線形代數(shù)-第一章-矩陣 ppt

第一章矩陣§1.1矩陣的基本概念一.歷史“矩陣

(matrix)”這個(gè)詞首先是英國(guó)數(shù)學(xué)家西爾維斯特使用的.他為了將數(shù)字的矩形陣列區(qū)別于行列式

(determinant)而發(fā)明了這個(gè)述語(yǔ).JamesJosephSylvester(1814.9.3~1897.3.15)

§1.2

§1.3

§1.4

§1.5§1.6§1.7

英國(guó)數(shù)學(xué)家凱萊

被公認(rèn)為是矩陣論的創(chuàng)立者.他首先把矩陣作為一個(gè)獨(dú)立的數(shù)學(xué)概念,并發(fā)表了一系列關(guān)于這個(gè)題目的文章.Arthur

Cayley

(1821.8.16~1895.1.26)

第一章矩陣§1.1矩陣概念例1.某廠家向A,B,C三個(gè)商場(chǎng)發(fā)送四款產(chǎn)品.200180190100120100150160140180150150第一章矩陣§1.1矩陣概念2050302516201616

甲乙丙丁單價(jià)重量二.實(shí)例第一章矩陣§1.1矩陣概念例2.四個(gè)城市間的單向航線如圖所示.1423若用aij表示從i市到j(luò)市航線的條數(shù),則上圖信息可表示為a11

a12

a13

a14

a21

a22

a23

a24

a31

a32

a33

a34

a41

a42

a43

a44即0111100001001010三.定義1.mn矩陣

元素(element/entry)aij(1i

m,1

j

n)a11

a12…a1na21

a22…a2n

…………am1

am2…amn注:今后除非特別說(shuō)明,我們所考慮的矩陣都是實(shí)矩陣.第一章矩陣§1.1矩陣概念元素都是實(shí)數(shù)——實(shí)矩陣(real~)

元素都是復(fù)數(shù)——復(fù)矩陣(complex~)

行(row)列(column)第一章矩陣§1.1矩陣概念3.向量(vector)行向量(columnvector)[a1,a2,…,an]列向量(rowvector)a1a2…an第i分量

(ithcomponent)ai(i=1,…,n)n階方陣:nn矩陣2.方陣(squarematrix)見例2.一個(gè)11的矩陣就是一個(gè)數(shù)

n–維(n–dimensional)

（行矩陣）（列矩陣）第一章矩陣§1.1矩陣概念4.同型(same-sized):行數(shù)相等,列數(shù)也相等.5.兩個(gè)矩陣相等(equal)

205030162016與a

b

c123同型205030162016

與不同型201650203016A=[aij]mn與B=[bij]mn相等:對(duì)1im,1jn,aij

=bij都成立，記為A=B.大前提:同型

第一章矩陣§1.1矩陣概念四.幾種特殊的矩陣

1.對(duì)稱矩陣(symmetricmatrix)則稱A為對(duì)稱矩陣.若矩陣A=[aij]mn滿足:122110

1

0

x

31

30m=n且aij=aji(i,j=1,2,…,n)第一章矩陣§1.1矩陣概念2.對(duì)角矩陣(diagonalmatrix)主對(duì)角線.對(duì)角矩陣

diag[1,2,…,n].a11

a12…a1n

a21

a22…a2n

an1

an2…ann

…………(leading/main/principaldiagonal)10…002…000…n…………簡(jiǎn)記為第一章矩陣§1.1矩陣概念3.數(shù)量矩陣/純量矩陣(scalarmatrix)diag[k,k,…,k]——數(shù)量矩陣/純量矩陣.4.單位矩陣(identitymatrix)稱為n階單位矩陣.

