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第三章

函數(shù)逼近與FFT計算方法——有理逼近、三角函數(shù)逼近與FFT1本節(jié)內容有理函數(shù)逼近有理逼近與連分式

Pade

逼近三角函數(shù)逼近最佳平方逼近最小二乘

FFT（快速Fourier變換）2有理逼近用有理函數(shù)來做函數(shù)逼近

有理逼近若函數(shù)在某些點附近無界時，則使用有理逼近可能會取得較好的逼近效果3舉例例：Taylor展開連分式ex35.m4Pade

逼近設f(x)的Taylor展開為部分和記為Pade

逼近設f(x)

CN+1(-a,a),N=m+n,

若有理函數(shù)其中Pn(x)與

Qm(x)無公因式，且滿足則稱Rnm(x)為f(x)在

x=0處的(n,m)階Pade

逼近k=0,1,…,N5三角多項式逼近在[0,2]

上帶權(x)=1

的正交三角函數(shù)族：

1，cos

x，sinx，sin2x，cos2x，…三角函數(shù)逼近主要用于周期函數(shù)的數(shù)值逼近三角多項式逼近設f(x)是以2為周期的平方可積函數(shù)，則可利用上面的三角函數(shù)族對其進行數(shù)值逼近。6最佳平方三角逼近

f(x)以2為周期且平方可積，則其在[0,2]

上的最佳平方三角逼近為最佳平方三角逼近(k=0,1,…,n-1

)(k=1,2,…,n-1

)其中當n

趨于無窮大時，Sn(x)即為f(x)的Fourier展開7三角多項式逼近結論若

f’(x)在[0,2]

上分段連續(xù)，則8最小二乘若只給出離散數(shù)據(jù)(

xj,yj

)，其中則可類似地得到f(x)離散Fourier逼近(假定N=2m+1)(k=0,1,…,n-1

)(k=1,2,…,n-1

)其中n<m9三角插值三角插值當n=m

時可以證明故Sn(x)為f(x)在點集x0,x1,,xm

上的三角插值(j=0,1,…,2m)10DFT考慮在[0,2]

上帶權(x)=1

的正交三角函數(shù)族：這里的i

是虛部單位則在處的函數(shù)值為離散正交11DFT則f(x)的最小二乘Fourier逼近為(n

m)(k=0,1,…,n-1

)其中設f(x)以2為周期的復函數(shù)，給定函數(shù)值(xj,yj

)，其中離散Fourier變換當n=N

時，Sn(x)即為f(x)在x0,x1,,xn-1

上的插值函數(shù)(j=0,1,…,N-1

)離散Fourier逆變換12DFT令

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