同角三角函數(shù)的基本關系

1．同角三角函數(shù)的根本關系明目標、知重點1.能通過三角函數(shù)的定義推導出同角三角函數(shù)的根本關系式.2.理解同角三角函數(shù)的根本關系式.3.能運用同角三角函數(shù)的根本關系式進行三角函數(shù)式的化簡、求值和證明．1．同角三角函數(shù)的根本關系式(1)平方關系：sin2α＋cos2α＝1.(2)商數(shù)關系：tanα＝eq\f(sinα,cosα)(α≠kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z)．2．同角三角函數(shù)根本關系式的變形(1)sin2α＋cos2α＝1的變形公式：sin2α＝1－cos2α；cos2α＝1－sin2α；(2)tanα＝eq\f(sinα,cosα)的變形公式：sinα＝cosαtanα；cosα＝eq\f(sinα,tanα).[情境導學]大家都聽過一句話遜河雨林中的一只蝴蝶，偶爾扇動幾下翅膀，可能在兩周后引起美國德克薩斯州的一場龍卷風．這就是著名的“蝴蝶效應〞，他本意是說事物初始條件的微弱變化可能會引起結果的巨大變化．兩個似乎毫不相干的事物，卻有著這樣的聯(lián)系．那么“同一個角〞的三角函數(shù)一定會有非常密切的關系！到底是什么關系呢？這就是本節(jié)課所研究的問題．探究點一同角三角函數(shù)的根本關系式思考1寫出以下角的三角函數(shù)值，觀察他們之間的關系，猜測之間的聯(lián)系？你能發(fā)現(xiàn)什么一般規(guī)律？你能否用代數(shù)式表示這兩個規(guī)律？sinαcosαtanαsin2α＋cos2αeq\f(sinα,cosα)30°eq\f(1,2)eq\f(\r(3),2)eq\f(\r(3),3)1eq\f(\r(3),3)45°eq\f(\r(2),2)eq\f(\r(2),2)11160°eq\f(\r(3),2)eq\f(1,2)eq\r(3)1eq\r(3)150°eq\f(1,2)－eq\f(\r(3),2)－eq\f(\r(3),3)1－eq\f(\r(3),3)聯(lián)系：sin230°＋°＝1，sin245°＋cos245°＝1，sin260°＋cos260°＝1，sin2150°＋cos2150°＝1；eq\f(sin30°,cos30°)＝tan30°，eq\f(sin45°,cos45°)＝tan45°，eq\f(sin60°,cos60°)＝tan60°，eq\f(sin150°,cos150°)＝tan150°.同一個角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切；sin2α＋cos2α＝1，tanα＝eq\f(sinα,cosα).思考2如何利用任意角的三角函數(shù)的定義推導同角三角函數(shù)的根本關系式？同角三角函數(shù)的根本關系式對任意角α都成立嗎？答設點P(x，y)為α終邊上任意一點，P與O不重合．P到原點的距離為r＝eq\r(x2＋y2)>0，那么sinα＝eq\f(y,r)，cosα＝eq\f(x,r)，tanα＝eq\f(y,x).于是sin2α＋cos2α＝(eq\f(y,r))2＋(eq\f(x,r))2＝eq\f(y2＋x2,r2)＝1，eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(\f(y,r),\f(x,r))＝eq\f(y,x)＝tanα.即sin2α＋cos2α＝1，tanα＝eq\f(sinα,cosα).同角三角函數(shù)的根本關系式成式子兩邊都有意義．所以sin2α＋cos2α＝1對于任意角α∈R都成立，而eq\f(sinα,cosα)＝tanα并不是對任意角α∈R都成立，這時α≠kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z.思考3對于平方關系sin2α＋cos2α＝1可作哪些變形？對于商數(shù)關系eq\f(sinα,cosα)＝tanα可作哪些變形？答sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα，(sinα＋cosα)2＝1＋2sinαcosα，sinα＝cosα·tanα，cosα＝eq\f(sinα,tanα).探究點二三角函數(shù)式的求值思考某角的一個再利用sin2α＋cos2α＝1求它的其余三角函數(shù)值時，要注意角所在的象限，恰中選取開方后根號前面的正負號，一般有以下三種情況：類型1：如果三角函數(shù)值，且角的象限，那么只有一組解．