河北中考數(shù)學復習 第7講　一元二次方程

8/8第7講一元二次方程1.(2019,河北)嘉淇同學用配方法推導一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式時,對于b2－4ac>0的情況,她是這樣做的：由于a≠0,方程ax2＋bx＋c＝0變形為：x2＋eq\f(b,a)x＝－eq\f(c,a),…第一步x2＋eq\f(b,a)x＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,2a)))eq\s\up12(2)＝－eq\f(c,a)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,2a)))eq\s\up12(2),…第二步eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(b,2a)))eq\s\up12(2)＝eq\f(b2－4ac,4a2),…第三步x＋eq\f(b,2a)＝eq\f(\r(b2－4ac),4a)(b2－4ac>0),…第四步x＝eq\f(－b＋\r(b2－4ac),2a).…第五步(1)嘉淇的解法從第四步開始出現(xiàn)錯誤；事實上,當b2－4ac>0時,方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式是〔x＝eq\f(－b±\r(b2－4ac),2a)〕；(2)用配方法解方程：x2－2x－24＝0.【思路分析】此題考查了用配方法解一元二次方程．用配方法解一元二次方程的步驟：(1)形如x2＋px＋q＝0型．第一步,移項,把常數(shù)項移到方程右邊；第二步,配方,左、右兩邊加上一次項系數(shù)一半的平方；第三步,左邊寫成完全平方式；第四步,直接開方即可．(2)形如ax2＋bx＋c＝0型．方程兩邊同時除以二次項系數(shù),即化成x2＋px＋q＝0型,然后配方．解：(1)四x＝eq\f(－b±\r(b2－4ac),2a)(2)移項,得x2－2x＝24.配方,得x2－2x＋1＝24＋1,即(x－1)2＝25.開方,得x－1＝±5.∴x1＝6,x2＝－4.2.(2019,河北)假設關于x的方程x2＋2x＋a＝0不存在實數(shù)根,那么a的取值范圍是(B)A.a＜1 B.a＞1 C.a≤1 D.a≥1【解析】∵關于x的方程x2＋2x＋a＝0不存在實數(shù)根,∴b2－4ac＝22－4×1×a＜0.解得a＞1.3.(2019,河北)a,b,c為常數(shù),且(a－c)2>a2＋c2,那么關于x的方程ax2＋bx＋c＝0根的情況是(B)A.有兩個相等的實數(shù)根 B.有兩個不相等的實數(shù)根C.無實數(shù)根 D.有一根為0【解析】由(a－c)2>a2＋c2得出－2ac＞0,∴Δ＝b2－4ac＞0.∴方程有兩個不相等的實數(shù)根．一元二次方程的概念及解法例1解以下方程：(1)x2－2x－1＝0；(2)x2－1＝2(x＋1)；(3)x2＋3x＝－eq\f(1,4).【思路分析】根據(jù)所給方程的形式,選擇適宜的方法解方程．解：(1)a＝1,b＝－2,c＝－1.Δ＝b2－4ac＝4＋4＝8＞0.∴方程有兩個不相等的實數(shù)根．∴x＝eq\f(－b±\r(b2－4ac),2a)＝eq\f(2±2\r(2),2)＝1±eq\r(2),即x1＝1＋eq\r(2),x2＝1－eq\r(2).(2)移項,得x2－1－2(x＋1)＝0,(x＋1)(x－1)－2(x＋1)＝0,因式分解,得(x＋1)(x－1－2)＝0,于是,得x＋1＝0或x－3＝0.∴x1＝－1,x2＝3.(3)配方,得x2＋3x＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))eq\s\up12(2)＝－eq\f(1,4)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))eq\s\up12(2),eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3,2)))eq\s\up12(2)＝2.由此可得x＋eq\f(3,2)＝±eq\r(2).∴x1＝－eq\f(3,2)＋eq\r(2),x2＝－eq\f(3,2)－eq\r(2).針對訓練1(2019,邯鄲一模)用配方法解一元二次方程2x2－4x－2＝1的過程中,變形正確的選項是(C)A.2(x－1)2＝1 B.2(x－2)2＝5C.(x－1)2＝eq\f(5,2) D.