動(dòng)力學(xué)的基本定理復(fù)習(xí)和輔導(dǎo)

動(dòng)力學(xué)的基本定理江漢大學(xué)文理學(xué)院復(fù)習(xí)和輔導(dǎo)1或★質(zhì)點(diǎn)系或剛體的動(dòng)量表達(dá)的定義式?運(yùn)動(dòng)剛體動(dòng)量的計(jì)算已知桿、圓盤(pán)均質(zhì),質(zhì)量為m.尺寸如圖2(c)動(dòng)量的方向與質(zhì)心速度方向相同xy45o2aaaC1C2將此T形桿分成質(zhì)量相等的兩部分,其中下部分的一半的質(zhì)心與轉(zhuǎn)軸重合,速度為零;上部分的一半質(zhì)心的速度為a.方向如圖示.Cv60oO速度瞬心3★動(dòng)量定理和質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理在什么情況下用動(dòng)量定理?(1)求剛體尤其剛體系統(tǒng)或質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)的約束反力及線(xiàn)加速度問(wèn)題.(2)守恒條件下的速度、位移和運(yùn)動(dòng)軌跡問(wèn)題. 動(dòng)量守恒和質(zhì)心守恒問(wèn)題如果一質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)的外力系的主矢等于零,(不可說(shuō)外力系為零) 則系統(tǒng)的動(dòng)量保持為一常矢量或?yàn)榱?

或系統(tǒng)的質(zhì)心的速度為一常矢或?yàn)榱?如果一質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)的外力系的主矢在某一方向上的投影為零,

則系統(tǒng)的動(dòng)量在此方向上的投影保持為一常量或?yàn)榱?

或系統(tǒng)的質(zhì)心的速度在此方向上的投影不變或?yàn)榱?系統(tǒng)或剛體動(dòng)量守恒量是否為零,全在于其初始狀態(tài).4例1.均質(zhì)桿OA=2l,重P,繞過(guò)O端的水平軸在豎直面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng).設(shè)轉(zhuǎn)動(dòng)到 與水平成角時(shí)其角速度與角加速度分別為

與.

求:此時(shí)OA桿在O端的約束反力.OAC解:取桿分析其運(yùn)動(dòng)和受力.

OAC由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理法向投影:由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理切向投影:◆典型簡(jiǎn)單例題

將O點(diǎn)的未知力沿質(zhì)心運(yùn)動(dòng)的切向和法向分解.5解:取系統(tǒng)分析,運(yùn)動(dòng)與受力如圖示.sABD例2.質(zhì)量為m1的平臺(tái)放在水平面上,平臺(tái)與水平面間的動(dòng)摩擦系數(shù)為f,質(zhì)量為m2

的小車(chē)由絞車(chē)拖動(dòng),其相對(duì)平臺(tái)上的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為不計(jì)絞車(chē)的質(zhì)量,求平臺(tái)的加速度.水平方向有:垂直方向有:6

(2)一均質(zhì)的半圓板如圖示放置在光滑的水平面上,由靜止釋放.

則半圓板的質(zhì)心C的運(yùn)動(dòng)軌跡是:

.

mgC

a.拋物線(xiàn);b.鉛垂線(xiàn);c.橢圓曲線(xiàn);d.旋輪線(xiàn).例3.(1)一均質(zhì)桿如圖示放置在光滑的水平面上,由靜止釋放.

則均質(zhì)桿的質(zhì)心C的運(yùn)動(dòng)軌跡是:

.