2000200023003例如:En=10…001…000…1nn……

……第一章矩陣§1.1矩陣概念5.反對(duì)稱矩陣則稱A為反對(duì)稱矩陣(antisymmetricmatrix/若矩陣A=[aij]mn滿足:022

001

1103

1

30m=n且aij=aji(i,j=1,2,…,n),skew–symmetricmatrix).第一章矩陣§1.1矩陣概念6.零矩陣(zeromatrix)有時(shí),加下標(biāo)指明其階數(shù)或行數(shù)與列數(shù).通常用O表示零矩陣.0000000000000000000例如,上述零矩陣分別可以記為:O2,O23,O3.零矩陣——元素全為零.第一章矩陣§1.2矩陣的基本運(yùn)算§1.2矩陣的基本運(yùn)算一.矩陣的線性運(yùn)算1.加法(additionofmatrices)產(chǎn)品發(fā)到各商場(chǎng)的數(shù)量ABC甲200180190乙100120100第一次產(chǎn)品發(fā)到各商場(chǎng)的數(shù)量ABC甲220185200乙105120110第二次產(chǎn)品發(fā)到各商場(chǎng)的數(shù)量ABC甲乙兩次累計(jì):420例3.第一章矩陣§1.2矩陣的基本運(yùn)算§1.2矩陣的基本運(yùn)算一.矩陣的線性運(yùn)算1.加法(additionofmatrices)產(chǎn)品發(fā)到各商場(chǎng)的數(shù)量ABC甲200180190乙100120100第一次產(chǎn)品發(fā)到各商場(chǎng)的數(shù)量ABC甲220185200乙105120110第二次產(chǎn)品發(fā)到各商場(chǎng)的數(shù)量ABC甲乙兩次累計(jì):420365例3.第一章矩陣§1.2矩陣的基本運(yùn)算§1.2矩陣的基本運(yùn)算一.矩陣的線性運(yùn)算1.加法(additionofmatrices)產(chǎn)品發(fā)到各商場(chǎng)的數(shù)量ABC甲200180190乙100120100第一次產(chǎn)品發(fā)到各商場(chǎng)的數(shù)量ABC甲220185200乙105120110第二次產(chǎn)品發(fā)到各商場(chǎng)的數(shù)量ABC甲乙兩次累計(jì):420365390例3.第一章矩陣§1.2矩陣的基本運(yùn)算§1.2矩陣的基本運(yùn)算一.矩陣的線性運(yùn)算1.加法(additionofmatrices)產(chǎn)品發(fā)到各商場(chǎng)的數(shù)量ABC甲200180190乙100120100第一次產(chǎn)品發(fā)到各商場(chǎng)的數(shù)量ABC甲220185200乙105120110第二次產(chǎn)品發(fā)到各商場(chǎng)的數(shù)量ABC甲乙兩次累計(jì):420365390205例3.第一章矩陣§1.2矩陣的基本運(yùn)算§1.2矩陣的基本運(yùn)算一.矩陣的線性運(yùn)算1.加法(additionofmatrices)產(chǎn)品發(fā)到各商場(chǎng)的數(shù)量ABC甲200180190乙100120100第一次產(chǎn)品發(fā)到各商場(chǎng)的數(shù)量ABC甲220185200乙105120110第二次產(chǎn)品發(fā)到各商場(chǎng)的數(shù)量ABC甲乙兩次累計(jì):420365390205240例3.第一章矩陣§1.2矩陣的基本運(yùn)算§1.2矩陣的基本運(yùn)算一.矩陣的線性運(yùn)算1.加法(additionofmatrices)產(chǎn)品發(fā)到各商場(chǎng)的數(shù)量ABC甲200180190乙100120100第一次產(chǎn)品發(fā)到各商場(chǎng)的數(shù)量ABC甲220185200乙105120110第二次產(chǎn)品發(fā)到各商場(chǎng)的數(shù)量ABC甲乙兩次累計(jì):420365390205240210例3.第一章矩陣§1.2矩陣的基本運(yùn)算§1.2矩陣的基本運(yùn)算一.矩陣的線性運(yùn)算1.加法(additionofmatrices)420365390205240210A+B=200180190100120100A=(1)大前提:同類型

(2)具體操作:對(duì)應(yīng)元素相加

第一章矩陣§1.2矩陣的基本運(yùn)算§1.2矩陣的基本運(yùn)算一.矩陣的線性運(yùn)算1.加法(additionofmatrices)A=[aij]mn與B=[bij]mn的和(sum):C=[cij]mn=[aij+bij]mn.注:

①

設(shè)矩陣A=(aij)mn,記A=(aij)mn

,——A的負(fù)矩陣(additiveinverseof

A).②設(shè)A,B是同型矩陣,則它們的差

(subtraction)定義為A+(B).記為AB.

即A

B=A+(B).記為C=A+B第一章矩陣§1.2矩陣的基本運(yùn)算2.數(shù)乘(scalarmultiplication)設(shè)矩陣A=(aij)mn,數(shù)k與A的乘積定義為

(kaij)mn,記為kA或Ak.注:

矩陣的線性運(yùn)算(linearoperation)即kA=Ak=ka11

ka12…ka1nka21

ka22…ka2n

…………kam1

kam2…kamn加法數(shù)乘第一章矩陣§1.2矩陣的基本運(yùn)算3.性質(zhì)設(shè)A,B,C,O是同型矩陣,k,l是數(shù),則(1)A+B=B+A,(2)(A+B)+C=A+(B+C),(3)A+O=A,(4)A+(A)=O,(5)1A=A,(6)k(lA)=(kl)A,(7)(k+l)A=kA+lA,(8)k(A+B)=kA+kB.練習(xí)：1.設(shè)

