晚清凌步芳算稿及書版最新發(fā)現(xiàn)探析,數(shù)學(xué)史論文

晚清凌步芳算稿及書版最新發(fā)現(xiàn)探析,數(shù)學(xué)史論文摘要：根據(jù)新發(fā)現(xiàn)的史料(凌百硯齋算稿八種〕及已刻三種古籍雕刻版片,系統(tǒng)考察晚清嶺南重要的布衣數(shù)學(xué)家凌步芳的生平事跡,簡述版片和書籍并存的(割圓捷術(shù)通義〕(衍粟布衍草〕(算學(xué)答問〕書版的保存現(xiàn)在狀況,并提出進(jìn)一步研究與科學(xué)有效保衛(wèi)的建議,從一個側(cè)面揭示凌步芳運(yùn)用微積分研究三角函數(shù)的冪級數(shù)展開式、應(yīng)用代數(shù)方式方法進(jìn)行借貸計算(本來、利率、收回數(shù))獲得的數(shù)學(xué)成就,展現(xiàn)其運(yùn)用微積分解決問題的思想和素樸的金融數(shù)學(xué)思想,彰顯其對晚清傳播微積分、代數(shù)學(xué)等西方數(shù)學(xué)所做出的奉獻(xiàn),并藉此強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)古籍版片在科學(xué)史研究中的重要性。本文關(guān)鍵詞語：凌步芳;凌百硯齋算稿八種;雕刻版片;微積分;杜氏九術(shù);Abstract：AccordingtothenewlydiscoveredhistoricalmaterialsEightBooksofMathematicsfromLingBaiyanZhai(LingBaiYanZhaiSuanGaoBaZhong,凌百硯齋算稿八種)andthreekindsofancientimprintedbookengravings,theauthorsystematicallystudiesthelifestoryoftheimportantunderclassmathematicianinSouthChinainLateQingdynasty,LingBufang,andbrieflyintroducesthecurrentpreservationsituationofIntroductiontotheCyclotomicMethod(GeYuanJieShuTongYi,割圓捷術(shù)通義),YanSuBuYanGao,衍粟布銜草(此書名難以意譯)andQuestionsandAnswersonMathematics(SuanXueWenDa,算學(xué)問答),whoseengravingsandbooksco-existed.Onthebasis,theauthorputsforwardsuggestionsonfurtherresearchandonhowtoprotectthemscientificallyandeffectively.ThemathematicalachievementsthatLingBufanghadmadeinusingcalculustostudypowerseriesexpansionoftrigonometricfunctionsandapplyingalgebraicmethodsforthecalculationofdebitandcredit(principal,interestrate,principalplusprofits)areshowed.Theserevealhisideasofusingcalculustosolveproblemsandhiselementarythoughtsoffinancialmathematics,whichdemonstrateshiscontributionstothecommunicationofWesternmathematics,suchascalculus,algebra,etc.,inLateQingdynasty.