精品解析：河北省衡水中學(xué)2022屆高三上學(xué)期高考模擬卷（三）數(shù)學(xué)試題（解析版）

新高考單科模擬檢測(cè)卷（三）數(shù)學(xué)本試卷滿分150分，考試用時(shí)120分鐘．注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.設(shè)全集，且，，且（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出集合，利用交集的定義可得結(jié)果.【詳解】，因此，.故選：C.2.已知復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的除法化簡可得出復(fù)數(shù).【詳解】由已知可得.故選：A.3.已知向量，的夾角為，，，則（）A.2 B. C. D.【答案】A【解析】【分析】將，兩邊平方再解方程組即可.【詳解】由，得，由，得，從而有，即．故選：A4.函數(shù)，的最小正周期為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用輔助角公式化簡，再由正弦函數(shù)的周期公式即可求解.【詳解】，所以的最小正周期為，故選：D5.在棱長為1的正方體上，分別用過共頂點(diǎn)的三條棱中點(diǎn)的平面截該正方體，則截去8個(gè)三棱錐后，剩下的幾何體的體積是A. B. C. D.【答案】D【解析】【詳解】由題意幾何體的體積，就是正方體的體積減去8個(gè)正三棱錐的體積，V正方體?8V三棱錐＝.考點(diǎn)：組合幾何體的面積、體積問題6.不等式“”是“”成立的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】分別解不等式后即可判斷.【詳解】由，可得，充分性不成立；由，可得，可得，必要性成立．故選：B7.已知函數(shù)，則的圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用特殊值法結(jié)合排除法可得出合適的選項(xiàng).【詳解】，則，，排除A選項(xiàng)，，排除D選項(xiàng)，，排除B選項(xiàng).故選：C.8.已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)有最大值和最小值，且最大值與最小值之和為6，則等于（）A.7 B.8 C.9 D.6【答案】D【解析】【分析】先將函數(shù)變形為，再根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)求出即可得解.【詳解】定義域?yàn)榈暮瘮?shù)有最大值和最小值，所以．則，令，則是奇函數(shù)，故，故，又，故．所以.故選：D二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知由樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)集合，求得的回歸直線方程為，且，現(xiàn)發(fā)現(xiàn)兩個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)和誤差較大，去除后重新求得的回歸直線的斜率為1.2，則下列各選項(xiàng)正確的是（）A.變量與具有正相關(guān)關(guān)系B.去除后的估計(jì)值增加速度變快C.去除后的方程為D.去除后相應(yīng)于樣本點(diǎn)的殘差平方為0.0625【答案】AC【解析】【分析】重新求解回歸方程的斜率大于0，故具有正相關(guān)關(guān)系；且，所以去除后的估計(jì)值增加速度變慢；根據(jù)線性回歸方程一定過樣本中心點(diǎn)求解去除后重新求得的回歸直線；利用新的線性回歸方程求解殘差平方.【詳解】因?yàn)橹匦虑蟮玫幕貧w方程的斜率為1.2，故變量與具有正相關(guān)關(guān)系，故選項(xiàng)A正確；因?yàn)?，所以去除后的估?jì)值增加速度變慢，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；將代入回歸直線方程，解得，則樣本中心為，去掉兩個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)和后，樣本中心還是，又去除后重新求得的回歸直線的斜率為1.2，所以，解得，所以去除后的回歸方程為，故選項(xiàng)C正確；因?yàn)?，所以，則殘差的平方為0.0025，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤．故選：AC10.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，過的直線與雙曲線的右支交于，兩點(diǎn)，若，則（）A.B.雙曲線離心率C.雙曲線的漸近線方程為D.原點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)雙曲線定義及題干中的線段的長度關(guān)系，可以得到；利用余弦定理得到與的關(guān)系，進(jìn)而得到離心率和漸近線，從求出的離心率可以得到D選項(xiàng)的正誤.【詳解】設(shè)，則，由雙曲線的定義知，，即，，即，∴，，故選項(xiàng)A正確；由余弦定理，知在中，，在中，，化簡整理，得，∴離心率，故選項(xiàng)B正確；雙曲線的漸近線方程為，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；若原點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上，則，與不符，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤．