課件-量子力學講義

1上次課復習波爾（Bohr）的量子論：氫原子線狀光譜的解釋波爾的假定、量子化條件、波爾半徑、量子躍遷的頻率條件索末菲量子化條件推廣玻爾—索末菲理論的局限性實物粒子的波粒二象性：德布羅意波駐波條件、德布羅意關(guān)系波函數(shù)波函數(shù)的統(tǒng)計解釋、波函數(shù)的性質(zhì)2（三）波函數(shù)的性質(zhì)

在t時刻，r點，dτ=dxdydz體積內(nèi)，找到由波函數(shù)Ψ(r,t) 描寫的粒子的幾率是：dW(r,t)=C|Ψ(r,t)|2dτ，其中，C是比例系數(shù)。根據(jù)波函數(shù)的幾率解釋，波函數(shù)有如下重要性質(zhì)：（1）幾率和幾率密度在t時刻r點，單位體積內(nèi)找到粒子的幾率是：ω(r,t)={dW(r,t)/dτ}=C|Ψ(r,t)|2

稱為幾率密度。在體積V內(nèi)，t時刻找到粒子的幾率為：W(t)=∫VdW=∫Vω(r,t)dτ=C∫V|Ψ(r,t)|2dτ3（2） 平方可積由于粒子在空間總要出現(xiàn)（不討論粒子產(chǎn)生和湮滅情況），所以在全空間找到粒子的幾率應為一，即：

C∫∞|Ψ(r,t)|2dτ=1,從而得常數(shù)

C之值為：

C=1/∫∞|Ψ(r,t)|2dτ這即是要求描寫粒子量子狀態(tài)的波函數(shù)Ψ必須是絕對值平方可積的函數(shù)。若∫∞|Ψ(r,t)|2dτ∞,

則C0,這是沒有意義的。注意：自由粒子波函數(shù)不滿足這一要求。關(guān)于自由粒子波函數(shù)如何歸一化問題，再予以討論。4（3）歸一化波函數(shù)這與經(jīng)典波不同。經(jīng)典波波幅增大一倍（原來的2倍），則相應的波動能量將為原來的4倍，因而代表完全不同的波動狀態(tài)。經(jīng)典波無歸一化問題。Ψ(r,t)和CΨ(r,t)所描寫狀態(tài)的相對幾率是相同的，這里的C是常數(shù)。因為在t時刻，空間任意兩點r1和r2處找到粒子的相對幾率之比是：

由于粒子在全空間出現(xiàn)的幾率等于1，所以粒子在空間各點出現(xiàn)的幾率只取決于波函數(shù)在空間各點強度的相對比例，而不取決于強度的絕對大小，因而，將波函數(shù)乘上一個常數(shù)后，所描寫的粒子狀態(tài)不變，即Ψ(r,t)和CΨ(r,t)描述同一狀態(tài)可見，Ψ(r,t)和CΨ(r,t)描述的是同一幾率波，所以波函數(shù)有一常數(shù)因子不定性。5歸一化常數(shù)若Ψ(r,t)沒有歸一化，∫∞

|Ψ(r,t)|2dτ=A（A是大于零的常數(shù)），則有∫∞

|(A)-1/2Ψ(r,t)|2dτ=1注意：對歸一化波函數(shù)仍有一個模為1的因子不定性。若Ψ(r,t)是歸一化波函數(shù)，那末，exp{i}ψ(r,t)

也是歸一化波函數(shù)（其中α是實數(shù)），與前者描述同一幾率波。也就是說，(A)-1/2Ψ(r,t)是歸一化的波函數(shù)，與Ψ(r,t)描寫同一幾率波，(A)-1/2

稱為歸一化因子。

6§2.2態(tài)疊加原理（一） 什么是態(tài)？（二）態(tài)疊加原理（三） 動量空間（表象）的波函數(shù)7態(tài)：某時刻事物所處的狀態(tài)。它不僅僅是量子力學所擁有的獨特概念，也應該是對任何事物都成立的概念。由態(tài)的定義，事物存在的狀態(tài)必然由三個因素所決定：1、事物本身的性質(zhì)；2、事物發(fā)展的歷史；3、事物在某時刻所處的環(huán)境條件。

