第二章-完全信息靜態(tài)博弈(課件)

第二章完全信息靜態(tài)博弈一、上策均衡§1基本分析思路和方法假設(shè)一個博弈有n個博弈方，博弈方i的策略集(又稱策略空間)為Si(i=1,2,…,n)

，用sij∈Si表示博弈方i的第j個策略；若si∈Si(i=1,2,…,n),稱s=(s1,s2,…,sn)為一個策略組合；若用s-i=(s1,s2,…,si-1,si+1,…,sn),則s=(si,s-i)。1/10/20231第二章完全信息靜態(tài)博弈一、上策均衡§1用ui(s)=ui(s1,s2,…,sn)(i=1,2,…,n)表示博弈方i在策略組合s=(s1,s2,…,sn)的得益,ui是策略集S1×S2×…×Sn上的多元函數(shù)。

定義1：若一個博弈的策略空間為Si,得益函數(shù)為：ui(s)=ui(s1,s2,…,sn)(i=1,2,…,n),則該博弈表示為：G={S1,S2,…,Sn；u1,u2,…,un}

。

定義2：一個博弈G,若對博弈方i及所用s－i都有ui(si／,s-i)>ui(si／／,s-i)，則稱si／是si／／的嚴(yán)格上策，si／／是si／的嚴(yán)格下策。1/10/20232用ui(s)=ui(s1,s2,…,sn)(i

定義3：若在博弈G中對每個博弈方i都存在策略si*是其它所有策略的嚴(yán)格上策,則稱策略組合s*=(s1*,s2*,…,sn*)是G的上策均衡。在第一章的“囚徒困境”博弈中，其中（坦白，坦白）就是一個上策均衡。而其它例子都沒有上策均衡。上策均衡反映了所有博弈方的絕對偏好，因此非常穩(wěn)定，根據(jù)上策均衡可以對博弈結(jié)果作出最肯定的預(yù)測。1/10/20233定義3：若在博弈G中對每個博弈方i都存在策略s二、嚴(yán)格下策反復(fù)消去法在博弈G中博弈方的嚴(yán)格下策當(dāng)然是博弈方實際上不愿選擇的策略，因此可以從博弈方的策略集中去掉。

定義：若博弈G中每個博弈方都反復(fù)去掉嚴(yán)格下策后剩下唯一策略組合s*=(s1*,s2*,…,sn*)，則稱s*=(s1*,s2*,…,sn*)為G的反復(fù)消去嚴(yán)格下策均衡。1/10/20234二、嚴(yán)格下策反復(fù)消去法在博弈G中博弈方的嚴(yán)格下策當(dāng)然顯然第一章的“智豬博弈”中大豬“按”、小豬“等待”是一個反復(fù)消去嚴(yán)格下策均衡。例1：博弈G如右圖：1,01,30,10,40,20,0博弈方Ⅱ左中右求解反復(fù)消去嚴(yán)格下策均衡的方法成為嚴(yán)格下策反復(fù)消去法。1/10/20235顯然第一章的“智豬博弈”中大豬“按”、小豬“等

解：博弈方Ⅱ的策略“右”是策略“中”的嚴(yán)格下策，消去策略“右”后為：0,41,00,21,3左中博弈方Ⅰ的策略“下”是策略“上”的嚴(yán)格下策，消去策略“下”后為：1,01,3左中上博弈方Ⅱ的策略“左”是策略“中”的嚴(yán)格下策，消去策略“左”后為可知（上，中）就是該博弈反復(fù)消去嚴(yán)格下策均衡。1,01,30,10,40,20,01/10/20236解：博弈方Ⅱ的策略“右”是策略“中”的嚴(yán)格下嚴(yán)格下策反復(fù)消去法中每次消去的必須是嚴(yán)格上策，否則會出現(xiàn)一些意想不到的結(jié)果。例2：博弈G如下圖：1,81,62,80,80,80,91,50,80,6博弈方ⅡLMR1/10/20237嚴(yán)格下策反復(fù)消去法中每次消去的必須是嚴(yán)格上策，1,81,62,80,80,80,91,50,80,6

解：1）博弈方Ⅱ的策略“L”和“M”都是策略“R”的下策(不是嚴(yán)格下策)，消去策略“L”和“M”后為：0,90,81,8R博弈方Ⅰ的策略“S”和“D”都是策略“U”的嚴(yán)格下策，消去策略“S”和“D”后剩下唯一策略組合（U,R）。1/10/202381,81,62,80,80,80,92）博弈方Ⅰ的策略“S”和“D”都是策略“U”的下策(不是嚴(yán)格下策)，消去策略“S”和“D”后為:1,81,62,8LMRU博弈方Ⅱ的策略“M”和“R”都是策略“L”的下策(不是嚴(yán)格下策)，消去策略“M”和“L”后剩下唯一策略組合（U,L）。1,81,62,80,80,80,91,50,80,61/10/202392）博弈方Ⅰ的策略“S”和“D”都是策略“U§2納什均衡一、納什均衡的定義

定義4：博弈G={S1,S2,…,Sn；u1,u2,…,un}中，若存在策略組合s*=(s1*,s2*,…,sn*)，任一博弈方i的策略si*都是對其余博弈方策略組合s-i*＝(s1*,s2*,…,si-1*,si+1*,…,sn*)最佳對策，即ui(si*,s-i*)≥ui(si,s-i*)對任意si∈Si都成立，則稱s*=(s1*,s2*,…,sn*)是G的一個納什均衡。1/10/202310§2納什均衡一、納什均衡的定義定二、納什均衡的求解方法1、劃線法對其他博弈方的任一策略組合，找出博弈方i的最佳策略，并在其得益值下劃線。若存在一個策略組合，使得所有博弈方的得益值下都劃了線，則該策略組合就是一個納什均衡。1/10/202311二、納什均衡的求解方法1、劃線法對其他博弈方例1：博弈G如右圖：0,41,00,00,20,11,3博弈方Ⅱ左中右解：該博弈的納什均衡為（上，中）。1/10/202312例1：博弈G如右圖：0,41,00,00,2例2：博弈G如下圖：2,81,61,80,80,60,80,81,50,9博弈方ⅡLMR解：該博弈有兩個納什均衡(U,L)和(U,R)。1/10/202313例2：博弈G如下圖：2,81,61,80,82、箭頭法考察在每個策略組合處各個博弈方能否通過單獨改變自己的策略而增加得益。如能，則從所分析的策略組合對應(yīng)的得益數(shù)組引一箭頭，到改變策略后策略組合對應(yīng)的得益數(shù)組。若存在一策略組合，其得益數(shù)組只有進來的箭頭而沒有出去的箭頭，則該策略組合就是納什均衡。1/10/2023142、箭頭法考察在每個策略組合處各個博弈方能否通例3：博弈G如右圖：1,01,30,10,40,20,0博弈方Ⅱ左中右納什均衡為（上，中）。1/10/202315例3：博弈G如右圖：1,01,30,10,4斗雞B進攻退卻-3,-32,00,20,0例4：斗雞博弈(進，退)和(退，進)是兩個納什均衡。1/10/202316斗雞B-3,-32,00,20,0例4：斗二、納什均衡的一致預(yù)測性一致預(yù)測性是指這樣一種性質(zhì)：如果所有博弈方都預(yù)測一個特定的博弈結(jié)果會出現(xiàn)，那么所有的博弈方都不會利用該預(yù)測或者這種預(yù)測能力，選擇與預(yù)測結(jié)果不一致的策略，即沒有哪個博弈方有偏離這個預(yù)測結(jié)果的愿望，因此這個預(yù)測結(jié)果最終真會成為博弈的結(jié)果。一致預(yù)測性是納什均衡的本質(zhì)屬性，納什均衡是穩(wěn)定的和自我強制的.1/10/202317二、納什均衡的一致預(yù)測性一致預(yù)測性是指這樣三、納什均衡與嚴(yán)格下策反復(fù)消去法上策均衡肯定是納什均衡，但反過來納什均衡不一定是上策均衡，因此上策均衡是比納什均衡更強、穩(wěn)定性更高的均衡概念。只是，上策均衡在博弈問題中的普遍性比納什均衡要差得多。1/10/202318三、納什均衡與嚴(yán)格下策反復(fù)消去法上策均衡肯定是納命題1：在n個博弈方的博弈G={S1,S2,…,Sn；u1,u2,…,un}中，如果s*=(s1*,s2*,…,sn*)是G的一個納什均衡，那么嚴(yán)格下策反復(fù)消去法一定不會將它消去。證：用反證法：設(shè)策略組合