Theauthorthenhopestostressontheimportanceoftheancientmathematicsbookengravingsinstudyofthehistoryofscience.Keyword：LingBufang;EightcomputingdraftsinBaiYanRoomofLing(LingBaiYanZhaiSuanGaoBaZhong);engravings;calculus;DuShiJiuShu;凌步芳是晚清嶺南一位布衣數(shù)學(xué)家,世人對其生平事跡和數(shù)學(xué)成就的了解,大多源自他的數(shù)學(xué)著作(凌百硯齋算稿八種〕,華而不實已刻三種即(杜德美割圓捷術(shù)通義〕(上下卷)、(衍粟布衍草〕(算學(xué)答問〕,而(火器講略〕(指數(shù)變法〕(重學(xué)詳講〕(微分詳講〕(積分詳講〕五種未刻。數(shù)學(xué)史研究著述最早提及凌步芳的應(yīng)是中國數(shù)學(xué)史名著(中算史論叢〕(第三集)[1],李儼先生以為凌步芳(字仲儒號賁南,番禺人,?1902)之(割圓捷術(shù)通義〕四卷,則于杜氏外增三十二術(shù),并取徑于(微積溯源〕。其第三十術(shù)弧求正切自注稱:弧在半象限下面,切線甚小者,可用此術(shù)求之。即(近似值)論及凌步芳運(yùn)用微積分方式方法推證杜氏九術(shù)并將之推廣的事實。對于未刊刻的五種算稿,宣統(tǒng)(番禺縣續(xù)志〕記載國朝凌步芳撰,存,手鈔本。然存于何處史料未曾詳細(xì)講明。李迪則稱(百硯齋算稿〕,八種(已刊三種)余五種:(火器講略〕一卷、(指數(shù)變法〕一卷、(重學(xué)詳講〕六卷、(微分詳講〕三卷、(積分詳講〕四卷,未出。[2]郭書春以為(指數(shù)變法〕一卷,未刊(積分詳講〕四卷,疑收入(百硯齋算稿〕,未刊(百硯齋算稿〕,八種,光緒二十八年(一九二年)刊本。[3]多年來,筆者多方搜索凌步芳未刊行的貴重書稿及相關(guān)史料,2021年2月終如愿以償,在凌步芳后嗣處發(fā)現(xiàn)全部(凌百硯齋算稿八種〕原/書稿以及已刻三種書稿的雕刻版,書籍原稿與數(shù)學(xué)書版當(dāng)前由凌步芳后嗣完好保存,經(jīng)凌步芳后嗣許可,筆者已把新發(fā)現(xiàn)的五種未刻算稿及已刻三種數(shù)學(xué)書版制成電子數(shù)據(jù)文獻(xiàn)復(fù)本,這是研究我們國家晚清數(shù)學(xué)史不可或缺的重要史料,將成為了解和研究凌步芳生平著述以及微積分思想等在廣東乃至全國傳播與發(fā)展的重要文獻(xiàn)。本文擬對新發(fā)現(xiàn)的凌步芳算稿及書版作一扼要介紹。1、凌步芳生平事跡考關(guān)于凌步芳的生平事跡,現(xiàn)存史料有限,凌步芳后嗣稱家譜文革期間已散失,凌步芳墳塋遷移時墓碑已毀,現(xiàn)祖屋尚留有兩塊石碑,華而不實之一刻清光緒辛卯年正科第十七名舉人凌步芳字樣,宣統(tǒng)(番禺縣續(xù)志〕在敘記(算法新裁〕(二卷)作者時稱:國朝凌文海撰。謹(jǐn)按,凌文海,凌邊人,與族弟步芳同習(xí)算學(xué)。其余便是(凌百硯齋算稿八種〕原/書稿及書版。凌步芳(18491902),字仲孺,號賁南,廣東番禺人,清朝光緒辛卯年(1891)舉人,后曾2次上京應(yīng)會試不中,落榜后心灰意冷,從此不踏舉業(yè),專心于數(shù)學(xué)研究并開館授徒,晚年曾在廣州的宣城書院(大塘秉政街,1938年6月4日被日軍飛機(jī)炸毀,僅余書院門額,今廣州市國家檔案館僅存現(xiàn)場圖片)、鄺氏書院(今廣衛(wèi)路與吉祥路附近的衛(wèi)邊街)等教授學(xué)生數(shù)學(xué)。他曾計劃收集端硯100方,故將自個書房命名為百硯齋,可惜沒有能如愿即英年故去,令人扼腕長嘆。