同角三角函數(shù)的基本關(guān)系

1．同角三角函數(shù)的根本關(guān)系明目標(biāo)、知重點(diǎn)1.能通過(guò)三角函數(shù)的定義推導(dǎo)出同角三角函數(shù)的根本關(guān)系式.2.理解同角三角函數(shù)的根本關(guān)系式.3.能運(yùn)用同角三角函數(shù)的根本關(guān)系式進(jìn)行三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)、求值和證明．1．同角三角函數(shù)的根本關(guān)系式(1)平方關(guān)系：sin2α＋cos2α＝1.(2)商數(shù)關(guān)系：tanα＝eq\f(sinα,cosα)(α≠kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z)．2．同角三角函數(shù)根本關(guān)系式的變形(1)sin2α＋cos2α＝1的變形公式：sin2α＝1－cos2α；cos2α＝1－sin2α；(2)tanα＝eq\f(sinα,cosα)的變形公式：sinα＝cosαtanα；cosα＝eq\f(sinα,tanα).[情境導(dǎo)學(xué)]大家都聽過(guò)一句話遜河雨林中的一只蝴蝶，偶爾扇動(dòng)幾下翅膀，可能在兩周后引起美國(guó)德克薩斯州的一場(chǎng)龍卷風(fēng)．這就是著名的“蝴蝶效應(yīng)〞，他本意是說(shuō)事物初始條件的微弱變化可能會(huì)引起結(jié)果的巨大變化．兩個(gè)似乎毫不相干的事物，卻有著這樣的聯(lián)系．那么“同一個(gè)角〞的三角函數(shù)一定會(huì)有非常密切的關(guān)系！到底是什么關(guān)系呢？這就是本節(jié)課所研究的問(wèn)題．探究點(diǎn)一同角三角函數(shù)的根本關(guān)系式思考1寫出以下角的三角函數(shù)值，觀察他們之間的關(guān)系，猜測(cè)之間的聯(lián)系？你能發(fā)現(xiàn)什么一般規(guī)律？你能否用代數(shù)式表示這兩個(gè)規(guī)律？sinαcosαtanαsin2α＋cos2αeq\f(sinα,cosα)30°eq\f(1,2)eq\f(\r(3),2)eq\f(\r(3),3)1eq\f(\r(3),3)45°eq\f(\r(2),2)eq\f(\r(2),2)11160°eq\f(\r(3),2)eq\f(1,2)eq\r(3)1eq\r(3)150°eq\f(1,2)－eq\f(\r(3),2)－eq\f(\r(3),3)1－eq\f(\r(3),3)聯(lián)系：sin230°＋°＝1，sin245°＋cos245°＝1，sin260°＋cos260°＝1，sin2150°＋cos2150°＝1；eq\f(sin30°,cos30°)＝tan30°，eq\f(sin45°,cos45°)＝tan45°，eq\f(sin60°,cos60°)＝tan60°，eq\f(sin150°,cos150°)＝tan150°.同一個(gè)角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切；sin2α＋cos2α＝1，tanα＝eq\f(sinα,cosα).思考2如何利用任意角的三角函數(shù)的定義推導(dǎo)同角三角函數(shù)的根本關(guān)系式？同角三角函數(shù)的根本關(guān)系式對(duì)任意角α都成立嗎？答設(shè)點(diǎn)P(x，y)為α終邊上任意一點(diǎn)，P與O不重合．P到原點(diǎn)的距離為r＝eq\r(x2＋y2)>0，那么sinα＝eq\f(y,r)，cosα＝eq\f(x,r)，tanα＝eq\f(y,x).于是sin2α＋cos2α＝(eq\f(y,r))2＋(eq\f(x,r))2＝eq\f(y2＋x2,r2)＝1，eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(\f(y,r),\f(x,r))＝eq\f(y,x)＝tanα.即sin2α＋cos2α＝1，tanα＝eq\f(sinα,cosα).同角三角函數(shù)的根本關(guān)系式成式子兩邊都有意義．