(s1*,s2*,…,sn*)是博弈G的一個納什均衡，且博弈方i的策略si*，是該策略組合中第一個由于相對于該博弈方的其他策略是嚴(yán)格下策而被消去的策略(也許是在其他某些策略被消去以后)。則必然存在博弈方i的某個策略si／，該si／在si*被消去的時候還沒有被消去，并且是相對于si*的嚴(yán)格上策，即滿足：1/10/202319命題1：在n個博弈方的博弈G={S1,S2,…,Sn；ui(si／,s-i)>ui(si＊,s-i)…(1)對任意由其他博弈方此時尚未消去的所有策略構(gòu)成的策略組合s-i=(s1,…,si-1,si+1,…,sn)都成立。由于假設(shè)si＊是納什均衡(s1*,s2*,…,sn*)的各方策略中第一個被消去的，因此其他博弈方的策略s1＊,…,si-1＊,si+1＊,…,sn＊，在si＊被消去的時候都還沒有被消去，于是對s-i＊=(s1＊,…,si-1＊,si+1＊,…,sn＊)也必須成立．即:ui(si／,s-i*)>ui(si＊,s-i*)…(2)1/10/202320ui(si／,s-i)>ui(si＊,s-i)…這顯然與(s1*,s2*,…,sn*)是納什均衡策略組合的假設(shè)相矛盾，因為不等式(2)表明si＊不是博弈方i對其他博弈方的策略組合的最佳反應(yīng)。該矛盾證明了開頭所作的：納什均衡被嚴(yán)格下策反復(fù)消去法消去的假設(shè)是不可能成立的，這樣命題1就得到了證明。＃1/10/202321這顯然與(s1*,s2*,…,sn*)是納什均衡策命題2：在n個博弈方的博弈G中，如果嚴(yán)格下策反復(fù)消去法排除了除s*=(s1*,s2*,…,sn*)之外的所有策略組合，那么s*一定是該博弈惟一的納什均衡。

證：命題2的后半部分即惟一性可由命題1的結(jié)論得到證明。下面用反證法證明前半部分：1/10/202322命題2：在n個博弈方的博弈G中，如果嚴(yán)格下設(shè)嚴(yán)格下策反復(fù)消去法已經(jīng)消去除了s*=(s1*,s2*,…,sn*)以外的所有策略組合。但s*卻不是一個納什均衡。就是說，至少存在某個博弈方i的某個策略si使得：ui(si,s-i*)>ui(si*,s-i*)…(1)但由于s*是經(jīng)過嚴(yán)格下策反復(fù)消去法以后留下的惟一策略組合，因此si必然是被嚴(yán)格下策反復(fù)消去法消去的策略。也就是說，在嚴(yán)格下策反復(fù)消去過程中的某個階段，必然存在某個當(dāng)時還沒有被消去的策略si／使得：1/10/202323設(shè)嚴(yán)格下策反復(fù)消去法已經(jīng)消去除了s*=(s1*ui(si／,s-i)>ui(si／,s-i)…(2)對由此時尚未被消去的，其他博弈方的策略構(gòu)成的所有策略組合s-i都成立。由于s*是本博弈經(jīng)過嚴(yán)格下策反復(fù)消去法以后惟一留下的策略組合，因此策略s1＊,…,

si-1＊,si+1＊,…,sn＊始終不會被消去，因此也應(yīng)該滿足(2)式，即:ui(si/,s-i*)>ui(si,s-i*)…(3)1/10/202324ui(si／,s-i)>ui(si／,s-i)…(如果si/就是si*,即si*是相對于si的嚴(yán)格上策，則(3)式和(1)式相矛盾，從而s*不是納什均衡的假設(shè)不能成立。這就證明了命題。如果si/與si*不同，則si/在嚴(yán)格下策反復(fù)消去的過程中也必須被消去(要不然s*就不會是留下的惟一的策略組合)。1/10/202325如果si/就是si*,即si*是相對于si進一步推定在某階段存在si/／是相對于si/的嚴(yán)格上策，用si/／和si/分別代替si/和si時，(2)式和(3)式仍然必須成立，如果si／/就是si*，則與上相同也證明了命題。否則用si/／代替si/重復(fù)上述過程。這樣，總會找到某個si(k)就是si*,從而證明在前述假設(shè)下必然導(dǎo)致(1)式和(3)式的矛盾，否定前述假設(shè)成立的可能性，由此證實命題2。1/10/202326進一步推定在某階段存在si/／是相對于si/的§3無限策略博弈分析和反應(yīng)函數(shù)根據(jù)上一節(jié)的分析已經(jīng)明白，分析完全信息靜態(tài)博弈的關(guān)鍵是找出其中的納什均衡。但前面所討論都是可通過策略之間的兩兩比較進行分析的有限策略博弈模型。在無限策略、連續(xù)策略空間的博弈中，納什均衡的概念同樣適用。我們通過具體模型來說明這種博弈的納什均衡分析方法。1/10/202327§3無限策略博弈分析和反應(yīng)函數(shù)根據(jù)上一節(jié)的分一、古諾（Cournot）模型

古諾模型是研究寡頭壟斷市場的經(jīng)典模型，在古諾模型中,假設(shè)一個市場有兩家生產(chǎn)同一種產(chǎn)品廠商。如果廠商1的產(chǎn)量為q1，廠商2的產(chǎn)量為q2，則市場總產(chǎn)量為Q＝q1十q2。設(shè)市場出清價格P(即可以將產(chǎn)品全部賣出去的價格)是市場總產(chǎn)量的函數(shù)(即逆需求函數(shù))P=P(Q)=Q=(q1q2)。再設(shè)兩廠商有相同的單位生產(chǎn)成本c1=c2=c,且都沒有固定成本，則該博弈中兩博弈方的得益(即兩廠商各目的利潤)分別為:

