《導(dǎo)數(shù)的幾何意義》示范公開課教案【高中數(shù)學(xué)北師大】

第二章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用2.2.2導(dǎo)數(shù)的幾何意義教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)1.理解割線逼近切線的過程，了解曲線上一點(diǎn)處的切線的意義；2.理解由平均變化率到瞬時變化率與由割線到切線的斜率之間的關(guān)系．教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重難點(diǎn)重點(diǎn)：曲線上一點(diǎn)處的切線概念的形成過程．難點(diǎn)：用運(yùn)動變化的觀點(diǎn)認(rèn)識導(dǎo)數(shù)的幾何意義．教學(xué)過程教學(xué)過程一、新課導(dǎo)入問題1：我們學(xué)習(xí)了函數(shù)在某區(qū)間上的平均變化率，它的幾何意義是什么呢？答案：幾何意義為割線的斜率，反映了直線的“陡峭”程度．近似地刻畫了曲線在這一區(qū)間上的變化趨勢．設(shè)計意圖：這一段的內(nèi)容既是對平均變化率與瞬時變化率進(jìn)一步的概括，又是對本節(jié)課要研究內(nèi)容的適時切入，展現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識發(fā)生與發(fā)展的過程，更重要的是，這種發(fā)生、發(fā)展的規(guī)律，與人們認(rèn)識事物的規(guī)律是吻合的，即數(shù)學(xué)知識的發(fā)生往往是從原有知識的基礎(chǔ)發(fā)展而來的．問題2有些時候我們需要研究曲線上某一點(diǎn)處的變化趨勢，比如我們熟悉的冪函數(shù)，如圖，這些冪函數(shù)在[0，1]區(qū)間上的平均變化率是相同的，但是在點(diǎn)P(1，1)處的變化趨勢是相同的嗎？答案：不相同．設(shè)計意圖：提出研究方向，感受研究的必要性．其實在我們生活中也有這樣的例子．在2010年廣州亞運(yùn)會的鏈球決賽中，我國選手張文秀技壓群芳，獲得了冠軍，為國爭光，作為一個專業(yè)運(yùn)動員，她很好地掌握了鏈球在拋出點(diǎn)處的運(yùn)動趨勢，把握了鏈球出手的最佳時機(jī)．這些都告訴我們，確實有必要來研究曲線上一點(diǎn)處的變化趨勢．設(shè)計意圖：數(shù)學(xué)知識的產(chǎn)生往往離不開生產(chǎn)和生活的實際需要，從生活背景出發(fā)，提出研究問題的必要性．二、新知探究問題3怎樣在圖形中表示由平均變化率到瞬時變化率？如圖，設(shè)Q為曲線C上不同于點(diǎn)P的一點(diǎn)，則直線PQ稱為曲線的割線．隨著點(diǎn)Q沿曲線C向點(diǎn)P運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)Q無限逼近點(diǎn)P時，直線PQ最終成為點(diǎn)P處最逼近曲線的直線l，這時直線l稱為曲線在點(diǎn)P處的切線．設(shè)計意圖：通過類似放大鏡觀察圖形的過程，可以近似地把曲線在一點(diǎn)處的變化趨勢看成直線，用信息技術(shù)表達(dá)．問題４對于一般的曲線C，如拋物線f(x)＝x2，如何定義它在某一點(diǎn)，如P0(1，1)處的切線呢？追問1：如果一條直線與一條曲線只有一個公共點(diǎn)，那么這條直線與這條曲線一定相切嗎？答案：不一定.例如，二次函數(shù)f(x)＝x2的圖象和直線x＝1只有一個交點(diǎn)，但它們顯然不相切．追問2：如果一條直線與一條曲線相切，那么它們一定只有一個公共點(diǎn)嗎？答案：不一定.例如，正弦函數(shù)f(x)＝sinx的圖象和直線y＝1相切，但它們顯然不止一個交點(diǎn)．因此不能再像在研究直線和圓的位置關(guān)系時那樣，通過交點(diǎn)個數(shù)來定義相切．追問3：對于拋物線f(x)＝x2，應(yīng)該如何定義它在點(diǎn)P0(1，1)處的切線的切線呢？答案：與研究瞬時速度類似，為了研究拋物線f(x)＝x2在點(diǎn)P0(1，1)處的切線，我們在點(diǎn)P0(1，1)的附近任取一點(diǎn)P(x，x2)，考察拋物線的割線P0P的變化情況．我們可以借助幾何畫板工具來觀察．通過演示可以看到，當(dāng)點(diǎn)P無限趨近于點(diǎn)P0時，割線P0P無限趨近于一個確定的位置，這個確定位置的直線P0T稱為拋物線f(x)＝x2在點(diǎn)P0(1，1)處的切線．