(x－2)2＝eq\f(5,2)【解析】2x2－4x－2＝1,2x2－4x＝3,x2－2x＝eq\f(3,2),x2－2x＋1＝eq\f(3,2)＋1,(x－1)2＝eq\f(5,2).也可以把各選項中的方程展開化為一般形式,和題干中的方程做比照.一元二次方程根的判別式例2(2019,揚州)如果關于x的方程mx2－2x＋3＝0有兩個不相等的實數(shù)根,那么m的取值范圍是〔m＜eq\f(1,3)且m≠0〕.【解析】∵方程有兩個不相等的實數(shù)根,∴4－12m>0.解得m<eq\f(1,3).但當m＝0時,原方程不是一元二次方程,所以m≠0.針對訓練2(2019,石家莊橋西區(qū)一模)常數(shù)a,b,c在數(shù)軸上的位置如下圖,那么關于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0根的情況是(B)訓練2題圖A.有兩個相等的實數(shù)根 B.有兩個不相等的實數(shù)根C.無實數(shù)根 D.無法確定【解析】從數(shù)軸上可知,a,c異號,那么b2－4ac>0,所以方程有兩個不相等的實數(shù)根.針對訓練3(2019,張家口橋東區(qū)模擬)假設關于x的一元二次方程eq\f(\r(3),4)x2＋eq\r(3)x＋tanα＝0有兩個相等的實數(shù)根,那么銳角α等于(D)A.15° B.30° C.45° D.60°【解析】∵方程有兩個相等的實數(shù)根,∴Δ＝(eq\r(3))2－4×eq\f(\r(3),4)×tanα＝0.解得tanα＝eq\r(3).∴α＝60°.一元二次方程的實際應用例3(2019,宜昌,導學號5892921)某市創(chuàng)立“綠色開展模范城市〞,針對境內長江段兩種主要污染源：生活污水和沿江工廠污染物排放,分別用“生活污水集中處理〞(下稱甲方案)和“沿江工廠轉型升級〞(下稱乙方案)進行治理．假設江水污染指數(shù)記為Q,沿江工廠用乙方案進行一次性治理(當年完工),從當年開始,所治理的每家工廠一年降低的Q值都以平均值n計算,第一年有40家工廠用乙方案治理,共使Q值降低了12.經(jīng)過三年治理,境內長江水質明顯改善．(1)求n的值；(2)從第二年起,每年用乙方案新治理的工廠數(shù)量比上一年都增加相同的百分數(shù)m,三年來用乙方案治理的工廠數(shù)量共190家,求m的值,并計算第二年用乙方案新治理的工廠數(shù)量；(3)該市生活污水用甲方案治理,從第二年起,每年因此降低的Q值比上一年都增加一個相同的數(shù)值a.在(2)的情況下,第二年,用乙方案所治理的工廠合計降低的Q值與當年用甲方案治理降低的Q值相等．第三年,用甲方案使Q值降低了39.5.求第一年用甲方案治理降低的Q值及a的值．【思路分析】(1)平均數(shù)×數(shù)量＝總數(shù)．(2)按相同增長率,第一年40家,第二年40(1＋m)家,第三年40(1＋m)2家,三年總和等于190家列方程求解即可．(3)先求出第二年用甲方案治理降低的Q值,再根據(jù)第三年用甲方案使Q值降低了39.5,列方程組求解即可．解：(1)∵40n＝12,∴n＝0.3.(2)根據(jù)題意,得40＋40(1＋m)＋40(1＋m)2＝190.解得m1＝eq\f(1,2),m2＝－eq\f(7,2)(舍去)．∴m＝50%.∴第二年用乙方案新治理的工廠數(shù)量為40(1＋m)＝40×(1＋50%)＝60(家)．(3)設第一年用甲方案治理降低的Q值為x.第二年Q值用乙方案治理降低了100n＝100×0.3＝30.根據(jù)題意,得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋a＝30,,x＋2a＝39.5.))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝20.5,,a＝9.5.))針對訓練4(2019,白銀)如圖,某小區(qū)方案在一塊長為32m、寬為20m的矩形空地上修建三條同樣寬的道路,剩余的空地上種植草坪,使草坪的面積為570m2.假設設道路的寬為xm,那么下面所列方程正確的選項是(A)訓練4題圖A.(32－2x)(20－x)＝570 B.32x＋2×20x＝32×20－570C.(32－x)(20－x)＝32×20－570 D.32x＋2×20x－2x2＝570【解析】設道路的寬為xm．根據(jù)題意,得(32－2x)(20－x)＝570.針對訓練5(2019,眉山)某烘焙店生產(chǎn)的蛋糕禮盒分為六個檔次,第一檔次(即最低檔次)的產(chǎn)品生產(chǎn)76件,每件利潤10元．