(wù)的價格p后，社會對該商品或服務(wù)QQ=Q(p)是單調(diào)減少的。成本函數(shù)：C=C(Q)QC，成本函數(shù)通常可C(0)和可變成本兩部分。收益函數(shù)：R=R(Q)表示生產(chǎn)或經(jīng)營Q單位的商品所獲得收益R。一般R(Q)=pQ，p表示價格。況下，L(Q)=R(Q)C(Q)。部分以每件0.8p的價售出，求一次銷售Q件的收益函數(shù)。解：一次成交的銷售收二、典型題

R(Q)

0QQ1設(shè)函數(shù)f(x)的定義域是1g(x)的定義域是（）1x1x

11

又因的定義域是[0，1]0sinx1，即滿足0≤x≤，則0≤x≤1，再01cosx10≤x≤1，可得/2≤x≤因此函數(shù)g(x)的定義域是xf(x21)

x2

f(x)的定義域是（u xu=x21x2u1f(ux

u

，用x代替u，得f(x) x滿足 >0，得f(x)的定義域為D=(,1)∪(1,+).x判斷下列函數(shù)f3(x)ex

xx解：(i)f1(xx)3cos(xx3cosx=f1(x)是偶f2(x)=(x)(x1)=f2(x)≠f2(x)f2(x)≠f2(x)f2(x)為非奇非偶函數(shù) (x)f3(x)ex (x)(1ex

x

f(1ex因此f3(x)為奇函數(shù)

x f(x)F(x)f(x)ax1A.偶函數(shù) B.奇函數(shù)

)，其中a為不等于1的正數(shù)，則F(x)是 2 D.奇偶性與a有關(guān)解：選A，因為F(x)f ax

12 a 1)f(x)2axaxf(x)(ax

2(axf(x)1(12

)ax

f ax

12x,x求函數(shù)y21x42x,x解：對這樣的分段函數(shù)，我們逐段來求反x<1時，y<1y1≤x≤41≤y≤16，且xyx>4y>16,且xlog2將它們組合起來，得到反函x,xyx,1xlog2x,xx

x求yf(x) 4x2,0x2的反函數(shù) x解：分段來求反0<x<2時，2<y<0

4x2時，y0，滿足xx x反函數(shù)yf1x)

4x2,2x

x x xf(x) x

g(x)x

x f(x) xff(x)f

f(x)

f(x) x因為對任意的x(,+)，g(x)≤0f[g(x)]=0， f(x) xg[f(x)]

2

f(x)

x2

x

g[g(x)]=0，某商品供給Q對價p系解：我們已經(jīng)知道函數(shù)的形式Q(p)=a+bcp，只需確定它系數(shù) 為此利用條件到以下三個方abc2abc3abc4將第二個方程減去第一個方程，第三個方程減去第二個bc2(c1)bc3(c1)將上面方程組的第二個方程除以第一個方程得c=2代回方程解函數(shù)的極一、極給定數(shù)列{xn}，如果當(dāng)n無限增大時，xn無限趨近于某個常數(shù)A，則稱數(shù)列{xn}An極限，記作limn

當(dāng)數(shù)列{xn}以A為極限時，稱數(shù)列{xn}收斂于A，否則稱數(shù)列{xn}發(fā)散。例如lim10， lim10nn n2n1(1)n函數(shù)極

，無極限2

例如lim1x例 limex例 lime-xxx-

Ax→x0f(x)的左極限，可簡記00

Ax→x0f(x)的右極限，可簡記

f(x)

f(x)（2）

f(xAxx-

f(x)00

f(x)1f(x)

|x

，討論limf(x)解：limf(x)limx limf(x)limx x0

f(x)≠

3如果limf(x如果limf(xAf(x4四則運設(shè)limf(x)Alimg(x)lim(f(x)g(x))Alim(f(x)g(x))Alimf(x)A (B0) yf[(x)x0的某鄰域內(nèi)（x0可除外）lim(xx（xx0(x)u0）

f(uAx

f[(x)]

f(u)A5limsinx 考試側(cè)

)xe或lim(1x)xe 分段函數(shù)在分點處的極限（利用左極限和右極限(1)n,n (1)n1,n2設(shè)xn n

，

n

，則 xy nnA. B.C. D.x2x例3填空lim x02x4n3n例4填空lim n5n3n2 5

2x31x0，則（xxA. B.C. D.2x3解：lim xx(2)x3x2x1=lim x由于此極限為0，所以必有 nmaxnaxn1a xa a例 n 0nxxxx3解：分子分母的極限都為零，將分母有理xx3 =lim(x1)xx3

4x

=x

x3xx8f(x)x2x2

xx

，求limf解：分段函數(shù)求分點處的極限，必須用左右極限來討x2

f(x)x2-x

3

f(x)lim4x1

f(x)=

f(x)=7，故limf(x)limtan limarcsin limarctan lim 1x11x1

ax1x

lna(a0,alimex Ilimn2sin n1lim( nnIlim(3x)110求lim(13x)x lim(13x)xlim{[1(3x)]-3x311求lim2x

x3解：lim(2x)x=lim(x2)x=lim(11)x-3(1 1)3

3

x

x

x12設(shè)limf(x)存在，f(0)=0x≠0(1x)f(x) 2limf 解：設(shè)limf(x)Alim(1x)f(x)lim x0ln(1 ln(1x) f(x)(1x)ln(1

1

x0x0二、無窮小量和無窮大f(x)xx0（x） 0，稱當(dāng)x時 是無窮小量xx2 x2無窮大量定義f(xxx0（x）時f(x)f(xxx0（x）時為無窮大量。記作limf(x)xx2是無窮大量。當(dāng)xex是無窮大量無窮大量與無窮小量的關(guān)系：在自變量的同一變化過程中，如果函 f(x)為無窮大量

f

f(xf(x)01

f

為無例如x0x是無窮小量無窮

就是無窮大量x有限個無窮小的和、差、積仍為無窮小無窮小與有界量之積仍為無窮小

例如當(dāng)x0時，x是無窮小量， 是有界量，x 0，x 無窮小量仍是無窮小

x1x

0， 1xlimf(x)A無窮

f(x)A(x，其中l(wèi)im(x)x(x0,(x(x)0x時(x比(x高階無窮小，記作(x) x x0，(xx,(xx(xx0x(x)c(c是不等于零的常數(shù)x時(x與(x同階無窮小。c1x時(x與(xx時， ，tanx~x，ln(1x)~1cosx~1x22

ex1~x111 (x)x時(x比(x等價無窮小替換定設(shè)x時，(x)0,(x)0，1(x)0,1(x)0且(x) 1(x)1(x~(xlim1 存在，則lim(x)1

