2011屆高考數(shù)學總復習直通車課件-導數(shù)及其應用

第一節(jié)導數(shù)的概念及運算基礎梳理1.函數(shù)f(x)在x0到x0+Δx之間的平均變化率已知函數(shù)y=f(x),x0,x1是其定義域內不同的兩點,記Δx=x1-x0,Δy=f(x0+Δx)-f(x0),則當Δx≠0時,商叫做函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[x0,x0+Δx]的平均變化率.第一頁，編輯于星期一：八點四十五分。（2）幾何意義函數(shù)f(x)在處的導數(shù)的幾何意義是在曲線y=f(x)上點處的切線的斜率，相應的，切線方程為

2.函數(shù)f(x)在x=x0處的導數(shù)（1）定義函數(shù)f(x)在x=x0處的瞬時變化率稱為函數(shù)f(x)在x=x0處的導數(shù)，記作f′(x0).

第二頁，編輯于星期一：八點四十五分。4.基本初等函數(shù)的導數(shù)公式3.函數(shù)f(x)的導函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a，b)可導,對(a，b)內每個值x,都對應一個確定的導數(shù)在區(qū)間(a，b)內構成一個新的函數(shù),稱為函數(shù)y=f(x)的導函數(shù),記為或y′(或).第三頁，編輯于星期一：八點四十五分。原函數(shù)導函數(shù)f(x)=cf′(x)=0f(x)=f′(x)=f(x)=sinxf′(x)=cosxf(x)=cosxf′(x)=-sinxf(x)=(a>0)f′(x)=f(x)=f′(x)=f(x)=(a>0,且a≠1)f′(x)=f(x)=lnxf′(x)=第四頁，編輯于星期一：八點四十五分。5.導數(shù)運算法則（1）［f(x)±g(x)］′=f′(x)±g′(x);（2）［f(x)·g(x)］′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x);（3）6.復合函數(shù)的導數(shù)復合函數(shù)y=f[g(x)]的導數(shù)和函數(shù)y=f(u),u=g(x)的導數(shù)間的關系為,即y對x的導數(shù)等于y對u的導數(shù)與u對x的導數(shù)的乘積.第五頁，編輯于星期一：八點四十五分。典例分析題型一求函數(shù)的平均變化率【例1】求函數(shù)在到之間的平均變化率.分析緊扣定義進行計算.解第六頁，編輯于星期一：八點四十五分。學后反思求函數(shù)f(x)平均變化率的步驟:(1)求函數(shù)值的增量；(2)計算平均變化率.解這類題目僅僅是簡單的套用公式，解答過程相對簡單，只要注意運算過程就可以了.舉一反三1.求在到之間的平均變化率.第七頁，編輯于星期一：八點四十五分。解析：分析直接利用導數(shù)公式及四則運算法則進行計算.題型二利用求導公式求導數(shù)【例2】求下列函數(shù)的導數(shù).