例如：sinα＝eq\f(3,5)，且α是第二象限角，那么cosα＝－eq\f(4,5)，tanα＝－eq\f(3,4).類型2：如果三角函數(shù)值，但沒有指定角在哪個象限，那么由三角函數(shù)值的正負確定角可能在的象限，然后求解，這種情況一般有兩組解．例如：tanθ＝－eq\r(3)，求sinθ，cosθ.答∵eq\f(sinθ,cosθ)＝tanθ＝－eq\r(3).∴sinθ＝－eq\r(3)cosθ.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sin2θ＋cos2θ＝1，,sinθ＝－\r(3)cosθ.))∴4cos2θ＝1，cos2θ＝eq\f(1,4).當θ為第二象限角時，cosθ＝－eq\f(1,2)，sinθ＝eq\f(\r(3),2)；當θ為第四象限角時，cosθ＝eq\f(1,2)，sinθ＝－eq\f(\r(3),2).類型3：如果所給的三角函數(shù)值是由字母給出的，且沒有確定角在哪個象限，那么就需要進行討論．例如：cosα＝m，且|m|<1，求sinα，tanα.答∵cosα＝m，且|m|<1，∴sinα＝±eq\r(1－cos2α)＝±eq\r(1－m2).當α在第一、二象限時，sinα＝eq\r(1－m2)，tanα＝eq\f(\r(1－m2),m)；當α在第三、四象限時，sinα＝－eq\r(1－m2)，tanα＝－eq\f(\r(1－m2),m)；當α終邊在y軸上時，sinα＝±1，tanα不存在．例1sinα＝－eq\f(3,5)，求cosα，tanα的值．解因為sinα<0，sinα≠－1，所以α是第三或第四象限角．由sin2α＋cos2α＝1得cos2α＝1－sin2α＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))2＝eq\f(16,25).如果α是第三象限角，那么cosα<0.于是cosα＝－eq\r(\f(16,25))＝－eq\f(4,5)從而tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,4)))＝eq\f(3,4).如果α是第四象限角，那么cosα＝eq\f(4,5)，tanα＝－eq\f(3,4).反思與感悟同角三角函數(shù)示了同角之間的三角函數(shù)關系，其最根本的應用是“知一求二〞，要注意這個角所在的象限，由此來決定所求的是一解還是兩解，同時應體會方程思想的應用．跟蹤訓練1tanα＝eq\f(4,3)，且α是第三象限角，求sinα，cosα的值．解由tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(4,3)，得sinα＝eq\f(4,3)cosα.①又sin2α＋cos2α＝1，②由①②得eq\f(16,9)cos2α＋cos2α＝1，即cos2α＝eq\f(9,25).又α是第三象限角，∴cosα＝－eq\f(3,5)，sinα＝eq\f(4,3)cosα＝－eq\f(4,5).探究點三三角函數(shù)式的化簡三角函數(shù)式的化數(shù)式盡量化為最簡單的形式，其根本要求：盡量減少角的種數(shù)，盡量減少三角函數(shù)的種數(shù)，盡量化為同角且同名的三角函數(shù)等．三角函數(shù)式的化簡實質上是一種不指定答案的恒等變形，表達了由繁到簡的最根本的數(shù)學解題原那么．它不僅要求熟悉和靈活運用所學的三角公式，還需要熟悉和靈活運用這些公式的等價形式．同時，這類問題還具有較強的綜合性，對其他非三角知識的運用也具有較高的要求，因此在平常學習時要注意經驗的積累．例2α是第三象限角，化簡：eq\r(\f(1＋sinα,1－sinα))－eq\r(\f(1－sinα,1＋sinα)).解原式＝eq\r(\f(1＋sinα2,1－sinα1＋sinα))－eq\r(\f(1－sinα2,1＋sinα1－sinα))＝eq\r(\f(1＋sinα2,cos2α))－eq\r(\f(1－sinα2,cos2α))＝eq\f(1＋sinα,|cosα|)－eq\f(1－sinα,|cosα|)＝eq\f(2sinα,|cosα|).∵α是第三象限角，∴cosα<0.∴原式＝eq\f(2sinα,－cosα)＝－2tanα.即eq\r(\f(1＋sinα,1－sinα))－eq\r(\f(1－sinα,1＋sinα))＝－2tanα.反思與感悟解答此類題目的關鍵在運用，切實分析好同角三角函數(shù)間的關系．