1x)x1 x x1 sinx0ln(1

limxx0考試側(cè)無窮小與無窮利用等價無窮小替換求極例13計 （1）limsin （2）limln(13x)x0tan(x/ xln(12x

1x1x2

limln(13x) ex14下列結(jié)論正確的是（兩個無窮小之間均可以比較1

若為無窮小，

必為無窮若lim0x→a時，必為比xa有界變量乘無窮大量，未必為無窮大sinxx例15當(dāng) ）時，函數(shù)f(x)ex

x0x1為無窮大量。x1A． B. C. D.1 16x→+f(x)

px2x

3qx5為無窮大，則p，q滿足條 若f(x)為無窮小，則p，q滿足條 (p3q)x2(3q5)x解：通分得，f(x) xx→+時f(x)→p3q≠0p≠3q；p3q=03q5=0sin(1x2例16已知lim

1，則 x1xax 解：用等價的無窮小來替換，可

1x

1x1x2ax 入上式

1x

(x1)(x

x

，即x1x2ax1-

(x1)(x1

x1 2

1，可知a2b3函數(shù)的連limylimf(x0xf(x0)0或limf(x)f(x0yf(x x0

xyf(xx0i)x0的某個鄰域內(nèi)x

f(xf(x)的值等于該點的函數(shù)值f(x0x

1f(x

x ,x3x3,xlimf(x)limx22x3lim(x1)(x3) x x即limf(xf(3x3左連續(xù)00

f(x)f(x0右連續(xù)00

f(x)f(x0yf(x在(abyf(x在[ab內(nèi)連1sinx

xf(x)211

x x1

f(x)limx0-

sinxa)1limf(x)lim(xsin11)

f(x)

f(x)f1+a=1，且例3判斷函數(shù)的連續(xù)性ln(x x（1）f(x)

x x1limf(xlimex2e

f(x)limln(x3)lnlimf(x)

f(x)，極限limf(x)x1（2）f(x)e2x

x x xlimf(xlime2xe2lime2e2x1)1lime22(x1)2e x x x

f(x)lime2(x21)2elimf(x)limf(x)f 所以f(x)x=1處連續(xù)，在其它點顯然連續(xù)，因此函數(shù)是連（3）f（3）f(x)(1x

x0a為何值函數(shù)連續(xù)？答e3x第一類間斷點yf(xx0的左、右極限（i）跳躍間斷點：左、右極限不相等；（ii）可去間斷點：左、右極限相等第二類間斷點：不是第一類1 ，在x＝0處是第二類間斷x f 設(shè)f(x)，g(x)在x連續(xù)，則f g(x)，f g(x)（

)0 x0設(shè)ug(xx0連續(xù)，yf(u在u0g(x0yfx0初等函數(shù)在其定義區(qū)間上是4連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上的性質(zhì)設(shè)f(x)在[ab上連續(xù)，則有下列結(jié)有界性：f(x)在[ab最值存在：f(x)在[ab上存在最大值和最小值介值定理：若f(a)f(b)，則對f(af(b之間的任何數(shù)cabf(cf(af(b0，則必存在cabf(c0。分段函數(shù)在分點處連續(xù)性的閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)f(x)x53xf(1)3，f(2)f(x在[1,2上連續(xù)，由零點存在定理，存在(1,2f() a a例5證明方程 x1x2xa1(x2)(x3)a2(x1)(x3)a3(x1)(x2)由于1<2<3a1，a2，a3均為正實數(shù)，故有f(1)a1(12)(13)0f(2)a2(21)(23)0f(3)a3(31)(32)0由介值定理知，f(x)在區(qū)間(1,2)與(2,3)內(nèi)至少各有一個零點，即原方程在上述補充練設(shè)f(x) x 在(-,+)上連續(xù)，則a＝[(A) (D)任意實數(shù)f(x)

x2x

1ex1，則下面結(jié)論正確的是[limf(xf(x)x＝1

f(x

f(x都存在，但limf(x

f(x

f(x不存

f(x存在設(shè)方程xna1xn1an1xan0(a1,,an為常數(shù)且an<0，則[] (C)方程至少有一個正實根 (D)方程至少有一個正實根和一個負實根內(nèi)容包括函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、微分，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)導(dǎo)數(shù)的概一、基本內(nèi)

yf(x也有改變量ylimy

f(x0xf(x0f(x0x)f(x0x0 存在，則稱函數(shù)yf(xx0可導(dǎo)，并稱這個極限值為函數(shù)yf(xx0的導(dǎo)數(shù)，f

)，

，x，1

x

x例如，求f(x) ，求fx解 2(2f'(2)lim ＝limf(2x)f(2)lim2 2 2(2x0lim

1

2(2 limylimf(x0xf(x0f(xxx0 f(x0limylimf(x0xf(x0f(xxx0 f(x0如果f(x)在(ab內(nèi)每一點可導(dǎo)，則稱f(x)在(abf(x)axbff'(x)limylimf(xxf(x)lim[a(xxb[axx0 limaxx0f(x在(ab內(nèi)可導(dǎo)，且f(b,f(a存在，則稱f(x在[ab導(dǎo)數(shù)為函數(shù)在某點處的變化率，若給出距離St函數(shù)，它的導(dǎo)數(shù)就是在時t的yf(x0f(x0xx0x1例如求曲線y 在點x＝1處的切線方程及法線方x1 111f'(1)limf(1 111

