拋物線的簡單幾何性質(zhì)同步練習-2021-2022學年高二上學期數(shù)學人教A版（2019）選擇性必修第一冊

3.3.2拋物線的簡單幾何性質(zhì)題型1：由拋物線的幾何性質(zhì)求其標準方程例1：求與拋物線共頂點，對稱軸是坐標軸，且焦點在直線上的拋物線的標準方程.例2：（1）已知拋物線的頂點在原點，焦點在軸上，拋物線上一點到焦點的距離為5，求的值、拋物線方程和準線方程.（2）已知拋物線的焦點F在軸上，直線過F且垂直于軸，與拋物線交于A，B兩點，O為坐標原點，若△OAB的面積等于4，求此拋物線的標準方程.變式訓練1：已知拋物線，若直線被拋物線所截弦長為，則拋物線C的方程為（）A.B.C.D.題型2：拋物線的焦點弦問題1.焦點弦長公式及其應用例3：拋物線的頂點在原點，以軸為對稱軸，經(jīng)過焦點且傾斜角為135°的直線被拋物線所截得的弦長為8，試求拋物線方程.2.用幾何法解焦點弦相關問題例4：已知拋物線的準線與軸相交于點K，BK與拋物線的焦點弦AB垂直，AH垂直于軸，求證：變式訓練2：設直線過拋物線的焦點F，且與拋物線交于P，Q兩點，由P，Q分別向準線引垂線PR，QS，垂足分別為R，S，設，M為RS的中點，則|MF|=.3.用代數(shù)法解焦點弦相關問題例5：如圖所示，拋物線的焦點為F，經(jīng)過點F的直線交拋物線于A，B兩點，點C在拋物線的準線上，且BC∥軸.證明：直線AC經(jīng)過原點O.4.運用焦點弦求最大（?。┲道?：定長為3的線段AB的端點A，B在拋物線上移動，求AB的中點到軸距離的最小值，并求出此時AB中點的坐標.題型3：直線和拋物線的位置關系1.直線與拋物線交點個數(shù)問題例7：（1）過定點P（0，1）可以作幾條與拋物線只有一個公共點的直線？（2）若直線：與曲線恰好有一個公共點，試求實數(shù)的取值集合.例8：在平面直角坐標系中，點M到點F（1,0）的距離比它到軸的距離多1.記點M的軌跡為C.（1）求軌跡C的方程.（2）設斜率為的直線過定點P（-2,1），求直線與軌跡C恰好有一個公共點、兩個公共點、三個公共點時的相應取值范圍.2.弦長問題例9：設點為平面直角坐標系內(nèi)的一個動點（其中O為坐標原點），點P到定點M的距離比點P到軸的距離大求點P的軌跡方程；若直線：與點P的軌跡方程交于A，B兩點，且，求實數(shù)的值.例10：（1）設F為拋物線C：的焦點，過點P（-1,0）的直線交拋物線C于A，B兩點，點Q為線段AB的中點.若|FQ|=2，則直線的斜率等于.（2）斜率為的直線經(jīng)過拋物線的焦點，且與拋物線相交于A，B兩點，則線段AB的長為.變式訓練3：過拋物線的焦點F作直線交拋物線于A，B兩點，若，，則=.3.中點弦問題例11：已知拋物線，過點Q（2,1）作一條直線交拋物線于A，B兩點，試求弦AB的中點的軌跡方程.例12：過點Q（4,1）所作拋物線的弦AB，恰被點Q平分，則弦AB所在直線的方程為.例13：已知拋物線C：的焦點F，直線與軸的交點為P，與C的交點為Q，且.求C的方程；過F的直線與C相交于A，B兩點，若AB的垂直平分線與C相交于M，N兩點，且A，M，B，N四點在同一圓上，求直線的方程.4.定值（定點）問題例14：如圖所示，拋物線關于軸對稱，它的頂點在坐標原點，點P（1,2），均在拋物線上.求拋物線的方程及其準線方程；當PA與PB的斜率存在且傾斜角互補時，證明：直線AB的斜率為定值.例15：過拋物線的焦點F作一條傾