化簡過程中常用的方法有：(1)化切為弦，即把非正弦、非余弦的函數(shù)都化成正弦、余弦函數(shù)，從而減少函數(shù)名稱，到達化簡的目的．(2)對于含有根號的，常把根號下化成完全平方式，然后去根號，到達化簡的目的．(3)對于化簡含高次的三角函數(shù)式，往往借助于因式分解．(4)關于sinα，cosα的齊次式的求值方法：①sinα，cosα的齊次式就是式子中的每一項都是關于sinα，cosα的式子且它們的次數(shù)之和相同，設為n次，將分子，分母同除以cosα的n次冪，其式子可化為關于tanα的式子，如eq\f(sinα－cosα,2sinα＋cosα)可化為eq\f(tanα－1,2tanα＋1)，再代入求值．②假設無分母時，把分母看作1，并將1用sin2α＋cos2α來代換，將分子、分母同除以cos2α，可化為關于tanα的式子，如3sin2α－2cos2α可寫成eq\f(3sin2α－2cos2α,sin2α＋cos2α)，進一步化為eq\f(3tan2α－2,tan2α＋1)，再代入求值．跟蹤訓練2tanα＝3，那么(1)eq\f(2sinα－3cosα,4sinα－9cosα)＝；(2)sin2α－3sinαcosα＋1＝.答案(1)1(2)1解析(1)eq\f(2sinα－3cosα,4sinα－9cosα)＝eq\f(2tanα－3,4tanα－9)＝eq\f(2×3－3,4×3－9)＝1；(2)sin2α－3sinαcosα＋1＝eq\f(sin2α－3sinαcosα＋sin2α＋cos2α,sin2α＋cos2α)＝eq\f(2sin2α－3sinαcosα＋cos2α,sin2α＋cos2α)＝eq\f(2tan2α－3tanα＋1,tan2α＋1)＝eq\f(2×32－3×3＋1,32＋1)＝1.探究點四三角恒等式的證明證明三角恒等式就是通過轉化和消去等式兩邊差異來促成統(tǒng)一的過程，證明的方法在形式上顯得較為靈活，常用的有以下幾種：①直接法：從等式的一邊開始直接化為等式的另一邊，常從比擬復雜、繁雜的一邊開始化簡到另一邊，其依據(jù)是相等關系的傳遞性；②綜合法：由一個成立的等式(如公式等)恒等變形得到所要證明的等式，其依據(jù)是等價轉化的思想；③中間量法：證明等式左右兩個式子，其依據(jù)是等于同一個量的兩個量相等，即“a＝c，b＝c，那么a＝b〞，它可由等量關系的傳遞性及對稱性推出；④分析法：從結論出發(fā)，逐步向找條件，其證明過程的書寫格式為“要證明……，只需……〞，只要所需的條件都已經具備，那么結論就成立；⑤比擬法：設法證明：“左邊－右邊＝0〞或“eq\f(左邊,右邊)＝1〞．例3求證：eq\f(cosα,1－sinα)＝eq\f(1＋sinα,cosα).證明方法一左邊＝eq\f(cos2α,cosα1－sinα)＝eq\f(1－sin2α,cosα1－sinα)＝eq\f(1－sinα1＋sinα,cosα1－sinα)＝eq\f(1＋sinα,cosα)＝右邊，∴原等式成立．方法二∵sin2α＋cos2α＝1，∴cos2α＝1－sin2α.∴cos2α＝(1－sinα)·(1＋sinα)．∴eq\f(cosα,1－sinα)＝eq\f(1＋sinα,cosα).方法三右邊＝eq\f(1＋sinα1－sinα,cosα1－sinα)＝eq\f(1－sin2α,cosα1－sinα)＝eq\f(cos2α,cosα1－sinα)＝eq\f(cosα,1－sinα)＝左邊，∴原等式成立．方法四左邊＝eq\f(cos2α,cosα1－sinα)，右邊＝eq\f(1＋sinα1－sinα,cosα1－sinα)＝eq\f(1－sin2α,cosα1－sinα)＝eq\f(cos2α,cosα1－sinα)，∵左邊＝右邊，∴原等式成立．方法五∵eq\f(cosα,1－sinα)－eq\f(1＋sinα,cosα)＝eq\f(cos2α－1＋sinα1－sinα,cosα1－sinα)＝eq\f(cos2α－1－sin2α,cosα1－sinα)＝eq\f(cos2α－cos2α,cosα1－sinα)＝0，∴eq\f(cosα,1－sinα)＝eq\f(1＋sinα,cosα).反思與感悟證明三角恒等式的實兩端的差異，有目的地進行化簡．證明三角恒等式的根本原那么：由繁到簡．常用方法：從左向右證；從右向左證；左、右同時證．常用技巧：切化弦、整體代換．跟蹤訓練3求證：eq\f(2sinxcosx－1,cos2x－sin2x)＝eq\f(tanx－1,tanx＋1).