據(jù)凌步芳的侄孫凌慕增先生(1936年5月生,稱凌步芳為伯公)回憶,他祖父凌允揚(yáng)曾講,凌步芳的父親凌侶鴻共育有兒女10人,凌步芳排行第六,凌允揚(yáng)排行老幺(第十)。凌步芳只生一女凌巧嫦(裹小腳),成家后一直未到婆家生活,后與和她經(jīng)歷類似的一堂姐/妹共同生活,直至1961年6月逝世,享年81歲,無子女。這與現(xiàn)存(割圓捷術(shù)通義〕向廣東提學(xué)使司請版權(quán)事由還懇給予版權(quán)以贍孀孤,自應(yīng)準(zhǔn)如所請所述相吻合。因凌步芳無子嗣,故將凌慕增的父親凌沛江過繼給凌步芳(繼香火),1902年凌步芳逝世,享年53歲,其著作等由凌沛江承繼,珍藏保存至今,由此推知凌步芳應(yīng)誕生于1849年。只要小學(xué)文化的凌慕增,至今還能朗朗背出其祖父凌允揚(yáng)口授凌步芳借用時傳并能表示出其際遇的詞句:士農(nóng)工商,終日茫茫,人生碌碌,競短爭長,嘆西風(fēng)金谷,夜月烏江,阿房宮冷,銅雀臺荒。真乃凄涼,真乃彷徨,總不如樂天知命,安分守常。這可能源自沈復(fù)(浮生六記〕、亦或是俗傳康熙逍遙詞看士農(nóng)工商,終日奔忙,人生碌碌,競短爭長,卻不道榮枯有分,得失難量。嘆秋風(fēng)金谷,夜月烏江,阿房宮冷,銅雀臺荒,卻做了邯鄲夢一場。真乃凄涼,真乃彷徨,道不如樂天知命,守分安常。凌步芳何時、何處、向誰學(xué)算等,迄今發(fā)現(xiàn)的相關(guān)史料難以查考,但他以自學(xué)為主習(xí)得數(shù)學(xué)知識卻是不爭的事實。他在(衍粟布衍草〕序中寫道,余幼習(xí)舉業(yè),惟聞同郡某先生以算鳴于時,心好之嘗往而請業(yè),而門墻高峻不易得入,又索重贄,非白金四十兩不許及門,余既呀其世道,又自顧寒畯無力辦此,嗒然退而自懟也。自是乃漸購算書,以私意解之,亦似易易,遂慨然欲奉古人以為師,隨購隨讀,漸有所得,而其時風(fēng)氣未開,按張南皮書目答問內(nèi)所列算書,索之書肆十不得二三[4]張之洞(書目答問〕是一部令初學(xué)者易買易讀、便于翻檢之書,子部天文算法第七著錄算術(shù)、幾何、代數(shù)、天文、歷法等書籍,中西兼顧,華而不實大多為中國古算書,牽涉一些西方數(shù)學(xué)如(代數(shù)術(shù)〕(代微積拾級〕(數(shù)學(xué)啟蒙〕等,凌步芳正是沿著(書目答問〕引導(dǎo)的中西數(shù)學(xué)書目,自學(xué)成才的。凌步芳曾寄望清末旨在增設(shè)算學(xué)科的科舉內(nèi)容改革,試圖通過數(shù)學(xué)科舉考試獲取功名,以自個的數(shù)學(xué)特長效力于國家,憂憶前十年,時聞大臣議開算學(xué)科,則躍躍然,喜以為余所學(xué)將有用于世,但殘酷的現(xiàn)實使之望而卻步,最終放棄科名以數(shù)學(xué)為業(yè),天馬行空不可羈,壯心猶記讀書時,如今屢受同人笑,道是賁南老算師。假館宣城學(xué)課徒,重陽未近已催租,及門舊友多通算,為算今年過得無。[5]致力于傳播數(shù)學(xué)文化的數(shù)學(xué)著述和數(shù)學(xué)教育,成為繼陳澧、鄒伯奇等人之后嶺南又一位重要的數(shù)學(xué)家。2、百硯齋算稿及書版保存現(xiàn)在狀況迄今,學(xué)界對(凌百硯齋算稿八種〕已刊三種、未刊五種書名不存疑義,但每種卷數(shù)多少講法稍有出入,但都根據(jù)(杜德美割圓捷術(shù)通義〕之百硯齋卷首綱目所述(割圓捷術(shù)通義〕二卷、(衍粟布衍草〕一卷、(算學(xué)答問〕一卷,(火器講略〕一卷、(指數(shù)變法〕一卷、(重學(xué)詳講〕六卷、(微分詳講〕三卷、(積分詳講〕四卷。李儼先生稱(割圓捷術(shù)通義〕四卷,可能是筆誤,將(衍粟布衍草〕一卷、(算學(xué)答問〕一卷和(割圓捷術(shù)通義〕二卷合成四卷了。