數(shù)學(xué)教育理論

數(shù)學(xué)教育理論《數(shù)學(xué)教育學(xué)導(dǎo)論》輔導(dǎo)講座之二一些理論和研究（一）前蘇聯(lián)凱洛夫、贊可夫的教育理論Piaget的發(fā)生認(rèn)識論Gagne的分層次學(xué)習(xí)理論Bruner的學(xué)習(xí)和教學(xué)理論Ausubel的意義言語學(xué)習(xí)理論一些理論和研究（二）Freudenthal的數(shù)學(xué)教育理論Polya的解題理論Dienes的數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)理論Bloom的教育評價觀和掌握學(xué)習(xí)策略凱洛夫的教育理念1950年代,中國實行“一邊倒”的政策,全國教育部門都學(xué)習(xí)一本教育著作,這便是凱洛夫的《教育學(xué)》。凱洛夫時任俄羅斯教育科學(xué)院的院長,代表著當(dāng)時蘇聯(lián)的官方教育觀點：主張實行系統(tǒng)的知識傳授凱洛夫在《教育學(xué)》中認(rèn)為：“學(xué)校的任務(wù)就是授予學(xué)生以自然、社會、和人類思維發(fā)展的深刻而確實的普通知識，并形成學(xué)生的技能技巧”；“課堂教學(xué)是學(xué)校工作的基本組織形式”；“教師在整個教學(xué)過程中發(fā)揮主導(dǎo)作用”。后來有人把它概括為三個中心：“知識中心”、“課堂中心”和“教師中心”凱洛夫的教學(xué)法凱洛夫提出教學(xué)原則要體現(xiàn)：直觀性；自覺性和積極性；鞏固性；系統(tǒng)性和連貫性；通俗性和可接受性凱洛夫的影響，不僅是在指導(dǎo)思想上，甚至深入到每一個教學(xué)環(huán)節(jié)?！爸v授法”、“談話法”、“演練法”等教學(xué)法名詞，“復(fù)習(xí)—導(dǎo)入—新授—鞏固—布置作業(yè)”的教學(xué)環(huán)節(jié)，在今天我國的數(shù)學(xué)課堂上仍然沿用著贊可夫的提法認(rèn)為教學(xué)原則應(yīng)體現(xiàn)：高難度；高速度；理論知識為主導(dǎo)；理解；全班得到發(fā)展Piaget的發(fā)生認(rèn)識論“傳統(tǒng)的認(rèn)識論只顧到高級水平的認(rèn)識，換言之，即只顧到認(rèn)識的最后結(jié)果”，因此，他要研究智慧的胚胎的起源和發(fā)展過程?！皩W(xué)習(xí)就是為了將所學(xué)內(nèi)容整合到一個人的心智結(jié)構(gòu)中去而對所學(xué)內(nèi)容進(jìn)行加工的過程”知識就是結(jié)構(gòu)，學(xué)習(xí)就是建構(gòu)。認(rèn)識是主客體相互作用的結(jié)果，這種作用是通過活動來實現(xiàn)的兒童學(xué)習(xí)的方法學(xué)習(xí)者與環(huán)境互相作用的過程同化(assimilation)互相作用比較平和順利，結(jié)構(gòu)通過吸收新知識而得到發(fā)展.順應(yīng)(accommodation)互相作用在學(xué)生的頭腦中產(chǎn)生不和諧，學(xué)生需要修改他的現(xiàn)有結(jié)構(gòu)以接納新知識.智力發(fā)展的階段理論以運算的出現(xiàn)及其不同的水平作為衡量兒童智力水平的標(biāo)準(zhǔn)感覺運動階段前運算階段具體運算階段兒童在說理時依賴于他的已有的具體經(jīng)驗，不能對抽象的東西進(jìn)行加工聯(lián)系形式運算階段智力發(fā)展理論與數(shù)學(xué)教學(xué)學(xué)習(xí)有困難或有紀(jì)律問題的學(xué)生處于具體運算階段或正在向形式運算階段過渡的學(xué)生，通常看不到證明定理和說明定理之間的區(qū)別，不愿意接受超出其想象能力的概念，雖然能正確地敘述和使用概念卻不會用數(shù)學(xué)語言來解釋，不理解數(shù)學(xué)悖論，學(xué)習(xí)公式靠記憶而不靠理解。因此，教師要多用直觀的方法幫助學(xué)生理解，促成他們向形式運算階段過渡。Gagne的分層次學(xué)習(xí)理論任何學(xué)習(xí)任務(wù)都可以層層分解成更簡單的任務(wù)，復(fù)雜的學(xué)習(xí)要從由它分解的各項簡單的學(xué)習(xí)開始

