動力學(xué)的基本定理復(fù)習(xí)和輔導(dǎo)

動力學(xué)的基本定理江漢大學(xué)文理學(xué)院復(fù)習(xí)和輔導(dǎo)1或★質(zhì)點(diǎn)系或剛體的動量表達(dá)的定義式?運(yùn)動剛體動量的計(jì)算已知桿、圓盤均質(zhì),質(zhì)量為m.尺寸如圖2(c)動量的方向與質(zhì)心速度方向相同xy45o2aaaC1C2將此T形桿分成質(zhì)量相等的兩部分,其中下部分的一半的質(zhì)心與轉(zhuǎn)軸重合,速度為零;上部分的一半質(zhì)心的速度為a.方向如圖示.Cv60oO速度瞬心3★動量定理和質(zhì)心運(yùn)動定理在什么情況下用動量定理?(1)求剛體尤其剛體系統(tǒng)或質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)的約束反力及線加速度問題.(2)守恒條件下的速度、位移和運(yùn)動軌跡問題. 動量守恒和質(zhì)心守恒問題如果一質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)的外力系的主矢等于零,(不可說外力系為零) 則系統(tǒng)的動量保持為一常矢量或?yàn)榱?

或系統(tǒng)的質(zhì)心的速度為一常矢或?yàn)榱?如果一質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)的外力系的主矢在某一方向上的投影為零,

則系統(tǒng)的動量在此方向上的投影保持為一常量或?yàn)榱?

或系統(tǒng)的質(zhì)心的速度在此方向上的投影不變或?yàn)榱?系統(tǒng)或剛體動量守恒量是否為零,全在于其初始狀態(tài).4例1.均質(zhì)桿OA=2l,重P,繞過O端的水平軸在豎直面內(nèi)轉(zhuǎn)動.設(shè)轉(zhuǎn)動到 與水平成角時其角速度與角加速度分別為

與.

求:此時OA桿在O端的約束反力.OAC解:取桿分析其運(yùn)動和受力.

OAC由質(zhì)心運(yùn)動定理法向投影:由質(zhì)心運(yùn)動定理切向投影:◆典型簡單例題

將O點(diǎn)的未知力沿質(zhì)心運(yùn)動的切向和法向分解.5解:取系統(tǒng)分析,運(yùn)動與受力如圖示.sABD例2.質(zhì)量為m1的平臺放在水平面上,平臺與水平面間的動摩擦系數(shù)為f,質(zhì)量為m2

的小車由絞車拖動,其相對平臺上的運(yùn)動規(guī)律為不計(jì)絞車的質(zhì)量,求平臺的加速度.水平方向有:垂直方向有:6

(2)一均質(zhì)的半圓板如圖示放置在光滑的水平面上,由靜止釋放.

則半圓板的質(zhì)心C的運(yùn)動軌跡是:

.

mgC

a.拋物線;b.鉛垂線;c.橢圓曲線;d.旋輪線.例3.(1)一均質(zhì)桿如圖示放置在光滑的水平面上,由靜止釋放.

則均質(zhì)桿的質(zhì)心C的運(yùn)動軌跡是:

.