事實上,(割圓捷術(shù)通義〕二卷正式書名,分別稱為(杜德美割圓捷術(shù)通義〕(杜德美割圓捷術(shù)通義下卷〕。從新發(fā)現(xiàn)的未刻五種手稿本來看,(微分詳講〕分四冊(本),由卷首、卷一至卷十一構(gòu)成;(積分詳講〕分三冊(本),包括卷一至卷十一;(重學(xué)詳講〕分六冊(本),從卷一至卷十六(含流質(zhì)重學(xué));(火器講略〕與(指數(shù)變法〕各為一冊(本)。不難發(fā)現(xiàn),百硯齋卷首綱目所稱的卷,實為冊也。2.1、凌步芳已刻三種算稿凌步芳在世時,(凌百硯齋算稿八種〕已先后成書,并附有凌步芳自序,光緒辛丑年嘉平月(1901年12月)其在(自題百硯齋算稿絕句十五首并序〕中寫到,故于寫定全稿之余,略舉大旨,題之簡端,都為截句十五首描繪敘述其學(xué)算、著述的經(jīng)過和華而不實的苦辣酸甜。比方,凌步芳在丁酉(1897)臘月自記的(衍粟布衍草〕序中指出,戊子年(1888)友人從湖南買回(粟布衍草〕,余性好思以代數(shù)術(shù)推之,又別有所見,然不知與諸先生立術(shù)之旨果有合焉否也,乃一片紙書之夾于(粟布衍草〕中后館于鄺氏書院,是年即丁酉科也揭曉后復(fù)理舊業(yè),無意中于(粟布衍草〕內(nèi)忽見故紙伸紙惘惘,強(qiáng)理前講,按法推算,夜以繼日,則向之所謂根數(shù)藏匿隱而未宣者,皆豁然開通乃編次細(xì)草而抄存之,以為一家之言可見,(衍粟布衍草〕寫作前后歷時十年,成書于1897年。因刻資欠缺,(凌百硯齋算稿八種〕一直沒有能出版,直至凌步芳光緒壬寅年逝世(1902年)后,其門生和親朋好友才捐資刻印(杜德美割圓捷術(shù)通義〕(衍粟布衍草〕(算學(xué)答問〕三種,光緒二十八年開雕、三十二年刊竣(遺書付梓請給版權(quán)由)。(火器講略〕(指數(shù)變法〕(重學(xué)詳講〕(微分詳講〕(積分詳講〕以上五種容后續(xù)出,但迄今均沒有能面世。凌步芳已刻三種算稿,當(dāng)前流傳于世的至少有11套,分別藏于凌步芳后嗣、廣東省立中山圖書館(粵圖)、李儼、錢寶琮、李迪、北京圖書館北海分館、南開大學(xué)圖書館、安徽師范大學(xué)圖書館、內(nèi)蒙古師范大學(xué)科學(xué)史研究所資料室、東北師范大學(xué)圖書館、中國科學(xué)院自然科學(xué)史研究所圖書館等處[6]。2021年4月,廣州出版社出版的(廣州大典〕(第四十五輯子部天文算法類第一冊),收錄該三種算稿的影印本(依粵圖藏本復(fù)制)[7],向海內(nèi)外公開發(fā)行。圖1圖2圖3按頁指書(稿)中標(biāo)示的頁碼、1頁包括左半頁和右半頁、封面算半頁(0.5頁)計算,(凌百硯齋算稿〕已刻三種共163頁,詳細(xì)頁數(shù)如下:(1)凌百硯齋算稿八種售賣廣告、欽命三品銜(署理廣東提學(xué)使司學(xué)使準(zhǔn)補(bǔ)高雷陽道)段批,光緒三十二年十一月初三日示字樣的版權(quán)頁、光緒壬寅粵東番禺靈山凌百硯齋開雕頁各0.5頁。(2)(杜德美割圓捷術(shù)通義〕封面0.5頁,自序4頁,百硯齋卷首綱目1頁,百硯齋卷首自序5頁,百硯齋卷首附序4頁,正文41頁;(杜德美割圓捷術(shù)通義下卷〕封面、目錄、正文共29頁;(衍粟布衍草一卷〕封面0.5頁,序2頁,正文30頁;(算學(xué)答問一卷〕封面0.5頁,序3頁,正文38頁,后序3頁。2.2、凌步芳已刻三種算稿版片凌步芳已刻三種算稿為私刻,以凌步芳的書齋名百硯齋為書號,由門生親友募資、借眾人之力刊刻,以紀(jì)念和緬懷剛逝世的凌步芳,勉勵子孫后學(xué),沿承前學(xué)的難得珍貴遺產(chǎn)。因乏資財,心有余而力缺乏,其余五種算稿只能擱置至今,不得出版,落下遺憾。已刻三種算稿版片的數(shù)量(頁數(shù))、大小規(guī)格、保存狀況等基本信息,除版權(quán)頁、(割圓捷術(shù)通義下卷〕第1920頁的1塊版片缺失外,其余保存基本完好,共81塊板。