故選：AB11.已知函數(shù)，，關(guān)于函數(shù)的性質(zhì)的以下結(jié)論中正確的是（）A.函數(shù)的值域是B.是函數(shù)的一條對(duì)稱軸C.函數(shù)在內(nèi)有唯一極小值D.函數(shù)向左平移個(gè)單位后所得函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱中心為【答案】BC【解析】【分析】先將函數(shù)變形，再根據(jù)其性質(zhì)判斷即可.【詳解】∵.對(duì)于A，函數(shù)的值域?yàn)?，故不正確；對(duì)于B，對(duì)稱軸為，，，當(dāng)時(shí)，，故B正確；對(duì)于C，，，令，得，，令，得，；令，得，，當(dāng)時(shí)，有極小值，故C正確；對(duì)于D，，，，其對(duì)稱中心為，故D不正確．故選：BC12.P為正方體對(duì)角線上的一點(diǎn)，且.下面結(jié)論確的是（）A.； B.若平面PAC，則；C.若為鈍角三角形，則； D.若，則為銳角三角形.【答案】ABD【解析】【分析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，再根據(jù)用表示的坐標(biāo)，利用向量法逐項(xiàng)判斷后可得正確的選項(xiàng).【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)正方體的棱長為3，則，故，所以，故，故，而，，所以，故A正確.，，，因?yàn)槠矫?，故，所以，解得，故B正確.由正方體的對(duì)稱性可知，故為等腰三角形且.若為鈍角三角形，則為鈍角，則即，解得，故C錯(cuò)，若，則，故為銳角，故為銳角三角形.故D正確.故選：ABD.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：與正方體有關(guān)的計(jì)算與判斷問題，可建立合適的空間直角坐標(biāo)系，把位置關(guān)系問題轉(zhuǎn)化為向量的計(jì)算問題.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.在等比數(shù)列中，，則的公比為_____．【答案】1【解析】【分析】先設(shè)等比數(shù)列的公比為，根據(jù)題中條件，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可得出結(jié)果.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)?，所以，解得：，即等比?shù)列的公比為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列基本量的運(yùn)算，熟記公式即可，屬于基礎(chǔ)題型.14.的二項(xiàng)展開式中的系數(shù)為________．【答案】135【解析】【分析】利用二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式求出的系數(shù).【詳解】展開式的通項(xiàng)為，易知，所以，含項(xiàng)的系數(shù)為．故答案為：13515.已知函數(shù)．在中，角，，的對(duì)邊分別是，，且滿足，則的取值范圍是________．【答案】【解析】【分析】先利用正弦定理將邊角關(guān)系轉(zhuǎn)化為角與角的關(guān)系，利用兩角和的正弦公式、誘導(dǎo)公式求出，再根據(jù)和正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)求其范圍.詳解】由及正弦定理，得，即，即，所以，即，所以，所以，所以．故答案為：.16.設(shè)直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，與圓相切于點(diǎn)，且為線段的中點(diǎn).若這樣的直線恰有4條，則的取值范圍是__________.【答案】（2，4）【解析】【詳解】設(shè)直線的方程為，，把直線的方程代入拋物線方程，整理可得：則，，則線段的中點(diǎn)由題意可得直線與直線垂直，且當(dāng)時(shí)，有即，整理得把代入到可得，即由于圓心到直線的距離等于半徑即，此時(shí)滿足題意且不垂直于軸的直線有兩條當(dāng)時(shí)，這樣的直線恰有條，即，綜上所述，若這樣的直線恰有條，則的取值范圍是點(diǎn)睛：本題主要考查的知識(shí)點(diǎn)是直線與拋物線，圓的位置關(guān)系，考查了學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．設(shè)直線的方程為，，，把直線的方程代入拋物線方程，根據(jù)判別式求得線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)，分別討論時(shí)，時(shí)的取值范圍，即可得到答案四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知在中，，，且.（1）求的值；（2）求的長度.【答案】（1）；（2）5.【解析】【分析】（1）利用，結(jié)合二倍角的余弦公式可得，再利用進(jìn)行計(jì)算即可；（2）由正弦定理得到與的關(guān)系，再利用已知數(shù)量積得到向量模的積，從而解出與，再由余弦定理求得.