所以sin2α＋cos2α＝1對(duì)于任意角α∈R都成立，而eq\f(sinα,cosα)＝tanα并不是對(duì)任意角α∈R都成立，這時(shí)α≠kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z.思考3對(duì)于平方關(guān)系sin2α＋cos2α＝1可作哪些變形？對(duì)于商數(shù)關(guān)系eq\f(sinα,cosα)＝tanα可作哪些變形？答sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα，(sinα＋cosα)2＝1＋2sinαcosα，sinα＝cosα·tanα，cosα＝eq\f(sinα,tanα).探究點(diǎn)二三角函數(shù)式的求值思考某角的一個(gè)再利用sin2α＋cos2α＝1求它的其余三角函數(shù)值時(shí)，要注意角所在的象限，恰中選取開方后根號(hào)前面的正負(fù)號(hào)，一般有以下三種情況：類型1：如果三角函數(shù)值，且角的象限，那么只有一組解．例如：sinα＝eq\f(3,5)，且α是第二象限角，那么cosα＝－eq\f(4,5)，tanα＝－eq\f(3,4).類型2：如果三角函數(shù)值，但沒有指定角在哪個(gè)象限，那么由三角函數(shù)值的正負(fù)確定角可能在的象限，然后求解，這種情況一般有兩組解．例如：tanθ＝－eq\r(3)，求sinθ，cosθ.答∵eq\f(sinθ,cosθ)＝tanθ＝－eq\r(3).∴sinθ＝－eq\r(3)cosθ.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sin2θ＋cos2θ＝1，,sinθ＝－\r(3)cosθ.))∴4cos2θ＝1，cos2θ＝eq\f(1,4).當(dāng)θ為第二象限角時(shí)，cosθ＝－eq\f(1,2)，sinθ＝eq\f(\r(3),2)；當(dāng)θ為第四象限角時(shí)，cosθ＝eq\f(1,2)，sinθ＝－eq\f(\r(3),2).類型3：如果所給的三角函數(shù)值是由字母給出的，且沒有確定角在哪個(gè)象限，那么就需要進(jìn)行討論．例如：cosα＝m，且|m|<1，求sinα，tanα.答∵cosα＝m，且|m|<1，∴sinα＝±eq\r(1－cos2α)＝±eq\r(1－m2).當(dāng)α在第一、二象限時(shí)，sinα＝eq\r(1－m2)，tanα＝eq\f(\r(1－m2),m)；當(dāng)α在第三、四象限時(shí)，sinα＝－eq\r(1－m2)，tanα＝－eq\f(\r(1－m2),m)；當(dāng)α終邊在y軸上時(shí)，sinα＝±1，tanα不存在．例1sinα＝－eq\f(3,5)，求cosα，tanα的值．解因?yàn)閟inα<0，sinα≠－1，所以α是第三或第四象限角．由sin2α＋cos2α＝1得cos2α＝1－sin2α＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))2＝eq\f(16,25).如果α是第三象限角，那么cosα<0.于是cosα＝－eq\r(\f(16,25))＝－eq\f(4,5)從而tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,4)))＝eq\f(3,4).如果α是第四象限角，那么cosα＝eq\f(4,5)，tanα＝－eq\f(3,4).反思與感悟同角三角函數(shù)示了同角之間的三角函數(shù)關(guān)系，其最根本的應(yīng)用是“知一求二〞，要注意這個(gè)角所在的象限，由此來(lái)決定所求的是一解還是兩解，同時(shí)應(yīng)體會(huì)方程思想的應(yīng)用．跟蹤訓(xùn)練1tanα＝eq\f(4,3)，且α是第三象限角，求sinα，cosα的值．解由tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(4,3)，得sinα＝eq\f(4,3)cosα.①又sin2α＋cos2α＝1，②由①②得eq\f(16,9)cos2α＋cos2α＝1，即cos2α＝eq\f(9,25).