同時,新發(fā)現(xiàn)一塊單面凌百硯齋算稿八種售賣廣告版片,上書三種先出分裝凌仲孺師百硯齋算稿八四本定價八角(圖1);另百硯齋算稿八種(圖2)、各書封面也為單面木刻版(共4塊),如(割圓捷術(shù)通義下卷〕封面(圖3);其余版片多為雙面木刻版。售賣廣告版片的大小為寬22.6厘米、左右邊框高20.5厘米、中間框高24厘米、厚1.7厘米,百硯齋算稿八種版片的大小為內(nèi)/外寬12.6/13厘米、內(nèi)/外高18.6/19厘米、厚1.4厘米。(杜德美割圓捷術(shù)通義〕23塊板,封面與開雕頁同一塊板(圖4),封面內(nèi)/外寬26.1/26.5厘米、內(nèi)/外高18.3/18.7厘米、厚1.3厘米,其余內(nèi)/外寬27/27.4厘米、內(nèi)/外高17.4/17.8厘米、厚1.2厘米,上象鼻4.3厘米、下象鼻長3.5厘米,版心長,9.1厘米、寬1.2厘米。圖4(杜德美割圓捷術(shù)通義下卷〕15塊板,缺第1920頁的1塊板,封面內(nèi)/外寬12/12.3厘米、內(nèi)/外高17.7/18厘米、厚1.6厘米,其余內(nèi)/外寬27/27.4厘米、內(nèi)/外高17.6/18厘米、厚1.2-1.5厘米,上象鼻5.1厘米、下象鼻長3.6厘米,版心長8.5厘米、寬1.2厘米。(衍粟布衍草一卷〕17塊板,華而不實第1314頁多1塊備用板,內(nèi)/外寬27.1/27.5厘米、內(nèi)/外高17.6/18厘米、厚1.2厘米,上象鼻5厘米、下象鼻長3.5厘米,版心長8.4厘米、寬1.2厘米。(算學(xué)答問一卷〕24塊板,封面、最后一頁、自序第3頁為單面,封面內(nèi)/外寬15.6/16厘米、內(nèi)/外高18.6/19厘米、厚1.4厘米,其余內(nèi)/外寬28.4/28.7厘米、內(nèi)/外高18.3/18.6厘米、厚1.2厘米,上象鼻7.2厘米、下象鼻長2.9厘米,版心長8厘米、寬1.2厘米。從版式設(shè)計看,與大書局如廣雅書局等所刻書籍如出一轍。如行款為半頁十一行,每行二十四字,大小字?jǐn)?shù)一樣,有的行還可能會出現(xiàn)小字雙行的注解,但出現(xiàn)數(shù)學(xué)式子或圖形時,就比擬靈敏,會根據(jù)詳細(xì)情況作出調(diào)整,并不按固定格式排列(圖5)。而晚晴數(shù)學(xué)書籍如(幾何本來〕行款大多采用半頁10行22字,間有少量的10行20/21/24/25字或11行21字,凌步芳已刻三種算稿的行款設(shè)計具體表現(xiàn)出其印刷文化的地域特征。版框,各書規(guī)格一樣,都為四周雙邊,高度大致為18厘米,整框?qū)挾燃s為28厘米,而廣雅書局所刊書籍大多為四周單邊、版框的高度大致為20厘米、半框?qū)挾壬源笥?5厘米。版心,刻有書名、卷次、頁數(shù),如卷一割圓捷術(shù)通義八(只要割圓捷術(shù)通義七漏了卷次)、卷二割圓捷術(shù)通義二十七卷三衍粟布衍草三十七卷四算學(xué)答問八等,版心長約8.5厘米、寬1.2厘米,印有頁數(shù)。魚尾采用黑口單魚尾(上魚尾),上象鼻(花口)刻有百硯齋算稿八種,下象鼻為闊黑口,上花口長、下象鼻長各板不一。圖5圖6從字體和排印方式看,除封面、自序、后序等用篆書或草書體外,正文等都選擇通行的宋體字,數(shù)學(xué)語言符號則采用李善蘭創(chuàng)制的體系;書的排印方式,按傳統(tǒng)的由右向左直行規(guī)格,數(shù)學(xué)式子則是從左到右的橫排格式。從刻印者看,作為私刻的凌步芳已刻三種算稿,未曾記載刻書人、承印人等相關(guān)信息,這與官刻、坊刻標(biāo)識其字號或名稱不同。所幸(杜德美割圓捷術(shù)通義〕末頁板反面書有書板三扎,交省雙門底上街儒雅堂大寶號收入,馬岡馮繼善字樣(圖6),可推知凌步芳已刻三種算稿由馬岡馮繼善承刻、粵東儒雅堂承印。