量子力學用量子態(tài)的概念表征微觀體系的狀態(tài)（一）什么是態(tài)8

狀態(tài)函數(shù)（波函數(shù)）：描述體系運動狀態(tài)的函數(shù)。包括，體系的運動規(guī)律與趨勢，體系在某一時刻的全部物理參數(shù)。通常情況下，只有一些參數(shù)是必要的。希爾伯特

希爾伯特空間的一個矢量：狀態(tài)（波函數(shù)）用Hilbert空間的矢量描述，稱為態(tài)矢量。量子力學認為，微觀物理實在既不是波也不是粒子，真正的實在是量子態(tài)。9量子力學把研究對象及其所處的環(huán)境看作一個整體，它不允許把世界看成由彼此分離的、獨立的部分組成的。

量子態(tài)概念所表達的是微觀體系與儀器相互作用而產(chǎn)生的表現(xiàn)為波或粒子的可能性。但在量子力學中，體系的狀態(tài)有兩種變化，一種是體系的狀態(tài)按運動方程演進，這是可逆的變化；另一種是測量改變體系狀態(tài)的不可逆變化。因此，量子力學對決定狀態(tài)的物理量不能給出確定的預言，只能給出物理量取值的幾率。在這個意義上，經(jīng)典物理學因果律在微觀領(lǐng)域失效了。10（二） 態(tài)疊加原理微觀粒子具有波動性，會產(chǎn)生衍射圖樣。而干涉和衍射的本質(zhì)在于波的疊加性，即可相加性，兩個相加波的干涉的結(jié)果產(chǎn)生衍射。 因此，同光學中波的疊加原理一樣，量子力學中也存在波疊加原理。因為量子力學中的波，即波函數(shù)決定體系的狀態(tài)，稱波函數(shù)為狀態(tài)波函數(shù)，所以量子力學的波疊加原理稱為態(tài)疊加原理。11考慮電子雙縫衍射

Ψ=C1Ψ1+C2Ψ2

也是電子的可能狀態(tài)?？臻g找到電子的幾率則是：

|Ψ|2=|C1Ψ1+C2Ψ2|2

=(C1*Ψ1*+C2*Ψ2*)(C1Ψ1+C2Ψ2)=|C1Ψ1|2+|C2Ψ2|2+[C1*C2Ψ1*Ψ2+C1C2*Ψ1Ψ2*]PΨ1Ψ2ΨS1S2電子源感光屏電子穿過狹縫１出現(xiàn)在Ｐ點的幾率密度電子穿過狹縫２出現(xiàn)在Ｐ點的幾率密度相干項正是由于相干項的出現(xiàn)，才產(chǎn)生了衍射花紋。一個電子有Ψ1和Ψ2

兩種可能的狀態(tài)，Ψ是這兩種狀態(tài)的疊加。127個100個3000個20000個70000個1314態(tài)疊加原理一般表述：若Ψ1

，Ψ2,...,Ψn,...是體系的一系列可能的狀態(tài)，則這些態(tài)的線性疊加Ψ=C1Ψ1+C2Ψ2+...+CnΨn+...(其中C1,C2,...,Cn,...為復常數(shù))也是體系的一個可能狀態(tài)。

處于Ψ態(tài)的體系，部分的處于Ψ1態(tài)，部分的處于Ψ2態(tài)...，部分的處于Ψn，...一般情況下，如果Ψ1和Ψ2

是體系的可能狀態(tài)，那末它們的線性疊加：

Ψ=C1Ψ1+C2Ψ2也是該體系的一個可能狀態(tài).其中C1和C2是復常數(shù)，這就是量子力學的態(tài)疊加原理。15例：電子在晶體表面反射后，電子可能以各種不同的動量p