又α是第三象限角，∴cosα＝－eq\f(3,5)，sinα＝eq\f(4,3)cosα＝－eq\f(4,5).探究點(diǎn)三三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)三角函數(shù)式的化數(shù)式盡量化為最簡(jiǎn)單的形式，其根本要求：盡量減少角的種數(shù)，盡量減少三角函數(shù)的種數(shù)，盡量化為同角且同名的三角函數(shù)等．三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)實(shí)質(zhì)上是一種不指定答案的恒等變形，表達(dá)了由繁到簡(jiǎn)的最根本的數(shù)學(xué)解題原那么．它不僅要求熟悉和靈活運(yùn)用所學(xué)的三角公式，還需要熟悉和靈活運(yùn)用這些公式的等價(jià)形式．同時(shí)，這類問(wèn)題還具有較強(qiáng)的綜合性，對(duì)其他非三角知識(shí)的運(yùn)用也具有較高的要求，因此在平常學(xué)習(xí)時(shí)要注意經(jīng)驗(yàn)的積累．例2α是第三象限角，化簡(jiǎn)：eq\r(\f(1＋sinα,1－sinα))－eq\r(\f(1－sinα,1＋sinα)).解原式＝eq\r(\f(1＋sinα2,1－sinα1＋sinα))－eq\r(\f(1－sinα2,1＋sinα1－sinα))＝eq\r(\f(1＋sinα2,cos2α))－eq\r(\f(1－sinα2,cos2α))＝eq\f(1＋sinα,|cosα|)－eq\f(1－sinα,|cosα|)＝eq\f(2sinα,|cosα|).∵α是第三象限角，∴cosα<0.∴原式＝eq\f(2sinα,－cosα)＝－2tanα.即eq\r(\f(1＋sinα,1－sinα))－eq\r(\f(1－sinα,1＋sinα))＝－2tanα.反思與感悟解答此類題目的關(guān)鍵在運(yùn)用，切實(shí)分析好同角三角函數(shù)間的關(guān)系．化簡(jiǎn)過(guò)程中常用的方法有：(1)化切為弦，即把非正弦、非余弦的函數(shù)都化成正弦、余弦函數(shù)，從而減少函數(shù)名稱，到達(dá)化簡(jiǎn)的目的．(2)對(duì)于含有根號(hào)的，常把根號(hào)下化成完全平方式，然后去根號(hào)，到達(dá)化簡(jiǎn)的目的．(3)對(duì)于化簡(jiǎn)含高次的三角函數(shù)式，往往借助于因式分解．(4)關(guān)于sinα，cosα的齊次式的求值方法：①sinα，cosα的齊次式就是式子中的每一項(xiàng)都是關(guān)于sinα，cosα的式子且它們的次數(shù)之和相同，設(shè)為n次，將分子，分母同除以cosα的n次冪，其式子可化為關(guān)于tanα的式子，如eq\f(sinα－cosα,2sinα＋cosα)可化為eq\f(tanα－1,2tanα＋1)，再代入求值．②假設(shè)無(wú)分母時(shí)，把分母看作1，并將1用sin2α＋cos2α來(lái)代換，將分子、分母同除以cos2α，可化為關(guān)于tanα的式子，如3sin2α－2cos2α可寫成eq\f(3sin2α－2cos2α,sin2α＋cos2α)，進(jìn)一步化為eq\f(3tan2α－2,tan2α＋1)，再代入求值．跟蹤訓(xùn)練2tanα＝3，那么(1)eq\f(2sinα－3cosα,4sinα－9cosα)＝；(2)sin2α－3sinαcosα＋1＝.答案(1)1(2)1解析(1)eq\f(2sinα－3cosα,4sinα－9cosα)＝eq\f(2tanα－3,4tanα－9)＝eq\f(2×3－3,4×3－9)＝1；(2)sin2α－3sinαcosα＋1＝eq\f(sin2α－3sinαcosα＋sin2α＋cos2α,sin2α＋cos2α)＝eq\f(2sin2α－3sinαcosα＋cos2α,sin2α＋cos2α)＝eq\f(2tan2α－3tanα＋1,tan2α＋1)＝eq\f(2×32－3×3＋1,32＋1)＝1.