第8章無套利分析和二叉樹期權定價模型

第八章無套利分析和二叉樹期權定價模型Chapter8No-arbitrageAnalysisandCRRModel運用風險中性定價方法求解二叉樹期權定價模型03目錄CONTENTS運用動態(tài)復制方法求解二叉樹期權定價模型022二叉樹期權定價模型的參數(shù)匹配——以CRR模型為例04運用動態(tài)復制方法給風險資產定價013學習要點用動態(tài)復制方法求解CRR模型用風險中性定價方法求解CRR模型金融資產定價基本原理4本章知識結構圖第〇節(jié)導

言折紙游戲6如何從一個長方形紙張中變出一個正方形將長方形紙張的短邊折向長方形的長邊，并將短邊在長邊上留下的終點留下折痕，再打開紙張，就變出了一個“正方形”在長方形的長邊上“復制了”短邊，得到了我們想要的正方形第一節(jié)

運用動態(tài)復制方法給風險資產定價一、無套利分析與動態(tài)復制方法8無套利均衡分析是衍生品定價的核心思想起源于1958年提出的MM理論在推導無稅情況下有財務杠桿和無財務杠桿企業(yè)的價值時，米勒和莫迪里亞尼用自制財務杠桿復制了企業(yè)的財務杠桿，從而得出在無稅情況下有財務杠桿和無財務杠桿企業(yè)的價值相同，進一步得出無稅情況下資本結構與企業(yè)價值無關的結論。在MM理論的推導中復制是一次性的，稱為靜態(tài)復制。標的資產價格的動態(tài)變化時，引入動態(tài)模型，需要動態(tài)復制技術。二、狀態(tài)價格過程與風險資產定價9用二叉樹描述風險資產的動態(tài)變化過程。一個枝杈表示風險資產價格的上升，用

u

來表示，一個枝杈表示風險資產價格的下降，用

d

來表示。假設不存在套利機會的完備金融市場中有兩類資產，一類是以國債(Bond)為代表的無風險資產,另一類是以股票(Stock)為代表的風險資產，即B-S市場。市場上有兩種風險資產均為股票，其中股票

A的初始價格為

PA=100,u=1.25,d=0.8

股票

A

和股票

B在一段時間Δt=0.25的價格變化二、狀態(tài)價格過程與風險資產定價10基礎證券,又稱阿羅-德布魯證券，一般記為πu

和πd

基礎證券

πu的價格變化基礎證券

πd

的價格變化二、狀態(tài)價格過程與風險資產定價11利用基礎證券復制股票現(xiàn)金流組合V:

πu×uPA+πd×dPA

組合V*:πu+πd

組合V的價格變化組合V*的價格變化股票B的價格二、狀態(tài)價格過程與風險資產定價12利用股票

A和無風險資產

L復制股票

B的現(xiàn)金流組合V=Δt

PA+L

復制B的現(xiàn)金流，無風險利率為

r

第二節(jié)

運用動態(tài)復制方法求解二叉樹期權定價模型一、二叉樹期權定價模型與B-S-M期權定價模型之間的關系14二叉樹期權定價模型是離散模型B-S-M期權定價模型是連續(xù)時間模型二叉樹模型受B-S-M影響B(tài)-S-M期權定價模型出現(xiàn)在1973年，二叉樹期權定價模型在其后二叉樹期權定價模型要“匹配”B-S-M期權定價模型，從而保證二項分布在極限意義上逼近對數(shù)正態(tài)分布二、二叉樹期權定價模型——CRR模型15CRR模型是由Cox、Ross和Rubinstein于1979年提出的一個二叉樹期權定價模型特點CRR模型是一個二叉樹模型CRR模型上升再下降或下降再上升后交匯于一點，即“交叉樹”CRR優(yōu)點：期末時刻的節(jié)點數(shù)為

N+1，普通二叉樹期末時刻的節(jié)點數(shù)為2N二、二叉樹期權定價模型——CRR模型16復制期權的支付假設是B-S市場，市場完備無套利一個二期模型，期權的執(zhí)行價格為28,無風險利率為

rf=4%,連續(xù)復利，期權的有效期為

T=0.5年標的資產股票價格變化過程歐式看漲期權的支付的變化過程二、二叉樹期權定價模型——CRR模型17復制期權的支付選擇標的資產

S

和無風險資產L

復制期權C的終端支付右上方的樹：右下方的樹：左邊的樹：二、二叉樹期權定價模型——CRR模型18復制期權的支付代入?yún)?shù)，計算具體數(shù)值結果：從而第三節(jié)

運用風險中性定價方法求解二叉樹期權定價模型一、風險中性實驗與公平博弈20風險偏好類型回顧風險既沒有正效用，也沒有負效用風險中性類型收益正效用，風險負效用風險需要用收益來補償風險厭惡型收益帶來正效用，風險帶來正效用。更喜歡收益的波動性風險喜好型一、風險中性實驗與公平博弈21公平博弈假設存在一個賭局，猜硬幣的正反面。由第三方投擲硬幣，假設參與者猜對了，可得10元，猜錯了沒有收益。參與賭局需要交納入局費。通過計算可得，這一賭局的期望收益為10×0.5+0×0.5=5如果參與者最多愿意交納的入局費大于5元，這樣的參與者就是風險喜好類型。如果參與者最多愿意交納的入局費等于5元，這樣的參與者就是風險中性類型。如果參與者最多愿意交納的入局費小于5元，這樣的參與者就是風險厭惡類型。入局費等于期望收益的賭局，我們一般稱之為公平博弈（fairgame）。一、風險中性實驗與公平博弈22逢輸加番策略一副撲克牌扣除大小王，一共有52張牌，其中26張紅牌，26張黑牌。假設初始入局費為1元——初始賭注。參與者從52張牌中抽取一張牌，如果是紅牌，參與者獲勝，盈利為2元，獲利離場。如果是黑牌，參與者輸了，入局費加番進入第二輪。