x2=9/16Bruner的學(xué)習(xí)和教學(xué)理論他和他的同事們在觀察和實驗的基礎(chǔ)上，提出了以下三種認(rèn)知方式和四條數(shù)學(xué)教學(xué)原則：操作,表象，符號構(gòu)造原則（學(xué)習(xí)伊始讓學(xué)生自己描述，避免教現(xiàn)成的，這樣利于理解）符號原則（逐漸抽象成符號體系）對比和變化原則（從對比中學(xué)，從各側(cè)面看）聯(lián)系原則（揭示數(shù)學(xué)各分支內(nèi)部、之間的聯(lián)系）結(jié)構(gòu)的重要性“懂得基本原理可以使得學(xué)科更容易理解;獲得的知識,如果沒有完滿的結(jié)構(gòu)把它聯(lián)在一起,那是一種多半會被遺忘的知識;領(lǐng)會基本的原理和觀念,看來是通向適當(dāng)?shù)摹厥膺w移’的大道;領(lǐng)會結(jié)構(gòu)能夠縮小‘高級’知識和‘初級’知識之間的差距.”1971年：“少說些歷史結(jié)構(gòu)、物理結(jié)構(gòu)和數(shù)學(xué)的相容性本質(zhì)之類的東西，而應(yīng)在我們面臨的問題情境中處理它們”學(xué)習(xí)的準(zhǔn)備“任何學(xué)科都能夠用在智育上是正確的方式,有效地教給任何發(fā)展階段的任何兒童.”當(dāng)然前提是教師不能“試圖根據(jù)遠(yuǎn)離兒童思維樣式且其含義對兒童來說又是枯燥無味的邏輯進(jìn)行正式說明”.“教授科學(xué)概念,即使是小學(xué)水平,也不必奴性地跟隨兒童認(rèn)知發(fā)展的自然過程”,而應(yīng)向兒童提供挑戰(zhàn)性的但是合適的適中問題,激勵他的智力向下一階段發(fā)展.Ausubel的意義言語學(xué)習(xí)理論他堅信講授法是將人類文化遺產(chǎn)傳遞給后代的唯一有效的方式，教師應(yīng)致力于不斷發(fā)展這種用言語進(jìn)行教學(xué)的技巧。他認(rèn)為學(xué)習(xí)是否有意義取決于學(xué)習(xí)發(fā)生的條件：學(xué)習(xí)者表現(xiàn)出一種意義學(xué)習(xí)的心向，即表現(xiàn)出一種把新學(xué)的材料同他已了解的知識建立非任意的、實質(zhì)性聯(lián)系的意向；學(xué)習(xí)任務(wù)對學(xué)生具有潛在意義，即學(xué)習(xí)任務(wù)能夠在非任意的、非逐字逐句的基礎(chǔ)上同學(xué)習(xí)者的知識結(jié)構(gòu)聯(lián)系起來。Freudenthal的數(shù)學(xué)教育理論要符合數(shù)學(xué)的體系，但又不能過于強調(diào)邏輯嚴(yán)密性應(yīng)教給學(xué)生充滿著聯(lián)系的數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的原則：“蘇格拉底方法”原則，“再創(chuàng)造”原則，“數(shù)學(xué)現(xiàn)實”原則，“數(shù)學(xué)化”原則，“嚴(yán)謹(jǐn)性”原則Freudenthal的數(shù)學(xué)教學(xué)原則設(shè)想科學(xué)不是教出來的，也不是學(xué)出來的，是靠研究出來的，因而學(xué)校的教學(xué)必須使學(xué)生由被動地學(xué)轉(zhuǎn)為主動地獲得蘇格拉底方法“蘇格拉底方法仍然是或者說應(yīng)當(dāng)是教學(xué)基本原則之一，……如蘇格拉底自稱的，講師只是助產(chǎn)士，他把聽眾自己的思想表達(dá)出來，……這是辯證法，或者稱作思想實驗方法，……教師在頭腦中想象在教一群主動的學(xué)生，設(shè)想如何應(yīng)付學(xué)生可能有的反映，……狹義地說，蘇格拉底所做的就是在教學(xué)過程中再創(chuàng)造或者再發(fā)現(xiàn)所教的東西，學(xué)生感覺一切都是當(dāng)著他們的面發(fā)生的，而不是以教條形式灌輸?shù)?。”如若不然，那是“違反教學(xué)法的顛倒”再創(chuàng)造原則在教師的幫助下，學(xué)生可以創(chuàng)造數(shù)學(xué)，如平行四邊形的定義、性質(zhì)定理、判定定理傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)有違反教學(xué)法的“顛倒做法”教師按教科書的寫法教，根本沒有創(chuàng)造性的加工工作，也扼殺了學(xué)生的創(chuàng)造；將數(shù)學(xué)當(dāng)作是一個已經(jīng)完成的現(xiàn)成的形式理論，定義－符號－性質(zhì)－定理、算法－舉例－模仿練習(xí)這樣是做不出數(shù)學(xué)的不是機械地重復(fù)歷史，是假定我們的祖先在掌握了現(xiàn)有的知識后會怎么做夸美紐斯：“教一個活動的最好方法是演示”弗賴登塔爾：“學(xué)一個活動的最好方法是實踐”使學(xué)生始終處于積極、創(chuàng)造的狀態(tài)“重點從教轉(zhuǎn)向?qū)W，從教師的行為轉(zhuǎn)到學(xué)生的活動，從感覺效應(yīng)轉(zhuǎn)為運動效應(yīng)”?！