(1)

問(wèn)三個(gè)矩陣中哪些能進(jìn)行加法運(yùn)算,并求其和,哪些不能進(jìn)行加法運(yùn)算,說(shuō)明原因;(2)

求C

的負(fù)矩陣.§1.2矩陣的基本運(yùn)算第一章矩陣

2.設(shè)且求矩陣X.§1.2矩陣的基本運(yùn)算第一章矩陣二.矩陣的乘積(matrix-multiplicativeproduct)

例4.某廠家向A,B,C三個(gè)代理商發(fā)送四款產(chǎn)品.A=2050302516201616

B=20018019010012010015016014018015015020200+50100+30150+251801800018150167501048010240968018000第一章矩陣§1.2矩陣的基本運(yùn)算第一章矩陣§1.2矩陣的基本運(yùn)算例5.四個(gè)城市間的單向航線如圖所示.

若aij表示從i市直達(dá)j市航線的條數(shù),

則右圖可用矩陣表示為1423A=(aij)=0111100001001010從i市經(jīng)一次中轉(zhuǎn)到達(dá)j市航線的條數(shù)=?乘法原理加法原理④①②③①①a11

a11

a12

a21

a13

a31

a41

a14

a11a11

a12a21

a13a31

a14a41

b11=.+++1423第一章矩陣§1.2矩陣的基本運(yùn)算乘法原理加法原理④①②③②③a21

a13

a22

a23

a33

a23

a24

a43

a21a13

a22a23

a23a33

a24a43

b23=.+++1423第一章矩陣§1.2矩陣的基本運(yùn)算第一章矩陣§1.2矩陣的基本運(yùn)算例5.四個(gè)城市間的單向航線如圖所示.

若aij表示從i市直達(dá)j市航線的條數(shù),

則右圖可用矩陣表示為1423A=(aij)=0111100001001010B=(bij)=21100111100002111234ijbij=ai1a1j+ai2a2j+ai3a3j+ai4a4j.從i市經(jīng)一次中轉(zhuǎn)到達(dá)j市航線的條數(shù)=?第一章矩陣§1.2矩陣的基本運(yùn)算1.定義A=(aij)ms與B=(bij)sn的乘積(product)

是一個(gè)mn矩陣C=(cij)mn,其中cij=ai1b1j+ai2b2j+…+aisbsj=aikbkj.k=1s記為C=AB.稱AB為“以A左乘B”或“以B右乘A”.=a11

a12

a13a21

a22

a23b11

b12

b21

b22b31

b32如

a11b11+a12b21+a13b31

a11b12+a12b22+a13b32

a21b11+a22b21+a23b31

a21b12+a22b22+a23b32

練習(xí)

已知求AB.§1.2矩陣的基本運(yùn)算第一章矩陣第一章矩陣§1.2矩陣的基本運(yùn)算2.矩陣乘積的特殊性

(1)只有當(dāng)矩陣A的列數(shù)等于矩陣B的行數(shù)時(shí),

乘積AB才有意義.(2)若A是一個(gè)mn矩陣,與B是一個(gè)nm矩陣,

則AB和BA都有意義.但AB是一個(gè)m階方

陣,BA是一個(gè)n階方陣.當(dāng)mn時(shí),AB與

BA談不上相等不相等.

即使m=n,AB與BA是同階方陣也未必相.

例如:第一章矩陣§1.2矩陣的基本運(yùn)算

112224

1

21001

112224

1

21001=0

000336112224=

1122

1

212=0

000

1122

1

212=3

33

3第一章矩陣§1.2矩陣的基本運(yùn)算

(3)兩個(gè)非零矩陣的乘積可能是零矩陣.如(4)矩陣的乘法不滿足消去律,即如果AB=CB,

B0,不一定能推出

A=C.

但AC.第一章矩陣§1.2矩陣的基本運(yùn)算設(shè)k是數(shù),矩陣A,B,C使以下各式中一端有意義,則另一端也有意義并且等式成立:(1)(AB)C=A(BC),(2)A(B+C)=AB+AC,(A+B)C=AC+BC,(3)(kA)B=k(AB).3.性質(zhì)4.方陣A的正整數(shù)冪(power)A1=A,A2=AA,…,Ak+1=AkA.第一章矩陣§1.2矩陣的基本運(yùn)算AkAl=Ak+l,(Ak)l=Akl