探究點(diǎn)四三角恒等式的證明證明三角恒等式就是通過(guò)轉(zhuǎn)化和消去等式兩邊差異來(lái)促成統(tǒng)一的過(guò)程，證明的方法在形式上顯得較為靈活，常用的有以下幾種：①直接法：從等式的一邊開始直接化為等式的另一邊，常從比擬復(fù)雜、繁雜的一邊開始化簡(jiǎn)到另一邊，其依據(jù)是相等關(guān)系的傳遞性；②綜合法：由一個(gè)成立的等式(如公式等)恒等變形得到所要證明的等式，其依據(jù)是等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想；③中間量法：證明等式左右兩個(gè)式子，其依據(jù)是等于同一個(gè)量的兩個(gè)量相等，即“a＝c，b＝c，那么a＝b〞，它可由等量關(guān)系的傳遞性及對(duì)稱性推出；④分析法：從結(jié)論出發(fā)，逐步向找條件，其證明過(guò)程的書寫格式為“要證明……，只需……〞，只要所需的條件都已經(jīng)具備，那么結(jié)論就成立；⑤比擬法：設(shè)法證明：“左邊－右邊＝0〞或“eq\f(左邊,右邊)＝1〞．例3求證：eq\f(cosα,1－sinα)＝eq\f(1＋sinα,cosα).證明方法一左邊＝eq\f(cos2α,cosα1－sinα)＝eq\f(1－sin2α,cosα1－sinα)＝eq\f(1－sinα1＋sinα,cosα1－sinα)＝eq\f(1＋sinα,cosα)＝右邊，∴原等式成立．方法二∵sin2α＋cos2α＝1，∴cos2α＝1－sin2α.∴cos2α＝(1－sinα)·(1＋sinα)．∴eq\f(cosα,1－sinα)＝eq\f(1＋sinα,cosα).方法三右邊＝eq\f(1＋sinα1－sinα,cosα1－sinα)＝eq\f(1－sin2α,cosα1－sinα)＝eq\f(cos2α,cosα1－sinα)＝eq\f(cosα,1－sinα)＝左邊，∴原等式成立．方法四左邊＝eq\f(cos2α,cosα1－sinα)，右邊＝eq\f(1＋sinα1－sinα,cosα1－sinα)＝eq\f(1－sin2α,cosα1－sinα)＝eq\f(cos2α,cosα1－sinα)，∵左邊＝右邊，∴原等式成立．方法五∵eq\f(cosα,1－sinα)－eq\f(1＋sinα,cosα)＝eq\f(cos2α－1＋sinα1－sinα,cosα1－sinα)＝eq\f(cos2α－1－sin2α,cosα1－sinα)＝eq\f(cos2α－cos2α,cosα1－sinα)＝0，∴eq\f(cosα,1－sinα)＝eq\f(1＋sinα,cosα).反思與感悟證明三角恒等式的實(shí)兩端的差異，有目的地進(jìn)行化簡(jiǎn)．證明三角恒等式的根本原那么：由繁到簡(jiǎn)．常用方法：從左向右證；從右向左證；左、右同時(shí)證．常用技巧：切化弦、整體代換．跟蹤訓(xùn)練3求證：eq\f(2sinxcosx－1,cos2x－sin2x)＝eq\f(tanx－1,tanx＋1).證明方法一∵左邊＝eq\f(2sinxcosx－sin2x＋cos2x,cos2x－sin2x)＝eq\f(－sin2x－2sinxcosx＋cos2x,cos2x－sin2x)＝eq\f(sinx－cosx2,sin2x－cos2x)＝eq\f(sinx－cosx2,sinx－cosxsinx＋cosx)＝eq\f(sinx－cosx,sinx＋cosx)＝eq\f(tanx－1,tanx＋1)＝右邊．∴原式成立．方法二∵右邊＝eq\f(\f(sinx,cosx)－1,\f(sinx,cosx)＋1)＝eq\f(sinx－cosx,sinx＋cosx)；左邊＝eq\f(1－2sinxcosx,sin2x－cos2x)＝eq\f(sinx－cosx2,sin2x－cos2x)＝eq\f(sinx－cosx2,sinx－cosx·sinx＋cosx)＝eq\f(sinx－cosx,sinx＋cosx).∴左邊＝右邊，原式成立．1．化簡(jiǎn)：eq\r(1－2sin40°cos40°)＝.答案cos40°－sin40°解析原式＝eq\r(sin240°＋cos240°－2sin40°cos40°)＝eq\r(sin40°－cos40°2)＝|cos40°－sin40°|＝cos40°－sin40°.2．α是第三象限角，sinα＝－eq\f(1,3)，那么tanα＝.