專題03 求三角形周長-【題型專項突破系列之解三角形】備戰(zhàn)高考數(shù)學大題保分專練(全國通用)(解析版)

專題03解三角形之求三角形周長一、解答題(共30題)1．在中，角，，的對邊分別為，，，設向量，，且．（1）求角；（2）若，的面積為，求的周長．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）利用建立關系式，通過正弦定理將邊轉化為角的正弦，化簡整理成關于A的三角函數(shù)，從而求出A角.（2）通過面積公式和余弦定理可以建立的關系式，解出的值即可求出周長.【詳解】解：（1）∵，∴，由正弦定理可得，整理得∴，∴，在中，∵，∴，，，∵，∴，∴；（2）由余弦定理可得，，化簡得①，，②，由①②解得，或，，所以三角形周長為．2．在中，三內角，，對應的邊分別是，，，，且.（Ⅰ）求角的大??；（Ⅱ）若的面積是，求的周長.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【分析】（Ⅰ）利用正弦定理的邊角互化可得，再由兩角和的正弦公式以及三角形的內角和性質即可求解.（Ⅱ）利用三角形的面積公式可得，解得，再根據(jù)余弦定理可得，從而可得，進而求出的周長.【詳解】（Ⅰ）將，，，代入中，得到，即.因為，所以，于是，.（Ⅱ）因為，所以，.由余弦定理得，，即，所以.于是的周長是.3．已知的內角、、的對邊分別為、、．且．（1）求；（2）若且的面積為6．求的周長．【答案】（1）；（2）【分析】（1）根據(jù)正弦定理以及兩角和的正弦公式化簡可得，然后根據(jù)平方關系可得結果.（2）依據(jù)三角形面積公式以及（1）可知，然后使用余弦定理可得，最后可得結果.【詳解】（1）因為，所以由正弦定理得，即，所以．因為，所以，可得，所以．（2），所以，由余弦定理得，即，解得，所以的周長為．4．在中，角，，所對的邊分別為，，，已知，．（Ⅰ）是邊上的中線，若，求的值；（Ⅱ）若，求的周長．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【分析】(1)由題知，兩邊平方得，代入計算求出；（2）由正弦定理求出角，從而判斷三角形為直角三角形，求出，得出周長.【詳解】（Ⅰ）因為，所以，即，所以，解得（負值舍去）；（Ⅱ）由，可得，因為，所以，所以．所以，所以，所以的周長為．5．在中，角A，B，C的對邊分別為且滿足．（1）求角；（2）若的面積，其外接圓的半徑，求的周長．【答案】（1）（2）【分析】（1）根據(jù)正弦定理，將變化為角，結合正弦函數(shù)的和角公式即可得解.（2）根據(jù)外接圓半徑及正弦定理可求得，結合三角形面積公式可得，代入余弦定理可得，進而得的周長．【詳解】（1），由正弦定理得.即，又，故，又，所以（2）由，及，可得，又，即，由余弦定理，得，即，又，故.所以，即的周長為.6．中，三內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，BC邊上的高為h，已知．（1）求的值；（2）若，且的面積為，求的周長．【答案】（1）1；（2）．【分析】（1）根據(jù)正弦定理，結合兩角和的正弦公式進行求解即可；（2）根據(jù)三角形面積公式，結合余弦定理進行求解即可.【詳解】解：（1）由及正弦定理得，即，∵，∴，由正弦定理得，又因為，即．（2），∴∵，∴∴．∵得，∴，∴，∴，∴的周長為．7．已知的三個內角，，的對邊分別為，，，且（1）求角；（2）若，的面積為，求的周長.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）將已知條件切化弦，結合正弦定理實現(xiàn)邊化角，以及正弦的和角公式，即可求得結果；（2）由三角形面積求得，再利用余弦定理求得，則周長得解.【詳解】（1）因為，所以，在中，由正弦定理得，因為，所以，整理得，由，得，所以.（2）因為，所以，因為，所以，得.即的周長為.8．已知向量.（1）求函數(shù)的最小正周期；（2）在中，，若，求的周長.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用平面向量的數(shù)量積公式得到關于三角函數(shù)的表達式，然后利用三角恒等變換化簡為一個正弦型函數(shù)，最后利用周期公式得到所求；（2）首先利用（1）的結論求出A，然后利用余弦定理得到關于b，c的一個等式，再根據(jù)條件求解b，c，從而可得三角形的周長.【詳解】（1），所以的最小正周期.（2）由題意可得，又，則，所以，故.設角的對邊分別為，則.所以，又，所以，故，解得，則，所以的周長為.9．在中，角，，的對邊分別是，，，，且.（1）求的大小；（2）若的面積為，求的周長.【答案】（1）1；（2）【分析】（1）由正弦定理化簡已知可求，由余弦定理可得cosA，結合B，可得所求．（2）利用的面積可求b=c=，利用余弦定理可得a=b，從而求得周長．