解第八頁，編輯于星期一：八點四十五分。學后反思準確記憶求導公式及四則運算法則是解答本題的關鍵.解析舉一反三2.求函數(shù)的導數(shù).第九頁，編輯于星期一：八點四十五分。題型三導數(shù)的物理意義及物理上的應用【例3】一質點運動的方程為s=8-.（1）求質點在［1,1+Δt］這段時間內的平均速度；（2）求質點在t=1的瞬時速度.分析第（1）問可利用公式；第（2）問可利用第（1）問的結論求解，也可利用求導公式及四則運算法則求解.學后反思本例引導學生理解瞬時速度是物體在t到t+Δt這段時間內的平均速度當Δt趨近于0時的極限，即s對t的導數(shù).導數(shù)的概念是通過函數(shù)的平均變化率、瞬時變化率、物體運動的瞬時速度、曲線的切線等實際背景引入的，所以在了解導數(shù)概念的基礎上也應了解這些實際背景的意義.對于作變速運動的物體來說，其位移對時間的函數(shù)的導數(shù)就是其運動的速度對時間的函數(shù)；速度對時間的函數(shù)的導數(shù)就是其運動的加速度對時間的函數(shù)，這是導數(shù)的物理意義.利用導數(shù)的物理意義可以解決一些相關的物理問題.解（1）質點在［1,1+Δt］這段時間內的平均速度為(2)質點在t時刻的瞬時速度v=s′(t)=-6t,當t=1時，v=-6.第十頁，編輯于星期一：八點四十五分。舉一反三3.以初速度作豎直上拋運動的物體，在t秒時的高度為,求物體在時刻時的瞬時速度.解析：∵∴物體在時刻的瞬時速度為第十一頁，編輯于星期一：八點四十五分。題型四導數(shù)的幾何意義及幾何上的應用【例4】(12分)已知曲線.（1）求曲線在點P（2，4）處的切線方程；（2）求過點P（2，4）的曲線的切線方程.分析(1)在點P處的切線以點P為切點,關鍵是求出切線斜率k=f′(2).(2)過點P的切線，點P不一定是切點，需要設出切點坐標.解（1）∵,……………………..2′∴在點P（2，4）處的切線的斜率k=y′|x=2=4,…….3′∴曲線在點P（2,4）處的切線方程為y-4=4(x-2),即4x-y-4=0………………4′(2)設曲線與過點P（2，4）的切線相切于點,則切線的斜率k=y′|x=x0=……………6′第十二頁，編輯于星期一：八點四十五分?！嗲芯€方程為,即,…………………......8′∵點P（2，4）在切線上，∴,……………...9′即,∴即∴,解得或,…............10′∴所求的切線方程為4x-y-4=0或x-y+2=0.…………12′學后反思（1）求曲線的切線要注意“過點P的切線”與“在點P處的切線”的差異：在過點P的切線中，點P不一定是切點，點P也不一定在已知曲線上；而在點P處的切線，必以點P為切點.第十三頁，編輯于星期一：八點四十五分。(2)準確理解曲線的切線的概念，還要注意以下兩個方面：①直線與曲線公共點的個數(shù)不是切線的本質特征.直線與曲線只有一個公共點，不能說明直線就是曲線的切線，如拋物線的對稱軸與其僅有一個公共點，但對稱軸不是拋物線的切線;反之，直線是曲線的切線，也不能說明直線與曲線只有一個公共點，如曲線y=sinx與其切線y=1有無數(shù)個公共點.②曲線未必在其切線的“同側”，如直線y=0雖然“穿過”曲線,但它依然是曲線在點（0，0）處的切線.舉一反三4.已知曲線C:y=-3+2x,直線l:y=kx，且直線l與曲線C相切于點(,)(≠0),求直線l的方程及切點的坐標.第十四頁，編輯于星期一：八點四十五分。解析：y′=3-6x+2,直線y=kx過原點(0,0)及(,),∴解得.∴切點為（,）.把切點坐標代入y=kx得∴切線方程為y=x,即x+4y=0.題型五復合函數(shù)的導數(shù)【例5】求下列函數(shù)的導數(shù).第十五頁，編輯于星期一：八點四十五分。分析先確定中間變量轉化為常見函數(shù)，再根據(jù)復合函數(shù)的求導法則求導，也可直接用復合函數(shù)求導法則運算.解（1）方法一：設，，則方法二：第十六頁，編輯于星期一：八點四十五分。（2）學后反思求復合函數(shù)的導數(shù)，關鍵是理解復合過程，選定中間變量，弄清是誰對誰求導.其一般步驟是:(1)分清復合關系，適當選定中間變量，正確分解復合關系（簡稱分解復合關系）；（2）分層求導，弄清每一步中哪個變量對哪個變量求導數(shù)（簡稱分層求導）,即：先分解（復合關系）,再求導（導數(shù)相乘）.第十七頁，編輯于星期一：八點四十五分。舉一反三5.求下列函數(shù)的導數(shù).解析：（2）第十八頁，編輯于星期一：八點四十五分。易錯警示【例】求曲線S:在點A(0,16)處的切線方程.錯解分析將點A代入曲線S易知點A不在曲線S上,故由導數(shù)的幾何意義可知,f′(0)不是曲線在過A的切線的斜率.錯解由于f′(x)=，故f′(0)=3,即曲線在A點處切線斜率為3,從而切線方程為3x-y+16=0.正解設過點A的切線與曲線S切于點M（).f′(x)=,由導數(shù)的幾何意義可知切線的斜率為.①又由兩點連線的斜率公式知.②聯(lián)立①、②得,則，故切線方程為9x+y-16=0.第十九頁，編輯于星期一：八點四十五分?？键c演練10.點P是曲線y=-lnx上任意一點，則P到直線y=x-2的距離的最小值是.解析:作直線y=x-2的平行線使其與曲線y=-lnx相切，則切點到直線y=x-2的距離最小.由y′=2x-=1,得x=1，或x=(舍去).∴切點為（1，1）,它到直線x-y-2=0的距離為d=答案:第二十頁，編輯于星期一：八點四十五分。11.求下列函數(shù)的導數(shù).(1)y=(x+1)(x+2)(x+3);解析第二十一頁，編輯于星期一：八點四十五分。第二十二頁，編輯于星期一：八點四十五分。12.設t≠0，點P(t,0)是函數(shù)f(x)=+ax與g(x)=b+c的圖象的一個公共點，兩函數(shù)的圖象在點P處有相同的切線.試用t表示a,b,c.將a=代入上式得b=t.因此c=ab=.綜上所述，a=,b=t,c=.解析：∵函數(shù)f(x)的圖象過點P(t,0)，∴f(t)=0，即+at=0,又t≠0，故a=.同理，由g(t)=0得c=-b,即c=ab.又f(x)、g(x)在點P(t,0)處有相同的切線，∴f′(t)=g′(t),而f′(x)=3+a,g′(x)=2bx,∴3+a=2bt,第二十三頁，編輯于星期一：八點四十五分。第二節(jié)導數(shù)的應用（Ⅰ）基礎梳理1.函數(shù)的單調性在某個區(qū)間(a,b)內，若f′(x)＞0,那么函數(shù)y=f(x)在這個區(qū)間內；若f′(x)＜0，那么函數(shù)y=f(x)在這個區(qū)間內.2.函數(shù)的極值（1）如果在附近的左側f′(x)0,右側f′(x)＜0,且f()=0,那么f()是極大值；（2）如果在附近的左側f′(x)0,右側f′(x)＞0,且f()=0,那么f(）是極小值.單調遞增單調遞減第二十四頁，編輯于星期一：八點四十五分。典例分析題型一利用導數(shù)求函數(shù)的單調區(qū)間分析通過解f′(x)≥0,求單調遞增區(qū)間.【例1】已知f(x)=-ax-1,求f(x)的單調增區(qū)間.解∵f(x)=-ax-1,∴f′(x)=-a.令f′(x)≥0,得≥a.當a≤0時，有f′(x)＞0在R上恒成立；當a＞0時，有x≥lna.綜上，當a≤0時，f(x)的單調增區(qū)間為(-∞,+∞);當a＞0時，f(x)的單調增區(qū)間為［lna,+∞).第二十五頁，編輯于星期一：八點四十五分。學后反思求函數(shù)的單調區(qū)間，就是解f′(x)＞0或f′(x)＜0，這些不等式的解就是使函數(shù)保持單調遞增或遞減的單調區(qū)間.對可導函數(shù)，求單調區(qū)間的步驟如下：（1）求f(x)的定義域；（2）求出f′(x)；（3）令f′(x)=0，求出全部駐點［補充定義:若函數(shù)f(x)在點x0處的導數(shù)f′()=0，則稱點為函數(shù)f(x)的駐點］；（4）駐點把定義域分成幾個區(qū)間，列表考查在這幾個區(qū)間內f′(x)的符號，因而可確定f(x)的單調區(qū)間.