(AB)k=AkBk

但即使A與B是同階方陣,也未必成立!注:①

若AB=BA,則(AB)k=AkBk.②

A=0

100,B=1

000,AB=0

000,BA=0

100,AB

BA,但(AB)k=AkBk成立.容易驗(yàn)證第一章矩陣§1.2矩陣的基本運(yùn)算(AB)k=AkBk

③

要說(shuō)明即使A與B是同階方陣,也未必成立,只要舉出一個(gè)反例即可.例如A=1

100,B=1

010,AB=2

000,A2=1

100=A,當(dāng)然這里AB

BAB2=1

010=B,(AB)2=4

000,A2B2=AB=2

000,=1

111.第一章矩陣§1.2矩陣的基本運(yùn)算

結(jié)合律的妙用之一設(shè)A=BC,其中B=,C=[123],123(還有“妙用之二”喔~~~!)

A100=?123246369則A=,CB=[1

2

3]1

2

3

=11+22+33

=14.A100=(BC)(BC)(BC)…(BC)(BC)(BC)=B(CB)(BC)C…B(CB)(CB)C

練習(xí)：設(shè)計(jì)算A2,A3,An(n>3).第一章矩陣§1.2矩陣的基本運(yùn)算第一章矩陣§1.2矩陣的基本運(yùn)算三.矩陣的轉(zhuǎn)置

1.定義:A=a11

a12…a1na21

a22…a2n

…………am1

am2…amn

AT=的轉(zhuǎn)置(transpose)a11

a12

a1n

…a21

a22

a2n

………

…am1

am2

amn

…第一章矩陣§1.2矩陣的基本運(yùn)算矩陣的轉(zhuǎn)置運(yùn)算滿足如下性質(zhì)(1)(AT)T=A,(2)(A+B)T=AT+BT,(3)(kA)T=kAT,(4)(AB)T=BTAT.2.性質(zhì)注:①

A是對(duì)稱矩陣AT=A;②

A是反對(duì)稱矩陣AT=A;(A+AT)T=A+AT,(AAT)T=(AAT),③

A是方陣…?

練習(xí)

1.已知求(AB)T

.§1.2矩陣的基本運(yùn)算第一章矩陣2.

設(shè)A

為n×1矩陣,且ATA=1,En

為n階單位矩陣,B=En-2AAT,證明:B

為對(duì)稱矩陣,且B2=En.第一章矩陣§1.2矩陣的基本運(yùn)算第一章矩陣§1.2矩陣的基本運(yùn)算四.方陣的多項(xiàng)式

A——方陣

——方陣A的多項(xiàng)式(polynomial).f(x)=asxs+as1xs1+…+a1x+a0

f(A)=asAs+as1As1+…+a1A+a0E

f(x)——多項(xiàng)式注意!!!

1.定義從而A

的幾個(gè)多項(xiàng)式可以像數(shù)x

的多項(xiàng)式一樣相乘或分解因式.例如(E+A)(2E–A)=2E+A–A2,(E–A)3=E–3A+3A2–A3.因?yàn)榫仃嘇k、Al和E

都是可交換的，所以矩陣A

的兩個(gè)多項(xiàng)式(A)和f(A)總是可交換的，即總有(A)f(A)=f(A)(A)，2.性質(zhì)第一章矩陣§1.2矩陣的基本運(yùn)算3.計(jì)算方法如果

=diag(1,2,…,n)為對(duì)角矩陣,則，k=diag(1k

,2k

,…,nk)，從而第一章矩陣§1.2矩陣的基本運(yùn)算()=a0E+a1+…+am

m

第一章矩陣§1.2矩陣的基本運(yùn)算第一章矩陣§1.3分塊矩陣一.基本概念1001201045001763210065400§1.3分塊矩陣1001201045001763210065400=E3

BC

O2分塊矩陣(partitionedmatrix)對(duì)于行數(shù)和列數(shù)較高的矩陣A,運(yùn)算時(shí)常采用分塊法,使大矩陣的運(yùn)算化成小矩陣的運(yùn)算.我們將矩陣A用若干條縱線和橫線分成許多個(gè)小矩陣,每一個(gè)小矩陣稱為A

的子塊,以子塊為元素的形式上的矩陣稱為分塊矩陣.分塊矩陣的定義第一章矩陣§1.3分塊矩陣第一章矩陣§1.3分塊矩陣A=[A1,A2,…,An].二.常用的分塊法1.A=a11

a21

am1

a12

a22

am2

……

…a1n

a2n

amn

…………,A1=,a11

a21

am1

…An=,a1n

a2n

amn

…A2=,a12

a22

am2

…第一章矩陣§1.3分塊矩陣1

=[a11,

a12,…,

a1n],1

2…mA=.2.a11

a12…a1n

a21

a22…a2n

…………

am1

am2…amn

A=2

=[a21,

a22,

…,

a2n],m

=[am1,

am2,

…,

amn],…第一章矩陣§1.3分塊矩陣A=A1

O…OO

A2…O

…………O

O…As,稱為分塊對(duì)角矩陣(或準(zhǔn)對(duì)角矩陣),其中A1,A2,…,As都是方陣.2.分塊對(duì)角矩陣(semi-diagonalmatrix)例如2100002100002000001200034.第一章矩陣§1.3分塊矩陣三.基本運(yùn)算分塊加法A=A11