抽牌游戲的情況示意賭局次數(shù)賭局結果情況說明1-1+2=1參與者第1次就抽到紅牌，拿到盈利2元，離場，扣除1次入局費1元，凈盈利1元。2-1-2+4=1參與者第2次才抽到紅牌，拿到盈利4元離場，扣除2次入局費合計3元，凈盈利1元。3-1-2-4+8=1參與者第3次才抽到紅牌，拿到盈利8元離場，扣除3次入局費合計7元，凈盈利1元。4-1-2-4-8+16=1參與者第4次才抽到紅牌，拿到盈利16元離場，扣除4次入局費合計15元，凈盈利1元。5-1-2-4-8-16+32=1參與者第5次才抽到紅牌，拿到盈利32元離場，扣除4次入局費合計31元，凈盈利1元。入局費1元，參與者贏了可以賺2元，因此這個賭局的期望收益為1，等于入局費1元，參與者無論何時離場，凈盈利都是1元。在這樣的動態(tài)過程中參與者沒有最優(yōu)離場時機。二、風險中性定價的隨機分析準備——離散版本23σ

代數(shù)與概率測度假設存在一個

n

個元素的有限樣本空間

Ω,Ω

=｛ω1,ω2,...,ωn｝,

A是Ω

中的集合。?是Ω的子集構成的集合。如果：1、

Ω

?

?2、A∈??AC∈?3、A1,A2,...,An是互不相交的集合，且

A1,A2,...,An∈???則稱

?是Ω上的σ代數(shù)

二、風險中性定價的隨機分析準備——離散版本24概率測度現(xiàn)在我們在

σ代數(shù)

?上定義概率測度

P。概率測度

P

是滿足下面條件的函數(shù)：1、

P(Ω)=1;2、A1,A2,...,An是互不相交的集合，則

賦予了

σ代數(shù)的樣本空間稱之為可測空間，賦予了概率測度

P

的可測空間稱之為概率空間。

二、風險中性定價的隨機分析準備——離散版本25域流與適應隨機變量序列假設

t是一個離散時間變量，并且對于每一個

ti

∈[0,T],i=1,2,...,n,

均有一個

σ代數(shù)

?(ti)

進一步假定，如果

ti≤tj

∈[0,T],i=1,2,...,n,則

?(ti)

中所有的事件都在?(tj)

中，則稱?(ti),

ti

∈[0,T],i=1,2,...,n是一個域流。設X(ti),

ti

∈[0,T],i=1,2,...,n是一個隨機變量序列，如果存在域流

?(ti),

ti

∈[0,T],i=1,2,...,n，對于每一個Xn都是?n可測的，則稱X(ti),

ti

∈[0,T],i=1,2,...,n是

?(ti),

ti

∈[0,T],i=1,2,...,n適應的。現(xiàn)在的概率空間就是賦予了域流的概率空間。二、風險中性定價的隨機分析準備——離散版本26隨機變量序列與離散鞅假設X(ti),

ti

∈[0,T],i=1,2,...,n是?(ti),

ti

∈[0,T],i=1,2,...,n適應的隨機變量序列稱它[關于?n]為鞅[上鞅，下鞅]，如果每個X(ti)可積，且E[X(ti+1)|?(ti+1)]=X(ti)(≤X(ti),≥X(ti),)三、風險中性定價的理論基礎——金融資產定價的基本原理27金融資產定價基本原理一般由三個部分構成：1、如果市場是無套利的，那么存在一個鞅測度。2、如果市場是完備的，那么這樣的鞅測度是唯一的。3、在這樣的鞅測度下，標的資產的貼現(xiàn)價格過程是一個鞅。四、運用風險中性定性方法求解二叉樹期權定價模型28運用風險中性定價方法求解二叉樹期權定價模型，最關鍵的就是尋找到鞅測度由于無套利條件的約束，二叉樹期權定價模型的u、d應該滿足條件在不等式兩邊同時減去

d在不等式兩邊同時除以一個正數(shù)

u

-

d=四、運用風險中性定性方法求解二叉樹期權定價模型29驗證P*風險中性概率以一期模型來驗證驗證股票的貼現(xiàn)價格過程是鞅驗證測度的唯一性若四、運用風險中性定性方法求解二叉樹期權定價模型30運用風險中性定價方法（鞅定價方法）為期權定價計算風險中性概率計算期權的價格n

期二叉樹模型的歐式看漲期權風險中性定價的一般表達式第四節(jié)

二叉樹期權定價模型的參數(shù)匹配——以CRR模型為例參數(shù)匹配過程32假設當前股票價格為St

，為下一時刻的股票價格St+?t

連續(xù)時間期權定價模型B-S-M模型，

符合均值為

er?t

，方差為

的正態(tài)分布離散的一期二叉樹期權