11111

1x

2

y11(x1) 即2y+x-2法線方程 y-1=2(x-1),即y-可導(dǎo)必連續(xù)，反之不然重要結(jié)（1）f(xx0處可導(dǎo)f(x0f(x0可導(dǎo)偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是奇函數(shù)可導(dǎo)奇函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是偶函數(shù)分段函數(shù)在分點處的導(dǎo)y' log3(xy'

x

lim

1x x0 3 xx xx limlog1xx

1loge 3 3

x

xln2yxx0x,xxx,xf(00)limxlimx f(00)limxlimx f(00)f(00)f(0)yxx0f'(0)limf(x)f(0)limx0 x f'(0)limf(x)f(0)limx0 x f0)f0y=|x|x=0例3求a,b的值，使f(x)sina(x xlnx x

lim(lnxbbf(10f'(1)limsina(x1)0limasina(x1) x a(xf'(1)limlnxb0limlnxlimlnxx1limln(1x1)xx1 x x1x f'(1)f'(1)等式必成立的是（）.f(x0t)f(x0lim 2f'(x0t imnf(x0n)f(x0)f'(x0t

f(x0t)f(x0

f'(x0t

f(x0at)f(x0bt)

af'(x0)bf'(x00fx0limylimf(x0xf(x0，選ADx點的函數(shù)0x0 f(x)

x例

x

0點不連續(xù)f(x)x0點不可導(dǎo)，但

f(x0t)f(x0t)0，

f(0atf(0bt)0，因AD不t t 故答案為C。5在曲ylnx上求一點，使得在該點的切線斜率為3，并求此切線方程解：切線斜率ky

113ylnxx1處切線的斜率為3，因此， y3x1ln補充練

f(a1.設(shè)f(x)0，且導(dǎo)數(shù)存在，則limn n f B. C.lnf

ff0A.一定不存hB.C.4f(x0D.等于4f(x0f0A.一定不存hB.C.4f(x0D.等于4f(x0f(x)|xaf(x)(xf(x)|(xa)(x)1f(x)

x

2x1,xf(x

4e

xA.左導(dǎo)數(shù)不存 B.右導(dǎo)數(shù)不存C.不可 D.可一物體的運動方程為S=t3+10，則該物體在t=3時的瞬時速度 f設(shè)函數(shù)f(x)可導(dǎo)，f'(0)2,f(0)2,則 )x1x求導(dǎo)公式和導(dǎo)數(shù)運算法一、基本內(nèi)以下給出求函數(shù)導(dǎo)數(shù)的方基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公（3）(ax)'axlna（a>0）(ex)'e1(logax)'xlna（a>0）1(lnx)'x(sinx)'cos(cosx)'sin(tanx)'sec2(cotx)'csc2(secx)'secxtan1x1x1x(arccos1x

1x1x函數(shù)四則運算的求導(dǎo)法設(shè)uu(xvv(x（1）(uv)'（2）(uv)'u'v(u)'u'vuv' v對于多個函數(shù)的和以及多個函數(shù)積有下列(u1u2u3un)'u1'u'2u'3(u1u2un)'u1'u2unu1u'2unu1u213x4x2（1）y3x4x2 2

2

x2)'(x3)'

3x

x3 3333244（2）y'( )'244

4)'2

313x4x x23x4例2y cosx，求4解：將原函數(shù)化簡為下列形 yx43x4x4cos

y'(x43x

x4cosx)' x4

4 4

4sin 791sin13sin3y

xx

x11)xxxxx1 1解：y' 1)' xxxx1 11 1

xxx2( xxx2x

x22

2x (2x

2x=2x

(11224

xln1x

yxlnx

(xlnx)'(1x2)2(12x2)'xln21x2

(1x(lnx1)(1x2)2x2ln=1x2(1x2)ln=5abyax2byx22x解：兩條曲線相切要滿足兩個條件：（1）交于一點P（2）交點P處兩條曲線有功切線，ax2bx2 y'2ax2x (a

2b 1a即(a1)b1xt

1例6f(t)lim ，求f'xt 解：先求極限，這時t看作是常數(shù)，所f(t)

1(1

tx(t)

1ex f'(t)1et1(et)1tet tyf dy

fu)xyxy'uu dudydydudvf'(u)'(v)' dudv7y12x)30的導(dǎo)數(shù)yu30，u12xy'(u30)'(12x)'30u29260(12x)8yx2ax2yx2ax2x3x2ax2x32xax2x3x2lnaax2x3(x2x2 x2=2xa 2 x29yln(x1x2x1x (x1x1x1x1x= 1x1xx = x1x 21xx1x1x (1x1x1x1x表示把lnx視為一個整體當(dāng)作一個變量對lnx求導(dǎo)，而[f(lnx)]'表示對自變x[f(lnx)]'f'(lnx)(lnx)'x

f'(ln10yf(xf(arctan1) )]'f'x

) xf'(arctan1)x

11 xf' 1x 11（選擇題）f(xf(x0（A.xf(x)f' B.f(x)xf'D.1C.[f

f(x) 解：由于可導(dǎo)的偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是奇函數(shù)，所以fx)是奇函數(shù)，又根據(jù)偶函數(shù)的A是兩個奇函數(shù)的和，故仍是奇函數(shù)B個偶函數(shù)的和仍是偶函數(shù)。因此B12（選擇題）fxf(1x，則下列等式成立的是（A.f''(x)f'(x) B.f''(x)f'(x)C.f''(x)f(x) D.f''(x)f(x)Dfxf(1xfxf1xfxf(1x，f1xf(xD