A12…A1rA21

A22…A2r

…………As1

As2…Asr,B=B11

B12…B1rB21

B22…B2r

…………Bs1

Bs2…Bsr,A11+B11

A12+B12…A1r+B1r

A21+B21

A22+B22…A2r+B2r

…………As1+Bs1

As2+Bs2…Asr

+Bsr

.A+B=設(shè)矩陣A=A11

A12…A1rA21

A22…A2r

…………As1

As2…Asr,為常數(shù).A11

A12…A1r

A21

A22…A2r

…………As1

As2…Asr.則A=2.分塊數(shù)乘第一章矩陣§1.3分塊矩陣3.分塊乘法設(shè)A為ml矩陣,B為l

n矩陣,將它們分塊如下A=A11

A12…A1tA21

A22…A2t

…………As1

As2…Ast,B=B11

B12…B1rB21

B22…B2r

…………Bt1

Bt2…Btr,其中Ai1,Ai2,…,Ait的列數(shù)分別與B1j,B2j,…,Btj的行數(shù)相等.(i=1,2,…,s;j=1,2,…,r.)C11

C12…C1rC21

C22…C2r

…………Cs1

Cs2…Csr,其中Cij=AikBkj,則AB=k=1t第一章矩陣§1.3分塊矩陣

10

1012011041112

0B=,求AB.

10

00010012101101例6.設(shè)A=,解:A=,E

OA1

EB=,B11EB21

B22其中E=,10011211A1=,

1012B11=,

10

11B21=,412

0B22=.于是AB=E

OA1

EB11EB21

B22,B11

EA1B11+B21

A1+B22

=第一章矩陣§1.3分塊矩陣于是AB=E

OA1

EB11EB21

B22B11

EA1B11+B21

A1+B22

=,而A1B11=1211

10123402=,A1B11+B21=3402

10

11+A1+B22=1211412

0+2411=,333

1=.B11

EA1B11+B21

A1+B22

從而AB==.