舉一反三1.求函數(shù)f(x)=sinx-x,x∈(0,π)的單調區(qū)間.第二十六頁，編輯于星期一：八點四十五分。解析解析：∵f(x)=sinx-x,∴f′(x)=cosx-.當f′(x)>0,即cosx->0時，解得0<x<,∴f(x)的單調遞增區(qū)間為（0,）;當f′(x)<0,即cosx-<0時，解得<x<π,∴f(x)的單調遞減區(qū)間為（,π.）第二十七頁，編輯于星期一：八點四十五分。題型二已知函數(shù)的單調性求參數(shù)范圍【例2】已知函數(shù)f(x)=-ax-1.(1)若f(x)在實數(shù)集R上單調遞增，求實數(shù)a的取值范圍；(2)是否存在實數(shù)a,使f(x)在(-1,1)上單調遞減？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，說明理由.分析函數(shù)的增區(qū)間是f′(x)≥0恒成立的區(qū)間，函數(shù)的減區(qū)間是f′(x)≤0恒成立的區(qū)間（導數(shù)值為零的點為有限個）.第二十八頁，編輯于星期一：八點四十五分。解(1)由已知f′(x)=3-a,∵f(x)在（-∞,+∞）上是單調增函數(shù)，∴f′(x)=3-a≥0在(-∞,+∞)上恒成立，即a≤3在x∈R上恒成立.∵3≥0,∴只需a≤0.又a=0時，f′(x)=3≥0,f(x)=-1在R上是增函數(shù)，∴a≤0.(2)由f′(x)=3-a≤0在(-1,1)上恒成立，得a≥3在x∈(-1,1)上恒成立.∵-1＜x＜1,∴3＜3,∴只需a≥3.當a≥3時，f′(x)=3-a在x∈(-1,1)上恒有f′(x)＜0,即f(x)在（-1,1）上為減函數(shù)，∴a≥3.故存在實數(shù)a≥3,使f(x)在(-1,1)上單調遞減.第二十九頁，編輯于星期一：八點四十五分。學后反思利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性比用函數(shù)單調性的定義要方便，但應注意f′(x)>0［或f′(x)<0］僅是f(x)在某個區(qū)間上為增函數(shù)（或減函數(shù)）的充分條件，在(a,b)內可導的函數(shù)f(x)在(a,b)上遞增（或遞減）的充要條件應是f′(x)≥0［或f′(x)≤0］，x∈(a,b)恒成立，且f′(x)在(a,b)的任意子區(qū)間內都不恒等于0.這就是說，函數(shù)f(x)在區(qū)間上的增減性并不排斥在區(qū)間內個別點處有f′(x0)=0.因此，在已知函數(shù)f(x)是增函數(shù)（或減函數(shù)）來求參數(shù)的取值范圍時，應令f′(x)≥0［或f′(x)≤0］恒成立，解出參數(shù)的取值范圍（一般可用不等式恒成立理論求解），然后檢驗參數(shù)的取值能否使f′(x)恒等于0，若能恒等于0，則參數(shù)的這個值應舍去,若f′(x)不恒為0，則由f′(x)≥0［或f′(x)≤0］恒成立解出的參數(shù)的取值范圍.第三十頁，編輯于星期一：八點四十五分。舉一反三2.（2010·西安模擬）若函數(shù)f(x)=x+asinx在R上遞增，則實數(shù)a的取值范圍是()A.［-2,2］B.［-1,1］C.D.以上都不對答案:B解析:∵f′(x)=1+acosx，∴要使函數(shù)f(x)=x+asinx在R上遞增，則1+acosx≥0對任意實數(shù)x都成立.即當cosx>0時，a≥，而≤-1,∴a≥-1；同理當cosx<0時，a≤1.綜上可知,-1≤a≤1.第三十一頁，編輯于星期一：八點四十五分。題型三利用導數(shù)求函數(shù)的極值分析按照求極值的基本方法，首先從方程f′(x)=0求出在函數(shù)f(x)定義域內所有可能的極值點，然后按照函數(shù)極值的定義判斷在這些點處是否取得極值.【例3】求函數(shù)f(x)=-2的極值.解易知f(x)的定義域為R.令f′(x)=0,解得x=1或x=-1.當x變化時，f′(x)、f(x)的變化情況為：第三十二頁，編輯于星期一：八點四十五分。x(-∞,-1)-1(-1,1)1(1,+∞)f′(x)-0+0-f(x)↘極小值-3↗極大值-1↘∴當x=-1時，f(x)有極小值-3;當x=1時，f(x)有極大值-1.學后反思求函數(shù)極值的一般步驟：（1）確定函數(shù)的定義域；（2）求導數(shù)f′(x);（3）求方程f′(x)=0的全部實根；（4）檢查方程f′(x)=0的根左右兩側f′(x)的符號，如果左正右負，那么f(x)在這個根處取得極大值;如果左負右正，那么f(x)在這個根處取得極小值.為判斷方程f′(x)=0的根左右兩側f′(x)的符號，可用列表的方法：用方程f′(x)=0的根及無意義的點，順次將函數(shù)的定義域分成若干個小開區(qū)間，并列成表格.根據(jù)極值定義找到相應的極值.第三十三頁，編輯于星期一：八點四十五分。舉一反三3.已知函數(shù)f(x)=-p-qx的圖象與x軸切于(1,0)點，求f(x)的極值.解析：∵f(x)過（1，0）點，∴f(1)=1-p-q=0.∵f′(x)=3-2px-q,且f(x)與x軸相切于點(1,0)，∴f′(1)=3-2p-q=0.解方程組得∴f′(x)=3-4x+1=(x-1)(3x-1)，第三十四頁，編輯于星期一：八點四十五分。題型四已知函數(shù)的極值求參數(shù)的值分析本題考查函數(shù)極值的概念，考查運用導數(shù)研究函數(shù)性質的方法.首先借助極值點求出函數(shù)的解析式，再利用導數(shù)求出函數(shù)的極值.【例4】(12分)已知函數(shù)f(x)=a+b-3x在x=±1處取得極值，試討論f(1)和f(-1)是函數(shù)的極大值還是極小值.解f′(x)=3a+2bx-3,………………..2′依題意得f′(1)=f′(-1)=0,…..4′所以f(x)=-3x,f′(x)=3-3=3(x+1)(x-1).令f′(x)=0,得x=-1或x=1………………….6′第三十五頁，編輯于星期一：八點四十五分。若x∈(-∞,-1］∪[1,+∞),則f′(x)≥0，故f(x)在(-∞,-1］和[1,+∞)上是增函數(shù)…8′若x∈[-1,1],則f′(x)≤0,故f(x)在[-1,1]上是減函數(shù)…………….10′所以f(-1)=2是極大值，f(1)=-2是極小值……………….12′學后反思注意多項式可導函數(shù)的極值點與導數(shù)為零的根之間關系的應用.舉一反三4.函數(shù)f（x)=a+3-x+1在x∈R時是減函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍.解析：f′(x)=3a+6x-1.因為f(x)在x∈R時是減函數(shù)，所以f′(x)≤0在x∈R上恒成立且使f′(x)=0的點只有有限個,即有解得a≤-3,即a的取值范圍是(-∞,-3］.第三十六頁，編輯于星期一：八點四十五分。易錯警示【例】函數(shù)f(x)=在x=1處有極值10,求a、b的值.錯解f′(x)=,由題意知f′(1)=0,且f(1)=10,即2a+b+3=0,且+a+b+1=10,解得a=4,b=-11或a=-3,b=3.錯解分析錯誤的主要原因是把f()為極值的必要條件當作了充要條件.正解f()為極值的充要條件是f′()=0且f′(x)在附近兩側的符號相反.所以后面應該加上：當a=4,b=-11時，f′(x)=3+8x-11=(3x+11)(x-1)在x=1附近兩側的符號相反，∴a=4,b=-11滿足題意;當a=-3,b=3時，f′(x)=3(x-1)2在x=1附近兩側的符號相同，∴a=-3，b=3應舍去.綜上所述，a=4,b=-11.第三十七頁，編輯于星期一：八點四十五分。考點演練10.（2010·廣東六校聯(lián)考）設函數(shù)y=-(ax)-a在x=1處取得極大值，則a=

