第五章 控制系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性分析

第五章控制系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性分析5.1李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性5.2李雅普諾夫穩(wěn)定性理論

5.3線性系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性分析

一個(gè)控制系統(tǒng)要能夠正常工作首要條件是保證系統(tǒng)是穩(wěn)定的。因此，控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析是系統(tǒng)分析的首要任務(wù)。在經(jīng)典控制理論中，已經(jīng)提出了若干關(guān)于系統(tǒng)穩(wěn)定性的判別方法，如勞斯判據(jù)、奈奎斯特判據(jù)和對(duì)數(shù)判據(jù)等。但這些判別方法只適用于線性定常系統(tǒng)，對(duì)于非線性系統(tǒng)和時(shí)變系統(tǒng)，上述判別方法不適用。

5.1李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性

穩(wěn)定性指的是系統(tǒng)在平衡狀態(tài)下受到擾動(dòng)后，系統(tǒng)自由運(yùn)動(dòng)的性質(zhì)。穩(wěn)定性是系統(tǒng)本身的一種動(dòng)態(tài)屬性，和外部輸入無(wú)關(guān)。所以系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：其中，x為n維狀態(tài)向量，f(x,t)為n維向量函數(shù)。一、平衡狀態(tài)：意義：當(dāng)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)到xe點(diǎn)時(shí)，系統(tǒng)狀態(tài)各分量將維持平衡，不再隨時(shí)間變化。平衡點(diǎn)：由系統(tǒng)狀態(tài)在狀態(tài)空間中所確定的點(diǎn)求法：1、線性定常系統(tǒng)唯一一個(gè)平衡狀態(tài)，坐標(biāo)原點(diǎn)是唯一平衡點(diǎn)2、非線性系統(tǒng)對(duì)于非線性系統(tǒng)，方程的解可能有多個(gè)，即可能有多個(gè)平衡狀態(tài)。如其平衡狀態(tài)應(yīng)滿(mǎn)足下列方程解得：因此該系統(tǒng)有3個(gè)平衡狀態(tài)：二、范數(shù)的概念范數(shù)：衡量（度量）狀態(tài)空間距離的大小向量x的長(zhǎng)度稱(chēng)為向量x的范數(shù)：n維狀態(tài)空間中，向量x的長(zhǎng)度稱(chēng)為向量x的范數(shù)，用表示，則由范數(shù)的定義可知，向量的范數(shù)可寫(xiě)成通常又將稱(chēng)為與的距離。當(dāng)向量的范數(shù)限定在某一范圍之內(nèi)時(shí)，則記為三、李雅普諾夫穩(wěn)定性定義滿(mǎn)足出發(fā)的解時(shí)，從任意初態(tài)，使當(dāng)總存在另一個(gè)實(shí)數(shù)若任意給定一個(gè)實(shí)數(shù)是穩(wěn)定的。則稱(chēng)系統(tǒng)的平衡狀態(tài)extxtx),,(00x0，ettxx),(03￡-eexx0￡-d,0>etxfx),,(=&)(eS)(dS總不會(huì)超出的任何時(shí)刻在發(fā)出的軌跡，幾何意義：從0tt>定義中對(duì)的大小沒(méi)有具體要求，只要是有限的實(shí)數(shù)就可以。因此，若狀態(tài)解是等幅振蕩的自由運(yùn)動(dòng)，在經(jīng)典理論中是不穩(wěn)定的，而在李雅普諾夫的穩(wěn)定性定義中是穩(wěn)定的。1、一致穩(wěn)定性如果平衡狀態(tài)是穩(wěn)定的，且與無(wú)關(guān)，則稱(chēng)該平衡狀態(tài)是一致穩(wěn)定的。因此，若定常系統(tǒng)的平衡狀態(tài)是穩(wěn)定的，則一定是一致穩(wěn)定的。穩(wěn)定性定義）、漸近穩(wěn)定（經(jīng)典理論2時(shí)，當(dāng)在李氏意義下穩(wěn)定，且￥?tex?exx,=-￥?etxx0lim幾何意義：時(shí)，最終收斂于當(dāng)。ex￥?t發(fā)出的任意一個(gè)解，從Sd()顯然，漸近穩(wěn)定比穩(wěn)定有更強(qiáng)的要求。另外，從上述定義還可以看出，經(jīng)典理論中的穩(wěn)定，就是這里所說(shuō)的漸近穩(wěn)定。3、大范圍（全局）穩(wěn)定性當(dāng)初始條件擴(kuò)展至整個(gè)狀態(tài)空間，且具有穩(wěn)定性時(shí)，稱(chēng)該平衡狀態(tài)是大范圍穩(wěn)定的，或是全局穩(wěn)定的。此時(shí)，對(duì)于線性定常系統(tǒng)，當(dāng)A為非奇異的，系統(tǒng)只有一個(gè)惟一的平衡狀態(tài)。所以若線性定常系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的，則一定是大范圍漸近穩(wěn)定的。而對(duì)于非線性系統(tǒng)，由于系統(tǒng)通常有多個(gè)平衡點(diǎn)，因此非線性系統(tǒng)通常只能在小范圍內(nèi)漸近穩(wěn)定。4、不穩(wěn)定不管取得多么小，只要在內(nèi)有一條從x0出發(fā)點(diǎn)軌跡跨出，則稱(chēng)該平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的。與經(jīng)典控制理論的區(qū)別：平衡點(diǎn)/BIBO；狀態(tài)穩(wěn)定/輸出穩(wěn)定；經(jīng)典控制的穩(wěn)定大致對(duì)應(yīng)于現(xiàn)代控制的漸進(jìn)穩(wěn)定；即便輸出穩(wěn)定，狀態(tài)可能不穩(wěn)定；李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定在經(jīng)典中是不穩(wěn)定的；經(jīng)典控制不需要一致性、全局性概念。5.2