廣東順德縣馬岡幾乎成為清朝廣東乃至全國的刻書中心,工匠主力多為婦女,是國內(nèi)幾個存在過女子刻書的地區(qū)之一,有著長期的刻書傳統(tǒng)和業(yè)績,馮繼善即馮繼善堂是當(dāng)時馬岡重要的刻字鋪號,其所刻之書常題粵東順邑馬岡鄉(xiāng)馮繼善承刊等鋪名牌記,往往書刻成后未下墨刷印即送廣州等地印刷[8]。清代廣州書坊(賣書、刻書、印書等)數(shù)量之多僅次于北京、蘇州,大小120多家,多集中于雙門底(即今北京路北段)、西湖街、學(xué)院前等地,官刻、私刻大量委托書坊代印,儒雅堂書坊即在雙門底,是清代廣州書坊數(shù)量最多的地方。由記載的內(nèi)容看,省雙門底上街即廣州北京路北段,大意是馮繼善堂將所刻的三部書刻板,送交廣州雙門底上街的儒雅堂書坊承印。2.3、凌步芳已刻三種算稿的基本內(nèi)容將微積分、代數(shù)學(xué)、圓錐曲線等西方數(shù)學(xué)新知識與當(dāng)時中國數(shù)學(xué)研究最前沿領(lǐng)域相結(jié)合,是凌步芳研習(xí)數(shù)學(xué)的重要特征,已刻三種算書就是其代表性成果,是其數(shù)學(xué)思想的重要具體表現(xiàn)出。明末清初是西方數(shù)學(xué)第一次輸入中國,為中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)注入新鮮血液,鴉片戰(zhàn)爭后,清被迫打開中國的大門,西方數(shù)學(xué)再一次進(jìn)入中國,偉烈亞力與李善蘭合譯的(代微積拾級〕(1859)等西方近代高等數(shù)學(xué),引起清末數(shù)學(xué)家的極大興趣,出現(xiàn)研習(xí)微積分的熱潮,但主要以學(xué)習(xí)理解微積分為主,運(yùn)用微積分進(jìn)行數(shù)學(xué)研究并有所成就的不多,夏鸞翔、凌步芳等就是華而不實的佼佼者。18世紀(jì)中葉至19世紀(jì)中葉百余年間,我們國家對三角函數(shù)和對數(shù)函數(shù)等冪級數(shù)展開式研究是數(shù)學(xué)研究的前沿課題,源自清初傳入的杜氏三術(shù),明安圖、董佑誠、戴煦、項名達(dá)、李善蘭、徐有壬、夏鸞翔、鄒伯奇、顧觀光等數(shù)學(xué)家均有涉獵,并自成體系,各具特色。然而,運(yùn)用微積分方式方法系統(tǒng)研究杜氏級數(shù)并有所成就者,即是凌步芳的(杜德美割圓捷術(shù)通義〕及其下卷。(杜德美割圓捷術(shù)通義〕以杜德美割圓捷法本來(從董氏遺書本)為藍(lán)本,先依次闡釋杜氏九術(shù)第一術(shù)圓徑求周、第二術(shù)通弧求通弦、第三術(shù)通弧求矢、第四術(shù)弧背求正弦、第五術(shù)弧背求正矢、第六術(shù)通弦求通弧、第七術(shù)矢求通弧、第八術(shù)正弦求弧背、第九術(shù)正矢求弧背,然后明確指出第八術(shù)、第一術(shù)、第六術(shù)、第九術(shù)、第七術(shù),共一法;第四術(shù)、第二術(shù),共一法;第五術(shù)、第三術(shù),共一法。論曰:以上九術(shù)共三法,其實則一法矣。則雖謂杜氏九術(shù),皆統(tǒng)于第八正弦求弧一術(shù)可也,各詳其法如下。之后用(微積溯源〕卷七第七題的方式方法,對第八術(shù)予以推證,最后再分別對其余八術(shù)進(jìn)行證明。這是凌步芳的開創(chuàng)建立,為前人未曾有過的。在這里基礎(chǔ)上,凌步芳又列出新的三十三術(shù),華而不實除第九術(shù)(弧求余弦,本微積拾級)、第二十二術(shù)(正切求弧,本微積拾級)、第二十三術(shù)(正切求弧又法,本微積溯源)外,余共三十術(shù)皆新定。但不加證明,讀者自能夠上卷諸法,推而得之。這就是(杜德美割圓捷術(shù)通義下卷〕的全部內(nèi)容。