.解析:令ax=t，則y=-t-a,y′=3-2t-1.令y′=0，得t=1或t=,即ax=1或ax=.由已知，函數(shù)y=f(x)在x=1處取得極大值,∴a×1=1或a×1=,∴a=1或a=.經(jīng)驗證，僅當a=時，y=f(x)在x=1處取極大值.答案:第三十八頁，編輯于星期一：八點四十五分。11.已知函數(shù)f(x)=.若f(x)在區(qū)間[1,+∞)上是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍.解析：f′(x)=3-2ax-3.∵f(x)在[1,+∞)上是增函數(shù),∴f′(x)在[1,+∞）上恒有f′(x)≥0，即3-2ax-3≥0在[1,+∞)上恒成立，則必有令g(x)=,又∵g(x)在[1,+∞)上為增函數(shù)，∴當x=1時，g(x)取最小值0,∴≤0,即a≤0.第三十九頁，編輯于星期一：八點四十五分。12.(2009·天津)已知函數(shù)f(x)=(+ax-2+3a)(x∈R),其中a∈R.(1)當a=0時，求曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線的斜率;(2)當a≠時，求函數(shù)f(x)的單調區(qū)間與極值.以下分兩種情況討論.①若a>,則-2a<a-2,當x變化時,f′(x)、f(x)的變化情況如下表：極小值極大值f(x)+0-0+f′(x)(a-2,+∞)a-2(-2a,a-2)-2a(-∞,-2a)x解析：(1)當a=0時，f(x)=，f′(x)=(+2x)，則f′(1)=3e.所以曲線y=f(x)在點（1,f(1))處的切線的斜率為3e.(2)f′(x)=［+(a+2)x-2+4a］.令f′(x)=0,解得x=-2a或x=a-2.由a≠知，-2a≠a-2.第四十頁，編輯于星期一：八點四十五分。所以f(x)在(-∞,-2a),(a-2,+∞)內是增函數(shù),在(-2a,a-2)內是減函數(shù).函數(shù)f(x)在x=-2a處取得極大值f(-2a),且f(-2a)=;函數(shù)f(x)在x=a-2處取得極小值f(a-2),且f(a-2)=.②若a<，則-2a>a-2.當x變化時，f′(x)、f(x)的變化情況如下表:x(-∞,a-2)A-2(a-2,-2a)-2a(-2a,+∞)f′(x)+0-0+f(x)極大值極小值所以f(x)在(-∞,a-2),(-2a,+∞)內是增函數(shù)，在(a-2,-2a)內是減函數(shù).函數(shù)f(x)在x=a-2處取得極大值f(a-2),且f(a-2)=;函數(shù)f(x)在x=-2a處取得極小值f(-2a),且f(-2a)=.第四十一頁，編輯于星期一：八點四十五分。第三節(jié)導數(shù)的應用(Ⅱ)基礎梳理1.一般地，求函數(shù)y=f(x)在［a,b］上的最大值與最小值的步驟如下：（1）；（2）2.生活中經(jīng)常遇到求利潤最大、用料最省、效率最高等問題，這些問題通常稱為優(yōu)化問題.導數(shù)在這一類問題中有著重要的應用，它是求函數(shù)最大（?。┲档膹娪辛Φ墓ぞ?3.導數(shù)常常和解含參數(shù)的不等式、不等式的證明結合起來，應注意導數(shù)在這兩方面的應用.求函數(shù)y=f(x)在（a,b）內的極值將函數(shù)y=f(x)的各極值與端點處的函數(shù)值f（a）、f(b)比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值.第四十二頁，編輯于星期一：八點四十五分。典例分析題型一求函數(shù)的最值分析通過求導，令f′(x)=0,找到函數(shù)的極值點，將極值與端點處的函數(shù)值相比較，來找到最值.【例1】已知函數(shù)f(x)=,求函數(shù)在[-1,1]上的最值.解∵f(x)=,∴f′(x)=令f′(x)=0,得,∴x=0，或x=-2(舍去).∵f(0)=0,f(-1)=,f(1)=e,∴=f(1)=e,=f(0)=0.第四十三頁，編輯于星期一：八點四十五分。學后反思求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，應先利用函數(shù)的導數(shù)求得極值，再與端點處函數(shù)值相比較而得到,其中最大者為最大值，最小者為最小值.對含有參數(shù)的問題，需注意分情況討論.舉一反三1.求函數(shù)的最值.解析：函數(shù)在上可導，且f′(x)=