李雅普諾夫穩(wěn)定性理論李雅普諾夫第一法的基本思想是利用狀態(tài)方程解的性質(zhì)來(lái)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。通常又稱(chēng)為間接法。它適用于線性定常系統(tǒng)以及線性時(shí)變系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)可以線性化的情況。一、李雅普諾夫第一方法線性定常系統(tǒng)的特征值判據(jù)：系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的充要條件是A的特征值均具有負(fù)實(shí)部，即：證明：假定A有相異特征值根據(jù)凱萊哈密頓定理：矩陣指數(shù)eAt為的線性組合則狀態(tài)方程的解為：如果只有一個(gè)（或一對(duì)）特征值的實(shí)部等于0，其余特征值實(shí)部均小于0，則系統(tǒng)僅僅可能是李亞普諾夫意義下的穩(wěn)定性。李雅普諾夫第二法的特點(diǎn)是不必求解系統(tǒng)的微分方程式，就可以對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性進(jìn)行分析判別，所以著重介紹李雅普諾夫第二法。二、李雅普諾夫第二方法1.二次型函數(shù)的定義定義:設(shè)x是n維列向量，稱(chēng)標(biāo)量函數(shù)為二次型函數(shù)，P為實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣。f(x,y)=ax2+2bxy+cy2每項(xiàng)二次數(shù)都是二次的。上式是二次型函數(shù)的矩陣表達(dá)式，該式又可以展開(kāi)為2.標(biāo)量函數(shù)的定號(hào)性設(shè)x是狀態(tài)空間中的非零向量，V(x)是向量x的標(biāo)量函數(shù):（1）正定性稱(chēng)為正定的。例如，（2）負(fù)定性例如，例如，（n=2）稱(chēng)為正半定的。例如，（3）正半定（4）負(fù)半定（5）不定性若既可正也可負(fù)，則稱(chēng)為不定的。例如，3.二次型函數(shù)的定號(hào)性判別準(zhǔn)則對(duì)于P為實(shí)數(shù)對(duì)稱(chēng)矩陣的二次型函數(shù)的定號(hào)性，可以用賽爾維斯特準(zhǔn)則來(lái)判定。（1）正定：二次型函數(shù)為正定的充要條件是，P陣的所有各階主子行列式均大于零，即：（2）負(fù)定：二次型函數(shù)為負(fù)定的充要條件是，P陣的各階主子式滿(mǎn)足即（3）正半定：二次型函數(shù)為正半定的充要條件是，P的各階主子式滿(mǎn)足（4）負(fù)半定：二次型函數(shù)為負(fù)半定的充要條件是，P的各階主子式滿(mǎn)足由于二次型函數(shù)和它的二次型矩陣P是一一對(duì)應(yīng)的。這樣，可以把二次型函數(shù)定號(hào)性擴(kuò)展到二次型矩陣P的定號(hào)性。例：已知，試判定是否正定。解：因?yàn)镻陣的各階主子式為所以是正定的。例