運動。具有確定動量的運動狀態(tài)用de

Broglie平面波表示根據(jù)疊加原理，在晶體表面反射后，電子的狀態(tài)Ψ可表示成

p取各種可能值的平面波的線性疊加，即而衍射圖樣正是這些平面波疊加干涉的結(jié)果。dΨΨp16（二）動量空間（表象）的波函數(shù)顯然，二式互為Fourier變換式，故而總是成立的。所以Ψ(r,t)與C(p,t)一一對應，是同一量子態(tài)的兩種不同描述方式。Ψ(r,t)是以坐標

r

為自變量的波函數(shù)，坐標空間波函數(shù)，坐標表象波函數(shù)；C(p,t)

是以動量

p

為自變量的波函數(shù)，動量空間波函數(shù)，動量表象波函數(shù)；二者描寫同一量子狀態(tài)。波函數(shù)Ψ(r,t)可用各種不同動量的平面波表示，下面我們給出簡單證明。展開系數(shù)令則Ψ可按Фp展開17平面波歸一化(I)IDirac—函數(shù)

定義：或等價的表示為：對在x=x0

鄰域連續(xù)的任何函數(shù)f（x）有：—函數(shù)亦可寫成Fourier積分形式：令k=px/,dk=dpx/,則

性質(zhì)：0x0x18平面波歸一化(II)寫成分量形式t=0時的平面波考慮一維積分若取A122=1，則A1=[2]-1/2,于是平面波可歸一化為函數(shù)19三維情況：其中注意：這樣歸一化后的平面波其模的平方仍不表示幾率密度，依然只是表示平面波所描寫的狀態(tài)在空間各點找到粒子的幾率相同。2021若Ψ(r,t)已歸一化，則C(p,t)也是歸一化的2223薛定諤貓Schroedinger'scat

實驗內(nèi)容：這只貓十分可憐，她被封在一個密室里，密室里有食物有毒藥。毒藥瓶上有一個錘子，錘子由一個電子開關(guān)控制，電子開關(guān)由放射性原子控制。如果原子核衰變，則放出α粒子，觸動電子開關(guān)，錘子落下，砸碎毒藥瓶，釋放出里面的氰化物氣體，貓必死無疑。這個殘忍的裝置由薛定諤所設(shè)計，所以此貓便叫做薛定諤的貓。薛定諤貓是關(guān)于量子理論的一個理想實驗24

由于原子核在何時衰變是隨機事件，具有不確定性，所以在密室未打開進行觀測之前，貓的狀態(tài)也是不確定的，用量子力學的術(shù)語來說，就是處于“死與活的疊加狀態(tài)”——既死了又活著！

按照常識，密室中貓的狀態(tài)必是以下兩者之一：貓死了，貓還活著。但量子力學告訴我們，存在一種二者疊加的狀態(tài)：貓既是死的又是活的。這種混沌不確定的狀態(tài)在密室被打開之前將一直保持下去。只有等到密室被打開的一瞬間，某個確定態(tài)才會從不確定的疊加態(tài)中蹦出來。宏觀物體具有了量子的測不準性。25§3Schrodinger方程（一）引言（二）引進方程的基本考慮（三）自由粒子滿足的方程（四）勢場V(r)中運動的粒子（五）多粒子體系的Schrodinger方程26這些問題在1926年Schrodinger提出了波動方程之后得到了圓滿解決。

微觀粒子量子狀態(tài)用波函數(shù)完全描述，波函數(shù)確定之后，粒子的任何一個力學量的平均值及其測量的可能值和相應的幾率分布也都被完全確定，波函數(shù)完全描寫微觀粒子的狀態(tài)。因此量子力學最核心的問題就是要解決以下兩個問題：(1)在各種情況下，找出描述系統(tǒng)的各種可能的波函數(shù)；(2)波函數(shù)如何隨時間演化。（一） 引言271.薛定諤簡介(E．Schr?dinger,1887～1961)