1/10/202328一、古諾（Cournot）模型古諾模型是研究寡頭和雖然本博弈中兩博弈方都有無限多種可選策略，但根據(jù)納什均衡的定義我們知道，納什均衡就是具有相互是最優(yōu)對策性質(zhì)的各博弈方策略組成的策略組合。1/10/202329和雖然本博弈中兩博弈方都有無限多種可選策略，但根據(jù)納因此，如果假設(shè)策略組合(q1*,q2*)是本博弈的納什均衡，則(q1*,q2*)必須是使得兩博弈方的得益達(dá)到最大值,即滿足:1/10/202330因此，如果假設(shè)策略組合(q1*,q2*)是要求上式的最大值,只需(1)、(2)兩式分別對q1、q2求偏導(dǎo)并令兩個偏導(dǎo)數(shù)都等于零,由此可得q1*,q2*應(yīng)滿足方程組:1/10/202331要求上式的最大值,只需(1)、(2)兩式分別對q1、解之得該方程組唯—的一組解:兩博弈方的均衡得益(利潤)分別為:均衡總產(chǎn)量為：具體地,若設(shè):則:1/10/202332解之得該方程組唯—的一組解:兩博弈方的均衡得益(利潤)分別為如果想對上述博弈結(jié)果作效率評價，可以再從兩廠商總體利益最大化的角度作一次產(chǎn)量選擇，根據(jù)向場條件求實現(xiàn)總得益(總利潤)最大的總產(chǎn)量。設(shè)總產(chǎn)量為Q，則總得益為U＝P(Q)－cQ＝Q(8－Q)－2Q＝6Q－Q2。很容易求得使總得益最大的總產(chǎn)量Q*＝3，最大總得益U*＝9。1/10/202333如果想對上述博弈結(jié)果作效率評價，可以再從兩廠將此結(jié)果與兩廠商獨立決策，追求自身而不是共同利益最大化時的博弈結(jié)果相比，不難發(fā)現(xiàn)此時總產(chǎn)量較小，而總利潤卻較高。因此從兩廠商的總體來看，根據(jù)總體利益最大化確定產(chǎn)量效率更高。換句話說，如果兩廠商更多考慮合作，聯(lián)合起來決定產(chǎn)量，先定出使總利益最大的產(chǎn)量后各自生產(chǎn)一半(1.5,1.5單位)，則各自可分享到的利益為4.5，比只考慮自身利益的獨立決策行為得到的利益要高。1/10/202334將此結(jié)果與兩廠商獨立決策，追求自身而不是共同當(dāng)然，在獨立決策、缺乏協(xié)調(diào)機制的兩個企業(yè)之間，上述合作的結(jié)果并不容易實現(xiàn)，即使實現(xiàn)了也往往是不穩(wěn)定的。合作難以實現(xiàn)或維持的原因主要是。各生產(chǎn)一半實現(xiàn)最大總利潤產(chǎn)量的產(chǎn)量組合(1.5,1.5）不是該博弈的納什均衡策略組合。1/10/202335當(dāng)然，在獨立決策、缺乏協(xié)調(diào)機制的兩個企業(yè)之間，也就是說，在這個策略組合下，雙力都可以通過獨自改變(增加)自己的產(chǎn)量而得到更高的利潤，它們都有突破1.5單位產(chǎn)量的沖動。在缺乏由強制作用的協(xié)議等保障手段的情況下，這種沖動注定了維持上述較低水平的產(chǎn)量組合是不可能的，兩廠商早晚都會增產(chǎn)，只有達(dá)到納什均衡的產(chǎn)量水平(2，2)時才會穩(wěn)定下來。因為只有這時候任一廠商單獨改變產(chǎn)量才不利于自己，這實際上也是一種“囚徒困境”，如果將遵守限額還是突破限額作為廠商面臨的選擇，則構(gòu)成了得益矩陣如下圖的博弈。1/10/202336也就是說，在這個策略組合下，雙力都可以通過獨4.5,4.53.75,55,3.754,4廠商2不突破突破當(dāng)然不難看出該博弈是一個囚徒困境博弈。上述兩寡頭產(chǎn)量博弈只是古諾模型中比較簡單的—個特例，更一般的古諾模型是包括n個寡頭的寡占市場產(chǎn)量決策。但其分析方法是一樣的。F41/10/2023374.5,4.53.75,55,3.754,4二、反應(yīng)函數(shù)古諾模型的納什均衡也可以通過對劃線法思路的推廣來求，劃線法的思路是先找出每個博弈方針對其他博弈方所有策略(或策略組合)的最佳對策，然后再找出相互構(gòu)成最佳對策的各博弈方策略組成的策略組合，也就是博弈的納什均衡。在無限策略的古諾博弈模型中這樣的思路實際上也是可行的，只是其他博弈方的策略現(xiàn)在有無限多種，因此各個博弈方的最佳對策也有無限種，它們之間往往構(gòu)成一種連續(xù)函數(shù)關(guān)系。1/10/202338二、反應(yīng)函數(shù)古諾模型的納什均衡也可以通過對劃線法在上面討論的兩寡頭古諾模型中，對廠商2的任意產(chǎn)量q2，廠商1的最佳對策產(chǎn)量q1，就是使白己在廠商2生產(chǎn)產(chǎn)量q2的情況下利潤最大化的產(chǎn)量，即q1是最大化問題：的解。上式對q1求導(dǎo)并令導(dǎo)數(shù)等于0：由此得：1/10/202339在上面討論的兩寡頭古諾模型中，對廠商2的任意產(chǎn)這樣我們得到了對于廠商2的每—個可能的產(chǎn)量，廠商1的最佳對策產(chǎn)量的計算公式，它是廠商2產(chǎn)量的一個連續(xù)函數(shù)，我們稱這個連續(xù)函數(shù)為廠商1對廠商2產(chǎn)量的一個“反應(yīng)函數(shù)”(ReactionFunction)。同樣的方法，我們可再求出廠商2對廠商1產(chǎn)量q1的反應(yīng)函數(shù)：q26363q1由于這兩個反應(yīng)函數(shù)都是連續(xù)的線性函數(shù)，因此可以用坐標(biāo)平面上的兩條直線表示它們,如圖:(2,2)1/10/202340這樣我們得到了對于廠商2的每—個可能的產(chǎn)量，從圖中可以看出，當(dāng)一方的產(chǎn)量選擇為0時，另一方的最佳反應(yīng)為3。這正是實現(xiàn)市場總利潤最大的產(chǎn)量，因為這時候等于由一個廠商壟斷市場，市場總體利潤就是該廠商的利益；當(dāng)一方的產(chǎn)量達(dá)到6時，另一方被迫選擇0，因為這時后者堅持生產(chǎn)已經(jīng)無利可圖。在兩個反應(yīng)函數(shù)對應(yīng)的兩條直線上，只有它們的交點(2，2)代表的產(chǎn)量組合，才是由相互對對方的最佳反應(yīng)產(chǎn)量構(gòu)成的。R1(q2)上的其他所有點(q1,q2)只有q1是對q2的最佳反應(yīng)，q2