令f′(x)=0，得x=-1或x=1（舍去）.∵f(-e)=-4,,f(-1)=1,且,∴函數(shù)的最大值為-4，最小值為1.第四十四頁，編輯于星期一：八點四十五分。題型二導數(shù)在實際問題中的應用【例2】(2009·福州模擬)甲、乙兩地相距400km，汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度不得超過100km/h，已知該汽車每小時的運輸成本P(元）關于速度v(km/h）的函數(shù)關系是（1）求全程運輸成本Q（元）關于速度v的函數(shù)關系式;(2)為使全程運輸成本最少，汽車應以多大速度行駛？并求此時運輸成本的最小值.分析根據(jù)題目所給條件建立目標函數(shù)，利用導數(shù)求解.解（1）(0<v≤100).第四十五頁，編輯于星期一：八點四十五分。(2)Q′=-5v.令Q′=0，則v=0（舍去）或v=80,當0<v<80時，Q′<0;當80<v≤100時，Q′>0.∴當v=80時，全程運輸成本取得極小值，即為最小值.從而Qmin=Q(80)=(元).學后反思在求實際問題中的最大值或最小值時，一般是先根據(jù)題意建立函數(shù)關系式，并確定其定義域，再利用求函數(shù)最值的方法求解，注意結果應與實際情況相結合.用導數(shù)求解實際問題中的最大（?。┲禃r，如果函數(shù)在區(qū)間內只有一個極值點，那么依據(jù)實際意義，該極值點也就是最值點.第四十六頁，編輯于星期一：八點四十五分。舉一反三2.某分公司經(jīng)銷某種品牌的產(chǎn)品，每件產(chǎn)品的成本為3元，并且每件產(chǎn)品需向總公司交a(3≤a≤5)元的管理費.預計當每年產(chǎn)品的售價為x(9≤x≤11)元時，一年的銷售量為(12-x)2萬件.（1）求分公司一年的利潤L（萬元）與每件產(chǎn)品的售價x的函數(shù)關系式；（2）當每件產(chǎn)品的售價為多少元時，分公司一年的利潤L最大？并求出L的最大值Q（a）.解析：(1)分公司一年的利潤L（萬元）與售價x的函數(shù)關系式為L=(x-3-a),x∈[9,11].(2)L′(x)=-2(x-3-a)(12-x)=(12-x)(18+2a-3x).令L′(x)=0,得x=6+或x=12(不合題意，舍去).∵3≤a≤5,∴8≤6+≤.易知在x=6+的兩側L′的值由正值變負值.第四十七頁，編輯于星期一：八點四十五分。①當8≤6+≤9，即3≤a≤時，Lmax=L(9)=(9-3-a)=9(6-a);②當9＜6+≤,即＜a≤5時，Lmax=