粦?yīng)該學(xué)習(xí)現(xiàn)成的數(shù)學(xué)，“學(xué)生應(yīng)當(dāng)通過再創(chuàng)造來學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，……這樣獲得的知識與能力才能更好地理解，而且能保持較長久的記憶”?！皫缀尾粌H是演繹科學(xué)的范例，……也是蘇格拉底教學(xué)法與再創(chuàng)造學(xué)習(xí)法的最好材料?！睌?shù)學(xué)教學(xué)要始終聯(lián)系學(xué)生的現(xiàn)實數(shù)學(xué)屬于所有人，要將它教給所有人數(shù)學(xué)來源于現(xiàn)實，也必須扎根于現(xiàn)實，并應(yīng)用于現(xiàn)實，它不應(yīng)當(dāng)是符號的游戲數(shù)學(xué)內(nèi)部充滿著豐富的聯(lián)系，是一個嚴(yán)謹(jǐn)?shù)男问竭壿嬔堇[體系外部和內(nèi)部聯(lián)系各占多大份量？現(xiàn)實學(xué)生熟悉的日常生活中的具體事物和從其他學(xué)科學(xué)習(xí)所得的經(jīng)驗客觀現(xiàn)實學(xué)生已有的反映客觀世界的各種數(shù)學(xué)概念、運算方法、規(guī)律的數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)現(xiàn)實內(nèi)部和外部聯(lián)系各占多大份量？對于少數(shù)數(shù)學(xué)家來說，抽象的形式體系，嚴(yán)密的邏輯結(jié)構(gòu)，以及涉及內(nèi)在聯(lián)系的規(guī)律，也許是最為本質(zhì)、最為完美也是最感興趣的東西；可是對于大多數(shù)人而言，掌握數(shù)學(xué)與外部世界的密切關(guān)系，從而獲得適應(yīng)于當(dāng)前社會的生存與生活，并進(jìn)而能夠改革社會促使其進(jìn)一步發(fā)展的能力，將是更為重要的。數(shù)學(xué)化原則Bourbaki指出：數(shù)學(xué)不是研究數(shù)量的，而是研究結(jié)構(gòu)的。Freudenthal指出：與其說是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，還不如說是學(xué)習(xí)“數(shù)學(xué)化”。只有通過數(shù)學(xué)化的途徑來進(jìn)行數(shù)學(xué)教育，才能使學(xué)生真正獲得充滿著聯(lián)系的、富有生命力的數(shù)學(xué)知識，使他們不僅理解這些知識，而且能夠應(yīng)用數(shù)學(xué)化就是數(shù)學(xué)地組織現(xiàn)實世界的過程。公理化和形式化都是數(shù)學(xué)化的常見表現(xiàn)形式。整個數(shù)學(xué)體系的形成就是數(shù)學(xué)化的結(jié)果。抽象與具體相結(jié)合數(shù)學(xué)地抽象就是運用數(shù)學(xué)的思想方法和語言，分析研究客觀世界的種種現(xiàn)象并加以整理和組織，這一過程也叫做數(shù)學(xué)化?，F(xiàn)實世界－－數(shù)學(xué)，現(xiàn)實世界－－更抽象、豐富的數(shù)學(xué)－－。。。一個不斷發(fā)展的過程數(shù)學(xué)化數(shù)學(xué)化數(shù)學(xué)化學(xué)生的學(xué)習(xí)需要一個發(fā)展過程實踐經(jīng)驗和理論研究都表明學(xué)生在學(xué)習(xí)初期往往依賴具體素材依賴具體素材的豐富程度依賴親自對具體素材的探究平面幾何的語言入門教學(xué)楊裕前對常州10個學(xué)校500名學(xué)生作的調(diào)查“你學(xué)習(xí)平面幾何覺得什么最難？”28.7%選擇了“幾何語言的理解和敘述”，38.17%選擇了“講清道理”“過A、B、C三點（不在一直線上，給出圖形）中每兩點畫直線，可以畫幾條直線？”13.2%的學(xué)生雖能正確畫圖但答“可以畫一條直線”讀句畫圖：“三條直線兩兩相交”20.8%的學(xué)生不能正確畫出圖形“任作直線AB，在AB上任取一點C，在AB外任取一點D，分別過C、D兩點作AB的垂線”30%的學(xué)生畫成右圖。。。。ABCD為何有困難？教學(xué)內(nèi)容從“數(shù)”到“形”發(fā)生突變簡煉、嚴(yán)密的幾何語言在起始階段大量引進(jìn)和使用日常生活語言對幾何語言產(chǎn)生負(fù)遷移