a.圓弧線(xiàn);b.鉛垂線(xiàn);c.橢圓曲線(xiàn);d.斜直線(xiàn).bb7例4.圖示水平面放一均勻三棱柱A,其上放一小三棱柱B,兩個(gè)三棱柱質(zhì)量分別為mA、mB,且mA=3mB.尺寸如圖,設(shè)各處摩擦不計(jì),初始靜止.求當(dāng)三棱柱B由頂端沿斜面下滑到底端,三棱柱A移動(dòng)的距離.解:系統(tǒng)在水平方向的質(zhì)心坐標(biāo)守恒.xyAabBAaxybB設(shè)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)前的質(zhì)心水平坐標(biāo)為設(shè)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)后的質(zhì)心水平坐標(biāo)為建立坐標(biāo)系如圖示此時(shí)三棱柱A向左移動(dòng)了8例5.均質(zhì)桿AB=L,直立于光滑的水平面上.求它從鉛直位置無(wú)初速地倒下時(shí),端點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)軌跡.OCαABxy任意時(shí)刻,A點(diǎn)的坐標(biāo)為:9★★質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量矩表達(dá)的定義式凡動(dòng)量矩,必須指明對(duì)哪一點(diǎn)的動(dòng)量矩,否則無(wú)意義.定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸(如z軸)的動(dòng)量矩△:平動(dòng)剛體的動(dòng)量矩剛體平動(dòng)時(shí),可將全部質(zhì)量集中于質(zhì)心,作為一個(gè)質(zhì)點(diǎn)計(jì)算其對(duì)某一點(diǎn)或某一軸的動(dòng)量矩.平面運(yùn)動(dòng)的剛體(一般應(yīng)有質(zhì)量對(duì)稱(chēng)面)對(duì)質(zhì)心C的動(dòng)量矩轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的平行軸定理剛體對(duì)于任意軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,等于剛體對(duì)于通過(guò)質(zhì)心且與該軸平行的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,加上剛體的質(zhì)量與兩軸間距離平方的乘積.10▲:(1)籠統(tǒng)地說(shuō)某剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是沒(méi)有意義的;轉(zhuǎn)動(dòng)慣量只有對(duì)確定的軸才 具有力學(xué)意義.(2)所謂‘確定的軸’并非僅指真實(shí)的轉(zhuǎn)動(dòng)軸,只要具有空間的幾何意義即可.(3)同一剛體對(duì)于諸多的平行軸來(lái)講,以過(guò)其質(zhì)心的軸之轉(zhuǎn)動(dòng)慣量最小.例一.均質(zhì)矩形板質(zhì)量為m,尺寸如圖.已知板對(duì)z2軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J2.試求板對(duì)z1 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.z1z2aCzc11?定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸動(dòng)量矩的計(jì)算已知桿、圓盤(pán)均質(zhì),質(zhì)量為m.尺寸如圖12★對(duì)固定點(diǎn)的動(dòng)量矩定理繞固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的動(dòng)量矩定理(定軸轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程)對(duì)運(yùn)動(dòng)的質(zhì)心的動(dòng)量矩定理平面運(yùn)動(dòng)剛體對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩定理剛體平面運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程13例6.高爐運(yùn)送礦石的卷?yè)P(yáng)機(jī)如圖示.已知鼓輪的半徑為R,質(zhì)量為m1,鼓輪繞O軸轉(zhuǎn)動(dòng).小車(chē)和礦石的總質(zhì)量為m2.作用在鼓輪上的力偶矩為M,鼓輪對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J0,軌道的傾角為θ.不計(jì)摩擦及繩子的質(zhì)量.求:小車(chē)的加速度.▲:平動(dòng)物體對(duì)任何一點(diǎn)的動(dòng)量矩都很容易求得.將若干個(gè)平動(dòng)物體與一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)物體作為一個(gè)系統(tǒng)運(yùn)用動(dòng)量矩定理可以避免某一些未知力的出現(xiàn),從而可簡(jiǎn)化解題的步驟.解:取整個(gè)系統(tǒng)為研究對(duì)象,受力及運(yùn)動(dòng)分析如圖θMOθMOωR14α2RB例7.電動(dòng)絞車(chē)提升一質(zhì)量為m的物體,在其主動(dòng)軸上作用有一個(gè)力偶其矩為M.已知主動(dòng)軸齒輪和從動(dòng)軸齒輪各自對(duì)其轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為J1和J2.傳動(dòng)比z2:z1

=i;從動(dòng)輪上的鼓輪半徑為R.不計(jì)繩索的質(zhì)量和各處摩擦.求:重物的加速度.α1AMJ2J1mABMR取主動(dòng)輪分析:取從動(dòng)輪及物塊系統(tǒng)分析:將上面二式代入前面的(1)、(2)式后解得:由對(duì)A點(diǎn)的動(dòng)量矩定理由對(duì)B點(diǎn)的動(dòng)量矩定理15例8.均質(zhì)圓輪的半徑為R,質(zhì)量為m,在粗糙的水平面上作純滾動(dòng).在輪上作用一水平力其大小為F.試求出輪心C的加速度和水平接觸面處的摩擦力.解:取圓輪分析受力及運(yùn)動(dòng)由對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩定理由純滾動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系聯(lián)立(1)、(2)、(3)求解:Cmg由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理16解:初瞬時(shí)問(wèn)題,無(wú)速度、角速度和法向加速度直接是力(力矩)與加速度(角加速度)的關(guān)系.由對(duì)O點(diǎn)的動(dòng)量矩定理例9.均質(zhì)桿長(zhǎng)l,質(zhì)量為m,O端鉸接,現(xiàn)當(dāng)桿與水平成300角時(shí)靜止釋放.求釋放瞬時(shí)桿的角加速度及O端的約束力.17由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理18