10

1012012

4331

13

1第一章矩陣§1.3分塊矩陣設(shè)矩陣A=A11

A12…A1r

A21

A22…A2r

…………As1

As2…Asr,A11T

A21T…As1T

A12T

A22T…As2T

…………A1rT

A2rT…AsrT.則AT=4.分塊轉(zhuǎn)置第一章矩陣§1.3分塊矩陣?yán)鏠=[q1,q2,…,qn],

第一章矩陣§1.3分塊矩陣…,其中q1=,q11

q21

qn1

…qn=,q1n

q2n

qnn

…q2=,q12

q22

qn2

…QT=,q1T

q2T

qnT

…

QTQ=q1T

q2T

qnT

…

[q1,q2,…,qn].=第一章矩陣§1.3分塊矩陣QTQ=q1T

q2T

qnT

…

[q1,q2,…,qn]………q1Tq1q1Tq2

q1Tqn

…q2Tq1q2Tq2

q2Tqn

…qnTq1qnTq2

qnTqn

…以對(duì)角矩陣m左乘矩陣Am

n時(shí)，把A

按行分塊，有以對(duì)角矩陣m左乘A

的結(jié)果是A

的每一行乘以中與該行對(duì)應(yīng)的對(duì)角元.第一章矩陣§1.3分塊矩陣以對(duì)角矩陣n左乘矩陣Am

n時(shí)，把A

按列分塊，有以對(duì)角矩陣n右乘A

的結(jié)果是A

的每一列乘以中與該列對(duì)應(yīng)的對(duì)角元.§1.3分塊矩陣第一章矩陣?yán)?/p>

證明矩陣A=O

的充分必要條件是方陣ATA=O.§1.3分塊矩陣第一章矩陣第一章矩陣§1.4初等變換與初等矩陣§1.4初等變換與初等矩陣2x1

3x2+4x3

=4

x1+2x2

x3=32x1+2x2

6x3=2一.初等變換公元前1世紀(jì),《九章算術(shù)》初等變換,相當(dāng)于高斯消元法

第一章矩陣§1.4初等變換與初等矩陣2x13x2+4x3=4

x1+2x2

x3=32x1+2x2

6x3=2x1+2x2x3=

32x13x2+4x3=4

x1+x23x3=1x1+2x2

x3=3x2+2x3=

2

x22x3=22(1)x1+2x2x3=3x2+2x3=

2

0=01/212

34

4121

32262輕裝上陣

121

32

34

411311/2121

30

12

201

222(1)121

3012200001第一章矩陣§1.4初等變換與初等矩陣x1+2x2x3=3x2+2x3=

2

0=0(2)121

301220000x1

5x3=1x2+2x3=

2

0=0(2)10

5

101220000x1=5c+1x2=2c2

x3=c其中c為任意實(shí)數(shù).100

0

01220000(2)2105

101220000(1)5100

0

010

0

0000Gauss-Jordanreduction(第j行的k倍加到第

i

行上,記作ri+krj).

1.初等變換的定義定義

下面三種變換稱為矩陣的初等行變換:(i)

對(duì)調(diào)兩行(對(duì)調(diào)i,j

兩行,記作ri

rj

);(ii)

以數(shù)

k

0乘以某一行中的所有元素

(第

i

行乘以

k,記作

rik);(iii)

把某一行所有元素的

k倍加到另一行對(duì)應(yīng)的元素上去第一章矩陣§1.4初等變換與初等矩陣把定義中的“行”換成“列”,即得矩陣的初等列變換的定義.矩陣的初等行變換與初等列變換,統(tǒng)稱初等變換.第一章矩陣§1.4初等變換與初等矩陣第一章矩陣§1.4初等變換與初等矩陣1.初等行變換(elementaryrowoperations)初等列變換(elementarycolumnoperations)

(1)對(duì)換變換:ri

rj,(2)倍乘變換:ri

k,(3)倍加變換:ri+krj.初等變換

(1)對(duì)換變換:ci

cj,(2)倍乘變換:ci

k,(3)倍加變換:ci+kcj.初等行變換初等列變換第一章矩陣§1.4初等變換與初等矩陣若矩陣A經(jīng)過(guò)有限次初等變換化為B,則稱A與B等價(jià)(equivalent).記為A

B.(1)反身性(reflexivity)A

A,容易驗(yàn)證矩陣之間的等價(jià)關(guān)系具有如下性質(zhì):(2)對(duì)稱性(symmetry)A

B

BA,(3)傳遞性(transitivity)A

B,BC

A

C.第一章矩陣§1.4初等變換與初等矩陣2.行階梯形矩陣與行最簡(jiǎn)形矩陣行階梯形(rowechelonform)

t1<t2<…<tr.一個(gè)非零元素所在的列號(hào)為ti,i=1,2,…,r,則

(2)

設(shè)矩陣有r

個(gè)非零行,第i個(gè)非零行的第零行(元素全為零的行)的標(biāo)號(hào);

(1)

非零行(元素不全為零的行)的標(biāo)號(hào)小于行階梯形矩陣:定義

滿足下面兩個(gè)條件的矩陣稱為第一章矩陣§1.4初等變換與初等矩陣2.行階梯形矩陣與行最簡(jiǎn)形矩陣A中非零行的數(shù)目為A的階梯數(shù).1100401022000230000411204013220002300000,行階梯形(rowechelonform)

注意不是階梯形矩陣!11004010220202300004

例如

行階梯形矩陣的特點(diǎn):階梯線下方的元素全為零;每個(gè)臺(tái)階只有一行,臺(tái)階數(shù)即是非零行的行數(shù),階梯線的豎線(每段豎線的長(zhǎng)度為一行)后面的第一個(gè)元素為非零元,也就是非零行的第一個(gè)非零元.§1.4初等變換與初等矩陣第一章矩陣第一章矩陣§1.4初等變換與初等矩陣則稱A為行最簡(jiǎn)形(reducedrowechelonform).如果階梯陣A還滿足如下條件各非零首元全為1,非零行首元所在列的其余元素全為0,1

0

201013020001000000注:用數(shù)學(xué)歸納法可以證明:任何一個(gè)矩陣都可以經(jīng)過(guò)有限次初等行變換化為行最簡(jiǎn)形矩陣.例如第一章矩陣§1.4初等變換與初等矩陣3.若mn矩陣A經(jīng)過(guò)有限次初等變換化為

Er

Or(nr)O(mr)r

O(mr)(nr)的形式,為A的(等價(jià))標(biāo)準(zhǔn)形

則稱注:用數(shù)學(xué)歸納法可以證明:任何一個(gè)矩陣都可以經(jīng)過(guò)有限次初等變換化為標(biāo)準(zhǔn)形.(canonicalform).矩陣的行階梯形、行最簡(jiǎn)形、標(biāo)準(zhǔn)形

我們以下面的矩陣B

為例.