V3dV(4R3)'dR

2

RdR

所以，當(dāng)R=10米時，體V增加速800(厘米)3/秒1x1x例如，x2y210能確定y是x的函數(shù)，1x1x在如方程exyxy20yy(xyy(x。F(x,y0yy(x導(dǎo)數(shù)的方法：考慮exyxy20yy(xexy(x)xy(x)2

exy(yxy')1y' 1ye即y'(1xey)1yey，所以y' xex2x14a

yb21yy(x解：將方程兩端對x導(dǎo)a

b

b a 因此用隱函數(shù)求導(dǎo)法計算其導(dǎo)數(shù)，步驟如yyxy.求導(dǎo)之后得到一個關(guān)于y'的一次方程，解此方程，得到y(tǒng)'的表達式y(tǒng)f(xg(xyxsin x2exsin由多個 x2exsin15yxx解：兩邊取對

lnyxln

1y'lnxx1lnx yy(lnx1)xx(lnx冪指函數(shù)也可按下法求

yxxexln于是yexlnx(xlnx)exlnx(lnx1)xx(lnx(x1)(x(x(x1)(x(x3)(x解：如果直接求導(dǎo)，將是很復(fù)雜，為此，先將方程兩邊取對數(shù)，lny1[ln(x1)ln(x2)ln(x3)ln(x4)]

1 1y'1

1

于是

2x x x x4y'

1 1 (x1)(x (x3)(x (x1)(x (x3)(x17xy2yx(x,y>0)yy(xyy'(1解：將等式兩邊取對數(shù)，

y2lnxxln

2yy'lnxy21lnyx1x(x2ylnx)y'y

ln

y3xylnyx22xy2ln此函數(shù)x=1y=1，所y'(1高階導(dǎo)

d2yd2fxf(xfx),ydxf'(xx)f'

dxfx 類似地有三階導(dǎo)數(shù)fxn階導(dǎo)數(shù)f(n18yx4解：y'4x3 y''12xy'''24x y(4)y(5)y(6)19yexn解：因為(ex)exy(n)e20ysinxn階導(dǎo)數(shù)ysinx)cosxsin(xy''[sin(x]'cos(x2sin(x2 ) )23y'''[sin(x2]'cos(x22sin(x223 ) ) y(n)(sinx)(n)sin(xn2同理可得(cosx)(n)cos(xn221yfln

解：令u ，xy'f'(u)u'f'(lnx)(lnx)'xlnx(x)'f'(lnx)1ln x xy''[f'(lnx)1lnx]'f''(lnx)(1lnx)2f'(lnx)(1lnx x x x(1lnx)2f''(lnx)2lnx3f'(lnxx x

d2例22設(shè)由方程x a確定y是x的函數(shù)， dx解：由隱函數(shù)求導(dǎo)法則2x2yy0yyy''(x)'yxy'yyyx(x2 2

yy2x

y y y補充練習(xí)4（1）yx23x14

（2）y

ln

答lnxln2yex(x21)sin 答ex(x21)sinx2xexsinxex(x21)cosyx(x1)x2)(xny(0)。答x22tan x 2xsec2 xf(x)

exxx

x

答ex xyln(1e

1yx2ax2 答2xax2x3x2ax2x3(2x1xyln(x1x21x12ln(1e12ln(1ex

e14ln(1e14ln(1exy e

exln(1x2)答

1x2ln(1x2a2xya2x

ln2(1x2a2a2答3xe3a2a2ylnlnln11（811

答1

121 1ytanxx(xyarctany2yy(x由方程exyxya2ya2

。答x(a

x2)微yf(xx取得改變量xyf(xx)f一般情況下 的計算比較復(fù)雜，而函數(shù)的微分就給出了它的一個近似簡便的算法微分的定義x處的改變量xyf(x的相應(yīng)的改變量可以表示

yAx (x0其中A與xyf(x在點xAxyf(x

dydf(x)通常稱函數(shù)dy為函數(shù)改變量的y的線性主部yx2yf(xxf(x)xx)2x22xx微分與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系yf(xxyf(xxAfxdyf'進而

dyf'dyfx解：函數(shù)的微分

dy(x2)'dx由所給的條件x=1，dx=x=1.01-例 求函數(shù)yexsinx的微分解：先求導(dǎo)y'(exsinx)'exsinxexcosdyydxex(sinxcosyyMTNOxxyf(x)f'(x)xx基本初等函數(shù)的微分公d(uv)dud(cu)cdudv

)vduvyf(uu是可導(dǎo)的，則u是自變量時，此函數(shù)dyf'u不是自變量時，而是u(x)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式，yx但是'(x)dx就是函數(shù)u(x)的微分dyfyf(uu是自變量，還是中間變量，它的微分形式同樣都是dyfu)du，這就叫微分形式的不變性。3yex2arctanx1dyy1dy(ex2arctanx)'dxex2arctanx(x2arctanx)'1 2x)ex2arctanx1x令ux2arctanxyeu1dy(eu)'dueuduex2arctanxd(x2arctan1 2x)ex2arctanx1x4yln(x解

dy

d(x1x2x1xx1x21x1xx1x21x

)dx x1x1x1x1x1xyf(xfx0xx0處的微分dy近似地代替函數(shù)的改變量y，即0ydyxxf'(x00而yf(x0xf(x0f(x0xf(x0fx05例5 的近似值555解：先 看成是函數(shù)f(x) 在x=1.03處的值，取551 f'(x)(5x)'

x5f1 f(1.03)f(1)f'(1)(0.03)110.035補充練習(xí)設(shè)函f(xx0處可微x是自變量x0y是函數(shù)相應(yīng)的改變量，當(dāng)x0時，則（）.dy與y是等價無窮小量 B.dy是比y較高階的無窮小C.dy是比y較低階的無窮小量 D.dy與y是同階但非等價的無窮小量設(shè)函f(xx0處可微x是自變量x0y是函數(shù)相應(yīng)的改變量，當(dāng)x0時，則（）.dyy與x是等價無窮小量 B.dyy是比x較高階無窮小C.dyy是比x較低階無窮小量 D.dyy與是同階但非等價的無窮小量f(xx0f(x0xf(x0axb(x2ab都是常數(shù)，則下面結(jié)論中不正確的是（f(x)在xx0處連續(xù) B.f(x)在xx0處可導(dǎo)且f'(x0)a0C.f(xxx0df(x)x0

adx；D.f(x0x)f(x0)f(uyf(ex，則（dyf'(ex)dx B.dy[f(ex)]'dexC.dyf'(ex)dex D.dy[f(ex)]'ex已知函數(shù)yf(x)在任意點x處的微分dy ，且f(0)0，則f(x)=（1xA.ln(1x2)