學(xué)生一時難以適應(yīng)可借助符號的描述性定義文字與符號相對照代數(shù)學(xué)習(xí)中，文字語言常借助于符號語言但是，動態(tài)的圖形、字母標(biāo)識不定，使描述幾何的文字語言無法如此統(tǒng)一成符號語言。簡煉、嚴(yán)密的幾何語言日常生活語言對幾何語言產(chǎn)生負(fù)遷移有而且只有在……上，不在……上垂相應(yīng)的教學(xué)策略鋪設(shè)階梯，減小難度重視文字語言、圖形、符號語言的互譯訓(xùn)練通過比較、辨析、判斷訓(xùn)練提高學(xué)生理解和使用幾何語言的精確性幫助學(xué)生通過歸類等反思手段，進(jìn)一步體會幾何語言的使用特點鋪設(shè)階梯，減小難度讀課本、背句子，記憶和模仿先羅嗦，再拿走一共可以畫幾條直線？過C點作AB的垂線、過D點作AB的垂線－》分別過C、D兩點作AB的垂線縮句訓(xùn)練比較、辨析、判斷的訓(xùn)練歸類集中訓(xùn)練Polya的解題理論三本重要著作《怎樣解題》《數(shù)學(xué)與猜想》《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)》背景：“像是帽子里突然跑出一只兔子”。Polya的驅(qū)動力“不錯，這解法看來可用，它顯得是正確的。但怎樣能夠想出這樣的解法呢？……而我自己又怎樣才能想出或發(fā)現(xiàn)它們呢？”他竭力幫助學(xué)生弄清定理和證明的來龍去脈。研究方法：憑借經(jīng)驗和觀察，他發(fā)現(xiàn)解題過程中對自己提出有啟發(fā)性的問題和念頭非常重要。他提出了一個“現(xiàn)代促發(fā)術(shù)”的初步方案，拿到他自己的教學(xué)實踐中去試用與篩選，歷經(jīng)三十年的醞釀和鉆研，形成《怎樣解題》“怎樣解題”表（簡化）第一步必須了解問題未知數(shù)是什么？已知數(shù)據(jù)是什么？條件是什么？可能滿足條件么？畫一個圖，引入適當(dāng)?shù)姆柕诙秸页鲆阎獢?shù)和未知數(shù)間的關(guān)系。如果找不出關(guān)系，就得考慮輔助問題。最后應(yīng)想出一個計劃你以前曾見過它么？你知道什么有關(guān)的問題么？看著未知數(shù)，試想出一個有相同或相似的未知數(shù)的熟悉的問題第三步實行你的計劃實行你的解決計劃，校核每一步驟第四步校核所得的解答你能用不同的方法得出結(jié)果么？你能應(yīng)用這結(jié)果或方法到別的問題上去么？“怎樣解題”表的意義“只要應(yīng)用得當(dāng)，如果你向自己提出表中的這些問題與建議，它們可以幫助你解決你的問題；而如果你向你的學(xué)生提出同樣的問題與建議，……你就可以幫助學(xué)生解決手頭的問題并培養(yǎng)學(xué)生將來能夠獨立解題的能力?！贝吮砭哂衅毡樾耘c常識性《數(shù)學(xué)與猜想》“數(shù)學(xué)有兩個側(cè)面，……歐氏方法所表現(xiàn)的數(shù)學(xué)是一門系統(tǒng)的演繹科學(xué)；創(chuàng)造中的數(shù)學(xué)卻是實驗的歸納科學(xué)”?！拔覀兘枵撟C推理來肯定我們的數(shù)學(xué)知識，而借合情推理來為我們的猜想提供依據(jù)。”“嚴(yán)格地說，除數(shù)學(xué)和論證邏輯外，我們所有的知識都是由一些猜想所構(gòu)成的”。而“在學(xué)校慣常的課程中，還沒有一門能提供類似的機會來學(xué)習(xí)合情推理”?！白屛覀兘滩孪氚?！”《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)》“解題是一種本領(lǐng)，是只能靠模仿和實踐才能學(xué)到它的本領(lǐng)?！彼膫€常用的解題模式交軌模式