矩陣B

的行階梯形、行最簡(jiǎn)形、標(biāo)準(zhǔn)形分別如下：的比較第一章矩陣§1.4初等變換與初等矩陣

行階梯形矩陣

其特點(diǎn)是：階梯線以下的元素全是０，臺(tái)階數(shù)即為非零行數(shù),豎線后面的第一個(gè)元素為非零元.

行最簡(jiǎn)形矩陣

其特點(diǎn)是：非零行的第一個(gè)非零元為１，且這些非零元所在的列的其它元素都為０.

標(biāo)準(zhǔn)形矩陣

其特點(diǎn)是：左上角為一單位矩陣,其它位置上的元素全都為0.第一章矩陣§1.4初等變換與初等矩陣?yán)缥ㄒ?不!█

10行最簡(jiǎn)形第一章矩陣§1.4初等變換與初等矩陣又如，第一章矩陣§1.4初等變換與初等矩陣

從上面的例子可見,任何矩陣經(jīng)單純的初等行一個(gè)屬性,即矩陣的秩的概念.一個(gè)矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形是唯一的,這反映了矩陣的另形矩陣的方法不是唯一的,所得結(jié)果也不唯一.但換,則一定能化成標(biāo)準(zhǔn)形矩陣.將矩陣化為行階梯不一定能化成標(biāo)準(zhǔn)形矩陣,如果再使用初等列變變換必能化為行階梯形矩陣和行最簡(jiǎn)形矩陣,但第一章矩陣§1.4初等變換與初等矩陣第一章矩陣§1.4初等變換與初等矩陣二.初等矩陣(elementaryreductionmatrices)Eci

cj

E(i,j)Ecik

E(i(k))Eci+kcj

E(j,i(k))Eri

rj

E(i,j)(1)Erik

E(i(k))(2)Eri+krj

E(i,j(k))(3)一次初等變換1.單位矩陣初等矩陣

第一章矩陣§1.4初等變換與初等矩陣E(i,j)=第i行110………11………01111………………第j行第i列第j列第一章矩陣§1.4初等變換與初等矩陣E(i(k))

=第i行1k

11第i列1第一章矩陣§1.4初等變換與初等矩陣E(i,j(k))

=第i行1……k1

1……第j行第i列第j列1第一章矩陣§1.4初等變換與初等矩陣010100001abcxyz123,=xyzabc123010100001a

x

1b

y

2c

z3,=x

a

1y

b

2z

c31k0010001abcxyz123,=a+kx

b+ky

c+kzxyz1231k0010001a

x

1b

y

2c

z3.=a

ak+x

1b

bk+y

2c

ck+z310001000kabcxyz123,=a

bcx

yzk

2k

3k10001000ka

x

1b

y

2c

z3,=a

x

kb

y

2kc

z

3k第一章矩陣§1.4初等變換與初等矩陣2.初等矩陣的性質(zhì)定理1.1.對(duì)mn矩陣A進(jìn)行一次初等行變換相當(dāng)于在A的左邊乘以相應(yīng)的初等矩陣;對(duì)A施行一次初等列變換相當(dāng)于在A的右邊乘以相應(yīng)的初等矩陣.第一章矩陣§1.4初等變換與初等矩陣定理1.2.mn矩陣A,m階初等矩陣

P1,P2,…,Ps

s.t.P1P2…PsA為行最簡(jiǎn)形.例如,0

122422420

121/21210

12(2)1050

12A=A

0

110=A

0

1101/2

001A0

1101/2

001=1

201第一章矩陣§1.4初等變換與初等矩陣定理1.3.mn矩陣A,m階初等矩陣P1,P2,…,Ps

及m階初等矩陣Q1,Q2,…,Qt

s.t.P1P2…PsAQ1Q2…Qt

=E,mn

(r)其中r為一個(gè)不超過(guò)min{m,n}的非負(fù)整數(shù).定理1.6

第一章矩陣§1.4初等變換與初等矩陣?yán)?0

122421000

121050

12A=A0

1101/2

001=1

201初等行變換5(2)1

05010

001A0

1101/2

0011

2011000

101

05010

001A0

1101/2

0011

2011

00012

001第一章矩陣§1.5方陣的逆矩陣§1.5方陣的逆矩陣一.逆矩陣的概念數(shù)(一階方陣)n階方陣事實(shí)

應(yīng)用

1a=a1=a,aEA=AE=A,Aa

0b

s.t.ab=ba=1A

滿足

?

