材力 大連理工大學(xué)

材力7-116內(nèi)容Chap.7彎曲變形

7.1概念7.2撓曲線近似微分方程

7.3積分法要求掌握撓曲線近似微分方程及積分法，積分條件練習(xí)畫撓曲線大致形狀5，積分條件1，積分法2課堂練習(xí)7-3，4，5，6作業(yè)7-1（b,c），2（c,d），9（a）1.中性層曲率2.彎曲正應(yīng)力公式上節(jié)回顧第七章彎曲變形

§7.1概述

一、研究變形的目的

1.建立剛度條件；

2.利用變形（緩沖，減震）；

3.解靜不定問題。例BAl五、約束處的撓度和轉(zhuǎn)角x=0,w=0x=0,w=0,

θ=0xBAlxwA

=0x=l,w=0wB

=0wA

=0θA=0撓曲線微分方程小變形：w′＜＜1,或w′≈0

，——撓曲線近似微分方程注意事項(xiàng)——適用條件

1.應(yīng)采用右手坐標(biāo)系；

2.忽略剪力FQ

的影響；

3.小變形，w′<<1,或w′≈

0；

4.材料服從胡克定律?！?.3積分法計(jì)算梁的變形每段彎矩方程積分后出現(xiàn)兩個(gè)積分常數(shù)，須確定它們。積分常數(shù)的確定

1.邊界條件——約束條件撓曲線必須正確地通過約束點(diǎn)。

2.連續(xù)條件——

相鄰撓曲線必須光滑連接。BAlx=0,w=0xwA

=0x=l,w=0wB

=0x=0,w=0,

θ=0BAlxwA

=0θA=0例：寫出確定積分常數(shù)的條件邊界條件:x=0,w1=0w1′=0x=a+l,w2=⊿lCD連續(xù)條件:x=a,w1=w2allxABCDyq例題1已知：EI=常數(shù)求：1.撓度、轉(zhuǎn)角方程；

2.wmax

,θmax;3.畫撓曲線大致形狀。解：1.建立坐標(biāo)系FA=F（↑）,MA=FlEIw=-Flx2/2+Fx3/6+C

x+DEIw′=-Flx+Fx2/2+CEIw″=M(x)=-Fl+Fx

4.列撓曲線近似微分方程并積分M(x)=-Fl+Fx

（0<x≤l）3.列彎矩方程2.求支反力FAxyxlFABMAFBa2aCA例題已知：EI=常數(shù)求：1.撓度、轉(zhuǎn)角方程；

2.wmax

,θmax;3.畫撓曲線大致形狀。解：1.建立坐標(biāo)系FA=2F/3（↑）,FB=F/3（↑）EIw1=FAx3/6＋C1x＋D1EIw1′=FAx2/2＋C1EIw1″=FAx4.列撓曲線近似微分方程并積分M1=FAx

（0≤x≤a）3.列彎矩方程EIw2″=FAx

－F(x－a)EIw2′=FAx2/2－F(x－a)2/2＋C2EIw2=FAx3/6－F(x－a)3/6＋C2x＋D2M2=FAx

－F(x－a)（a≤x≤3a

）2.求支反力xyxxFAFB5.確定積分常數(shù)x=0,w1=0——D1=0

x=3a,w2=0——C1=C2=－5Fa2/96.確定轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程EIθ1=Fx2/3－5Fa2/9EIθ2=Fx2/3－F(x－a)2/2－5Fa2/9EIw1=Fx3/9－5Fa2x/9EIw2=Fx3/9－F(x－a)3/6－5Fa2x/9

（0≤x≤a）（a≤x≤3a

）x=a,w1′=w2′—C1

=C2

w1=w2—

D1=D2=0FBa2aCAxyxxFAFB討論：3.畫撓曲線大致形狀

依據(jù)

1.約束條件；

2.載荷情況，作出M圖；

3.凹凸情況——由w″即M的正負(fù)號決定

M>0,凹；

M<0,凸;

一段M=0,直線；一點(diǎn)M=0,拐點(diǎn)

4.光滑連續(xù)特性。課堂練習(xí)

7-3，

7-4，

7-5，

7-6allxABCDyq畫撓曲線大致形狀7-1（b,c），7-2（c,d），7-9（a）再見作業(yè)材力7-217內(nèi)容7.4疊加法7.5剛度校核

7.6提高剛度措施7.7靜不定梁要求熟練疊加法，掌握簡單靜不定梁解法練習(xí)疊加法求位移4，靜不定梁1作業(yè)7-12（a），15(b)，24（b），25

1.撓曲線近似微分方程

EIw″=M

條件：1.材料服從胡克定律；

2.小變形。

意義：撓曲線曲率與彎矩成正比，

與梁的彎曲剛度成反比。Fyx上節(jié)回顧

2.撓度方程與轉(zhuǎn)角方程的關(guān)系

w′=θ

3.積分法求梁的變形

積分常數(shù)的確定：邊界條件，連續(xù)條件優(yōu)點(diǎn)：可全面表達(dá)撓度和轉(zhuǎn)角

缺點(diǎn)：方程與坐標(biāo)選擇有關(guān)；計(jì)算量大。上節(jié)回顧

計(jì)算梁在多個(gè)載荷作用下的變形，有時(shí)只關(guān)心個(gè)別截面的撓度和轉(zhuǎn)角，這時(shí)采用疊加法是很方便的。問題