李儼先生所言于杜氏外增三十二術(shù)可能是筆誤,實為三十三術(shù)。(衍粟布衍草〕是凌步芳用代數(shù)方式方法推廣(粟布算草〕的研究成果,(粟布算草〕是當(dāng)時數(shù)學(xué)名家吳嘉善、李善蘭、曾紀(jì)鴻、丁取忠、左潛、鄒伯奇等,通過書信往來的方式,討論研究借貸計算的論文專集,吳裕賓研究以為把廉法表、天元術(shù)、堆垛術(shù)、今有術(shù)等中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)方式方法用于借貨中本來、利率、收回數(shù)的計算,這在中國數(shù)學(xué)史上尚無先例,在中國數(shù)學(xué)與金融史上都有積極意義[9]。凌步芳先立術(shù),次釋術(shù),補(bǔ)求收回次數(shù)一法,復(fù)推廣之。從立術(shù)共四款(第一款求本來術(shù)、第二款求收回術(shù)、第三款求利率術(shù)、第四款求收回若干次數(shù)術(shù)),到第五款論本法一、第六款論本法二、第七款論本法比例、第八款釋第一款術(shù)、第九款釋第二款術(shù)、第十款釋第三款術(shù)、第十一款釋第四款術(shù)、第十二款釋粟布衍草術(shù)一、第十三款釋粟布衍草術(shù)二等方面,闡述自個的獨到見解,展現(xiàn)素樸的金融數(shù)學(xué)思想,而惜乎不得親見丁果臣暨吳李諸先生執(zhí)書質(zhì)疑于芰荷精舍中,故今之所得者止此。嗚呼,世之寒士,獨學(xué)而無師者難矣哉。(算學(xué)答問〕是一本以問答方式討論西方數(shù)學(xué)新知識的著作,隨得隨錄,積成二卷,華而不實答問重學(xué)微積者居十之六七,后又為重學(xué)微積詳講逐一用之,故復(fù)刪去,僅留重學(xué)微積諸詳講所未載者若干條,都為一卷如左。主題零散,不成體系,主要牽涉幾何、代數(shù)、圓錐曲線/擺線、三角函數(shù)的冪級數(shù)展開式、重心等內(nèi)容,既有問題解答,也有原理解惑。如問平三角,已經(jīng)知道三邊求積。法以而所以同式之理,精蘊(yùn)總欠分明,試求其講。答曰:此當(dāng)分款論之,但觀一圖猶未知其確實也。問(代數(shù)術(shù)〕九十三款九十四款,何義。又如問祖氏綴術(shù),或以為即杜德美屢乘屢除之法,然否。對此處祖沖之父子的綴術(shù)與徐有壬代表作(割圓八線綴術(shù)〕(吳嘉善述草、左潛補(bǔ)草)中的綴術(shù),凌步芳道出其來龍去脈與關(guān)系,明確指出徐有壬的綴術(shù)即求式者連綴而下,為三角函數(shù)的冪級數(shù)表示法,該書以文字?jǐn)⑹龅恼归_式稱為術(shù)、以綴術(shù)書寫的展開式稱為式。2.4、凌步芳未刻五種算稿五種未刻算稿都無正式封面和題名,只是在每冊書底題寫書名與編號(如(微分詳講〕一、二、三、四,(積分詳講〕一、二、三等),但每種書稿都有序、總論或后記(圖7),論及成書的背景或緣由。圖7微積初學(xué)詳講自序講,惟教學(xué)以來,舉業(yè)外有算術(shù)請者,九章代數(shù)外,有以微積請者,予皆以所知者告知,或草之書以代喉舌,積久成帙,遂錄存之,名曰初學(xué)詳講,紀(jì)實也。大旨本微積拾級,拾級不備間采溯源以補(bǔ)之。然華而不實文理,但求明順,實不盡合拾級本文,以拾級既經(jīng)翻譯,亦非本來也。世有通材,取法貴上,當(dāng)必取本來讀之,而本來之在今日,又不可得,則自今以往,不知又歷幾何年。必有一日,五洲一統(tǒng),中外同文,盡取耐端來本之等原書,以上貢天祿石渠,而下領(lǐng)于天下學(xué)官者,其將在神圣復(fù)生,興亞東而聲教西迄之世也呼。時歲在屠維大淵獻(xiàn)若。