；1xC.arctanx D.arcsin111x2y12xx洛比達法洛必達法則是利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)未定型極限的法.所謂函數(shù)的未定型極限，是

f，f(xg(xf(xg(xf(xgx的極限運算時依次出現(xiàn)為“洛必達法則（0型極限0f(xg(xlimf(x)limg(x)0f(xg(xg(x

0

“0f f flimg(x)ln(x

limg(x)lim1求 x 解：因為limln(x1)0，lim(x2)0，因此該極限是 ”型的，又由

[ln(x

x1 [xln(x所以 x

2

x23x解：這是

”型未定型，應(yīng)用洛比達法limx23x2=lim(x23x2)'=lim2x

(2x

=lim (e (ex=lim2xef 0 f1：若limg(x)0型未定式，這是，可對limg(x)xsin例3求lim x0x(1cos0解：這是

”型未定型，應(yīng)用洛比達法0limxsinx0x(1cos2(xsinx)（利用1cosx~x2= x =lim2(1cosx)=lim2sinx 3xf

f2：若limg(x)不存在，不能斷言limg(x)x2sin例4求 sin 解：這個問題02xsin1cos

”型未定型，但是如果利用洛比達法則，將化 ，此式振蕩無極限，故不能用洛比達法則 cos但原極限是存在的，可用下x2sin x= xsin1 sinex

x0sin 5求 解

t，即x ， et

2et原式=lim =lim =lim tt

t

t

t 1t這樣按

”型，用洛比達法則越求越復(fù)雜，不能解決問題，此時將分式顛倒相乘0”型，再用洛比達法則， 原式= = tet t2tet化為

”型或0

”型，再用洛比達法則求極6lim

arctan 解：原式0”型，將其化成0

”型，原式

2x =

1x

x x1x7求limx1x1x ln ”型，將其化成

”型，0原式limxlnxx1)limlnx1 (x1)ln x1lnxxx= xln lnx x1xlnxx8求limx1(1x)

x1lnx1 解lnlimx11x)lime1xe 1

e13f(xx1x，兩邊取對數(shù)得lnf(xlimlnf(x1，所以limx1/(1x) 19lim1xx

ln1

，于1limlnf(x)limln(1 1

= xxf(x)e0110limcotxlnx1limlnf(x)limlncotxlimtanx(sec2

ln

x=

x0sin2xf(x)e11e11limxsinlimlnf(x)limsinxlnxlimln =

sinx sin2x x0cossin2limxsinxe0

x0xcos補充練洛比達法則中的三個條件作為整體，是求未定型極限的（充分條件 B.必要條C.充分必要條件 D.既非充分條件，也非必要條件不能用洛比達法則求極限的是（

4x

lim(1x)2x1x23x4

C.

x3x

D.limsin(x2 x x x 能用洛比達法則求極限的是（limxsinx B.lim1cos x01xC.limexex D.

exex xe下列各題，能用洛比達法則求極限，其計算過程正確與結(jié)果正確的是（limexcosx exsin excos 2 xsin x0sinxxcos x02cosxxsin e2xe2 e2xe2 e2xe2

lim

xe2xe2

xe2xe2 xe2xe2lim1cosx sin cos 1x0xsin x0sinxxcos x02cosxxsin limsinxlimcosxxln xg(x)cosx,x設(shè)函數(shù)f(x) xx0a（

g(x)有連續(xù)導(dǎo)數(shù)且g(0)1，若f(x)B. C. D.已知

ln(1xex)

exxe

1，則lim(1xexx

1xe

f(x)設(shè)函數(shù)f(x)二次可微。且f(0)0，f'(0)1，f''(0)2，則lim xlimxln

(0

答1 x[ln(1xx[ln(1x)11tanx1sin( 1lim(1x0x

()3函數(shù)的增減性與極如果函數(shù)f(x)在(ab內(nèi)可導(dǎo)，則f(x)在(ab內(nèi)單調(diào)遞增（減）的充分必要條xabf(x0（0yyOx1f(xx327x的單調(diào)區(qū)間.fx3x2273(x3)x3)x3x3fx0f(x在區(qū)間(,3)與區(qū)間(3,調(diào)增加的；當(dāng)3x3fx0f(x在區(qū)間(3,3)內(nèi)是單調(diào)減少的.2x0xsinx.f(xxsinxf(0)x

fxxsinx)1cosx0f(x在區(qū)間(0,)內(nèi)是 xsin

f(xxsinxf(0)0，即x[f(xxsinx0極定f(x，若xx0x0)（為某一常數(shù)f(xf(x0xx0則x0f(x)的極大值點，f(x0)為f(x)的極大值；若xx0x0)均有f(x)f(x0xx0x0f(xf(x0f(x的極小值。yyOxf(xx0x0f(x00導(dǎo)數(shù)不存在的點函數(shù)也可能 2例如yx3，y' 3

yy2yxOxf(xx0f(x00（f(x0f(xx0右側(cè)鄰近值時f(x0，則函f(xx0處取得極小值；如xx0左右側(cè)鄰近值時，f(x)恒為正或恒為負，則函數(shù)f(x)x0處沒有極值。3f(xx32x的單調(diào)區(qū)間和極值fx5(x3x2(xfx0x13x21x3這三點將f(x)的定義域(,)分成四部分(,3)，(3,1)，(1,2)，(2,x(,(3,(1,2(2,f'+0-0+0+f0極大-極小0非極24f(xx1)x32f(xx1)x3的定義域是(2f'(x)[(x1)x3]'

5x3332222

將(fx0x 成三部分(,0)，(0,2)，(2, x(,0(0,)525f'+不存-0+f0極大33 極小f(xx0f(x00f(x00，則如果當(dāng)f(x00時,函數(shù)f(x)x0處取得極大值；++f(x00f(xx0f(xx4f"(x)12x2f"(00，但是x0是極小值點.5f(xx2lnx2解：函數(shù)的定義域是(,00,2(x2f'(x) xfx0x11x21f"(x)2xf"(1)2240，f"(1)4x11x21f(11f(1)16y2exex的極值。解：函數(shù)y2exex的定義域是(,.y'2exy02exex02e2x10，得ex122xln22y2exexxln1y222