答案eq\f(\r(2),4)解析由α是第三象限的角，得到cosα<0，又sinα＝－eq\f(1,3)，所以cosα＝－eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))2)＝－eq\f(2\r(2),3)，那么tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(\r(2),4).3．假設(shè)α是第三象限角，化簡(jiǎn)eq\r(\f(1＋cosα,1－cosα))＋eq\r(\f(1－cosα,1＋cosα)).解∵α是第三象限角，∴sinα<0，由三角函數(shù)線可知－1<cosα<0.∴eq\r(\f(1＋cosα,1－cosα))＋eq\r(\f(1－cosα,1＋cosα))＝eq\r(\f(1＋cosα2,1－cos2α))＋eq\r(\f(1－cosα2,1－cos2α))＝eq\r(\f(1＋cosα2,sin2α))＋eq\r(\f(1－cosα2,sin2α))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1＋cosα,sinα)))＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1－cosα,sinα)))＝－eq\f(1＋cosα,sinα)－eq\f(1－cosα,sinα)＝－eq\f(2,sinα).4．求證：eq\f(tanθ·sinθ,tanθ－sinθ)＝eq\f(1＋cosθ,sinθ).證明左邊＝eq\f(\f(sinθ,cosθ)·sinθ,\f(sinθ,cosθ)－sinθ)＝eq\f(sin2θ,sinθ－sinθcosθ)＝eq\f(1－cos2θ,sinθ1－cosθ)＝eq\f(1－cosθ·1＋cosθ,sinθ·1－cosθ)＝eq\f(1＋cosθ,sinθ)＝右邊．∴原等式成立．[呈重點(diǎn)、現(xiàn)規(guī)律]1．同角三角函數(shù)的根本關(guān)系揭示了〞的三角函數(shù)的運(yùn)算規(guī)律，它的精髓在“同角〞二字上，如sin22α＋cos22α＝1，eq\f(sin8α,cos8α)＝tan8α等都成立，理由是式子中的角為“同角〞．2．角α的某一種三角函的其余三角函數(shù)值時(shí)，要注意公式的合理選擇．一般是先選用平方關(guān)系，再用商數(shù)關(guān)系．在應(yīng)用平方關(guān)系求sinα或cosα?xí)r，其正負(fù)號(hào)是由角α所在象限來(lái)決定，切不可不加分析，憑想象寫公式．3．在三角函中，sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα中的一個(gè)，可以利用方程思想，求出另外兩個(gè)的值．4．在進(jìn)行三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)心觀察題目的特征，靈活、恰當(dāng)?shù)剡x用公式，統(tǒng)一角、統(tǒng)一函數(shù)、降低次數(shù)是三角函數(shù)關(guān)系式變形的出發(fā)點(diǎn)．利用同角三角函數(shù)的根本關(guān)系主要是統(tǒng)一函數(shù)，要掌握“切化弦〞和“弦化切〞的方法．5．在化簡(jiǎn)或恒等意方法的靈活運(yùn)用，常用的技巧有：①“1〞的代換；②減少三角函數(shù)的個(gè)數(shù)(化切為弦、化弦為切等)；③多項(xiàng)式運(yùn)算技巧的應(yīng)用(如因式分解、整體思想等)；④對(duì)條件或結(jié)論的重新整理、變形，以便于應(yīng)用同角三角函數(shù)關(guān)系來(lái)求解．一、根底過(guò)關(guān)1．α是第二象限角，sinα＝eq\f(5,13)，那么cosα等于()A．－eq\f(12,13)B．－eq\f(5,13)\f(5,13)\f(12,13)答案A解析因?yàn)棣翞榈诙笙藿?，所以cosα＝－eq\r(1－sin2α)＝－eq\f(12,13).2．sinα＝eq\f(\r(5),5)，那么sin4α－cos4α的值為()A．－eq\f(1,5)B．