證明下列二次型函數(shù)是正定的。解：二次型可以寫(xiě)為,因?yàn)樗?.李雅普諾夫第二法李雅普諾夫第二法又稱(chēng)為直接法，它可以不必求解系統(tǒng)的狀態(tài)方程，而直接判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。1）基本思想李雅普諾夫第二法是從能量的觀點(diǎn)出發(fā)得來(lái)的。任何物理系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)都要消耗能量，并且能量總是大于零的。對(duì)于一個(gè)不受外部作用的系統(tǒng)，如果系統(tǒng)的能量，隨系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)和時(shí)間的增長(zhǎng)而連續(xù)地減小，一直到平衡狀態(tài)為止，則系統(tǒng)的能量將減少到最小，那么這個(gè)系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。但由于系統(tǒng)的形式是多種多樣的，不可能找到一種能量函數(shù)的統(tǒng)一表達(dá)形式。因此，李雅普諾夫引入了一個(gè)虛構(gòu)的能量函數(shù)，稱(chēng)為李雅普諾夫函數(shù)，記為或。由于是表示能量的函數(shù)，所以。這樣就可以根據(jù)的定號(hào)性來(lái)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。顯然，若，并且，則系統(tǒng)就是漸近穩(wěn)定的。例：下圖為一個(gè)簡(jiǎn)單的RC一階電路，試判斷這個(gè)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：選擇狀態(tài)變量為電容器上的電壓，得系統(tǒng)的狀態(tài)方程為現(xiàn)由能量的觀點(diǎn)來(lái)考察這個(gè)系統(tǒng)。由上述狀態(tài)方程可知其狀態(tài)解為電容器儲(chǔ)存的電場(chǎng)能為它隨時(shí)間的變化率是這表明系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)是一個(gè)放電過(guò)程，其能量隨時(shí)間而減少，直到系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)到平衡狀態(tài)，其能量為零，運(yùn)動(dòng)停止在該平衡狀態(tài)。根據(jù)李雅普諾夫關(guān)于穩(wěn)定性定義，可判斷該系統(tǒng)在平衡狀態(tài)處是漸近穩(wěn)定的。2）基本定理設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為其平衡狀態(tài)為。

不恒等于零，即只在某個(gè)時(shí)刻暫時(shí)為零，而其他時(shí)刻均為負(fù)值。這表示能量的衰減不會(huì)終止。穩(wěn)定性判別步驟：