例10.一質(zhì)量為m,長(zhǎng)為l的均質(zhì)桿用細(xì)繩吊在水平位置.若突然剪斷 細(xì)繩,則此瞬時(shí),

該桿的角速度和角加速度應(yīng)是

.OAmgOAl由靜止開(kāi)始轉(zhuǎn)入運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí),有角加速度;由于沒(méi)有時(shí)間積累,故角速度為零.由對(duì)O點(diǎn)的動(dòng)量矩定理:b19動(dòng)能定理這一章,是從能量的觀點(diǎn)來(lái)描述一個(gè)力學(xué)過(guò)程.與前幾章不同的是,不再把力分成內(nèi)力和外力,而是分成主動(dòng)力和約束反力.在解題的思路上這一章與前幾章也有明顯的不同.對(duì)于剛體系統(tǒng)和質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)來(lái)講,動(dòng)能定理的運(yùn)用大都以整個(gè)系統(tǒng)為研究對(duì)象.而動(dòng)量定理和動(dòng)量矩定理的運(yùn)用在許多場(chǎng)合下需要將原系統(tǒng)拆成單體或簡(jiǎn)單系統(tǒng).運(yùn)用動(dòng)能定理求運(yùn)動(dòng)量特別是對(duì)單自由度力學(xué)系統(tǒng)下求線(xiàn)速度和角速度是非常方便的.動(dòng)能定理不能求未知的約束反力,所以,用三個(gè)動(dòng)力學(xué)遍定理聯(lián)合求解動(dòng)力學(xué)問(wèn)題,總是先用動(dòng)能定理求速度、加速度,再用動(dòng)量定理(質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理)和動(dòng)量矩定理求力.動(dòng)能定理20剛體動(dòng)能的計(jì)算已知桿、圓盤(pán)均質(zhì),質(zhì)量為m.尺寸如圖21例11.在圖示系統(tǒng)中,正方形的質(zhì)量為m=2kg,邊長(zhǎng)l=0.25m.用一不計(jì)大小的滑輪支撐在光滑的水平面上.若從圖示的位置靜止釋放,受微小的干擾而倒下.

試求該正方塊的A點(diǎn)即將觸及地面的時(shí)候(OA邊水平),正方塊的角速度.解:當(dāng)OA邊水平時(shí),p點(diǎn)為正方塊的速度瞬心AOCmgmgOCpA由動(dòng)能定理:22DA例12(習(xí)11–25)(p286)ABCDmgmgs解:設(shè)AB桿由靜止向下運(yùn)動(dòng)了s米.由動(dòng)能定理T2–T1=∑WA

兩邊同時(shí)對(duì)時(shí)間t求導(dǎo)取圓盤(pán),受力及運(yùn)動(dòng)分析如圖mg由對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩定理由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理23例13圖示圓盤(pán)和滑塊的質(zhì)量均為m,圓盤(pán)的半徑為r,且為均質(zhì).桿OA平行于斜面,質(zhì)量不計(jì).斜面的傾角為,圓盤(pán),滑塊與斜面間的摩擦系數(shù)均為f.圓盤(pán)在斜面上只滾不滑.求:滑塊的加速度和OA桿的內(nèi)力.OAs解:設(shè)OA桿沿斜面下行了s距離.O,A點(diǎn)的速度,加速度相等.不妨設(shè)為v,a.

由動(dòng)能定理A取滑塊A分析沿AO方向投影:24

例14.均質(zhì)桿OA=l=2m,質(zhì)量M=10kg.在鉛垂面內(nèi)繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng).已知在圖示鉛垂位置ω0=10rad/s,α=0.求:OA桿由鉛垂位置運(yùn)動(dòng)到水平位置時(shí)桿的角速度、角加速度和O處的約束反力.OA(A)ω0解:由動(dòng)能定理T2–T1=∑WA.AOCOA桿運(yùn)動(dòng)到水平時(shí)受力及運(yùn)動(dòng)分析如圖由對(duì)O點(diǎn)的動(dòng)量矩定理由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理25例15.(綜–12)AOBCs解:設(shè)