∴∴當3≤a≤，即當每件售價為9元時，分公司一年的利潤L最大，最大值Q（a）=9(6-a)（萬元）；當＜a≤5，即當每件售價為（6+）元時，分公司一年的利潤L最大，最大值Q(a)=(萬元).第四十八頁，編輯于星期一：八點四十五分。題型三求單調區(qū)間與解含參不等式【例3】（2008·全國）已知函數(shù)(a∈R),試討論f(x)的單調區(qū)間.分析求導后含有參數(shù)a,可解含參不等式.通過討論求f(x)的單調區(qū)間.學后反思分類討論是數(shù)學中的一個重要思想.對含參數(shù)的函數(shù)求單調區(qū)間時，求導后仍含有參數(shù)，可轉化為解含參數(shù)的不等式問題.解含參數(shù)的不等式常通過討論來完成，注意在討論時各種情況要考慮全面，如本題易遺漏Δ=0即的情況.解f′(x)=3+2ax+1,其判別式Δ=4-12.(1)當Δ＞0,即a＞或a＜時，則在內f′(x)＜0,f(x)是減函數(shù);在和內f′(x)＞0,f(x)是增函數(shù).

（2）當Δ＜0,即時，則對所有x∈R都有f′(x)＞0，此時f(x)在R上是增函數(shù).（3）當Δ=0,即時，則f′()=0,且對所有的x≠都有f′(x)＞0.故當時，f(x)在R上是增函數(shù).第四十九頁，編輯于星期一：八點四十五分。

【例4】已知函數(shù),若在實數(shù)集R上單調遞增，求實數(shù)a的取值范圍.分析

由在R上是增函數(shù)知在R上恒成立，進而轉化為最值問題.解

由題意知∵在（-∞，+∞）上是單調增函數(shù)，∴在（-∞，+∞）上恒成立，即對x∈R恒成立.∵,∴只需a≤0,又a=0時，在R上是增函數(shù)，∴a≤0，即a∈（-∞，0］.學后反思