1）求所有平衡點(diǎn)；

2）對(duì)非零平衡點(diǎn)進(jìn)行坐標(biāo)平移；

3）構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)；

4）求導(dǎo)，并用狀態(tài)方程消去狀態(tài)變量的導(dǎo)數(shù)；

5）判斷導(dǎo)數(shù)的定號(hào)性；

6）作出穩(wěn)定性結(jié)論（注意加定語(yǔ)）。李雅普諾夫諸穩(wěn)定性定理所述條件均是充分條件。李雅普諾夫函數(shù)的選擇：一般情況下，不是惟一的。許多情況下，李雅普諾夫函數(shù)可以取為二次型函數(shù)，即的形式，其中陣的元素可以是時(shí)變的，也可以是定常的。但一般情況下，不一定都是這種簡(jiǎn)單的二次型的形式。例1：設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為試確定其平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。解：由平衡點(diǎn)方程得解得惟一的平衡點(diǎn)為，即，為坐標(biāo)原點(diǎn)。選取李雅普諾夫函數(shù)為二次型函數(shù)，即顯然是正定的。的一階全導(dǎo)數(shù)為因此是負(fù)定的。又當(dāng)時(shí)，有，故平衡點(diǎn)是大范圍漸近穩(wěn)定的。因V(x)與t無(wú)關(guān)，系統(tǒng)大范圍一致漸近穩(wěn)定。例2：試判斷下列線性系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。解：原點(diǎn)為系統(tǒng)的平衡狀態(tài)。選二次型函數(shù)作為李雅普諾夫函數(shù)，即（正半定）根據(jù)定理知，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的例3：試判斷下列線性系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。解：由平衡點(diǎn)方程得可知是惟一的一個(gè)平衡狀態(tài)。（正定）則根據(jù)定理知，原點(diǎn)是漸近穩(wěn)定的，而且是大范圍一致漸近穩(wěn)定的。例4：設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為試確定系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。解：由可見(jiàn)，在任意的值上均保持為零。因此，系統(tǒng)在處是李雅普諾夫意義下穩(wěn)定的，而且是一致穩(wěn)定的。原點(diǎn)為系統(tǒng)的平衡狀態(tài)。選李雅普諾夫函數(shù)為下面的二次型函數(shù)，即例5：設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為試確定系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。解：由選李雅普諾夫函數(shù)為下面的二次型函數(shù)，即負(fù)半定新系統(tǒng)原點(diǎn)是大范圍一致漸進(jìn)穩(wěn)定的，故原系統(tǒng)在（1，1）處是大范圍一致漸進(jìn)穩(wěn)定的注意：不能用李雅普諾夫函數(shù)直接去判斷非原點(diǎn)的平衡狀態(tài)穩(wěn)定性。例6：試判斷下列非線性系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。解：令利用李雅普諾夫第二法判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性，關(guān)鍵是如何構(gòu)造一個(gè)滿(mǎn)足條件的李雅普諾夫函數(shù)，而李雅普諾夫第二法本身并沒(méi)有提供構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)的一般方法。所以，盡管李雅普諾夫第二法在原理上是簡(jiǎn)單的，但實(shí)際應(yīng)用并不是一件易事。尤其對(duì)復(fù)雜系統(tǒng)更是如此，需要有相當(dāng)?shù)慕?jīng)驗(yàn)和技巧。不過(guò)，對(duì)于線性系統(tǒng)和某些非線性系統(tǒng)，已經(jīng)找到了一些可行的方法來(lái)構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)。5.3線性系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性分析針對(duì)常見(jiàn)的線性系統(tǒng)，從上述李雅普諾夫第二法中的基本定理出發(fā)，人們進(jìn)一步找到了線性系統(tǒng)構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)的方法以及判斷系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的充要條件，從而使線性系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的判別變得非常簡(jiǎn)單。定理：線性定常系統(tǒng)式中，是n維狀態(tài)向量；A是常數(shù)陣，且是非奇異的。在平衡狀態(tài)處，漸近穩(wěn)定的充要條件是：對(duì)任意給定的一個(gè)正定對(duì)稱(chēng)矩陣Q，存在一個(gè)正定對(duì)稱(chēng)矩陣P，且滿(mǎn)足矩陣方程而標(biāo)量函數(shù)是這個(gè)系統(tǒng)的一個(gè)二次型形式的李雅普諾夫函數(shù)。一、線性定常連續(xù)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的判別方法如果

則大范圍漸近穩(wěn)定。在應(yīng)用上述定理時(shí)，應(yīng)注意下面幾點(diǎn)：然后檢驗(yàn)P是不是正定的。（1）如果任取一個(gè)正定矩陣Q，則滿(mǎn)足矩陣方程的實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣P是惟一的。若P是正定的，系統(tǒng)在處是漸近穩(wěn)定的。P的正定性是一個(gè)充要條件。（2）為計(jì)算方便，在選定正定實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣Q時(shí)，可取，于是矩陣P可按下式確定；2、判斷的一般步驟（1）確定系統(tǒng)的平衡狀態(tài)。（2）取矩陣，并且設(shè)實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣P為下面的形式：（3）解矩陣方程，求出P。（4）利用塞爾維斯特判據(jù)，判斷P的正定性。若