不是對q1的最佳反應(yīng)，而R2(q1)上的點則剛好相反。1/10/202341從圖中可以看出，當(dāng)一方的產(chǎn)量選擇為0時，另一方根據(jù)納什均衡的定義，(2，2)是該古諾模型的納什均衡，并且因為它是惟的一個，因此應(yīng)該是該博弈的結(jié)果。這個結(jié)論與前面直接根據(jù)納什均衡定義得到的完全—樣?，F(xiàn)在我們把反應(yīng)函數(shù)法應(yīng)用到伯特蘭德模型的分析。伯持蘭德1883年提出了另一種形式的寡占模型。這種模型與選擇產(chǎn)量的古諾模型的區(qū)別在于，伯特蘭德模型中各廠商所選擇的是價格而不是產(chǎn)量。我們用簡單的兩寡頭且產(chǎn)品有一定差別的伯特蘭德價格博弈模型進行分析。二、伯特蘭德(Bertrand)寡頭模型1/10/202342根據(jù)納什均衡的定義，(2，2)是該古諾模型的納上述產(chǎn)品有一定差別是指兩個廠商生產(chǎn)的是同類產(chǎn)品，但在品牌、質(zhì)量和包裝等方面有所不同，因此伯特蘭德模型中廠商的產(chǎn)品之間有很強的替代性．但又不是完全可替代，即價格不同時，價格較高的不會完全銷不出去。當(dāng)廠商1和廠商2價格分別為P1和P2時，它們各自的需求函數(shù)為：和1/10/202343上述產(chǎn)品有一定差別是指兩個廠商生產(chǎn)的是同類產(chǎn)從上式可以看出產(chǎn)品之間是有差別的，其中d1，d2＞0即兩廠商產(chǎn)品的替代系數(shù)。我們也假設(shè)兩廠商無固定成本，假設(shè)邊際生產(chǎn)成本分別為c1和c2。兩博弈方的得益函數(shù)分別為：我們直接用反應(yīng)函數(shù)法分析這個博弈。上兩式分別對P1和P2求偏導(dǎo)，并令偏導(dǎo)數(shù)為0，由此得：1/10/202344從上式可以看出產(chǎn)品之間是有差別的，其中d1，d很容易求出兩廠商對對方策略(價格)的反應(yīng)函數(shù)分別為和1/10/202345很容易求出兩廠商對對方策略(價格)的反應(yīng)函數(shù)分別為和1/9/納什均衡(P1*，P2*)必是兩反應(yīng)函數(shù)的交點，即必須滿足：求解此方程組即可得到納什均衡(P1*，P2*)：記：1/10/202346納什均衡(P1*，P2*)必是兩反應(yīng)函數(shù)的交具體地，如果進一步假設(shè)模型中的參數(shù)分別為：將P1*，P2*代入得益函數(shù)則可進一步得到兩廠商的均衡得益值。則可以得到：P1*＝P2*＝20，u1*＝u2*＝414。1/10/202347具體地，如果進一步假設(shè)模型中的參數(shù)分別為：將P值得一提的另外一點是，這種價格決策與古諾模型中的產(chǎn)量決策一樣，其納什均衡也不如各博弈方通過協(xié)商、合作得到的最佳結(jié)果，因此也是囚徒困境的一種。上述模型是伯特蘭德模型較簡單的情況。更一般的情況是有n個寡頭的價格決策，并且產(chǎn)品也可以是無差別的。1/10/202348值得一提的另外一點是，這種價格決策與古諾模型隨著社會經(jīng)濟的不斷發(fā)展，我們越來越無法回避公共資源利用、公共設(shè)施提供和公共環(huán)境保護等方面的間題。而在這些問題中，也包含了眾多的博弈關(guān)系。我們以人們對公共資源利用方面的博弈關(guān)系為例來作一些討論。三、公共資源問題1/10/202349隨著社會經(jīng)濟的不斷發(fā)展，我們越來越無法回避公在經(jīng)濟學(xué)中，所謂公共資源是指具有(1)沒有哪個個人、企業(yè)或組織擁有所有權(quán)；(2)大家都可以自由利用，這樣兩個特征的自然資源或人類生產(chǎn)的供大眾免費使用的設(shè)施和財貨。例如大家都可以開采使用的地下水，可自由放牧的草地，可自由排放廢水的公共河道(假設(shè)政府未予限制)，以及公共道路、樓道的照明燈等。由于公共資源有上述兩個特征，因而利用這些資源時不支付任何代價，除非政府將這些資源收歸國有，并對使用者征收資源稅或收取類似的費用。1/10/202350在經(jīng)濟學(xué)中，所謂公共資源是指具有(1)沒有哪個個人最晚是從休漠1739年開始，政治經(jīng)濟學(xué)者們就己經(jīng)開始認(rèn)識到，在人們完全從自利動機出發(fā)自由利用公共資源時，公共資源傾向于被過度利用、低效率使用和浪費，并且過度利用會達(dá)到任何利用它們的人都無法得到實際好處的程度。我們用下面這個公共草地的放牧習(xí)題為例來論證這個結(jié)論。設(shè)某村莊有n個農(nóng)戶，該村有一片大家都可以自由放牧羊群的公共草地。出于這片草地的面積有限，因此只能讓不超過某一數(shù)量的羊群吃飽，如果在這片草地上放牧羊只的實際數(shù)量超過這個限度，則每只羊都無法吃飽，從而每只羊的產(chǎn)出(毛、皮、肉的總價值)就會減少，甚至只能勉強存活或要餓死。1/10/202351最晚是從休漠1739年開始，政治經(jīng)濟學(xué)者們就己經(jīng)假設(shè)這些農(nóng)戶在夏天才到公共草地放羊，而每年春天就要決定養(yǎng)羊的數(shù)量，因此可看作各農(nóng)戶在決定自己的養(yǎng)羊數(shù)量時是不知道其他農(nóng)戶養(yǎng)羊數(shù)的，即各農(nóng)戶決定養(yǎng)羊數(shù)的決策是同時作出的。再假設(shè)所有農(nóng)戶都清楚這片公共草地最多能養(yǎng)多少只羊和在羊只總數(shù)的不同水平下每只羊的產(chǎn)出。這就構(gòu)成了n個農(nóng)戶之間關(guān)于養(yǎng)羊數(shù)的一個博弈問題，并且是一個靜態(tài)博弈。在此博弈中，博弈方就是n個農(nóng)戶；他們各自的策略空間就是他們可能選擇的養(yǎng)羊數(shù)目qi(i=1,2,…,n)的取值范圍。1/10/202352假設(shè)這些農(nóng)戶在夏天才到公共草地放羊，而每年春當(dāng)各農(nóng)戶養(yǎng)羊數(shù)為q1、q2、…、qn時，在公共草地上放牧羊只的總數(shù)為Q＝q1＋q2＋…＋qn，根據(jù)前面的介紹，每只羊的產(chǎn)出應(yīng)是羊群總數(shù)Q的減函數(shù)V＝V(Q)＝V(q1、q2、…、qn)。假設(shè)購買和照料每只羊的成本對每個農(nóng)戶都是相同的不變常數(shù)c，則農(nóng)戶i養(yǎng)qi只羊的得益函數(shù)為：為了使討論比較簡單和能得到直觀的結(jié)論，我們進—步設(shè)定下列具體數(shù)值。假設(shè)n＝3，即只有三個農(nóng)戶，每只羊的產(chǎn)出函數(shù)為V＝100—Q＝100一(q1＋q2＋qn)，而成本c＝4。這時，三農(nóng)戶的得益函數(shù)分別為：1/10/202353當(dāng)各農(nóng)戶養(yǎng)羊數(shù)為q1、q2、…、qn時，在公共由于羊的數(shù)量不是連續(xù)可分的，田此上述函數(shù)不是連續(xù)函數(shù)。但我們在技術(shù)上也可以把羊的數(shù)量看作連續(xù)可分的，因此上述得益函數(shù)仍然可當(dāng)作連續(xù)函數(shù)來處理。分別求三農(nóng)戶各自對其他兩農(nóng)戶策略(養(yǎng)羊數(shù))的反應(yīng)函數(shù)，得：1/10/202354由于羊的數(shù)量不是連續(xù)可分的，田此上述函數(shù)不是三個反應(yīng)函數(shù)的交點(q1*,q2*,q3*)就是博弈的納什均衡。我們將q1*,q2*,q3*代入上述應(yīng)函數(shù)，并解此聯(lián)立方程組，即得q1*＝q2*＝q3*＝24，再將其代入三農(nóng)戶的得益函數(shù)，則可得u1*＝u2*＝u3*＝576，此即三農(nóng)戶獨立同時決定在公共草地放羊數(shù)量時所能得到的利益。1/10/202355三個反應(yīng)函數(shù)的交點(q1*,q2*,q3*)為了對公共資源的利用效率作出評價，我們同樣也可討論總體利益最大的最佳羊只數(shù)量。設(shè)在該草地上羊只的總數(shù)為Q。則總得益為：使總得益u最大的養(yǎng)羊數(shù)Q*必使總得益函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0，容易求得：Q*＝48，總得益值u*＝2304。該結(jié)果比三農(nóng)戶各自獨自決定自己的養(yǎng)羊數(shù)量時三農(nóng)產(chǎn)得益的總和1728大了許多。而此時的養(yǎng)羊數(shù)Q*＝48則比三農(nóng)戶獨立決策時草地上的羊只總數(shù)3×24＝72小，因此，三農(nóng)戶獨立決策時實際上使草地處于過度放牧的情況，浪費了資源，農(nóng)戶也沒有獲到最好的效益。1/10/202356為了對公共資源的利用效率作出評價，我們同樣也可討論總?cè)绻鬓r(nóng)戶能將養(yǎng)羊數(shù)自覺限制在48／3＝16只，則他們都能得到更多的利益。但問題是他們面臨的也是—種囚徒的困境局面，因此很難實現(xiàn)這種理想的合作的結(jié)果。這個例子再一次證明了納什均衡，或者說非合作博弈的結(jié)果有可能是低效率的。在本例中，如果利用上述草地資源的農(nóng)戶數(shù)進一步增加，則納什均衡的效率會更低；如允許外來者任意加入利用該公共資源的行列，則所有利用該資源的人的利益很決都會消失，即羊只總數(shù)會隨著放牧農(nóng)戶數(shù)的增加而增加到剛好不至于虧損的水平，各農(nóng)戶將完全不能從在公共草地上養(yǎng)羊得到任何好處，公共資源等于完全被浪費掉。1/10/202357如果各農(nóng)戶能將養(yǎng)羊數(shù)自覺限制在48／3＝16只，公共資源利用方面常會出現(xiàn)這樣的悲劇，原因是每個可以利用公共資源的人都相當(dāng)于面臨著一種囚徒的困境；在總體上有加大利用資源可能(至少加大利用者白身還能增加得益)時，自己加大利用而他人不加大利用則自己得利。自己加大利用但其他人也加大利用則自己不至于吃虧，最終是所有人都加大利用資源直至再加大只會減少利益的納什均衡水平，而這個水平肯定比實現(xiàn)資源最佳利用效率，同時也是個人最佳效率的水平要高。F51/10/202358公共資源利用方面常會出現(xiàn)這樣的悲劇，原因是每