能夠看到,(微分詳講〕(積分詳講〕成書時間在己亥年(1899年),是為微積分初學(xué)者撰寫的學(xué)習(xí)參考書,內(nèi)容取自(代微積拾級〕與(微積溯源〕,從其目錄可以看出一斑:(微分詳講〕包括,首卷釋號、釋名,卷一總論(論變數(shù)、論變數(shù)限、論微分),卷二代函數(shù)微分,卷三代函數(shù)設(shè)題,卷四上二項例、指函數(shù)微分、對函數(shù)微分,卷四下圓函數(shù)微分,卷五繁函數(shù)設(shè)題,卷六上疊次微系數(shù)、馬戴二術(shù)之理,卷六中馬戴二術(shù)之用,卷六下馬戴二術(shù)不可通用之故,卷七上陰函數(shù)微分、雙變數(shù)疊微分,卷七中極大極小限之一,卷七下極大極小限之二,卷八曲線上之四線公式、漸近線,卷九曲線曲面曲體各微分公式,卷十(上中下)曲率半徑、漸伸線、擺線理、曲線相切、曲線上諸獨異點,卷十一隱分?jǐn)?shù)、無窮小數(shù)理;(積分詳講〕包括,卷一總論,卷二獨函數(shù)積分、多函數(shù)積分、獨項對函數(shù)積分、常數(shù)丙,卷三合名積分、合名四術(shù),卷四合名四術(shù)作法之原,卷五分函數(shù)積分,卷六虛函數(shù)積分、級數(shù)積分,卷七對函數(shù)積分、指函數(shù)積分、圓函數(shù)積分,卷八曲線積分,卷九曲線面積分,卷十曲線之皮積,卷十一曲線之體積。顯而易見,凌步芳微積詳講主要是為微積分初學(xué)者詮釋拾級、溯源的相關(guān)內(nèi)容,如在論疊求微系數(shù)中,對(微積溯源〕求函數(shù)u(x)=a2/(x2+a2)高階導(dǎo)數(shù)只是提供答案:的情形,作出詳盡解答并對結(jié)果予以歸納講明,華而不實牽涉求(x2+a2)3導(dǎo)數(shù)沒有出現(xiàn)類似(代微積拾級〕求(x2+a2)3導(dǎo)數(shù)的失誤。這從一定程度上反映出微積分傳入中國40年后,中算家對微積分的理解更深入,已認(rèn)識到西方數(shù)學(xué)的優(yōu)越性,以為較之譯著,原著對學(xué)習(xí)微積分更重要,并相信中西數(shù)學(xué)合流之日必將到來。(重學(xué)詳講〕是對艾約瑟、李善蘭合譯的(重學(xué)〕之解讀,緣起是適有門人問動理及地心引力者,予以第十九卷示之,多為設(shè)題以暢其講。及門見之喜,據(jù)此能夠發(fā)揮重學(xué)矣,強(qiáng)予為重學(xué)詳講時歲在重光赤奮若。完成于辛丑年(1901年),全書依(重學(xué)〕順序編排,前七卷皆論靜重學(xué),卷一論桿、卷二論并力分力、卷三論七器、卷四論助力合器、卷五論重心、卷六論剛質(zhì)相定之理、卷七論面阻力;后九卷為動重學(xué),卷八動重學(xué)總論凡例、卷九論平動相擊、卷十論漸加速及地心攝力之理、卷十一總論物動于拋物線之理、卷十二論物行于曲線之理、卷十三論動體繞定軸之理(此卷沿用原文,故語皆晦澀)、卷十四論器動、卷十五論動面阻力、卷十六論諸器利用,附錄的流質(zhì)重學(xué)下面皆原文,有損無增,不過先后移易之,以便讀耳。凌步芳詮釋(重學(xué)〕的基本方式,(造衡法)原文簡晦,全行訂明疏通或增加實例以示講明,如按此款只存公式而未詳其理,以其淺故不言也,然非初學(xué)可曉,今補(bǔ)數(shù)題于后,以明其理兮或提出質(zhì)疑并予改正,如按吾粵南海鄒伯奇遺書存稿謂三角椎體重心在垂線四分之一,此言非也。鄒氏一時疏忽誤認(rèn)此為垂線耳下面分款言之,以證明公式之塙,而鄒氏之誤亦明矣。(指數(shù)變法〕又稱(指數(shù)變法匯鈔〕,是為習(xí)微積者用也皆前人之舊法罷了矣,故曰匯鈔。凌步芳只是輯錄,沒有詳講。他在(火器講略〕庚子年二月(1900年)的自記中稱,右講火器一卷,庚子春讀李壬叔火器真訣之所推衍也。庚子正月二十由鄉(xiāng)抵省城,館友未至,寒風(fēng)砭人荒館一燈,益覺沉寂,信手取架上書,適得李氏火器真訣,又憶李氏作此書時,嘗以示金匱華蘅芳,華不滿意,別為拋物線淺講,故并取閱之,其求兩拋角之交角