問題---“點”，條件---“軌跡”，“軌跡”的交即為所求的“點”笛卡兒模式

問題---未知量，列方程（組）遞歸模式

確定第一項再借助遞推關(guān)系式疊加模式

先處理一、二個特殊情形（類似“基”的作用）將其疊加得出一般問題的解Polya的教學(xué)三原則主動學(xué)習(xí)原則形成問題源自“蘇格拉底方法”；“學(xué)任何東西的最好方法是你自己發(fā)現(xiàn)它”最佳動機原則推銷員，猜結(jié)果“對學(xué)習(xí)內(nèi)容感興趣是最好的學(xué)習(xí)動機，而深入的心智活動帶來的快樂是這種活動最好的回報”階段序進(jìn)原則先讓學(xué)生自己探索；解題后的回顧探索階段----形式化階段----同化階段Polya的教師“十要”要對你講的課題有興趣要懂得你講的課題要懂得學(xué)習(xí)的途徑；學(xué)習(xí)任何東西的最佳途徑就是靠自己去發(fā)現(xiàn)要觀察你的學(xué)生的臉色，弄清楚他們的期望和困難，把自己置身于他們之中不僅要教給他們知識，并且要教給他們“才智”，思維的方式，有條不紊的工作習(xí)慣Polya的教師“十要”（續(xù)）要讓他們學(xué)習(xí)猜測要讓他們學(xué)習(xí)證明要找出手邊題目中那些對解后來題目有用的特征-----即設(shè)法去揭示出隱藏在眼前具體情形中的一般模式不要立即吐露你的全部秘密-----讓學(xué)生在你說出來之前先去猜-----盡量讓他們自己去找出來要建議，不要強迫別人去接受Dienes的數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)理論數(shù)學(xué)是研究結(jié)構(gòu)的：結(jié)構(gòu)的分類、各結(jié)構(gòu)內(nèi)部關(guān)系的整理、結(jié)構(gòu)之間關(guān)系的歸類。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程包含三個階段：玩

探索，非形式化的，形成初步的有關(guān)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)學(xué)習(xí)

通過同化和順應(yīng)，發(fā)展學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，引入術(shù)語、定義和證明等實踐

變化，外表不同結(jié)構(gòu)相同，不僅增強動機還能加深理解Bloom的教育評價觀目的主要不在于把學(xué)生分等與分類，而是為改善學(xué)習(xí)而評價，作為一種反饋----矯正系統(tǒng)，它被用來判斷教學(xué)過程是否有效，如果無效，必須及時采取什么變革，以確保過程的有效性。教育并不是為了選拔英才，而是發(fā)展學(xué)習(xí)者的才能?！敖逃仨毴找骊P(guān)心所有兒童與青年的最充分的發(fā)展，而學(xué)校的責(zé)任將是尋找能使每個學(xué)生達(dá)到他可能達(dá)到的最高學(xué)習(xí)水平的學(xué)習(xí)條件”。Bloom的掌握學(xué)習(xí)策略傳統(tǒng)觀念認(rèn)為只有少數(shù)學(xué)生能夠?qū)W好，習(xí)慣用正態(tài)曲線來劃分等級的做法是不科學(xué)的、有害的。只要提供足夠的時間與適當(dāng)?shù)膸椭?5%的學(xué)生（5%的優(yōu)等生加上90%的中間生）能夠?qū)W習(xí)一門學(xué)科，并達(dá)到高水平的掌握。如果我們的教學(xué)是有效的話，成績的分布應(yīng)當(dāng)與正態(tài)曲線很不相同怎樣才算“掌握了一門學(xué)科？”如何能使最大部分學(xué)生達(dá)到這種掌握？掌握學(xué)