【詳解】（1）因為，由正弦定理可得：，整理得，∴，解得.又，所以，即，∴.（2）由（1）知，，∴，解得.由余弦定理，得，即.∴的周長為.10．設、、分別是△內角、、所對的邊，.（1）求角的大小；（2）若，且△的面積為，求△的周長.【答案】（1）（2）【分析】（1）利用兩角差的余弦公式化簡可得，即可得到角A的大?。唬?）根據(jù)面積結合（1）可得，利用余弦定理求得，即可得到三角形周長.【詳解】（1）由題意可得：∴（2）由又∴，∴周長為.11．的內角的對邊分別為，已知.（1）求B的大小；（2）若，，求的周長.【答案】（1）；（2）【分析】（1）利用三角函數(shù)誘導公式、同角三角函數(shù)的基本關系，可將題中等式轉化為，即可求出，進而求出角即可；（2）由余弦定理，可求得，再結合，可求出，進而可求出，即可得到的值，從而可求出的周長.【詳解】（1）由題意，，解得，∵，∴.（2）∵，∴，即，又，∴，∴，∴，即，的周長為.12．內角，，的對邊分別是，，，內角，，順次成等差數(shù)列.（1）若，，求的大?。唬?）若的面積為，其外接圓半徑為，求的周長.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由已知結合等差數(shù)列的性質及三角形的內角和可求，然后結合余弦定理可求；（2）由已知利用三角形的面積公式可求，利用正弦定理可求的值，進而根據(jù)余弦定理可求的值，即可得解的周長的值.【詳解】（1）由，且，所以，因為，，由余弦定理得：，故.（2）由于的面積為，由（1）可得，所以，解得，由于的外接圓半徑為，所以，即，解得，利用已知條件和余弦定理，可得，解得，所以的周長為.13．在中，角所對的邊分別為．（1）求的值；（2）求的周長．【答案】（1）；（2）28【分析】（1）根據(jù)，的關系求出，根據(jù)同角的基本關系求出，，從而求出的值；（2）根據(jù)正弦定理以及余弦定理求出三角形的三邊長，從而求出三角形的周長即可．【詳解】解：（1）由，得，，，，，，，，故，則；（2），，解得：，由得：，故，由，解得：，由余弦定理得：，則，故，故的周長是．14．已知的面積是，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，.（1）求A；（2）若，求的周長.【答案】（1）；（2）【分析】（1）利用正弦定理將邊化角，再根據(jù)兩角和的正弦公式、誘導公式計算可得；（2）由，，得，再利用余弦定理求出，即可求出的周長．【詳解】解：（1）因為，所以，所以，即，因為，所以，所以，所以（2），，，，，的周長為：．15．已知的內角，，的對邊分別為，，，且.（1）求；（2）若的面積為，，求的周長.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用正弦定理將目標式邊化角，結合倍角公式，即可整理化簡求得結果；（2）由面積公式，可以求得，再利用余弦定理，即可求得，結合即可求得周長.【詳解】（1）由題設得.由正弦定理得∵∴，所以或.當，（舍）故，解得.（2），從而.由余弦定理得.解得.∴.故三角形的周長為.16．在中，角，，的對邊分別為，，且.（1）求角；（2）若，的面積為，求的周長.【答案】（1）；（2）30.【解析】【分析】（1）利用正弦定理將邊化為角，結合展開化簡可得，從而得解；（2）由面積公式可得，結合余弦定理可得，從而得解.【詳解】(1)由及正弦定理可得，即,整理得，因為,,所以,.（2）由及△ABC的面積為，得，所以.由，由余弦定理可得：=，所以，所以△ABC的周長為30.17．已知函數(shù)．在銳角中，角，，的對邊分別為，，，．（1）求角大??；（2）若，，求周長．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用二倍角公式以及兩角的和差公式對原式進行化簡即可求得角；（2）根據(jù)余弦定理及已知條件求得，即可求得周長．【詳解】（1）．因為，即，所以或，且，所以．（2）由，可得，整理得．由，可得，則，解得，則的周長．18．已知在中，角所對的邊分別為，且滿足.（1）求角的大小；（2）若的面積為，且，求的周長.【答案】（1），（2）12【分析】（1）由正弦定理將化為，從而可得，而，所以，則有，進而可求出角；（2）由的面積為，，可得，再結合余弦定理可得，則，從而可得為等邊三形，進而可求出其周長【詳解】解：（1）因為，所以由正弦定理得，，，，所以，所以，因為，所以，所以，所以,因為，所以，（2）因為的面積為，所以，即，所以，由余弦定理得，由，得代入上式得，化簡得，解得，所以，因為，所以為等邊三角形，所以的周長為1219．的內角，，所對邊分別為，，，且．（1）求；（2）若，，求的周長．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）由正弦定理化角為邊，再根據(jù)余弦定理可求解；（2）由三角形面積公式可得，由余弦定理得，再由可求出，即可求出，得出周長.