調查說明：生產(chǎn)提高一個檔次的蛋糕產(chǎn)品,該產(chǎn)品每件利潤增加2元．(1)假設生產(chǎn)的某批次蛋糕產(chǎn)品每件利潤為14元,此批次蛋糕產(chǎn)品屬第幾檔次產(chǎn)品？(2)由于生產(chǎn)工序不同,蛋糕產(chǎn)品每提高一個檔次,一天產(chǎn)量會減少4件．假設生產(chǎn)的某檔次產(chǎn)品一天的總利潤為1080元,該烘焙店生產(chǎn)的是第幾檔次的產(chǎn)品？【思路分析】(1)利潤增加的量除以2即為檔次提高的量．(2)設生產(chǎn)的是第x檔次產(chǎn)品,那么相應的產(chǎn)量是76－4(x－1),每件利潤是10＋2(x－1)；等量關系是：每件利潤×產(chǎn)量＝總利潤．解：(1)(14－10)÷2＋1＝3(檔次)．答：此批次蛋糕產(chǎn)品屬第三檔次產(chǎn)品．(2)設該烘焙店生產(chǎn)的是第x檔次的產(chǎn)品．根據(jù)題意,得[76－4(x－1)][10＋2(x－1)]＝1080.整理,得x2－16x＋55＝0.解得x1＝5,x2＝11(不合題意,舍去)．答：該烘焙店生產(chǎn)的是第五檔次的產(chǎn)品．一、選擇題1.關于x的方程x2－mx＋3＝0的一個解為x＝－1,那么m的值為(A)A.－4 B.4 C.－2 D.2【解析】把x＝－1代入原方程,得m＝－4.2.(2019,石家莊28中質檢)假設x2＋4x－4＝0,那么3(x－2)2－6(x＋1)(x－1)的值為(B)A.－6 B.6 C.18 D.30【解析】條件轉化為x2＋4x＝4,原式＝－3x2－12x＋18＝－3(x2＋4x)＋18＝6.3.(2019,石家莊40中二模)用配方法解方程x2＋x－1＝0,配方后所得方程是(C)A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(3,4) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(3,4)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(5,4) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(5,4)【解析】配方過程x2＋x＝1,x2＋x＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＝1＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2,eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))2＝eq\f(5,4).4.(2019,唐山路南區(qū)一模)關于x的方程x2＋mx－1＝0的根的判別式的值為5,那么m的值為(D)A.±3 B.3 C.1 D.±1【解析】根據(jù)題意,得Δ＝m2＋4＝5.解得m＝±1.5.(2019,唐山豐南區(qū)一模)現(xiàn)定義運算“★〞,對于任意實數(shù)a,b,都有a★b＝a2－a·b＋b.如：3★5＝32－3×5＋5.假設x★2＝10,那么實數(shù)x的值為(C)A.－4或－1 B.4或－1 C.4或－2 D.－4或2【解析】根據(jù)題意,得x★2＝x2－2x＋2.∴x2－2x＋2＝10.解得x1＝4,x2＝－2.6.(2019,唐山路南區(qū)二模)以下方程中,沒有實數(shù)根的是(D)A.x2－2x＝0 B.x2－2x－1＝0C.x2－2x＋1＝0 D.x2－2x＋2＝0【解析】選項A,Δ＝4>0；選項B,Δ＝8>0；選項C,Δ＝0；選項D,Δ＝－4<0.7.(2019,婁底)關于x的一元二次方程x2－(k＋3)x＋k＝0的根的情況是(A)A.有兩個不相等的實數(shù)根 B.有兩個相等的實數(shù)根C.無實數(shù)根 D.不能確定【解析】∵Δ＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－〔k＋3〕))2－4k＝k2＋2k＋9＝(k＋1)2＋8>0,∴方程有兩個不相等的實數(shù)根．8.(2019,定西)關于x的一元二次方程x2＋4x＋k＝0有兩個實數(shù)根,那么k的取值范圍是(C)A.k≤－4 B.k＜－4C.k≤4 D.k＜4【解析】因為方程有實數(shù)根,所以Δ＝16－4k≥0.解得k≤4.9.(2019,桂林)關于x的一元二次方程2x2－kx＋3＝0有兩個相等的實數(shù)根,那么k的值為(A)A.