在已知函數(shù)是增函數(shù)（或減函數(shù)）求參數(shù)的取值范圍時，應令≥0（或≤0）恒成立，解出參數(shù)的取值范圍（一般可用不等式恒成立理論求解），然后檢驗參數(shù)的取值能否使恒等于0,若能恒等于0，則參數(shù)的這個值應舍去，若不恒為0，則由≥0（或≤0）恒成立解出的參數(shù)的取值范圍確定.第五十頁，編輯于星期一：八點四十五分。舉一反三3.(改編題)已知函數(shù)(a≠0)，求函數(shù)f(x)的單調區(qū)間.(2)當a<0時，由f′(x)>0知3a<x<a,由f′(x)<0知x<3a或x>a.所以f(x)的增區(qū)間為(3a,a)，減區(qū)間為(-∞,3a),(a,+∞).綜上，當a>0時,f(x)的增區(qū)間為(a,3a),減區(qū)間為(-∞,a),(3a,+∞);當a<0時，f(x)的增區(qū)間為（3a,a)，減區(qū)間為(-∞,3a),(a,+∞).解析：f′(x)=-+4ax-3=-(x-3a)(x-a).(1)當a>0時，由f′(x)>0知a<x<3a,由f′(x)<0知x<a或x>3a.所以f(x)的增區(qū)間為(a,3a),減區(qū)間為(-∞,a),(3a,+∞).第五十一頁，編輯于星期一：八點四十五分。題型四導數(shù)與不等式的證明【例5】（12分）(2008·山東)設函數(shù),已知x=-2和x=1為f(x)的極值點.(1)求a和b的值;(2)討論f(x)的單調性;(3)設，試證:f(x)≥g(x).分析(1)利用好兩個函數(shù)滿足的兩個條件，列出關于a,b的方程組，然后解之.（2）作差：f(x)-g(x)，然后研究整體f(x)-g(x)的單調性，進一步證明結論成立即可.第五十二頁，編輯于星期一：八點四十五分。解(1)∵f′(x)….1′又x=-2和x=1為f(x)的極值點,∴f′(-2)=f′(1)=0,即,解得………….3′(2)∵a=,b=-1,∴f′(x)=x(x+2)(-1).令f′(x)=0，解得……...5′∵當x∈(-∞,-2)∪(0,1)時，f′(x)<0，當x∈(-2,0)∪(1,+∞)時，f′(x)>0，∴f(x)在(-2,0)和(1,+∞)上是單調遞增的,在(-∞,-2)和(0,1)上是單調遞減的……………….7′第五十三頁，編輯于星期一：八點四十五分。(3)由(1)可知,故f(x)-g(x)=……...8′令h(x)=-x,則h′(x)=-1.令h′(x)=0,得x=1.∵x∈(-∞,1］時，h′(x)≤0,∴h(x)在(-∞,1］上是單調遞減的,故當x∈(-∞,1］時，h(x)≥h(1)=0……………..10′∵x∈［1,+∞)時，h′(x)≥0,∴h(x)在x∈［1,+∞)上是單調遞增的,故當x∈［1,+∞)時，h(x)≥h(1)=0.…………….11′∴對任意x∈(-∞,+∞)，恒有h(x)≥0,又≥0,因此f(x)-g(x)≥0,故對任意x∈(-∞,+∞)恒有f(x)≥g(x)……………12′學后反思采用求導的方法，利用函數(shù)的單調性證明不等式，是證明不等式的常用技巧.若證明f(x)＞g(x),x∈(a,b)，可以等價轉化為證明f(x)-g(x)＞0.如果[f(x)-g(x)]′＞0，說明函數(shù)f(x)-g(x)在區(qū)間(a,b)上是增函數(shù);如果f(a)-g(a)≥0,由增函數(shù)的定義可知，當x∈(a,b)時，f(x)-g(x)＞0，即f(x)＞g(x).利用導數(shù)知識解決不等式問題是近年來高考的一個熱點，其實質就是利用求導的方法研究函數(shù)的單調性，通過單調性求解不等式或證明不等式.這類試題在考查綜合能力的同時充分體現(xiàn)了導數(shù)的工具性和導數(shù)應用的靈活性.第五十四頁，編輯于星期一：八點四十五分。舉一反三4.已知函數(shù)f(x)=+lnx,求證:x≥1時，對任意的正整數(shù)n,總有f(x)≤x.證明:∵x≥1,∴對任意正整數(shù)n，恒有≤1,故只需證明1+lnx≤x.令h(x)=1+lnx-x,x∈[1,+∞),則h′(x)=-1.當x≥1時，h′(x)≤0,故h(x)在[1,+∞)上遞減，即h（x）≤h(1)=1+ln1-1=0,∴1+lnx-x≤0,即1+lnx≤x，∴f(x)≤1+lnx≤x.當x≥1時，對任意的正整數(shù)n，總有f(x)≤x.第五十五頁，編輯于星期一：八點四十五分。易錯警示【例】從邊長為2a的正方形鐵片的四個角各截去一小塊邊長為x的正方形，如右圖所示.再將四邊向上折起，做成一個無蓋的長方體鐵盒，要求長方體的高度x與底面正方形的邊長的比值不超過常數(shù)t.問:x取何值時，容積V有最大值?錯解V=.V′==4(3x-a)(x-a).因為，所以函數(shù)的定義域為這里，V在定義域內有唯一的極值點x=a3，由問題的實際意義可知，當時，Vmax=.第五十六頁，編輯于星期一：八點四十五分。錯解分析上述解法忽略了定義域的限制.正解（1）當,即時，由V′=0得，這時V在定義域內有唯一極值點.由問題的實際意義可知，當時，Vmax=.(2)當,即時，x<，這時有V′≥0，所以V在定義域內

為增函數(shù)，故當時，Vmax=.第五十七頁，編輯于星期一：八點四十五分?？键c演練10.（2010·山東濟南模擬）將長為52cm的鐵絲剪成兩段，各圍成一個長與寬之比為2∶1及3∶2的矩形，那么面積之和的最小值為

.答案:78解析:設剪成的兩段中其中一段為x，另一段為52-x.由題意知，面積之和為S=S′=令S′=0,則x=27,另一段為52-27=25.此時Smin=78().第五十八頁，編輯于星期一：八點四十五分。11.請您設計一個帳篷，它下部的形狀是高為1m的正六棱柱，上部的形狀是側棱長為3m的正六棱錐(如圖所示）.試問:當帳篷的頂點O到底面中心O1的距離為多少時，帳篷的體積最大？解析：設xm，則1<x<4.由題設可得正六棱錐底面邊長(單位:m)為

