關(guān)于回轉(zhuǎn)儀平衡問題的研究

關(guān)于回轉(zhuǎn)儀平衡問題的研究

03級物理一班李超

學(xué)號:PB032030172004.41很多人在小時候都玩過一種玩具陀螺,將其一端架在支點上然后水平地釋放它,開始它在水平面上搖擺著離去,之后就平穩(wěn)地做均勻的進動,人們不禁會脫口問道:陀螺為什么不掉下來呢?這就涉及到剛體力學(xué)中憑知覺很難理解的一個問題:回轉(zhuǎn)儀的進動.如果從運動方去求回轉(zhuǎn)儀的普遍運動將是非常復(fù)雜的,而我們這里要研究的運動只是一種最簡單的形式:均勻的進動.(a)是常見的玩具回轉(zhuǎn)儀,其主要部分是一個旋轉(zhuǎn)的飛輪,和一個用于固定轉(zhuǎn)軸方向的支架.轉(zhuǎn)軸一端置于塔狀的支架頂上,使軸不受約束地可取各種不同的方位.(a)2圖(b)是回轉(zhuǎn)儀的略圖,三角形表示無約束的支點,飛輪旋轉(zhuǎn)方向如圖所示,再根據(jù)受力圖(c)可以看出回轉(zhuǎn)儀豎直方向的合力是N-mg,其中N是支點所施的豎直力,mg是重力,若N=mg則質(zhì)心不會下降.(b)mgN(c)這個解釋是正確的,但不能令人滿意.我們提出了一個錯誤的問題.我們不應(yīng)該問回轉(zhuǎn)儀為什么不掉下來,而應(yīng)該問它為什么不像擺那樣繞支點擺動.3事事實上,如果釋放回轉(zhuǎn)儀時它的飛輪沒有轉(zhuǎn)動,那么它的行為就嚴格和擺一樣,它豎直地擺動而不是水平地進動,只有當飛輪高速旋轉(zhuǎn)時才做進動,在這種情況下,飛輪巨大的自旋角動量支配著系統(tǒng)的動力學(xué).幾回轉(zhuǎn)儀全部角動量都依自旋角動量L而定.L是沿軸取向,其大小為Iω.I是飛輪繞其轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量.當回轉(zhuǎn)儀繞z軸進動時,在z方向有一個很小的軌道角動量,可是就均勻進動而言,軌道角動量的大小和方向都是常量,并不起動力學(xué)的作用,因此我們在這里不考慮它.L(d)4L的方向總是沿著轉(zhuǎn)軸,當回轉(zhuǎn)儀進動時,L跟著它一起轉(zhuǎn)動,若進動角速度是Ω,則L的變化率為=ΩLL(t1)L(t2)L(t3)Ω(e)

的方向和L所掠過的水平圓相切,L變化的原因是由于力矩的作用,可以從(f)中看出,當把支點選作原點時力矩就是由作用在轉(zhuǎn)軸端點的飛輪重量引起的,這個力矩的大小就是M=lmg,方向在y方向上平行于,從關(guān)系式=M可求進動角速度Ω.=ΩL及M=lmg,故有Ω=(1).該式指出,Ω隨飛輪旋轉(zhuǎn)減慢而增大,用玩具回轉(zhuǎn)儀很容易看到這個效應(yīng),顯然Ω不可能無限增大,最后均勻進動將要變成猛烈而不穩(wěn)定的運動.NLlmg(f)xyz5以上用角動量定理解釋了回轉(zhuǎn)儀在重力作用下的進動的道理，現(xiàn)在我們從另一個更直接的角度來理解這一問題。相對于跟著回轉(zhuǎn)儀一起進動的參考系而言，回轉(zhuǎn)儀的角動量的大小和方向保持不變。進動參考系是勻速轉(zhuǎn)動的參考系，是一非慣性系。在這一非慣性系中，回轉(zhuǎn)儀除受到重力作用以外還受到慣性力的作用。將回轉(zhuǎn)儀看成勻質(zhì)圓盤，θ是圓盤上一質(zhì)量為dm的質(zhì)點，在圓盤平面極坐標系中矢徑與極軸的夾角，xzy6在進動參考系中寫出各物理量的分量式：Ω=Ωkr=xsinθi+lj+xcosθkv=ωxcosθi-ωxsinθk圓盤上一點dm所受到的慣性離心力為Fc=-Ω×(Ω×r)dm=(lxsinθi+lj)dm

dm慣性離心力在支點產(chǎn)生的力矩

Mfc=r×Fc

=(-xlcosθi+sinθcosθj)dm對圓盤上所有的質(zhì)點積分,設(shè)ρ為面密度

ΣMfc=

（-xlcosθi+sinθcosθj)ρxdxdθ

=0xvθΩωxzylrFc7再研究圓盤上一點dm所受到的科里奧利力為

Fcor=-2Ω×vdm=(2Ωωxcosθj)dmdm科里奧利力在支點產(chǎn)生的力矩

Mfcor=r×Fcor

=(2Ωω

cosθi-2Ωωsinθcosθk)dm對圓盤上所有的質(zhì)點積分

ΣMfcor=

（2Ωω

cosθi

-2Ωωsinθcosθk)ρxdxdθ=Ωωρπi再由（1）式推出Ω===代入于是ΣMfcor=mglixvθΩωxzylFcorr8ΣMfc=0ΣMfcor=mgliΣMm