±2eq\r(6) B.±eq\r(6)C.2或3 D.eq\r(2)或eq\r(3)【解析】因為方程有兩個相等的實數(shù)根,所以Δ＝k2－24＝0.解得k＝±2eq\r(6).10.(2019,秦皇島海港區(qū)模擬)某城市2019年底已有綠化面積300hm2,經(jīng)過兩年綠化,綠化面積逐年增加,到2019年底已到達363hm2.設綠化面積的年平均增長率為x.根據(jù)題意,所列方程正確的選項是(B)A.300(1＋x)＝363 B.300(1＋x)2＝363C.300(1＋2x)＝363 D.363(1－x)2＝300【解析】2019年底的綠化面積是300(1＋x)hm2,2019年底的綠化面積是300(1＋x)2hm2,可得方程．11.(2019,綿陽)在一次酒會上,每兩人都只碰一次杯．假設一共碰杯55次,那么參加酒會的有(C)A.9人 B.10人 C.11人 D.12人【解析】設參加酒會的有x人,那么每人碰杯(x－1)次．因為每兩人都只碰一次杯,所以共碰杯eq\f(x〔x－1〕,2)次,得方程eq\f(x〔x－1〕,2)＝55,取正根x＝11.二、填空題12.(2019,淮安)一元二次方程x2－x＝0的根是x1＝0,x2＝1.【解析】x(x－1)＝0,得x1＝0,x2＝1.13.(2019,秦皇島海港區(qū)模擬)x＝1是一元二次方程x2＋mx＋n＝0的一個根,那么m2＋2mn＋n2的值為1.【解析】把x＝1代入方程,得m＋n＝－1,那么m2＋2mn＋n2＝(m＋n)2＝1.14.(2019,南充)假設2n(n≠0)是關于x的方程x2－2mx＋2n＝0的根,那么m－n的值為〔eq\f(1,2)〕.【解析】把x＝2n代入方程,得(2n)2－2m·2n＋2n＝0,變形為2n(2n－2m＋1)＝0,∵2n≠0,∴2n－2m＋1＝0.∴m－n＝eq\f(1,2).15.(2019,邵陽)關于x的方程x2＋3x－m＝0的一個解為x＝－3,那么它的另一個解是x＝0.【解析】把x＝－3代入方程解得m＝0,那么原方程為x2＋3x＝0,可求出另一個解是x＝0.16.(2019,唐山豐南區(qū)一模)假設關于x的方程x2－6x＋c＝0有兩個相等的實數(shù)根,那么c的值為9.【解析】因為方程有兩個相等的實數(shù)根,所以Δ＝36－4c＝0.解得c＝9.17.(2019,威海)關于x的一元二次方程(m－5)x2＋2x＋2＝0有實數(shù)根,那么m的最大整數(shù)值是4.【解析】因為方程有實數(shù)根,所以Δ＝4－8(m－5)≥0.解得m≤eq\f(11,2).又因為m≠5,所以m的最大整數(shù)值是4.三、解答題18.解以下方程：(1)x2－3x＋1＝0；(2)x2－2x＝6－3x；(3)(2x＋3)2＝8.【思路分析】針對各個方程的特點,選擇適當?shù)慕夥ǎ?1)用公式法．(2)用因式分解法．(3)用直接開平方法．解：(1)這里a＝1,b＝－3,c＝1.∵b2－4ac＝(－3)2－4×1×1＝5＞0,∴x＝eq\f(3±\r(5),2),即x1＝eq\f(3＋\r(5),2),x2＝eq\f(3－\r(5),2).(2)原方程可化為x(x－2)＝－3(x－2)．移項,因式分解,得(x－2)(x＋3)＝0.于是,得x－2＝0或x＋3＝0.x1＝2,x2＝－3.(3)2x＋3＝±2eq\r(2),2x＝±2eq\r(2)－3,x1＝eq\f(－3＋2\r(2),2),x2＝eq\f(－3－2\r(2),2).19.(2019,北京)關于x的一元二次方程ax2＋bx＋1＝0.(1)當b＝a＋2時,利用根的判別式判斷方程根的情況；(2)假設方程有兩個相等的實數(shù)根,寫出一組滿足條件的a,b的值,并求此時方程的根．【思路分析】(1)把b＝a＋2代入根的判別式,判斷出正負即可．(2)由Δ＝0得出a,b之間的關系,任取一組符合條件的值,再解方程．解：(1)Δ＝b2－4a＝(a＋2)2－4a＝a2＋4＞0,所以方程有兩個不相等的實數(shù)根．(2)∵方程有兩個相等的實數(shù)根,∴Δ＝b2－4a＝0.令b＝2,a＝1,此時方程為x2＋2x＋1＝0,∴x1＝x2＝－1.20.【發(fā)現(xiàn)思考】等腰三角形ABC的兩邊長分別是方程x2－7x＋10＝0的兩個根,求等腰三角形ABC三條邊的長各是多少？如下圖的是涵涵的作業(yè),老師說他的做法有錯誤,請你找出錯誤之處并說明錯誤原因．【探究應用】請解答以下問題：等腰三角形ABC的兩邊長是關于x的方程x2－mx＋eq\f(m,2)－eq\f(1,4)＝0的兩個實數(shù)根．