公共設(shè)施問題也是類似的問題。在許多需要人類生產(chǎn)、提供的公共設(shè)施的問題上，做搭便車者(FreeRider)總是比做提供者合算。因此許多必需的公共設(shè)施，如樓道里的電燈等就總是沒人提供。這些公共資源博弈問題的結(jié)果說明了在公共資源的利用、公共設(shè)施的提供方面，政府的組織、協(xié)調(diào)和制約是非常必要的，這也可以說是政府之所以有必要存在的主要理由之一。1/10/202359公共設(shè)施問題也是類似的問題。在許多需要人類生產(chǎn)、現(xiàn)在考慮一般情況：n個農(nóng)戶養(yǎng)羊數(shù)分別為q1、q2、…、qn時，羊只總數(shù)為Q＝q1＋q2＋…＋qn，每只羊的產(chǎn)出為v＝v(Q)＝v(q1、q2、…、qn)。是減函數(shù)，我們假定：每只羊的成本為c，則農(nóng)戶i的得益函數(shù)為：1/10/202360現(xiàn)在考慮一般情況：n個農(nóng)戶養(yǎng)羊數(shù)分別為q1、q2則農(nóng)戶i的得益最優(yōu)化的一階條件是：上述一階條件可以作如下解釋：增加一只羊由正負(fù)兩方面的效應(yīng)，正的效應(yīng)是這只羊本身的價值v，負(fù)的效應(yīng)是這只羊是他之前所有的羊的價值下降（qiv/(Q)<0)。最優(yōu)解滿足邊際收益等于邊際成本的條件。1/10/202361則農(nóng)戶i的得益最優(yōu)化的一階條件是：上又因為：上述n個一階條件得到n個反應(yīng)函數(shù)：1/10/202362又因為：上述n個一階條件得到n個反應(yīng)函數(shù)：1/9/20236即第i個農(nóng)民的飼養(yǎng)量隨其他農(nóng)民的飼養(yǎng)量的增加而遞減。所以：1/10/202363即第i個農(nóng)民的飼養(yǎng)量隨其他農(nóng)民的飼養(yǎng)量的增加反應(yīng)函數(shù)法的概念和思路非常簡店明了，它解決了我們分析一般的具有無限多種策略，有連續(xù)策略空間的博弈模型，因此反應(yīng)函數(shù)法在博弈分析中非常有用。五、反應(yīng)函數(shù)的問題和局限性但這并不等于說有了反應(yīng)函數(shù)的概念，就可以解決所有博弈的分析，或者分析出所有博弈的最終結(jié)果。1/10/202364反應(yīng)函數(shù)法的概念和思路非常簡店明了，它解決了我因為在許多博弈中，博弈方的策略是很有限的而不是很多的，更不是連續(xù)的，博弈方的得益函數(shù)并不是連續(xù)的可導(dǎo)函數(shù)，所以無法用先求導(dǎo)找出各個博弈方的反應(yīng)函數(shù)，再解聯(lián)立方程組的方法求納什均衡，反應(yīng)函數(shù)法在分析這樣的博弈模型時不能發(fā)揮作用。

更進一步，即使我們討論的博弈問題中各博弈方的得益函數(shù)可以求導(dǎo)，可以導(dǎo)出各個博弈方的反應(yīng)函數(shù)。也并不意味著反應(yīng)函數(shù)法就一定能完全解決這些博弈。1/10/202365因為在許多博弈中，博弈方的策略是很有限的而不因為在有些博弈問題中，各個博弈方的得益函數(shù)比較復(fù)雜，因而各自的反應(yīng)函數(shù)也比較復(fù)雜，并不總是能夠保證各個博弈方的反應(yīng)函數(shù)有交點，特別是不能保證有惟一的交點。事實上，后面將反應(yīng)函數(shù)擴展到混臺策略時，就很容易出現(xiàn)多重交點反應(yīng)函數(shù)的圖形。1/10/202366因為在有些博弈問題中，各個博弈方的得益函數(shù)第二章完全信息靜態(tài)博弈一、上策均衡§1基本分析思路和方法假設(shè)一個博弈有n個博弈方，博弈方i的策略集(又稱策略空間)為Si(i=1,2,…,n)

，用sij∈Si表示博弈方i的第j個策略；若si∈Si(i=1,2,…,n),稱s=(s1,s2,…,sn)為一個策略組合；若用s-i=(s1,s2,…,si-1,si+1,…,sn),則s=(si,s-i)。1/10/202367第二章完全信息靜態(tài)博弈一、上策均衡§1用ui(s)=ui(s1,s2,…,sn)(i=1,2,…,n)表示博弈方i在策略組合s=(s1,s2,…,sn)的得益,ui是策略集S1×S2×…×Sn上的多元函數(shù)。

定義1：若一個博弈的策略空間為Si,得益函數(shù)為：ui(s)=ui(s1,s2,…,sn)(i=1,2,…,n),則該博弈表示為：G={S1,S2,…,Sn；u1,u2,…,un}

。

定義2：一個博弈G,若對博弈方i及所用s－i都有ui(si／,s-i)>ui(si／／,s-i)，則稱si／是si／／的嚴(yán)格上策，si／／是si／的嚴(yán)格下策。1/10/202368用ui(s)=ui(s1,s2,…,sn)(i

定義3：若在博弈G中對每個博弈方i都存在策略si*是其它所有策略的嚴(yán)格上策,則稱策略組合s*=(s1*,s2*,…,sn*)是G的上策均衡。在第一章的“囚徒困境”博弈中，其中（坦白，坦白）就是一個上策均衡。而其它例子都沒有上策均衡。上策均衡反映了所有博弈方的絕對偏好，因此非常穩(wěn)定，根據(jù)上策均衡可以對博弈結(jié)果作出最肯定的預(yù)測。1/10/202369定義3：若在博弈G中對每個博弈方i都存在策略s二、嚴(yán)格下策反復(fù)消去法在博弈G中博弈方的嚴(yán)格下策當(dāng)然是博弈方實際上不愿選擇的策略，因此可以從博弈方的策略集中去掉。

定義：若博弈G中每個博弈方都反復(fù)去掉嚴(yán)格下策后剩下唯一策略組合s*=(s1*,s2*,…,sn*)，則稱s*=(s1*,s2*,…,sn*)為G的反復(fù)消去嚴(yán)格下策均衡。1/10/202370二、嚴(yán)格下策反復(fù)消去法在博弈G中博弈方的嚴(yán)格下策當(dāng)然顯然第一章的“智豬博弈”中大豬“按”、小豬“等待”是一個反復(fù)消去嚴(yán)格下策均衡。例1：博弈G如右圖：1,01,30,10,40,20,0博弈方Ⅱ左中右求解反復(fù)消去嚴(yán)格下策均衡的方法成為嚴(yán)格下策反復(fù)消去法。1/10/202371顯然第一章的“智豬博弈”中大豬“按”、小豬“等

解：博弈方Ⅱ的策略“右”是策略“中”的嚴(yán)格下策，消去策略“右”后為：0,41,00,21,3左中博弈方Ⅰ的策略“下”是策略“上”的嚴(yán)格下策，消去策略“下”后為：1,01,3左中上博弈方Ⅱ的策略“左”是策略“中”的嚴(yán)格下策，消去策略“左”后為可知（上，中）就是該博弈反復(fù)消去嚴(yán)格下策均衡。1,01,30,10,40,20,01/10/202372解：博弈方Ⅱ的策略“右”是策略“中”的嚴(yán)格下嚴(yán)格下策反復(fù)消去法中每次消去的必須是嚴(yán)格上策，否則會出現(xiàn)一些意想不到的結(jié)果。例2：博弈G如下圖：1,81,62,80,80,80,91,50,80,6博弈方ⅡLMR1/10/202373嚴(yán)格下策反復(fù)消去法中每次消去的必須是嚴(yán)格上策，1,81,62,80,80,80,91,50,80,6