奧地利理論物理學家，波動力學的創(chuàng)始人。薛定諤1887年生于維也納。1910年獲得博士學位。第一次世界大戰(zhàn)期間，他服役于一個炮兵要塞，利用閑暇研究理論物理學。戰(zhàn)后回到第二物理研究所。1920年擔任M．維恩的物理實驗室助手。1921年，薛定諤受聘到瑞士蘇黎士大學任數(shù)學物理學教授，在那里工作了6年。1927年接替普朗克任柏林大學理論物理學教授。同年當選為普魯士科學院院士。1933年受德國納粹黨徒的迫害，離開蘇黎士到英國任牛津大學物理學教授。同年和狄拉克一起榮獲諾貝爾物理學獎。波動力學的建立281936年回到奧地利，1938年奧地利淪陷，薛定諤再度受到納粹的迫害，于9月1日僅“帶了一只小小皮箱”逃往愛爾蘭的都柏林，在都柏林高級研究所，成為理論物理學的領(lǐng)導。在那里，他逗留了17年。在此期間，他繼續(xù)從事科學研究，并發(fā)表了許多論文。1956年，他回到奧地利，成為維也納大學物理系的名譽教授。奧地利政府給了他極大的榮譽，設(shè)立了以他的名字命名的國家獎金，并把第一次獎金授予他本人。

1957年薛定諤接受了德國高級榮譽勛章。他還被許多大學和科學團體授予榮譽學位，其中包括英國倫敦皇家學會、柏林普魯士科學院、奧地利科學院等。1961年1月4日，在奧地利病逝。29（二）引進方程的基本考慮從牛頓方程，人們可以確定以后任何時刻t粒子的狀態(tài)r和p。因為初條件知道的是坐標及其對時間的一階導數(shù)，所以方程是時間的二階常微分方程。讓我們先回顧一下經(jīng)典粒子運動方程，看是否能給我們以啟發(fā)。（1）經(jīng)典情況30（2）量子情況3．第三方面，方程不能包含狀態(tài)參量，如p,E等，否則方程只能被粒子特定的狀態(tài)所滿足，而不能為各種可能的狀態(tài)所滿足。1．因為，t=t0

時刻，已知的初態(tài)是ψ(r,t0)

且只知道這樣一個初條件，所以，描寫粒子狀態(tài)的波函數(shù)所滿足的方程只能含ψ對時間的一階導數(shù)。2．另一方面，ψ要滿足態(tài)疊加原理，即，若ψ1(r,t)

和ψ2(r,t)是方程的解，那末

ψ(r,t)=C1ψ1(r,t)+C2ψ2(r,t)也應是該方程的解。這就要求方程應是線性的，也就是說方程中只能包含ψ,ψ對時間的一階導數(shù)和對坐標各階導數(shù)的一次項，不能含它們的平方或開方項。31（三）自由粒子滿足的方程這不是所要尋找的方程，因為它包含狀態(tài)參量E。將Ψ對坐標二次微商，得：描寫自由粒子波函數(shù):應是所要建立的方程的解。將上式對t微商，得：(1)–(2)式32滿足上述構(gòu)造方程的三個條件討論：通過引出自由粒子波動方程的過程可以看出，如果能量關(guān)系式E=p2/2μ

寫成如下方程形式：做算符替換（4）即得自由粒子滿足的方程（3）。(1)–(2)式33（四）勢場V(r)中運動的粒子該方程稱為Schrodinger方程，也常稱為波動方程。若粒子處于勢場V(r)

中運動，則能量和動量關(guān)系變?yōu)椋簩⑵渥饔糜诓ê瘮?shù)得：做（4）式的算符替換得：34（五）多粒子體系的Schrodinger方程設(shè)體系由N個粒子組成，質(zhì)量分別為μi(i=1,2,...,N)體系波函數(shù)記為ψ(r1,r2,...,rN;t)第i個粒子所受到的外場Ui(ri)粒子間的相互作用V(r1,r2,...,rN)則多粒子體系的Schrodinger方程可表示為：35多粒子體系Hamilton量對有Z個電子的原子，電子間相互作用為Coulomb排斥作用：而原子核對第i個電子的Coulomb吸引能為：假定原子核位于坐標原點，無窮遠為勢能零點。例如：36作業(yè)：P15-16頁1.1-1.5