(1)當m＝2時,求等腰三角形ABC的周長；(2)當△ABC為等邊三角形時,求m的值．涵涵的作業(yè)解：x2－7x＋10＝0.a＝1,b＝－7,c＝10.∵b2－4ac＝9＞0,∴x＝eq\f(－b±\r(b2－4ac),2a)＝eq\f(7±3,2).∴x1＝5,x2＝2.∴當腰為5,底為2時,等腰三角形的三條邊長分別為5,5,2.當腰為2,底為5時,等腰三角形的三條邊長分別為2,2,5.第20題圖【思路分析】一要檢查解方程的過程和結果,二要考慮方程的解是三角形的邊,需滿足任意兩邊之和大于第三邊．解：【發(fā)現(xiàn)思考】錯誤之處：當腰為2,底為5時,等腰三角形的三條邊長分別為2,2,5.錯誤原因：此時不能構成三角形(或不符合三角形的三邊關系)．【探究應用】(1)當m＝2時,方程為x2－2x＋eq\f(3,4)＝0.解得x1＝eq\f(1,2),x2＝eq\f(3,2).當eq\f(1,2)為腰時,因為eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)<eq\f(3,2),所以不能構成三角形．當eq\f(3,2)為腰時,等腰三角形的三邊長分別為eq\f(3,2),eq\f(3,2),eq\f(1,2).此時周長為eq\f(3,2)＋eq\f(3,2)＋eq\f(1,2)＝eq\f(7,2).(2)假設△ABC為等邊三角形,那么方程有兩個相等的實數(shù)根．∴Δ＝m2－4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m,2)－\f(1,4)))＝m2－2m＋1＝0.∴m1＝m2＝1,即m的值為1.21.(2019,鹽城)一商店銷售某種商品,平均每天可售出20件,每件贏利40元．為了擴大銷售、增加贏利,該店采取了降價措施,在每件贏利不少于25元的前提下,經(jīng)過一段時間銷售,發(fā)現(xiàn)銷售單價每降低1元,平均每天可多售出2件．(1)假設降價3元,那么平均每天可售出26件；(2)當每件商品降價多少元時,該商店每天的銷售利潤為1200元？【思路分析】(1)20＋3×2＝26.(2)設降價x元,那么銷量為(20＋2x)件,每件贏利(40－x)元．等量關系是每件贏利×銷量＝總贏利．最后要選擇符合條件的解．解：(1)26(2)設每件商品降價x元時,該商店每天的銷售利潤為1200元,那么平均每天售出(20＋2x)件,每件贏利(40－x)元,且40－x≥25,即x≤15.根據(jù)題意,得(40－x)(20＋2x)＝1200.整理,得x2－30x＋200＝0.解得x1＝10,x2＝20(舍去)．答：當每件商品降價10元時,該商店每天的銷售利潤為1200元．22.(2019,德州)為積極響應新舊動能轉換,提高公司經(jīng)濟效益．某科技公司近期研發(fā)出一種新型高科技設備,每臺設備的本錢價為30萬元,經(jīng)過市場調研發(fā)現(xiàn),每臺售價為40萬元時,年銷售量為600臺；每臺售價為45萬元時,年銷售量為550臺．假定該設備的年銷售量y(單位：臺)和銷售單價x(單位：萬元)成一次函數(shù)關系．(1)求年銷售量y與銷售單價x之間的函數(shù)關系式；(2)根據(jù)相關規(guī)定,此設備的銷售單價不得高于70萬元．如果該公司想獲得10000萬元的年利潤,那么該設備的銷售單價應定為多少萬元？【思路分析】(1)用待定系數(shù)法求一次函數(shù)關系式．(2)等量關系是：每臺利潤×銷量＝總利潤．根據(jù)條件決定方程的根的取舍．解：(1)設年銷售量y與銷售單價x之間的函數(shù)關系式為y＝kx＋b(k≠0)．將(40,600),(45,550)代入y＝kx＋b,得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(40k＋b＝600,,45k＋b＝550.))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－10,,b＝1000.))∴年銷售量y與銷售單價x之間的函數(shù)關系式為y＝－10x＋1000.(2)設該設備的銷售單價應定為x萬元,那么每臺設備的利潤為(x－30)萬元,銷售量為(－10x＋1000)臺．根據(jù)題意,得(x－30)(－10x＋1000)＝10000.整理,得x2－130x＋4000＝0.解得x1＝50,x2＝80.∵此設備的銷售單價不得高于70萬元,∴x＝50.答：該設備的銷售單價應定為50萬元．1.(2019,福建A,導學號5892921)一元二次方程(a＋1)x2＋2bx＋(a＋1)＝0有兩個相等的實