解：1）博弈方Ⅱ的策略“L”和“M”都是策略“R”的下策(不是嚴(yán)格下策)，消去策略“L”和“M”后為：0,90,81,8R博弈方Ⅰ的策略“S”和“D”都是策略“U”的嚴(yán)格下策，消去策略“S”和“D”后剩下唯一策略組合（U,R）。1/10/2023741,81,62,80,80,80,92）博弈方Ⅰ的策略“S”和“D”都是策略“U”的下策(不是嚴(yán)格下策)，消去策略“S”和“D”后為:1,81,62,8LMRU博弈方Ⅱ的策略“M”和“R”都是策略“L”的下策(不是嚴(yán)格下策)，消去策略“M”和“L”后剩下唯一策略組合（U,L）。1,81,62,80,80,80,91,50,80,61/10/2023752）博弈方Ⅰ的策略“S”和“D”都是策略“U§2納什均衡一、納什均衡的定義

定義4：博弈G={S1,S2,…,Sn；u1,u2,…,un}中，若存在策略組合s*=(s1*,s2*,…,sn*)，任一博弈方i的策略si*都是對其余博弈方策略組合s-i*＝(s1*,s2*,…,si-1*,si+1*,…,sn*)最佳對策，即ui(si*,s-i*)≥ui(si,s-i*)對任意si∈Si都成立，則稱s*=(s1*,s2*,…,sn*)是G的一個納什均衡。1/10/202376§2納什均衡一、納什均衡的定義定二、納什均衡的求解方法1、劃線法對其他博弈方的任一策略組合，找出博弈方i的最佳策略，并在其得益值下劃線。若存在一個策略組合，使得所有博弈方的得益值下都劃了線，則該策略組合就是一個納什均衡。1/10/202377二、納什均衡的求解方法1、劃線法對其他博弈方例1：博弈G如右圖：0,41,00,00,20,11,3博弈方Ⅱ左中右解：該博弈的納什均衡為（上，中）。1/10/202378例1：博弈G如右圖：0,41,00,00,2例2：博弈G如下圖：2,81,61,80,80,60,80,81,50,9博弈方ⅡLMR解：該博弈有兩個納什均衡(U,L)和(U,R)。1/10/202379例2：博弈G如下圖：2,81,61,80,82、箭頭法考察在每個策略組合處各個博弈方能否通過單獨改變自己的策略而增加得益。如能，則從所分析的策略組合對應(yīng)的得益數(shù)組引一箭頭，到改變策略后策略組合對應(yīng)的得益數(shù)組。若存在一策略組合，其得益數(shù)組只有進來的箭頭而沒有出去的箭頭，則該策略組合就是納什均衡。1/10/2023802、箭頭法考察在每個策略組合處各個博弈方能否通例3：博弈G如右圖：1,01,30,10,40,20,0博弈方Ⅱ左中右納什均衡為（上，中）。1/10/202381例3：博弈G如右圖：1,01,30,10,4斗雞B進攻退卻-3,-32,00,20,0例4：斗雞博弈(進，退)和(退，進)是兩個納什均衡。1/10/202382斗雞B-3,-32,00,20,0例4：斗二、納什均衡的一致預(yù)測性一致預(yù)測性是指這樣一種性質(zhì)：如果所有博弈方都預(yù)測一個特定的博弈結(jié)果會出現(xiàn)，那么所有的博弈方都不會利用該預(yù)測或者這種預(yù)測能力，選擇與預(yù)測結(jié)果不一致的策略，即沒有哪個博弈方有偏離這個預(yù)測結(jié)果的愿望，因此這個預(yù)測結(jié)果最終真會成為博弈的結(jié)果。一致預(yù)測性是納什均衡的本質(zhì)屬性，納什均衡是穩(wěn)定的和自我強制的.1/10/202383二、納什均衡的一致預(yù)測性一致預(yù)測性是指這樣三、納什均衡與嚴(yán)格下策反復(fù)消去法上策均衡肯定是納什均衡，但反過來納什均衡不一定是上策均衡，因此上策均衡是比納什均衡更強、穩(wěn)定性更高的均衡概念。只是，上策均衡在博弈問題中的普遍性比納什均衡要差得多。1/10/202384三、納什均衡與嚴(yán)格下策反復(fù)消去法上策均衡肯定是納命題1：在n個博弈方的博弈G={S1,S2,…,Sn；u1,u2,…,un}中，如果s*=(s1*,s2*,…,sn*)是G的一個納什均衡，那么嚴(yán)格下策反復(fù)消去法一定不會將它消去。證：用反證法：設(shè)策略組合

(s1*,s2*,…,sn*)是博弈G的一個納什均衡，且博弈方i的策略si*，是該策略組合中第一個由于相對于該博弈方的其他策略是嚴(yán)格下策而被消去的策略(也許是在其他某些策略被消去以后)。則必然存在博弈方i的某個策略si／，該si／在si*被消去的時候還沒有被消去，并且是相對于si*的嚴(yán)格上策，即滿足：1/10/202385命題1：在n個博弈方的博弈G={S1,S2,…,Sn；ui(si／,s-i)>ui(si＊,s-i)…(1)對任意由其他博弈方此時尚未消去的所有策略構(gòu)成的策略組合s-i=(s1,…,si-1,si+1,…,sn)都成立。由于假設(shè)si＊是納什均衡(s1*,s2*,…,sn*)的各方策略中第一個被消去的，因此其他博弈方的策略s1＊,…,si-1＊,si+1＊,…,sn＊，在si＊被消去的時候都還沒有被消去，于是對s-i＊=(s1＊,…,si-1＊,si+1＊,…,sn＊)也必須成立．即:ui(si／,s-i*)>ui(si＊,s-i*)…(2)1/10/202386ui(si／,s-i)>ui(si＊,s-i)…這顯然與(s1*,s2*,…,sn*)是納什均衡策略組合的假設(shè)相矛盾，因為不等式(2)表明si＊不是博弈方i對其他博弈方的策略組合的最佳反應(yīng)。該矛盾證明了開頭所作的：納什均衡被嚴(yán)格下策反復(fù)消去法消去的假設(shè)是不可能成立的，這樣命題1就得到了證明。＃1/10/202387這顯然與(s1*,s2*,…,sn*)是納什均衡策命題2：在n個博弈方的博弈G中，如果嚴(yán)格下策反復(fù)消去法排除了除s*=(s1*,s2*,…,sn*)之外的所有策略組合，那么s*一定是該博弈惟一的納什均衡。

證：命題2的后半部分即惟一性可由命題1的結(jié)論得到證明。下面用反證法證明前半部分：1/10/202388命題2：在n個博弈方的博弈G中，如果嚴(yán)格下設(shè)嚴(yán)格下策反復(fù)消去法已經(jīng)消去除了s*=(s1*,s2*,…,sn*)以外的所有策略組合。但s*卻不是一個納什均衡。就是說，至少存在某個博弈方i的某個策略si使得：ui(si,s-i*)>ui(si*,s-i*)…(1)但由于s*是經(jīng)過嚴(yán)格下策反復(fù)消去法以后留下的惟一策略組合，因此si必然是被嚴(yán)格下策反復(fù)消去法消去的策略。也就是說，在嚴(yán)格下策反復(fù)消去過程中的某個階段，必然存在某個當(dāng)時還沒有被消去的策略si／使得：1/10/202389設(shè)嚴(yán)格下策反復(fù)消去法已經(jīng)消去除了s*=(s1*ui(si／,s-i)>ui(si／,s-i)…(2)對由此時尚未被消去的，其他博弈方的策略構(gòu)成的所有策略組合s-i都成立。由于s*是本博弈經(jīng)過嚴(yán)格下策反復(fù)消去法以后惟一留下的策略組合，因此策略s1＊,…,