有沒有簡單算法？§7.4疊加法計(jì)算梁的位移F1F2F1F2車床主軸wC1F1F2CwC2F1單獨(dú)作用受力圖F1、F2共同作用F2單獨(dú)作用疊加法計(jì)算梁的位移

一、條件

1.材料服從胡克定律；（變形與力成線性關(guān)系）

2.小變形。

二、原理

在上述條件下，M=∑Mi,

而

EIwi″=Mi

所以

EIw″=M=∑Mi=EI∑wi″w=∑wi疊加原理

在材料服從胡克定律和小變形的條件下，幾個(gè)力共同作用引起梁的變形，等于這幾個(gè)力分別單獨(dú)作用時(shí)引起梁的變形的代數(shù)和。

三、方法

1.分解——每種情況都是簡單模型；

2.分別計(jì)算——查表；

3.疊加。簡單模型---懸臂梁AlFAlMeAlq簡單模型---簡支梁BACqBACMeBACF例題1已知：q,a,EI=常數(shù)求：θA,wC解：1.分解qaBACaaq2.分別計(jì)算qaBACaaqwCqaBACaawCFBACaaqwCqqaBACaaqwCqaBACaawCFBACaaqwCqθAq3.疊加

wC=wCF+wCq

=θAθAF例題2已知：EI=常數(shù)求:

wC

分析：wC的組成F單獨(dú)作用：Me單獨(dú)作用：

wBF+θBl/2

（↓）wCM

（↑）CFlABFCABFwBFθBCFlABwCM例題2

結(jié)果：CFlABFCABFwBFθBCFlABwCMBA2aqa例題3分析：AB段B截面轉(zhuǎn)角引起θBa

（↑）EI=常數(shù)，求wC

注意：引起θB的有兩項(xiàng):

q

和qa2，他們的轉(zhuǎn)向不同，疊加時(shí)注意正負(fù)號。qaBACa2aqqa2qaθBCaFBvCF結(jié)果wC=wCF

-θBa

BC段彈性彎曲引起wCF(↓)怎樣用疊加法確定C和

wC

?例題4CABCwCq自己練習(xí)CABCwCqABqABqABq怎樣用疊加法確定wC

?例題5（例7-7）CABwCqbdF=qdxdxx§7.5梁的剛度校核梁的設(shè)計(jì)：利用強(qiáng)度條件設(shè)計(jì)，利用剛度條件校核。剛度條件：∣θmax∣≤[θ]精密機(jī)床主軸[θ]齒輪(0.001～0.005)rad

土建吊車梁§7.6提高彎曲剛度的措施

本節(jié)留作閱讀作業(yè)§7.7簡單靜不定梁靜不定靜定簡單靜不定梁BACAFB一、靜不定次數(shù)的判斷

1.根據(jù)定義

全部未知力數(shù)目—全部獨(dú)立平衡方程數(shù)目

2.根據(jù)多余約束

靜不定次數(shù)=多余約束的數(shù)目4－3＝15－3＝26－3＝3判斷靜不定次數(shù)AFBFBFAYFAXMAAFBAFBAFBlABlABlFFB靜不定問題靜定基解除所有外力和多余約束相當(dāng)系統(tǒng)靜定基加全部載荷和多余未知力解靜不定問題轉(zhuǎn)化為在靜定結(jié)構(gòu)上求解。二、在相當(dāng)系統(tǒng)上解靜不定問題1.相當(dāng)系統(tǒng)的建立

相當(dāng)系統(tǒng)的特點(diǎn)：

靜定；含有多余未知力；載荷與原結(jié)構(gòu)相同。

建立相當(dāng)系統(tǒng)的步驟：

判斷靜不定次數(shù)；解除多余約束，代之以多余未知力；其余照原問題畫。

2.如何在相當(dāng)系統(tǒng)上解靜不定問題

第一步——解出多余未知力；

建立變形協(xié)調(diào)方程（幾何方程）；方法：相當(dāng)系統(tǒng)多余未知力作用點(diǎn)的位移，等于靜不定結(jié)對應(yīng)多余約束處的實(shí)際位移

建立物理方程（變形與力的關(guān)系）；

解補(bǔ)充方程（物理方程代入幾何方程）。

第二步——解其余問題。

（在相當(dāng)系統(tǒng)上進(jìn)行）例題解：1.判斷一次靜不定

2.建立相當(dāng)系統(tǒng)

3.幾何方程

wB

=wB(q)+wB(FB)=0

4.物理方程M○已知：EI=常數(shù)求：作M圖5.補(bǔ)充方程并求解6.作M圖AlqBAlqBxyFB例題（例7-9）解：1.判斷一次超靜定

2.建立相當(dāng)系統(tǒng)

3.幾何方程

wB

=wBq+wBF=⊿l

4.物理方程已知：EI,EA,I=Al2/3求：桿的軸力,作梁的M圖llABCqBClqABEIEAFNFN例題wB

=wBq+wBF=⊿l

M5.補(bǔ)充方程并求解6.作M圖llABCqBClqABEIEAFNFN討論簡化計(jì)算的一些方法

1.小變形概念的運(yùn)用；

2.對稱性的利用；

3.相當(dāng)系統(tǒng)的選擇。

1.應(yīng)用小變形概念可以推知某些未知量：FXA＝FXB=0AlqBFYAFX