a.圓弧線;b.鉛垂線;c.橢圓曲線;d.斜直線.bb7例4.圖示水平面放一均勻三棱柱A,其上放一小三棱柱B,兩個三棱柱質(zhì)量分別為mA、mB,且mA=3mB.尺寸如圖,設(shè)各處摩擦不計(jì),初始靜止.求當(dāng)三棱柱B由頂端沿斜面下滑到底端,三棱柱A移動的距離.解:系統(tǒng)在水平方向的質(zhì)心坐標(biāo)守恒.xyAabBAaxybB設(shè)系統(tǒng)運(yùn)動前的質(zhì)心水平坐標(biāo)為設(shè)系統(tǒng)運(yùn)動后的質(zhì)心水平坐標(biāo)為建立坐標(biāo)系如圖示此時三棱柱A向左移動了8例5.均質(zhì)桿AB=L,直立于光滑的水平面上.求它從鉛直位置無初速地倒下時,端點(diǎn)A的運(yùn)動軌跡.OCαABxy任意時刻,A點(diǎn)的坐標(biāo)為:9★★質(zhì)點(diǎn)系動量矩表達(dá)的定義式凡動量矩,必須指明對哪一點(diǎn)的動量矩,否則無意義.定軸轉(zhuǎn)動剛體對轉(zhuǎn)軸(如z軸)的動量矩△:平動剛體的動量矩剛體平動時,可將全部質(zhì)量集中于質(zhì)心,作為一個質(zhì)點(diǎn)計(jì)算其對某一點(diǎn)或某一軸的動量矩.平面運(yùn)動的剛體(一般應(yīng)有質(zhì)量對稱面)對質(zhì)心C的動量矩轉(zhuǎn)動慣量的平行軸定理剛體對于任意軸的轉(zhuǎn)動慣量,等于剛體對于通過質(zhì)心且與該軸平行的軸的轉(zhuǎn)動慣量,加上剛體的質(zhì)量與兩軸間距離平方的乘積.10▲:(1)籠統(tǒng)地說某剛體的轉(zhuǎn)動慣量是沒有意義的;轉(zhuǎn)動慣量只有對確定的軸才 具有力學(xué)意義.(2)所謂‘確定的軸’并非僅指真實(shí)的轉(zhuǎn)動軸,只要具有空間的幾何意義即可.(3)同一剛體對于諸多的平行軸來講,以過其質(zhì)心的軸之轉(zhuǎn)動慣量最小.例一.均質(zhì)矩形板質(zhì)量為m,尺寸如圖.已知板對z2軸的轉(zhuǎn)動慣量為J2.試求板對z1 軸的轉(zhuǎn)動慣量.z1z2aCzc11?定軸轉(zhuǎn)動剛體對轉(zhuǎn)軸動量矩的計(jì)算已知桿、圓盤均質(zhì),質(zhì)量為m.尺寸如圖12★對固定點(diǎn)的動量矩定理繞固定軸轉(zhuǎn)動剛體對轉(zhuǎn)軸的動量矩定理(定軸轉(zhuǎn)動動力學(xué)方程)對運(yùn)動的質(zhì)心的動量矩定理平面運(yùn)動剛體對質(zhì)心的動量矩定理剛體平面運(yùn)動動力學(xué)方程13例6.高爐運(yùn)送礦石的卷揚(yáng)機(jī)如圖示.已知鼓輪的半徑為R,質(zhì)量為m1,鼓輪繞O軸轉(zhuǎn)動.小車和礦石的總質(zhì)量為m2.作用在鼓輪上的力偶矩為M,鼓輪對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量為J0,軌道的傾角為θ.不計(jì)摩擦及繩子的質(zhì)量.求:小車的加速度.▲:平動物體對任何一點(diǎn)的動量矩都很容易求得.將若干個平動物體與一個轉(zhuǎn)動物體作為一個系統(tǒng)運(yùn)用動量矩定理可以避免某一些未知力的出現(xiàn),從而可簡化解題的步驟.解:取整個系統(tǒng)為研究對象,受力及運(yùn)動分析如圖θMOθMOωR14α2RB例7.電動絞車提升一質(zhì)量為m的物體,在其主動軸上作用有一個力偶其矩為M.已知主動軸齒輪和從動軸齒輪各自對其轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量分別為J1和J2.傳動比z2:z1

=i;從動輪上的鼓輪半徑為R.不計(jì)繩索的質(zhì)量和各處摩擦.求:重物的加速度.α1AMJ2J1mABMR取主動輪分析:取從動輪及物塊系統(tǒng)分析:將上面二式代入前面的(1)、(2)式后解得:由對A點(diǎn)的動量矩定理由對B點(diǎn)的動量矩定理15例8.均質(zhì)圓輪的半徑為R,質(zhì)量為m,在粗糙的水平面上作純滾動.在輪上作用一水平力其大小為F.試求出輪心C的加速度和水平接觸面處的摩擦力.解:取圓輪分析受力及運(yùn)動由對質(zhì)心的動量矩定理由純滾動的運(yùn)動學(xué)關(guān)系聯(lián)立(1)、(2)、(3)求解:Cmg由質(zhì)心運(yùn)動定理16解:初瞬時問題,無速度、角速度和法向加速度直接是力(力矩)與加速度(角加速度)的關(guān)系.由對O點(diǎn)的動量矩定理例9.均質(zhì)桿長l,質(zhì)量為m,O端鉸接,現(xiàn)當(dāng)桿與水平成300角時靜止釋放.求釋放瞬時桿的角加速度及O端的約束力.17由質(zhì)心運(yùn)動定理18