si-1＊,si+1＊,…,sn＊始終不會被消去，因此也應(yīng)該滿足(2)式，即:ui(si/,s-i*)>ui(si,s-i*)…(3)1/10/202390ui(si／,s-i)>ui(si／,s-i)…(如果si/就是si*,即si*是相對于si的嚴(yán)格上策，則(3)式和(1)式相矛盾，從而s*不是納什均衡的假設(shè)不能成立。這就證明了命題。如果si/與si*不同，則si/在嚴(yán)格下策反復(fù)消去的過程中也必須被消去(要不然s*就不會是留下的惟一的策略組合)。1/10/202391如果si/就是si*,即si*是相對于si進一步推定在某階段存在si/／是相對于si/的嚴(yán)格上策，用si/／和si/分別代替si/和si時，(2)式和(3)式仍然必須成立，如果si／/就是si*，則與上相同也證明了命題。否則用si/／代替si/重復(fù)上述過程。這樣，總會找到某個si(k)就是si*,從而證明在前述假設(shè)下必然導(dǎo)致(1)式和(3)式的矛盾，否定前述假設(shè)成立的可能性，由此證實命題2。1/10/202392進一步推定在某階段存在si/／是相對于si/的§3無限策略博弈分析和反應(yīng)函數(shù)根據(jù)上一節(jié)的分析已經(jīng)明白，分析完全信息靜態(tài)博弈的關(guān)鍵是找出其中的納什均衡。但前面所討論都是可通過策略之間的兩兩比較進行分析的有限策略博弈模型。在無限策略、連續(xù)策略空間的博弈中，納什均衡的概念同樣適用。我們通過具體模型來說明這種博弈的納什均衡分析方法。1/10/202393§3無限策略博弈分析和反應(yīng)函數(shù)根據(jù)上一節(jié)的分一、古諾（Cournot）模型

古諾模型是研究寡頭壟斷市場的經(jīng)典模型，在古諾模型中,假設(shè)一個市場有兩家生產(chǎn)同一種產(chǎn)品廠商。如果廠商1的產(chǎn)量為q1，廠商2的產(chǎn)量為q2，則市場總產(chǎn)量為Q＝q1十q2。設(shè)市場出清價格P(即可以將產(chǎn)品全部賣出去的價格)是市場總產(chǎn)量的函數(shù)(即逆需求函數(shù))P=P(Q)=Q=(q1q2)。再設(shè)兩廠商有相同的單位生產(chǎn)成本c1=c2=c,且都沒有固定成本，則該博弈中兩博弈方的得益(即兩廠商各目的利潤)分別為:

1/10/202394一、古諾（Cournot）模型古諾模型是研究寡頭和雖然本博弈中兩博弈方都有無限多種可選策略，但根據(jù)納什均衡的定義我們知道，納什均衡就是具有相互是最優(yōu)對策性質(zhì)的各博弈方策略組成的策略組合。1/10/202395和雖然本博弈中兩博弈方都有無限多種可選策略，但根據(jù)納因此，如果假設(shè)策略組合(q1*,q2*)是本博弈的納什均衡，則(q1*,q2*)必須是使得兩博弈方的得益達(dá)到最大值,即滿足:1/10/202396因此，如果假設(shè)策略組合(q1*,q2*)是要求上式的最大值,只需(1)、(2)兩式分別對q1、q2求偏導(dǎo)并令兩個偏導(dǎo)數(shù)都等于零,由此可得q1*,q2*應(yīng)滿足方程組:1/10/202397要求上式的最大值,只需(1)、(2)兩式分別對q1、解之得該方程組唯—的一組解:兩博弈方的均衡得益(利潤)分別為:均衡總產(chǎn)量為：具體地,若設(shè):則:1/10/202398解之得該方程組唯—的一組解:兩博弈方的均衡得益(利潤)分別為如果想對上述博弈結(jié)果作效率評價，可以再從兩廠商總體利益最大化的角度作一次產(chǎn)量選擇，根據(jù)向場條件求實現(xiàn)總得益(總利潤)最大的總產(chǎn)量。設(shè)總產(chǎn)量為Q，則總得益為U＝P(Q)－cQ＝Q(8－Q)－2Q＝6Q－Q2。很容易求得使總得益最大的總產(chǎn)量Q*＝3，最大總得益U*＝9。1/10/202399如果想對上述博弈結(jié)果作效率評價，可以再從兩廠將此結(jié)果與兩廠商獨立決策，追求自身而不是共同利益最大化時的博弈結(jié)果相比，不難發(fā)現(xiàn)此時總產(chǎn)量較小，而總利潤卻較高。因此從兩廠商的總體來看，根據(jù)總體利益最大化確定產(chǎn)量效率更高。換句話說，如果兩廠商更多考慮合作，聯(lián)合起來決定產(chǎn)量，先定出使總利益最大的產(chǎn)量后各自生產(chǎn)一半(1.5,1.5單位)，則各自可分享到的利益為4.5，比只考慮自身利益的獨立決策行為得到的利益要高。1/10/2023100將此結(jié)果與兩廠商獨立決策，追求自身而不是共同當(dāng)然，在獨立決策、缺乏協(xié)調(diào)機制的兩個企業(yè)之間，上述合作的結(jié)果并不容易實現(xiàn)，即使實現(xiàn)了也往往是不穩(wěn)定的。合作難以實現(xiàn)或維持的原因主要是。各生產(chǎn)一半實現(xiàn)最大總利潤產(chǎn)量的產(chǎn)量組合(1.5,1.5）不是該博弈的納什均衡策略組合。1/10/2023101當(dāng)然，在獨立決策、缺乏協(xié)調(diào)機制的兩個企業(yè)之間，也就是說，在這個策略組合下，雙力都可以通過獨自改變(增加)自己的產(chǎn)量而得到更高的利潤，它們都有突破1.5單位產(chǎn)量的沖動。在缺乏由強制作用的協(xié)議等保障手段的情況下，這種沖動注定了維持上述較低水平的產(chǎn)量組合是不可能的，兩廠商早晚都會增產(chǎn)，只有達(dá)到納什均衡的產(chǎn)量水平(2，2)時才會穩(wěn)定下來。因為只有這時候任一廠商單獨改變產(chǎn)量才不利于自己，這實際上也是一種“囚徒困境”，如果將遵守限額還是突破限額作為廠商面臨的選擇，則構(gòu)成了得益矩陣如下圖的博弈。1/10/2023102也就是說，在這個策略組合下，雙力都可以通過獨4.5,4.53.75,55,3.754,4廠商2不突破突破當(dāng)然不難看出該博弈是一個囚徒困境博弈。上述兩寡頭產(chǎn)量博弈只是古諾模型中比較簡單的—個特例，更一般的古諾模型是包括n個寡頭的寡占市場產(chǎn)量決策。但其分析方法是一樣的。F41/10/20231034.5,4.53.75,55,3.754,4二、反應(yīng)函數(shù)古諾模型的納什均衡也可以通過對劃線法思路的推廣來求，劃線法的思路是先找出每個博弈方針對其他博弈方所有策略(或策略組合)的最佳對策，然后再找出相互構(gòu)成最佳對策的各博弈方策略組成的策略組合，也就是博弈的納什均衡。在無限策略的古諾博弈模型中這樣的思路實際上也是可行的，只是其他博弈方的策略現(xiàn)在有無限多種，因此各個博弈方的最佳對策也有無限種，它們之間往往構(gòu)成一種連續(xù)函數(shù)關(guān)系。1/10/2023104二、反應(yīng)函數(shù)古諾模型的納什均衡也可以通過對劃線法在上面討論的兩寡頭古諾模型中，對廠商2的任意產(chǎn)量q2，廠商1的最佳對策產(chǎn)量q1，就是使白己在廠商2生產(chǎn)產(chǎn)量q2的情況下利潤最大化的產(chǎn)量，即q1是最大化問題：的解。上式對q1求導(dǎo)并令導(dǎo)數(shù)等于0：由此得：1/10/2023105在上面討論的兩寡頭古諾模型中，對廠商2的任意產(chǎn)這樣我們得到了對于廠商2的每—個可能的產(chǎn)量，廠商1的最佳對策產(chǎn)量的計算公式，它是廠商2產(chǎn)量的一個連續(xù)函數(shù)，我們稱這個連續(xù)函數(shù)為廠商1對廠商2產(chǎn)量的一個“反應(yīng)函數(shù)”(ReactionFunction)。同樣的方法，我們可再求出廠商2對廠商1產(chǎn)量q1的反應(yīng)函數(shù)：q26363q1由于這兩個反應(yīng)函數(shù)都是連續(xù)的線性函數(shù)，因此可以用坐標(biāo)平面上的兩條直線表示它們,如圖:(2,2)1/10/2023106這樣我們得到了對于廠商2的每—個可能的產(chǎn)量，從圖中可以看出，當(dāng)一方的產(chǎn)量選擇為0時，另一方的最佳反應(yīng)為3。這正是實現(xiàn)市場總利潤最大的產(chǎn)量，因為這時候等于由一個廠商壟斷市場，市場總體利潤就是該廠商的利益；當(dāng)一方的產(chǎn)量達(dá)到6時，另一方被迫選擇0，因為這時后者堅持生產(chǎn)已經(jīng)無利可圖。在兩個反應(yīng)函數(shù)對應(yīng)的兩條直線上，只有它們的交點(2，2)代表的產(chǎn)量組合，才是由相互對對方的最佳反應(yīng)產(chǎn)量構(gòu)成的。R1(q2)上的其他所有點(q1,q2)只有q1是對q2的最佳反應(yīng)，q2