－eq\f(3,5)\f(1,5)\f(3,5)答案B解析sin4α－cos4α＝sin2α－cos2α＝2sin2α－1＝2×eq\f(1,5)－1＝－eq\f(3,5).3．α是第二象限的角，tanα＝－eq\f(1,2)，那么cosα等于()A．－eq\f(\r(5),5)B．－eq\f(1,5)C．－eq\f(2\r(5),5)D．－eq\f(4,5)答案C解析∵α是第二象限角，∴cosα<0.又sin2α＋cos2α＝1，tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝－eq\f(1,2)，∴cosα＝－eq\f(2\r(5),5).4．假設(shè)sinα＋sin2α＝1，那么cos2α＋cos4α等于()A．0B．1C．2D．3答案B解析sinα＋sin2α＝1得sinα＝cos2α，∴cos2α＋cos4α＝sinα＋sin2α＝1.5．化簡(jiǎn)：sin2α＋sin2β－sin2αsin2β＋cos2αcos2β＝.答案1解析原式＝sin2α＋sin2β(1－sin2α)＋cos2αcos2β＝sin2α＋sin2βcos2α＋cos2αcos2β＝sin2α＋cos2α(sin2β＋cos2β)＝sin2α＋cos2α＝1.6．直線l的傾斜角是θ，且sinθ＝eq\f(5,13)，那么直線l的斜率k＝.答案±eq\f(5,12)解析因?yàn)橹本€l的傾斜角是θ，所以θ∈[0，π)．又因?yàn)閟inθ＝eq\f(5,13)，sin2θ＋cos2θ＝1，所以cosθ＝±eq\r(1－\f(5,13)2)＝±eq\f(12,13)，于是直線l的斜率k＝eq\f(sinθ,cosθ)＝±eq\f(5,12).7．(1)化簡(jiǎn)eq\r(1－sin2100°)；(2)用tanα表示eq\f(sinα＋cosα,2sinα－cosα)，sin2α＋sinαcosα＋3cos2α.解(1)eq\r(1－sin2100°)＝eq\r(cos2100°)＝|cos100°|＝－cos100°.(2)eq\f(sinα＋cosα,2sinα－cosα)＝eq\f(\f(sinα＋cosα,cosα),\f(2sinα－cosα,cosα))＝eq\f(tanα＋1,2tanα－1)，sin2α＋sinαcosα＋3cos2α＝eq\f(sin2α＋sinαcosα＋3cos2α,sin2α＋cos2α)＝eq\f(\f(sin2α＋sinαcosα＋3cos2α,cos2α),\f(sin2α＋cos2α,cos2α))＝eq\f(tan2α＋tanα＋3,tan2α＋1).二、能力提升8．tanθ＝2，那么sin2θ＋sinθcosθ－2cos2θ等于()A．－eq\f(4,3)\f(5,4)C．－eq\f(3,4)\f(4,5)答案D解析sin2θ＋sinθcosθ－2cos2θ＝eq\f(sin2θ＋sinθcosθ－2cos2θ,sin2θ＋cos2θ)＝eq\f(tan2θ＋tanθ－2,tan2θ＋1)，又tanθ＝2，故原式＝eq\f(4＋2－2,4＋1)＝eq\f(4,5).9．sinα－cosα＝－eq\f(\r(5),2)，那么tanα＋eq\f(1,tanα)的值為()A．－4B．4C．－8D．8答案C解析tanα＋eq\f(1,tanα)＝eq\f(sinα,cosα)＋eq\f(cosα,sinα)＝eq\f(1,sinαcosα).∵sinαcosα＝eq\f(1－sinα－cosα2,2)＝－eq\f(1,8)，∴tanα＋eq\f(1,tanα)＝－8.10．tanα＝－eq\f(1,2)，那么eq\f(1＋2sinαcosα,sin2α－cos2α)＝.答案－eq\f(1,3)解析原式＝eq\f(sinα＋cosα2,sin2α－cos2α)＝eq\f(sinα＋cosα,sinα－cosα)＝eq\f(tanα＋1,tanα－1)＝eq\f(－\f(1,2)＋1,－\f(1,2)－1)＝－eq\f(1,3).11．eq\f(4sinθ－2cosθ,3sinθ＋5cosθ)＝eq\f(6,11)，求以下各式的值．(1)eq\f(5cos2θ,sin2θ＋2sinθcosθ－3cos2θ)；(2)1－4sinθcosθ＋2cos2θ.解由eq\f(4sinθ－2cosθ,3sinθ＋5cosθ