證明方法一∵左邊＝eq\f(2sinxcosx－sin2x＋cos2x,cos2x－sin2x)＝eq\f(－sin2x－2sinxcosx＋cos2x,cos2x－sin2x)＝eq\f(sinx－cosx2,sin2x－cos2x)＝eq\f(sinx－cosx2,sinx－cosxsinx＋cosx)＝eq\f(sinx－cosx,sinx＋cosx)＝eq\f(tanx－1,tanx＋1)＝右邊．∴原式成立．方法二∵右邊＝eq\f(\f(sinx,cosx)－1,\f(sinx,cosx)＋1)＝eq\f(sinx－cosx,sinx＋cosx)；左邊＝eq\f(1－2sinxcosx,sin2x－cos2x)＝eq\f(sinx－cosx2,sin2x－cos2x)＝eq\f(sinx－cosx2,sinx－cosx·sinx＋cosx)＝eq\f(sinx－cosx,sinx＋cosx).∴左邊＝右邊，原式成立．1．化簡：eq\r(1－2sin40°cos40°)＝.答案cos40°－sin40°解析原式＝eq\r(sin240°＋cos240°－2sin40°cos40°)＝eq\r(sin40°－cos40°2)＝|cos40°－sin40°|＝cos40°－sin40°.2．α是第三象限角，sinα＝－eq\f(1,3)，那么tanα＝.答案eq\f(\r(2),4)解析由α是第三象限的角，得到cosα<0，又sinα＝－eq\f(1,3)，所以cosα＝－eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))2)＝－eq\f(2\r(2),3)，那么tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(\r(2),4).3．假設α是第三象限角，化簡eq\r(\f(1＋cosα,1－cosα))＋eq\r(\f(1－cosα,1＋cosα)).解∵α是第三象限角，∴sinα<0，由三角函數(shù)線可知－1<cosα<0.∴eq\r(\f(1＋cosα,1－cosα))＋eq\r(\f(1－cosα,1＋cosα))＝eq\r(\f(1＋cosα2,1－cos2α))＋eq\r(\f(1－cosα2,1－cos2α))＝eq\r(\f(1＋cosα2,sin2α))＋eq\r(\f(1－cosα2,sin2α))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1＋cosα,sinα)))＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1－cosα,sinα)))＝－eq\f(1＋cosα,sinα)－eq\f(1－cosα,sinα)＝－eq\f(2,sinα).4．求證：eq\f(tanθ·sinθ,tanθ－sinθ)＝eq\f(1＋cosθ,sinθ).證明左邊＝eq\f(\f(sinθ,cosθ)·sinθ,\f(sinθ,cosθ)－sinθ)＝eq\f(sin2θ,sinθ－sinθcosθ)＝eq\f(1－cos2θ,sinθ1－cosθ)＝eq\f(1－cosθ·1＋cosθ,sinθ·1－cosθ)＝eq\f(1＋cosθ,sinθ)＝右邊．∴原等式成立．[呈重點、現(xiàn)規(guī)律]1．同角三角函數(shù)的根本關系揭示了〞的三角函數(shù)的運算規(guī)律，它的精髓在“同角〞二字上，如sin22α＋cos22α＝1，eq\f(sin8α,cos8α)＝tan8α等都成立，理由是式子中的角為“同角〞．2．角α的某一種三角函的其余三角函數(shù)值時，要注意公式的合理選擇．一般是先選用平方關系，再用商數(shù)關系．在應用平方關系求sinα或cosα時，其正負號是由角α所在象限來決定，切不可不加分析，憑想象寫公式．3．在三角函中，sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα中的一個，可以利用方程思想，求出另外兩個的值．4．在進行三角函數(shù)式的化簡心觀察題目的特征，靈活、恰當?shù)剡x用公式，統(tǒng)一角、統(tǒng)一函數(shù)、降低次數(shù)是三角函數(shù)關系式變形的出發(fā)點．利用同角三角函數(shù)的根本關系主要是統(tǒng)一函數(shù)，要掌握“切化弦〞和“弦化切〞的方法．5．在化簡或恒等意方法的靈活運用，常用的技巧有：①“1〞的代換；②減少三角函數(shù)的個數(shù)(化切為弦、化弦為切等)；③多項式運算技巧的應用(如因式分解、整體思想等)；④對條件或結論的重新整理、變形，以便于應用同角三角函數(shù)關系來求解．一、根底過關1．α是第二象限角，sinα＝eq\f(5,13)，那么cosα等于()A．