例10.一質(zhì)量為m,長為l的均質(zhì)桿用細(xì)繩吊在水平位置.若突然剪斷 細(xì)繩,則此瞬時,

該桿的角速度和角加速度應(yīng)是

.OAmgOAl由靜止開始轉(zhuǎn)入運(yùn)動的瞬時,有角加速度;由于沒有時間積累,故角速度為零.由對O點(diǎn)的動量矩定理:b19動能定理這一章,是從能量的觀點(diǎn)來描述一個力學(xué)過程.與前幾章不同的是,不再把力分成內(nèi)力和外力,而是分成主動力和約束反力.在解題的思路上這一章與前幾章也有明顯的不同.對于剛體系統(tǒng)和質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)來講,動能定理的運(yùn)用大都以整個系統(tǒng)為研究對象.而動量定理和動量矩定理的運(yùn)用在許多場合下需要將原系統(tǒng)拆成單體或簡單系統(tǒng).運(yùn)用動能定理求運(yùn)動量特別是對單自由度力學(xué)系統(tǒng)下求線速度和角速度是非常方便的.動能定理不能求未知的約束反力,所以,用三個動力學(xué)遍定理聯(lián)合求解動力學(xué)問題,總是先用動能定理求速度、加速度,再用動量定理(質(zhì)心運(yùn)動定理)和動量矩定理求力.動能定理20剛體動能的計(jì)算已知桿、圓盤均質(zhì),質(zhì)量為m.尺寸如圖21例11.在圖示系統(tǒng)中,正方形的質(zhì)量為m=2kg,邊長l=0.25m.用一不計(jì)大小的滑輪支撐在光滑的水平面上.若從圖示的位置靜止釋放,受微小的干擾而倒下.

試求該正方塊的A點(diǎn)即將觸及地面的時候(OA邊水平),正方塊的角速度.解:當(dāng)OA邊水平時,p點(diǎn)為正方塊的速度瞬心AOCmgmgOCpA由動能定理:22DA例12(習(xí)11–25)(p286)ABCDmgmgs解:設(shè)AB桿由靜止向下運(yùn)動了s米.由動能定理T2–T1=∑WA

兩邊同時對時間t求導(dǎo)取圓盤,受力及運(yùn)動分析如圖mg由對質(zhì)心的動量矩定理由質(zhì)心運(yùn)動定理23例13圖示圓盤和滑塊的質(zhì)量均為m,圓盤的半徑為r,且為均質(zhì).桿OA平行于斜面,質(zhì)量不計(jì).斜面的傾角為,圓盤,滑塊與斜面間的摩擦系數(shù)均為f.圓盤在斜面上只滾不滑.求:滑塊的加速度和OA桿的內(nèi)力.OAs解:設(shè)OA桿沿斜面下行了s距離.O,A點(diǎn)的速度,加速度相等.不妨設(shè)為v,a.

由動能定理A取滑塊A分析沿AO方向投影:24

例14.均質(zhì)桿OA=l=2m,質(zhì)量M=10kg.在鉛垂面內(nèi)繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)動.已知在圖示鉛垂位置ω0=10rad/s,α=0.求:OA桿由鉛垂位置運(yùn)動到水平位置時桿的角速度、角加速度和O處的約束反力.OA(A)ω0解:由動能定理T2–T1=∑WA.AOCOA桿運(yùn)動到水平時受力及運(yùn)動分析如圖由對O點(diǎn)的動量矩定理由質(zhì)心運(yùn)動定理25例15.(綜–12)AOBCs解:設(shè)