于是底面正六邊形的面積（單位:）為S(x)

第五十九頁，編輯于星期一：八點四十五分。12.(2008·天津)已知f(x)=x++b（x≠0）,其中a,b∈R.(1)若曲線y=f(x)在點P（2，f(2)）處的切線方程為y=3x+1,求f(x)的解析式;（2）討論f(x)的單調性；（3）若對任意的a∈[,2],不等式f(x)≤10在[,1]上恒成立，求b的取值范圍.帳篷的體積(單位:)為V(x)=V′(x)=令V′(x)=0，解得x=-2（舍去)或x=2.當1<x<2時,V′(x)>0,V(x)為增函數(shù);當2<x<4時，V′(x)<0，V(x)為減函數(shù).所以當x=2時，V(x)最大.即當為2m時，帳篷的體積最大.第六十頁，編輯于星期一：八點四十五分。x(-∞,-)(,0)(0,)(,+∞)f′(x)+0--0+解析：(1)f′(x)=1-,∵f′(2)=3,∴a=-8.由切點P(2,f(2))在y=3x+1上,可得b=9.∴f(x)的解析式為f(x)=x-8x+9.(2)f′(x)=1-,當a≤0時，顯然f′(x)＞0(x≠0)，這時f(x)在（-∞,0)和(0,+∞)上是增函數(shù)；當a＞0時，由f′(x)=0,得x=±.當x變化時，f′(x)變化情況是：∴f(x)在(-∞,)和（,+∞）上是增函數(shù)，在(,0)和(0,)上是減函數(shù).第六十一頁，編輯于星期一：八點四十五分。（3）由(2)知,f(x)在[,1]上的最大值為f()與f(1)中的較大者.對任意的a∈[,2]，不等式f(x)≤10在[,1]上恒成立，當且僅當對任意的a∈[,2]成立，從而得b≤.所以滿足條件的b的取值范圍是(-∞,].第六十二頁，編輯于星期一：八點四十五分。第四節(jié)定積分與微積分基本定理基礎梳理1.定積分（1）定積分的定義和相關概念①如果函數(shù)f(x)在區(qū)間［a,b］上連續(xù)，用分點將區(qū)間[a,b]等分成n個小區(qū)間,在每個小區(qū)間［］上任取一點(i=1,2,…,n),作和式當n→∞時，上述和式無限接近，這個做函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的定積分，記作即②在中，分別叫做積分下限與積分上限，區(qū)間[a,b]叫做積分區(qū)間，函數(shù)叫做被積函數(shù)，叫做積分變量，叫做被積式.某個常數(shù)常數(shù)第六十三頁，編輯于星期一：八點四十五分。（2）定積分的幾何意義若函數(shù)f(x)在區(qū)間［a，b］上連續(xù)且恒有f(x)≥0,那么定積分(3)定積分的基本性質①(k為常數(shù));②;③(其中a＜c＜b).第六十四頁，編輯于星期一：八點四十五分。2.微積分基本定理如果f(x)是區(qū)間[a,b]上的連續(xù)函數(shù)，并且F′(x)=f(x),那么這個結論叫做微積分基本定理,又叫做牛頓—萊布尼茲公式.為了方便，常把記成即第六十五頁，編輯于星期一：八點四十五分。典例分析題型一求定積分解（1）

(2)【例1】求下列定積分.(1);(2);(3).

分析根據(jù)求原函數(shù)與求導函數(shù)互為逆運算，找到被積函數(shù)的原函數(shù)，利用微積分基本公式求值.第六十六頁，編輯于星期一：八點四十五分。(3)學后反思(1)求函數(shù)f(x)在某個區(qū)間上的定積分，關鍵是求函數(shù)f(x)的一個原函數(shù)，正確運用求導運算與求原函數(shù)運算互為逆運算的關系，有些可利用定積分的幾何意義來表示.（2）求復雜函數(shù)的定積分要依據(jù)定積分的性質.第六十七頁，編輯于星期一：八點四十五分。①有限個函數(shù)代數(shù)和的定積分，等于各個函數(shù)定積分的代數(shù)和，即②常數(shù)因子提到積分符號外邊，即.③當積分上限、下限交換時，積分值一定要反號，即.④積分的可加性，若c∈[a,b]，則有.第六十八頁，編輯于星期一：八點四十五分。舉一反三1.計算下列定積分.(1);(2).解析：（1）(2)

第六十九頁，編輯于星期一：八點四十五分。題型二求分段函數(shù)的定積分

解【例2】求定積分.學后反思如果被積函數(shù)是絕對值函數(shù)，可以利用定積分性質，根據(jù)函數(shù)的定義域將積分區(qū)間分成若干部分，代入相應解析式，分別求出積分值，相加即可.分析利用定積分的可加性，通過討論x的取值范圍去掉絕對值符號，再求函數(shù)的定積分.第七十頁，編輯于星期一：八點四十五分。舉一反三2.求下列定積分.(1)(2).解析：(1)（2）第七十一頁，編輯于星期一：八點四十五分。題型三定積分的幾何意義

【例3】利用定積分的性質和定義表示下列曲線圍成的平面區(qū)域的面