【詳解】解（1）由根據(jù)正弦定理得，根據(jù)余弦定理得．因為，所以．（2）因為，解．由余弦定理得，即．①又因為，即．②聯(lián)立①②，得，解得（舍負）．因為，所以（舍負），所以的周長為．20．的內角的對邊分別為，已知（1）求;（2）若，求的周長【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)，利用正弦定理結合兩角和與差的三角函數(shù)化簡為求解；（2）利用余弦定理得到，然后由求得代入即可.【詳解】（1）因為，所以，所以所以由正弦定理得整理得因為在中，所以，則所以（2）由余弦定理得，即，因為，所以，所以，解得.所以的周長是21．的內角、、的對邊分別為、、，其面積為，且．（1）求的值；（2）若、、成等比數(shù)列，且的面積是，求的周長．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）利用正弦定理以及三角形的面積公式可求得的值；（2）利用三角形的面積公式可求得的值，由余弦定理可求得，進而可求得的值，由已知條件可求得的值，由此可求得的周長．【詳解】（1），由正弦定理得：，即，；（2）由（1）知，又、、成等比數(shù)列，，，即，，又，即，即，則，，又，，因此的周長為．22．已知的內角A，B，C的對邊分別為，.（1）求的值；（2）若的面積為，求的周長．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由利用正弦定理可得，然后利用商數(shù)關系求解；（2）根據(jù)（1）結合，解得，再由的面積為，求得，再利用余弦定理求解.【詳解】（1）由正弦定理，及得，即，∴.（2）由（1）知，故，又因為，解得.由，得，由余弦定理及，得.∴，∴，∴的周長為.23．在中，．（1）求B；（2）若，的面積為，求的周長．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由已知三角函數(shù)的等量關系，結合兩角和正弦公式得，根據(jù)正弦定理、三角形內角的性質，即可求B；（2）由三角形面積公式求出、，再根據(jù)余弦定理求，即可求的周長．【詳解】（1）由，得，∴，即，∴．由正弦定理，得，又，∴，即，，∴．（2）由的面積為，得，解得，即．由余弦定理，可得，解得．∴的周長為．24．已知函數(shù)，.（1）求函數(shù)的遞增區(qū)間；（2）在中，內角滿足，且，，求的周長.【答案】（1）；（2）12.【分析】（1）利用三角恒等變換公式化簡，再根據(jù)正弦函數(shù)的增區(qū)間可求出結果；（2）由求出，由余弦定理求出，由求出，聯(lián)立這兩個方程解出后，可得三角形的周長.【詳解】（1），令，，得，，因為，令，得，由.所以，當時，單調遞增，即的遞增區(qū)間為.（2）因為，所以，又因為，所以，即，由余弦定理可知，①又因為，所以，②聯(lián)立①②得，所以的周長為12.25．在中，內角，，所對的邊分別為，，，且，．（1）求的面積的最大值；（2）若，求的周長．【答案】（1）的面積的最大值為；（2）15．【分析】(1)由條件結合余弦定理，利用均值不等式可得的最大值，從而得出的面積的最大值.

（2）由正弦定理將條件互為，再化簡可得，由而倍角公式可得，從而得出角，進一步求出邊，得出答案.【詳解】（1）∵，∴，由余弦定理知：，即，即，當且僅當時取等號．所以，所以的面積的最大值為．（2）由正弦定理得∵，∴．即．∵，故，由∴．∵，∴，∴，∴周長為∴．26．已知中，三個內角所對的邊分別是．（1）證明；（2）在①，②，③這三個條件中任選一個補充在下面問題中，并解答．若，________，求的周長．【答案】（1）證明見解析；（2）選①②③，周長都是20.【分析】（1）利用余弦定理即可直接證明；（2）先根據(jù)條件結合（1）中結論可先求得，再由余弦定理可求出，即可得出周長.【詳解】（1）證明：由余弦定理可得：，即（2）第一步：求A．選①：，∴由（1）中所證結論可得：，可得．選②：，由（1）中的證明同理可得：，可得，．選③：，由（1）中的證明過程同理可得，，可得．第二步：求c在中，由余弦定理可得：，即，解得，或（舍去），所以，即的周長為20．27．在中，角，，所對的邊分別為，，，，．（1）求外接圓的面積；（2）若邊上的中線長為，求的周長．【答案】（1）；（2）9.【分析】(1)由正弦定理可求出，結合余弦定理可求出，進而可求出三角形外接圓的半徑，從而可求出外接圓的面積.(2)設的中點為，則，結合向量加法可得，結合余弦定理可求出，.【詳解】解：（1）因為，又，即，所以，由，得，設外接圓的半徑為則，所以外接圓的面積為．（2）設的中點為，則．因為，所以，即，又，，則，整理得，解得或（舍去），則．所以的周長為9．28．在中，，．（1）求；（2）若的面積，求的周長．【答案】（1）；