1是極小值點，極小值2補充練2設(shè)函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，則在(a,b)內(nèi)fx)0是函數(shù)f(x)在(a,b（必要條件 B.充分條C.充分必要條件 D.無關(guān)條件設(shè)0yx ，則下列各式中成立的是（2tanxx B.tanxtan tan C.tanyx D.tanxytan tan 2xx若函數(shù)y2xx2的極大值點是x1則函數(shù)y2xx2 f(x)f設(shè)lim 1，則在xa處（ (xf(x)的導(dǎo)數(shù)不存 B.f(x)的導(dǎo)數(shù)存在，但f'(a)C.f(a)是f(x)的極大值 D.f(a)是f(x)的極小值f(xax3bx2cxd(a0)在(,內(nèi)是單調(diào)增加的，則（a0且b23ac B.a0且b23acC.a0且b23ac1

D.a0且b23ac0f(xasinx

sin2xf(xx2x

處取得極值，則a 3（1）f(x) 1x x2x（2）f(x) x

答(,)答在(,1)(3,)，在(1,1),(1,3)函數(shù)的最大、最小值問函數(shù)f(x)的最大值（或最小值是指x0[a,b]，對于所有的x[a,b]，有f(x0)f(x) （或f(x0)f(x)）yf(x在閉區(qū)間[abyf(x在閉區(qū)間[ab求閉區(qū)間[abyf(xyf(x在閉區(qū)間[abx1x2xnf(x1f(x2f(xnf(af(bM=maxf(x1f(x2f(xnf(af(bm=minf(x1f(x2f(xnf(af(b21f(x)3(x1)2x3在[1,2]上的最大最小值

f'(x)6(x1)x32(x1)2x32(x1)[3x3x1)x31fx0x14x21x30處導(dǎo)數(shù)不存在.M=maxf(x1f(x2f(x3f(1f(2)m=minf(x1f(x2f(x3f(1f(2如果函yf(x在閉區(qū)間[ab上單調(diào)增加f(af(x在[ab上的最小f(bf(x在[ab上的最大值；反之，如yf(x在閉區(qū)間[ab上單調(diào)減少，f(a)是f(x)在[ab上的最大值，f(b是f(x)在[ab上的最小值。如果連續(xù)函數(shù)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有且僅有一個極大值，而沒有極小值，則此極大值就是函數(shù)在區(qū)間[ab上的最大值，同樣，如果連續(xù)函數(shù)在區(qū)間(ab內(nèi)有且僅有一個極小值，而沒有極大值，則此極小值就是函數(shù)在區(qū)間[ab上的最小值。2y4exex在[1,1]y4exex=0，ex(4e2x0e2x4xln2小值.因此

(ln2)4eln2e(ln2)4122y(1)y(1)4ee1y

4e設(shè)罐頭筒的底半徑為r，高為h，如rrh則它的側(cè)面積2rh.底面積為r2，因此總表面積由體積公式Vr2hh

rrS'20004r r r3r 1033S''4000r3顯然當(dāng)r0時，有S''0。因此S在點r10 3 rh 220 2r（）r于是，當(dāng)所做的罐頭筒的高與底的直徑相等時，所用的材料最省例4在平面上通過點P(4,9)引一條直線，要使它在兩個坐標軸上的截距都為正，且其和最小，求此

x

1.因此4

ybybOa由于滿

4

1，可得b

a

a

（a0,b0

19(a4)9a1(a4)2

(aL'a0a10

aa10

(a(a所以a10時，L也是最小值。并且此時有b15，即所求的直xy 補充練yf(x在閉區(qū)間[ab上連續(xù)，在(abx0abf'(x00f''(x00，則下列結(jié)論正確的是（f(x0是函數(shù)f(x)在[abf(x0是函數(shù)f(x)在[abf(x0)是函數(shù)f(x)在[ab上的極大值，但不是最大f(x0)是函數(shù)f(x)在[ab上的極小值，但不是最小yxx1上（[e11最小值e

11最大值e 11最大值是e D.不存在最小函數(shù)yx x0在點x0處，下列結(jié)論不正確的是（x,x連續(xù)但不可 B．不可導(dǎo)但可作切C．有極小值且是最小 D．有極大值且是最大yarctanxx，在區(qū)間[1,上（最小值是 B．最大值是最小值是4

最大值45函數(shù)y ，在區(qū)間[1,1]55 5面積最小。答(1,3函數(shù)圖形的凹凸性與拐這一節(jié)我們討論曲線的彎曲方向以及不同彎曲方向的分界點。如y x yOx如圖所yOxyOx3.xabf"(x0yf(x在(ab內(nèi)是凹xabf"(x0yf(x在(ab內(nèi)是凸4.f"(x)0f"(xf(xx0的某個鄰域內(nèi)連續(xù)且二階可導(dǎo)（f'(x0f"(x0可以不存在，x0的左、右鄰域f"(x)異號，點(x0,f(x0))是曲線的拐點。1ye2解：函數(shù)的定義域是(,)y'

2，y''

2(x2ye2(x21)0x1xx1f+00+f凹1e拐凸1ex1f+00+f凹1e拐凸1e拐凹12y2x4)3的凹凸區(qū)間和拐點.解：函數(shù)的定義域是(,)， y' ，y'' 33(x 93(xx4+不存y凹2凸x4+不存y凹2凸列結(jié)論中正確的是（f'(x0是函數(shù)f'(x)(x0f(x0yf(x的拐點.

f"(x00x0可能是極值點，(x0f(x0yff'''(x)limf"(x)f"(x0)limf"(x)0 x x xx0x00xx0f"(x)0f(x是凸的.xx0時，必有f"(x)0，曲線f(x是凹的.點(x0f(x0)yf(x的拐點補充練在區(qū)間(0,yx312x1是（ 若點(1,3)yax3bx2ab的值分別是（A．9， C．3，