這樣，我們得到拋物線f(x)＝x2在點(diǎn)P0(1，1)處的切線的含義．從幾何上看，拋物線在點(diǎn)P0的切線，是由過這一點(diǎn)的割線P0P，當(dāng)P無限接近P0時的極限位置確定的．我們知道，斜率是確定直線的一個要素．在已知切點(diǎn)的情況下，如果我們再能確定切線的斜率，就能確定切線的方程．追問4：如何求拋物線f(x)＝答案：從上述切線的定義可見，拋物線f(x)＝x2在點(diǎn)P0(1，1)處的切線P0T的斜率與割線P0P的斜率有內(nèi)在聯(lián)系．既然切線是割線的極限位置確定的，那么切線的斜率也就應(yīng)該是割線斜率當(dāng)P無限接近P0時的極限值．我們記點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x＝1＋Δx，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，(1＋Δx)2)．于是割線Pk=我們可以通過割線P0P的斜率近似地表示切線的斜率，并且通過不斷縮短橫坐標(biāo)間隔|Δx來提高近似表示的精確度．我們可以借助電腦的excel計算，來觀察當(dāng)P無限接近P0時，割線P0P當(dāng)Δx無限趨近于0時，無論x從小于1的一邊還是大于1的一邊無限趨近于1，割線斜率都無限趨近于事實上，由k=f1+Δx-f1Δx=Δx+2可以直接看出，當(dāng)Δx問題５曲線上一點(diǎn)處切線的斜率與導(dǎo)數(shù)是什么關(guān)系？答案：由導(dǎo)函數(shù)的定義可知，曲線上一點(diǎn)處切線的斜率就是曲線對應(yīng)的函數(shù)在這一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)，可以通過割線的斜率逼近切線的斜率．問題６在曲線上怎樣反映出從平均變化率到瞬時變化率？答案：點(diǎn)Q沿著曲線向點(diǎn)P無限靠近時，也就是說Δx→0．即：切線的斜率為k，那么當(dāng)Δx→0，總結(jié)：函數(shù)y=f(x)在x0處的導(dǎo)數(shù)f'x0，是曲線y=f(x)在點(diǎn)x0，fx0處的切線的斜率．函數(shù)y=三、應(yīng)用舉例例1已知函數(shù)y=x2分別對Δx=1，0.5，0.1求y=x2求函數(shù)y=x2在x0處的導(dǎo)數(shù)，并畫出曲線解：(1)當(dāng)Δx=1，0.5，0.1時，區(qū)間x0，x0+Δx相應(yīng)為f-1f-1.5f-1.9如圖，其相應(yīng)割線分別是經(jīng)過點(diǎn)-2，4和點(diǎn)-1，1的直線l1，經(jīng)過點(diǎn)-2，4和點(diǎn)-1.5，2.25的直線(2)y=x2在區(qū)間-2+Δ令Δx趨于0，可知函數(shù)y=x2在因此，曲線y=x2在點(diǎn)-2，4處的切線為經(jīng)過點(diǎn)-2，例2求函數(shù)y＝fx解：f1+Δ令Δx趨于0，可知y=2x3在于是，函數(shù)y=2x3在點(diǎn)1，f1即1，2處的切線斜率為因此，函數(shù)y＝fx=2x即y=6x-4．四、課堂練習(xí)1．曲線fx=-2A．y＝－2x＋4B．y＝－2x－4C．y＝2x－4D．y＝2x＋42．如圖，函數(shù)y=fx的圖象在點(diǎn)P處的切線方程是y＝－x＋8，則f(5)＋3.直線y=-14x+b是函數(shù)fx４．曲線y=fx=x2-1在x＝x0處的切線與曲線y=gx(1)求x0的值；(2)求曲線y=fx在x＝x0參考答案：1．答案C解析：ΔyΔx=-21+Δx+2Δx=22．答案：2解析：點(diǎn)P橫坐標(biāo)為5，故由在點(diǎn)P處切線為y＝－x＋8，得f'(5)＝－1，f(5)＝－5＋8＝3．∴f(5)＋f'(5)＝2．3．答案：-2，-1解析：f'x=當(dāng)x＝－2時，y＝－12，b＝－1；當(dāng)x＝2時，y＝12，４．解：(1)f'(x0)＝limg'(x0)＝lim由題意得2x0＝-3x02，解得x0(2)當(dāng)x0＝0時，f'(x0)＝0，又f當(dāng)x0＝－23時，f'(x0)＝－43，又f－23=-59，故所求切線方程為y五、課堂小結(jié)１.切線的定義：設(shè)Q為曲線C上不同于點(diǎn)P的一點(diǎn)，則直線PQ稱為曲線的割線．隨著點(diǎn)Q