－eq\f(12,13)B．－eq\f(5,13)\f(5,13)\f(12,13)答案A解析因為α為第二象限角，所以cosα＝－eq\r(1－sin2α)＝－eq\f(12,13).2．sinα＝eq\f(\r(5),5)，那么sin4α－cos4α的值為()A．－eq\f(1,5)B．－eq\f(3,5)\f(1,5)\f(3,5)答案B解析sin4α－cos4α＝sin2α－cos2α＝2sin2α－1＝2×eq\f(1,5)－1＝－eq\f(3,5).3．α是第二象限的角，tanα＝－eq\f(1,2)，那么cosα等于()A．－eq\f(\r(5),5)B．－eq\f(1,5)C．－eq\f(2\r(5),5)D．－eq\f(4,5)答案C解析∵α是第二象限角，∴cosα<0.又sin2α＋cos2α＝1，tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝－eq\f(1,2)，∴cosα＝－eq\f(2\r(5),5).4．假設sinα＋sin2α＝1，那么cos2α＋cos4α等于()A．0B．1C．2D．3答案B解析sinα＋sin2α＝1得sinα＝cos2α，∴cos2α＋cos4α＝sinα＋sin2α＝1.5．化簡：sin2α＋sin2β－sin2αsin2β＋cos2αcos2β＝.答案1解析原式＝sin2α＋sin2β(1－sin2α)＋cos2αcos2β＝sin2α＋sin2βcos2α＋cos2αcos2β＝sin2α＋cos2α(sin2β＋cos2β)＝sin2α＋cos2α＝1.6．直線l的傾斜角是θ，且sinθ＝eq\f(5,13)，那么直線l的斜率k＝.答案±eq\f(5,12)解析因為直線l的傾斜角是θ，所以θ∈[0，π)．又因為sinθ＝eq\f(5,13)，sin2θ＋cos2θ＝1，所以cosθ＝±eq\r(1－\f(5,13)2)＝±eq\f(12,13)，于是直線l的斜率k＝eq\f(sinθ,cosθ)＝±eq\f(5,12).7．(1)化簡eq\r(1－sin2100°)；(2)用tanα表示eq\f(sinα＋cosα,2sinα－cosα)，sin2α＋sinαcosα＋3cos2α.解(1)eq\r(1－sin2100°)＝eq\r(cos2100°)＝|cos100°|＝－cos100°.(2)eq\f(sinα＋cosα,2sinα－cosα)＝eq\f(\f(sinα＋cosα,cosα),\f(2sinα－cosα,cosα))＝eq\f(tanα＋1,2tanα－1)，sin2α＋sinαcosα＋3cos2α＝eq\f(sin2α＋sinαcosα＋3cos2α,sin2α＋cos2α)＝eq\f(\f(sin2α＋sinαcosα＋3cos2α,cos2α),\f(sin2α＋cos2α,cos2α))＝eq\f(tan2α＋tanα＋3,tan2α＋1).二、能力提升8．tanθ＝2，那么sin2θ＋sinθcosθ－2cos2θ等于()A．－eq\f(4,3)\f(5,4)C．－eq\f(3,4)\f(4,5)答案D解析sin2θ＋sinθcosθ－2cos2θ＝eq\f(sin2θ＋sinθcosθ－2cos2θ,sin2θ＋cos2θ)＝eq\f(tan2θ＋tanθ－2,tan2θ＋1)，又tanθ＝2，故原式＝eq\f(4＋2－2,4＋1)＝eq\f(4,5).9．sinα－cosα＝－eq\f(\r(5),2)，那么tanα＋eq\f(1,tanα)的值為()A．－4B．4C．－8D．8答案C解析tanα＋eq\f(1,tanα)＝eq\f(sinα,cosα)＋eq\f(cosα,sinα)＝eq\f(1,sinαcosα).∵sinαcosα＝eq\f(1－sinα－cosα2,2)＝－eq\f(1,8)，∴tanα＋eq\f(1,tanα)＝－8.10．tanα＝－eq\f(1,2)，那么eq\f(1＋2sinαcosα,sin2α－cos2α)＝.答案－eq\f(1,3)解析原式＝eq\f(sinα＋cosα2,sin2α－cos2α)＝eq\f(sinα＋cosα,sinα－cosα)＝eq\f(tanα＋1,tanα－1)＝eq\f(－\f(1,2)＋1,－\f(1,2)－1)＝－eq\f(1,3).11．eq\f(4sinθ－2cosθ,3sinθ＋5cosθ)＝eq\f(6,11)，求以下各式的值．(1)eq\f(5cos2θ,sin2θ＋2sinθcosθ－3cos2θ)；(2)1－4sinθcosθ＋2cos2θ.解由eq\f(4sinθ－2cosθ,3sinθ＋5cosθ