不是對q1的最佳反應(yīng)，而R2(q1)上的點則剛好相反。1/10/2023107從圖中可以看出，當(dāng)一方的產(chǎn)量選擇為0時，另一方根據(jù)納什均衡的定義，(2，2)是該古諾模型的納什均衡，并且因為它是惟的一個，因此應(yīng)該是該博弈的結(jié)果。這個結(jié)論與前面直接根據(jù)納什均衡定義得到的完全—樣?，F(xiàn)在我們把反應(yīng)函數(shù)法應(yīng)用到伯特蘭德模型的分析。伯持蘭德1883年提出了另一種形式的寡占模型。這種模型與選擇產(chǎn)量的古諾模型的區(qū)別在于，伯特蘭德模型中各廠商所選擇的是價格而不是產(chǎn)量。我們用簡單的兩寡頭且產(chǎn)品有一定差別的伯特蘭德價格博弈模型進行分析。二、伯特蘭德(Bertrand)寡頭模型1/10/2023108根據(jù)納什均衡的定義，(2，2)是該古諾模型的納上述產(chǎn)品有一定差別是指兩個廠商生產(chǎn)的是同類產(chǎn)品，但在品牌、質(zhì)量和包裝等方面有所不同，因此伯特蘭德模型中廠商的產(chǎn)品之間有很強的替代性．但又不是完全可替代，即價格不同時，價格較高的不會完全銷不出去。當(dāng)廠商1和廠商2價格分別為P1和P2時，它們各自的需求函數(shù)為：和1/10/2023109上述產(chǎn)品有一定差別是指兩個廠商生產(chǎn)的是同類產(chǎn)從上式可以看出產(chǎn)品之間是有差別的，其中d1，d2＞0即兩廠商產(chǎn)品的替代系數(shù)。我們也假設(shè)兩廠商無固定成本，假設(shè)邊際生產(chǎn)成本分別為c1和c2。兩博弈方的得益函數(shù)分別為：我們直接用反應(yīng)函數(shù)法分析這個博弈。上兩式分別對P1和P2求偏導(dǎo)，并令偏導(dǎo)數(shù)為0，由此得：1/10/2023110從上式可以看出產(chǎn)品之間是有差別的，其中d1，d很容易求出兩廠商對對方策略(價格)的反應(yīng)函數(shù)分別為和1/10/2023111很容易求出兩廠商對對方策略(價格)的反應(yīng)函數(shù)分別為和1/9/納什均衡(P1*，P2*)必是兩反應(yīng)函數(shù)的交點，即必須滿足：求解此方程組即可得到納什均衡(P1*，P2*)：記：1/10/2023112納什均衡(P1*，P2*)必是兩反應(yīng)函數(shù)的交具體地，如果進一步假設(shè)模型中的參數(shù)分別為：將P1*，P2*代入得益函數(shù)則可進一步得到兩廠商的均衡得益值。則可以得到：P1*＝P2*＝20，u1*＝u2*＝414。1/10/2023113具體地，如果進一步假設(shè)模型中的參數(shù)分別為：將P值得一提的另外一點是，這種價格決策與古諾模型中的產(chǎn)量決策一樣，其納什均衡也不如各博弈方通過協(xié)商、合作得到的最佳結(jié)果，因此也是囚徒困境的一種。上述模型是伯特蘭德模型較簡單的情況。更一般的情況是有n個寡頭的價格決策，并且產(chǎn)品也可以是無差別的。1/10/2023114值得一提的另外一點是，這種價格決策與古諾模型隨著社會經(jīng)濟的不斷發(fā)展，我們越來越無法回避公共資源利用、公共設(shè)施提供和公共環(huán)境保護等方面的間題。而在這些問題中，也包含了眾多的博弈關(guān)系。我們以人們對公共資源利用方面的博弈關(guān)系為例來作一些討論。三、公共資源問題1/10/2023115隨著社會經(jīng)濟的不斷發(fā)展，我們越來越無法回避公在經(jīng)濟學(xué)中，所謂公共資源是指具有(1)沒有哪個個人、企業(yè)或組織擁有所有權(quán)；(2)大家都可以自由利用，這樣兩個特征的自然資源或人類生產(chǎn)的供大眾免費使用的設(shè)施和財貨。例如大家都可以開采使用的地下水，可自由放牧的草地，可自由排放廢水的公共河道(假設(shè)政府未予限制)，以及公共道路、樓道的照明燈等。由于公共資源有上述兩個特征，因而利用這些資源時不支付任何代價，除非政府將這些資源收歸國有，并對使用者征收資源稅或收取類似的費用。1/10/2023116在經(jīng)濟學(xué)中，所謂公共資源是指具有(1)沒有哪個個人最晚是從休漠1739年開始，政治經(jīng)濟學(xué)者們就己經(jīng)開始認(rèn)識到，在人們完全從自利動機出發(fā)自由利用公共資源時，公共資源傾向于被過度利用、低效率使用和浪費，并且過度利用會達(dá)到任何利用它們的人都無法得到實際好處的程度。我們用下面這個公共草地的放牧習(xí)題為例來論證這個結(jié)論。設(shè)某村莊有n個農(nóng)戶，該村有一片大家都可以自由放牧羊群的公共草地。出于這片草地的面積有限，因此只能讓不超過某一數(shù)量的羊群吃飽，如果在這片草地上放牧羊只的實際數(shù)量超過這個限度，則每只羊都無法吃飽，從而每只羊的產(chǎn)出(毛、皮、肉的總價值)就會減少，甚至只能勉強存活或要餓死。1/10/2023117最晚是從休漠1739年開始，政治經(jīng)濟學(xué)者們就己經(jīng)假設(shè)這些農(nóng)戶在夏天才到公共草地放羊，而每年春天就要決定養(yǎng)羊的數(shù)量，因此可看作各農(nóng)戶在決定自己的養(yǎng)羊數(shù)量時是不知道其他農(nóng)戶養(yǎng)羊數(shù)的，即各農(nóng)戶決定養(yǎng)羊數(shù)的決策是同時作出的。再假設(shè)所有農(nóng)戶都清楚這片公共草地最多能養(yǎng)多少只羊和在羊只總數(shù)的不同水平下每只羊的產(chǎn)出。這就構(gòu)成了n個農(nóng)戶之間關(guān)于養(yǎng)羊數(shù)的一個博弈問題，并且是一個靜態(tài)博弈。在此博弈中，博弈方就是n個農(nóng)戶；他們各自的策略空間就是他們可能選擇的養(yǎng)羊數(shù)目qi(i=1,2,…,n)的取值范圍。1/10/2023118假設(shè)這些農(nóng)戶在夏天才到公共草地放羊，而每年春當(dāng)各農(nóng)戶養(yǎng)羊數(shù)為q1、q2、…、qn時，在公共草地上放牧羊只的總數(shù)為