第五章 多元函數(shù).電子教案教學(xué)課件

第五章多元函數(shù)

在本章中我們將介紹函數(shù)的一般概念，并介紹一些特殊的函數(shù)，然后介紹導(dǎo)數(shù)、偏導(dǎo)數(shù)和微分，最后講授這些概念的具體應(yīng)用——比較靜態(tài)分析和泰勒逼近第1節(jié)函數(shù)的一般概念函數(shù)是一種將一個集合中元素與另一個集合中元素對應(yīng)起來的規(guī)則，其使得中的每個元素有且僅有一個中元素與之對應(yīng)。中任一元素被稱作自變量。如果對應(yīng)著中的，我們寫作而被稱作的映射或者因變量。集合被稱作函數(shù)的定義域而則被稱作函數(shù)的目標(biāo)空間。這些映射的集合被稱作函數(shù)的值域。表示符號或者函數(shù)可用圖形表示為必須適用于S中每個元素，下面這種規(guī)則則不是函數(shù)：T集合中僅有一個元素與S中元素對應(yīng)，下面規(guī)則也不是函數(shù)定義域，目標(biāo)空間與值域多元（實）函數(shù)：定義域為或者的一個子集，目標(biāo)空間為實數(shù)集，常見的二元函數(shù)的經(jīng)濟(jì)例子柯布—道格拉斯函數(shù)為常數(shù)不變替代彈性（）生產(chǎn)函數(shù)其定義域為（或者）的非負(fù)象限，即集合第2節(jié)偏導(dǎo)數(shù)定義導(dǎo)數(shù)一元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)多元函數(shù)表示符號，，，。鏈?zhǔn)椒▌t的推廣偏導(dǎo)數(shù)的含義（i）偏導(dǎo)數(shù)給出了當(dāng)發(fā)生細(xì)微變動而所有其他變量保持不變時變化率的近似值。（ii）如果為正，其意味著增加會導(dǎo)致的增加；減少會導(dǎo)致的減少。如果其為負(fù)，這兩個變量變化方向相反。（iii）用于經(jīng)濟(jì)學(xué)中的邊際分析生產(chǎn)函數(shù)，投入品1的邊際產(chǎn)品為效用函數(shù)，商品2的邊際效用為二階偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)即為二階偏導(dǎo)數(shù)：，依此類推楊格定理如果函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)都連續(xù)，則

例柯布—道格拉斯函數(shù)一階偏導(dǎo)數(shù)：二階偏導(dǎo)數(shù)：梯度向量與海賽矩陣定義梯度向量：函數(shù)一階偏導(dǎo)數(shù)的向量，記作，其中海賽矩陣：函數(shù)二階偏導(dǎo)數(shù)組成的矩陣，記作注意：根據(jù)楊格定理，海賽矩陣為對稱矩陣?yán)齽t梯度向量為海賽矩陣為第3節(jié)函數(shù)中的特殊類連續(xù)函數(shù)函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)：數(shù)列，收斂于，這些點(diǎn)的像將就收斂于的映射。

連續(xù)函數(shù)：函數(shù)在其定義域內(nèi)的每一點(diǎn)都連續(xù)。函數(shù)為次多項式,如果

函數(shù)為有理函數(shù)，如果其中和都是多項式一元連續(xù)函數(shù)函數(shù)在某處不連續(xù)絕對值函數(shù)連續(xù)函數(shù)之和仍是連續(xù)函數(shù)，連續(xù)函數(shù)之積也是連續(xù)函數(shù)復(fù)合函數(shù)：復(fù)合函數(shù)定義為，連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)也是連續(xù)函數(shù)?？蓪?dǎo)必定連續(xù)，連續(xù)未必可導(dǎo)。齊次函數(shù)定義函數(shù)為次齊次函數(shù)，如果對于所有的，有定理如果為次齊次函數(shù)，其一階偏導(dǎo)數(shù)則為次齊次函數(shù)。歐拉定理如果為次齊次函數(shù)且可導(dǎo)，則例其為三次其次函數(shù)。偏導(dǎo)數(shù)

其一階偏導(dǎo)數(shù)為二次齊次函數(shù)同時凸函數(shù)和凹函數(shù)凸集線段：為中兩點(diǎn)，連接的線段為集合

凸集：對于所有，凸函數(shù)凸函數(shù)：，嚴(yán)格凸函數(shù)：，凹函數(shù)：，嚴(yán)格凹函數(shù)：，非凸集凸集二元嚴(yán)格凸函數(shù)與二元凸函數(shù)嚴(yán)格凹函數(shù)與凹函數(shù)定理：函數(shù)是凸集上的嚴(yán)格凸（凹）函數(shù)，如果其海賽矩陣對于所有屬于的為正（負(fù)）定。當(dāng)且僅當(dāng)對于所有屬于的為半正（負(fù)）定時，函數(shù)為凸集上的凸（凹）函數(shù)。

例證明為凹函數(shù)，，，，。海賽矩陣一階主子式-2、0小于等于零，二階主子式故該函數(shù)為凹函數(shù)第4節(jié)比較靜態(tài)和非線性模型

引言在線性經(jīng)濟(jì)模型中，均衡值或者比較靜態(tài)分析結(jié)果

如果在模型方程是非線性的，比較靜態(tài)分析應(yīng)該如何進(jìn)行呢？隱函數(shù)定理隱函數(shù)：由非線性方程所定義的函數(shù)

隱函數(shù)定理1假設(shè)非線性函數(shù)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，考慮任意滿足方程的點(diǎn)。如果偏導(dǎo)數(shù)在此點(diǎn)不為零，那么至少在此點(diǎn)鄰域存在一個隱函數(shù)。不僅如此，偏導(dǎo)數(shù)也存在且連續(xù)。例在哪些點(diǎn)上方程存在關(guān)于的隱函數(shù)此時明顯存在且連續(xù)，在任意使得而的點(diǎn)上隱函數(shù)都存在。對原方程兩點(diǎn)同時關(guān)于求導(dǎo)，有那么經(jīng)濟(jì)應(yīng)用封閉經(jīng)濟(jì)的簡單凱恩斯宏觀經(jīng)濟(jì)模型均衡條件或者根據(jù)隱函數(shù)定理，在上存在均衡解

從而隱函數(shù)定理的推廣兩非線性方程什么情況下才能解成是函數(shù)的形式？定義雅克比行列式：隱函數(shù)定理2假設(shè)和關(guān)于有著連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)。那么在滿足該方程組而雅克比行列式不為零的任意點(diǎn)上隱函數(shù)和都存在。另外，這些隱函數(shù)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)。例模型產(chǎn)品市場貨幣市場均衡條件均衡條件可寫作問題：什么條件下存在隱函數(shù)和雅克比行列式為則在成立的任何點(diǎn)上都存在問題：比較靜態(tài)分析求在均衡條件成立的情況下對其求偏導(dǎo)用矩陣表示為利用克拉默法則，有

第5節(jié)微分和泰勒逼近

一元函數(shù)的泰勒定理一元函數(shù)，定義域內(nèi)一點(diǎn)其中為余項次泰勒近似值代表的細(xì)微改變而，越來越小例

其三次泰勒近似值為泰勒逼近方法用函