【詳解】（1）∵，∴，∴，，∴；（2）∵，，∵，，∴，∴，解得：，故，∴.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的應(yīng)用，考查正、余弦定理的應(yīng)用，考查簡單的三角恒等變換，考查運(yùn)算能力，屬于常考題.18.已知數(shù)列滿足，（）.（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）數(shù)列滿足：（），求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)證明見解析，；(2).【解析】【分析】(1)將給定等式變形為，計(jì)算即可判斷數(shù)列類型，再求出其通項(xiàng)而得解；(2)利用(1)的結(jié)論求出數(shù)列的通項(xiàng)，然后利用錯(cuò)位相減法求解即得.詳解】(1)因數(shù)列滿足，，則，而，于是數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，，即，所以數(shù)列是等比數(shù)列，，；(2)由(1)知，則于是得，，所以數(shù)列的前項(xiàng)和.19.在直角梯形中，，，，為的中點(diǎn)，如圖1．將沿折到的位置，使，點(diǎn)在上，且，如圖2．（1）求證：⊥平面；（2）求二面角的正切值．【答案】（1）見解析（2）【解析】【詳解】試題分析：（1）證明：在圖中，由題意可知，為正方形，所以在圖中，，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，因?yàn)?，ABBC，所以BC平面SAB，又平面SAB，所以BCSA，又SAAB，所以SA平面ABCD，（2）在AD上取一點(diǎn)O，使，連接EO．因?yàn)椋訣O//SA所以EO平面ABCD，過O作OHAC交AC于H，連接EH，則AC平面EOH，所以ACEH．所以為二面角E—AC—D的平面角，在中，…11分，即二面角E—AC—D的正切值為考點(diǎn)：線面垂直的判定及二面角求解點(diǎn)評(píng)：本題中第二問求二面角采用的是作角求角的思路，在作角時(shí)常用三垂線定理法；此外還可用空間向量的方法求解；以A為原點(diǎn)AB,AD,AS為x,y,z軸建立坐標(biāo)系，寫出各點(diǎn)坐標(biāo)，代入向量計(jì)算公式即可20.某種項(xiàng)目射擊比賽，開始時(shí)選手在距離目標(biāo)處射擊，若命中則記3分，且停止射擊．若第一次射擊未命中，可以進(jìn)行第二次射擊，但需在距離目標(biāo)處，這時(shí)命中目標(biāo)記2分，且停止射擊．若第二次仍未命中，還可以進(jìn)行第三次射擊，此時(shí)需在距離目標(biāo)處，若第三次命中則記1分，并停止射擊．若三次都未命中則記0分，并停止射擊．已知選手甲的命中率與目標(biāo)的距離的平方成反比，他在處擊中目標(biāo)的概率為，且各次射擊都相互獨(dú)立．（1）求選手甲在射擊中得0分的概率；（2）設(shè)選手甲在比賽中的得分為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．【答案】（1）（2）分布列見解析，【解析】【分析】（1）先由在100m處擊中目標(biāo)的概率為求出，進(jìn)而求出，，再利用相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率進(jìn)行求解；（2）先寫出的可能取值，求出每個(gè)變量的概率，列表得到分布列，再利用期望公式進(jìn)行求解.【小問1詳解】解：記選手甲第一、二、三次射擊命中目標(biāo)分別為事件、、，三次都沒有擊中目標(biāo)為事件，則．設(shè)選手甲在m處擊中目標(biāo)的概率為，則．由m時(shí)，得，所以，，所以，．由于各次射擊都是相互獨(dú)立的，所以選手甲在射擊中得0分的概率為．【小問2詳解】解：由題設(shè)知，的可能取值為0，1，2，3．，，，．則的分布列為0123所以數(shù)學(xué)期望為．21.設(shè)函數(shù)，其中（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)的最小值為，證明函數(shù)在上沒有零點(diǎn).【答案】（1）在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，（2）證明見解析【解析】【分析】（1）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式即可得答案；（2）由，通過的范圍，從而得答案【詳解】解：（1）由（），得，由，得，由，得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，（2）由（），得，由，得，由，得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以因?yàn)?，所以，所以，所以函?shù)在上沒有零點(diǎn)22.已知橢圓過點(diǎn)，焦點(diǎn)分別為，．短軸端點(diǎn)分別為，，．（1）求橢圓的方程；（2）過點(diǎn)的直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，當(dāng)線段的中點(diǎn)落在四邊形內(nèi)（包括邊界）時(shí)，求直線的斜率的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）把代入橢圓方程結(jié)合求出，，得到橢圓方程；（2）設(shè)