B．-D．-xx0f"(x0xx0f"(x0，則下列結(jié)論正確的是（x0必是函數(shù)f(x)x0必是函數(shù)f(x)(x0f(x0yf(x(x0f(x0yf(x1yex（有極值點且有拐 B．無極值點也無拐C．有極值點但無拐 D．無極值點但有拐f(xf"(xf'(x)]2xf'(0)0，則（f(0)f(xf(0)f(x點(0,f(0)yf(xf(0)f(x的極值，點(0,f(0)yf(x曲線yex2的拐點 個y3x44x31的凹凸，并求拐點。答在(,0),(2,)凹，在(0,2)凸 導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟分析中的應(yīng)邊際概經(jīng)濟學(xué)中的邊際的概念指的是經(jīng)濟函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（變化率邊際成本CM就是成本函數(shù)CC(QCMC'(Q或

dC(Q)

例如，當(dāng)產(chǎn)量Q100時，邊際成本CM(100)

的經(jīng)濟意義是：生產(chǎn) 個產(chǎn)品后再多生產(chǎn)一個產(chǎn)品或少生產(chǎn)一個產(chǎn)品，所增加或減少 R'(Q

dR(Q)

的經(jīng)濟意義是：銷售了個產(chǎn)品后再多銷售一個產(chǎn)品或少銷售一個產(chǎn)品，所增加或減少的收益平均成本函數(shù)及產(chǎn)量為7時的平均成本邊際成本函數(shù)及產(chǎn)量為7時的邊際成本.C(Q)C(Q)Q212Q60C(7)

7212760987（2）CMC'(Q)3Q224QCM

37224760即當(dāng)產(chǎn)量Q7時，再多生產(chǎn)一個（或少生產(chǎn)一個）產(chǎn)品，其成 將增加（或少）39個單位Q2P10，求銷售量為30時的總收益5益和邊際收益QQ5

，R(30)1030

5

R(Q)P(Q)10Q，R(30)10302 R'(Q)10 Q，R'(30)10230 320000100RQ400Q1Q2,0QR(Q) QC(Q)20000總利潤函數(shù)

L(Q)R(Q)C(Q) L'(Q)300Q,0Q Q

QL'(Q0，得Q300L''(300)1最大，最大利潤是25000元.彈性概彈性是研究經(jīng)濟函數(shù)相對變化率的概念yf(xx0

處可導(dǎo)，函數(shù)的相對改

yf(x0x)f(x0) f(x0與自變量的相對改變量x之比y/y0，稱為函數(shù)f(x)從xx到x x兩點間 x/0x0yy0f(xxx0x/的相對變化率，也就是相對導(dǎo)數(shù)，或稱彈0Exxx0

，或

f(x00Exx0

limy/x0x/0=limyx0f'(x 0x0x

f(x0對于一般x，若f(x)Eylimy/ylimyxy'x x0x/ x0 x的函數(shù)，稱為f(x)的彈性函數(shù)E函數(shù)f(x)在點x的彈性 對x變化反映的強烈程度或靈敏度Ef(x

f

)在經(jīng)濟分析中常要討論需求函數(shù)Qf(P)的彈性，也就是需求對價格的彈性一版來說，需求函數(shù)Qf(Pf'(P0.經(jīng)濟學(xué)中將需求對價格的彈EQf'(P)P 說明：當(dāng)商品價P時，價格上1%。需求量則減少%4QP的函數(shù)為Q40e05PP4時的需求彈性（即需求對價格的彈性

(PdQ20e05PP4QM(4)20e05420e2其經(jīng)濟意義是P4再增1時，需求量增加2.7，即需求量減（2）需求彈性為dQP20e05P

的彈性

dP142

40e05 其經(jīng)濟意義是：當(dāng)價P4時，價格增1%，需求用需求彈性分析總收益的變R表示總收益，P表示價格，Q為銷售量Qf(PRPQPfR'f(P)Pf'(P)

f(P)(1f'(P)Pff(P)(1若1R0，此時，R遞減，價格上漲，總收益減少：價格下跌，總益增加RR5設(shè)某商品需求函數(shù)為QP6

f(P)12P2P6時，若價格上漲1%，總收益增加還是減少？將變化百分之幾 為何值時，總？最大的總收益是多少

1 122

24（2）(6) 124 1 1，所以價格上漲1%，總收益將增加3下面R增長的百分比，即R的彈R'f(P)(1R'(6)f(6)(11)92 P2PR12P ，R(6)54EPP6

6

23P6時，價格上1%，總收益約增R'12R0P12R(12)所以當(dāng)P12時 補充練R'(QPf(Q為價格函數(shù)，QPf(Q為單調(diào)減少的，則對任意Q（）.R'(QR'(Q

ffR'(Qf需求水平不同時，R'(Q)與f(Q)之間的關(guān)系隨之設(shè)CC(Q是某產(chǎn)品的平均成本，當(dāng)平均成本最低時（邊際成本與平均成本之間的大小關(guān)系P B．PC.P DP與C'(Q 下降 B．上升C．下降 D．上升下列函數(shù)的彈性函數(shù)為常數(shù)（即不變彈性函數(shù)）的是（）.（a，b，為常數(shù)yax B．yC．y D．yln(ax設(shè)收益函數(shù)為RR(Q)150Q0.01Q2，當(dāng)Q100時，其邊際收益 設(shè)Ef(x，Eg(xf(xg(xEf(x)g(x) 已知某產(chǎn)品的總收益函R10Q0.04Q2，該產(chǎn)品的價格函數(shù)和需求函邊際收益函數(shù)及銷售量Q100Q75PP4的邊際需求，并說明其經(jīng)濟意義P4的需求彈性，并說明其經(jīng)濟意義P4時，若價格上漲1%，總收益將變化百分之幾？是增加還P6時，若價格上漲1%，總收益將變化百分之幾？是增加還（5）P為多少時，總2包含兩大部分第1部分：導(dǎo)數(shù)和微分的概念，導(dǎo)數(shù)和微分的運第2部分：導(dǎo)數(shù)的應(yīng) 洛比達法則，求極值和判斷函數(shù)的增減性，函數(shù)的最大1)要勤于動手，基本功要扎實f(x存在，則limf(x03hf(x0h) 一定不存 B.不一定存C.等于4f(x0 D.等于4f(x0分析limf(x03h)f(x0h)limf(x03h)f(x0)f(x0)f(x0 3limf(x03h)f(x0)limf(x0h)f(x0)4f'(x 2x1,xf4e x