B

s.t.AB=BA=Eba

=1,ax=c

=bc

x=1x=bax

ab

=1,xa=c

=cb

x=x1

=xab

BA=E,AX=C

=BC

X=EX=BAX

AB=E,XA=C

=CB

X=XE

=XAB

第一章矩陣§1.5方陣的逆矩陣注:A的逆矩陣記為A1.定理1.4.A可逆A的逆矩陣唯一.1.定義:設(shè)A為方陣,若存在方陣B,使得AB=BA=E,則稱A可逆(invertible),并稱B為A的逆矩陣(inversematrix).2.逆矩陣的唯一性若AB

=BA=E,AC

=CA=E,則B

=BE=B(AC)=(BA)C

=EC

=C.現(xiàn)在的問(wèn)題是，矩陣A滿足什么條件時(shí)可逆？可逆方陣的逆陣是否唯一，如何求逆陣？可逆矩陣有什么性質(zhì)？這是本節(jié)要討論的問(wèn)題．第一章矩陣§1.5方陣的逆矩陣第一章矩陣3.逆矩陣的運(yùn)算性質(zhì)設(shè)A,B為同階可逆方陣,數(shù)k

0.則

(1)(A1)1=A.(2)(AT)1=(A1)T.(3)(kA)1=k1A1.(4)(AB)1=B1A1.要證明(4),只要驗(yàn)算①(B1A1)(AB)=E,

§1.5方陣的逆矩陣②(AB)(B1A1)=E

即可.

(5)(Am)-1=(A-1)m,m

為正整數(shù).第一章矩陣二.初等矩陣與可逆矩陣1.初等矩陣的可逆性(1)

E(i,j)1=E(i,j),§1.5方陣的逆矩陣(2)E(i(k))1=E(i(k1)),(3)E(i,j(k))1=E(i,j(k)).例如3階初等矩陣E(1,3(5))=1

05

010

001,E(1,3(5))=1

05

010

001,1

05

010

0011

05

010

001.=1

00010

001重大發(fā)現(xiàn)

初等矩陣的逆矩陣仍為初等矩陣第一章矩陣2.可逆矩陣的分解§1.5方陣的逆矩陣*

*

*

*

*

*

0

0

0

=

.1

00010

001

*

***

*

*

****

*

*

*

*

*

000

可逆矩陣中不會(huì)有零行.(2)A(1)初等行變換A可逆U可逆行最簡(jiǎn)形U

=P1P2…PsA

U中不會(huì)有零行

=E

U=1

0…001…0

00…1

…………=P1P2…PsA

A

=Ps1…P21P11

為初等矩陣的乘積.兩邊同時(shí)左乘(Ps1…P21P11)第一章矩陣3.矩陣的標(biāo)準(zhǔn)分解定理1.6.設(shè)A是mn矩陣,則存在m階可逆矩陣P和n階可逆矩陣Q使得

A=PQ.三.用初等變換求逆矩陣依據(jù)之一:可逆矩陣的行最簡(jiǎn)形為E.

依據(jù)之二:初等變換與初等矩陣間的聯(lián)系.§1.5方陣的逆矩陣定理1.5.A可逆A可寫成初等矩陣的乘積.(回憶定理1.3)第一章矩陣設(shè)A可逆,則A可以經(jīng)過(guò)有限次初等行變換化為行最簡(jiǎn)形——單位矩陣E.A…E

(A

E)…(E

?)P1(A

E)P2P1(A

E)Pl-1…P2P1(A

E)PlPl-1…P2P1(A

E)P1AP2P1APl-1…P2P1APlPl-1…P2P1A(PlPl-1…P2P1A,PlPl-1…P2P1)?=A1§1.5方陣的逆矩陣第一章矩陣§1.5方陣的逆矩陣?yán)?.設(shè)A=,求A1.123100221010343001解:初等行變換1001320103/235/2001111故A1=

1323/235/2

111.123221343解過(guò)程§1.5方陣的逆矩陣第一章矩陣第一章矩陣§1.5方陣的逆矩陣第一章矩陣§1.5方陣的逆矩陣四.用初等變換解矩陣方程設(shè)A可逆,則A可以經(jīng)過(guò)有限次初等行變換化為行最簡(jiǎn)形——單位矩陣E.下面用初等變換解矩陣方程AX=B.注意到X=A1B.(A

B)…(E

?)P1(A

B)P2P1(A

B)Pl-1…P2P1(A

B)PlPl-1…P2P1(A

B)(PlPl-1…P2P1A,PlPl-1…P2P1B)?=A1B=X第一章矩陣§1.5方陣的逆矩陣123252213134343解:初等行變換100320102300113故X