左導(dǎo)數(shù)不存 B.右導(dǎo)數(shù)不存C.不可 D.可分析

1f(x)f(0)lim4ex 1 f

4e設(shè)函數(shù)f(x)在點x=1處連續(xù)且lim ff分析 xf(xx0f(x0xf(x0axb(x2ab都是常數(shù)，則下面結(jié)論中不正確的是（A.f(x)在xx0處連續(xù) B.f(x)在xx0處可導(dǎo)且f'(x0)a0C.f(xxx0df(x)xxadxD.f(x0xf(x00已知函數(shù)yf(x)在任意點x處的微分dy ，且f(0)0，則f(x)=（1xA.ln(1x2)

；1xC.arctanx D.arcsin不能用洛比達法則求極限的是（4x (1x)2A.lim B.x1x23x

C.

x3x

limsin(x2im . x x x下列各題，能用洛比達法則求極限，其計算過程正確與結(jié)果正確的是（limexcosx exsin excos 2 xsin

x0sinxxcos

x02cosxxsin

e2xe2

e2xe2

e2xe2 2 2 1cos

xe2xe2sin

xe2xe2cos

，故極限不存1

lim lim x0xsin

x0sinxxcos x02cosxxsin limsinxlimcosxxln x設(shè)0yx ，則下列各式中成立的是（2A.tanxx B.tanxtan tan C.tanyx D.tanxytan tan f

tanx

，f

xsec2xtanxx

sec2x(xsinxcosx f(xxtanxf'(x)tanxxsec2x0（x0）xtanx當(dāng)0yx 時，有ytanyxtanx，C和D都不成立2.設(shè)

f(x)f

1xa處（ (xA.f(x)的導(dǎo)數(shù)不存 B.f(x)的導(dǎo)數(shù)存在，但f'(a)C.f(a)是f(x)的極大值 D.f(a)是f(x)的極小值0.0.f(xax3bx2cxd(a0)在(,內(nèi)是單調(diào)增加的，則（A.a0且b23acB.a0且b23acC.a0且b23ac.D.a0且b23ac0f'(x)3ax22bxcf'(x)0，即3ax22bxc0a0拋物線的開口向下，必有x使f'(x)0，與題 ，所以必有a0，又因3ax22bxc0的解是(,，可知二次函數(shù)的判別式4b212ac0yf(x在閉區(qū)間[ab上連續(xù)，在(abx0abf'(x00f''(x00，則下列結(jié)論正確的是（f(x0是函數(shù)f(x)在[abf(x0是函數(shù)f(x)在[abf(x0)是函數(shù)f(x)在[ab上的極大值，但不是最大f(x0)是函數(shù)f(x)在[ab上的極小值，但不是最小函數(shù)yx x0在點x0處，下列結(jié)論不正確的是（x,x連續(xù)但不可 B．不可導(dǎo)但可作切C．有極小值且是最小 D．有極大值且是最大若點(1,3)yax3bx2ab的值分別是（A．9， C．3，

B．-D．-如下方3a 6a2bx0必是函數(shù)f(x)x0必是函數(shù)f(x)(x0f(x0yf(x(x0f(x0yf(xf(xf"(xf'(x)]2xf'(0)0，則（f(0)f(xf(0)f(x點(0,f(0)yf(xf(0)f(x的極值，點(0,f(0)yf(xf'(0)0，推f''(0)0f"(x)x[f'(x)]2f'''(x)12f'(x)f''(x，f'''(0)102.73可知，點(0,f(0)是曲yf(x的拐點。C原函數(shù)和不定積分的概原函If(xF(xI一切x都有F'(x)f(xdF(x)f成立，則稱F(x為f(x)f(x)3x2在(,F(x)x3F'(x)3x2F(xx3f(x3x2x31x33也都是原函數(shù)。因此，有以F(x是f(x)在某個區(qū)間上的一個原函數(shù)，那么對C，F(xiàn)(x)C也是f只差一個常數(shù)，即G(x)F(x)C于是F(x是f(x)在某個區(qū)間上的一個原函數(shù)，那么f(x)的任意原函數(shù)都可以F(xC的形式不定積定義F(x為f(x)的一個原函數(shù)F(xC（C是任意常數(shù)）是f(x)的全體原數(shù)，稱之為f(x)的不定積分，記作f(x)dx 即f(x)dxF(x)x為積分變量，f(x)為被積函數(shù)，f(x)dx為被積表達式1求cos解：因為(sinx)'cosx1cosxdxsinx12x1解：當(dāng)x0時，[lnx]' ，所x1dxlnxC（x0xx0時，[ln(x)

，所x1dxln(x)C（x0x合并上面兩式1dxln|x|C3求經(jīng)過點(1,3，且切線的斜2x的曲線方解：由2xdxx2C，又點(1,3)yx2C上，所以，代入312C，得C2，因此yx22就是所求曲線。（1）f(x)dxfdf(x)dxfF(x)dxF(x)dF(x)F(x)kf(x)dxkf [f(x)g(x)]dxf(x)dx4.（1）0dx（2）xdx x1

(1xdxlnx1exdxex

axdxln

axC(a0,asinxdxcosxcosxdxsinx

sec cos2 cos2 sin2x

xdxtanxCxdxcotxC（10）1x11x

arctanxarcsinx1x意初函的數(shù)是等數(shù)但等數(shù)原數(shù)一是等數(shù).如，inxdx，ex2dx， dx 都能初1xx例4求 3exx

1141xx解：原式=21dx3exdx1xx2ln|x|3ex4arcsinx5求x

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