考研-流體力學(xué)第3章

3.10流體靜力學(xué)慣性坐標(biāo)系中任何物體處于靜止?fàn)顟B(tài)的必要條件是：作用在物體上的外力及外力矩為零，即根據(jù)平衡的第一個(gè)條件：外力的合力為零，于是

3.10流體靜力學(xué)

3.10.1流體靜力學(xué)基本方程根據(jù)平衡的第二個(gè)條件：外力的合力矩為零，有(3-10-1)若將式（3-10-1）代入此式，能夠自然滿足。由此可見，在慣性坐標(biāo)系中，流體處于靜止?fàn)顟B(tài)的必要條件是式（3-10-1）成立。

即壓力在體積力的方向增加。流體中壓強(qiáng)相等的面,其在任意地方都是與質(zhì)量力垂直，在重力場(chǎng)中為一個(gè)水平面.等壓面由平衡方程（3-10-1）可見，能使流體處于靜止的質(zhì)量力是有條件的。3.10.2靜止流場(chǎng)的基本特性一、流體靜止的質(zhì)量力條件由此可以得出結(jié)論：流體靜止的必要條件是質(zhì)量力滿足對(duì)此式兩側(cè)取旋度，則有（1）對(duì)于不可壓縮流體，平衡方程（3-10-1）可以寫成這是不可壓流體靜止對(duì)質(zhì)量力所加的限制條件。由此條件可見，質(zhì)量力必須有勢(shì)。因此，質(zhì)量力有勢(shì)是不可壓流體靜止的必要條件。

所以，不可壓流體在靜止條件下，其質(zhì)量力勢(shì)等于令積分并取常數(shù)為零得：代入（2）具有正壓性質(zhì)的靜止流場(chǎng)的特性為討論方便起見，我們?cè)俅问褂脡毫瘮?shù)由得可見，在正壓靜止流場(chǎng)中質(zhì)量力必須有勢(shì)。因此質(zhì)量力有勢(shì)是正壓流場(chǎng)中流體處于靜止?fàn)顟B(tài)的必要條件。正壓流場(chǎng)在靜止條件下，其質(zhì)量力的勢(shì)等于相應(yīng)的壓力函數(shù)的負(fù)值。顯然，在這種情況下，等壓面與等勢(shì)面重合。正壓流場(chǎng)在平衡條件下，等壓面、等密度面及等勢(shì)（質(zhì)量力勢(shì)）面三者重合。在質(zhì)量力有勢(shì)的條件下，處于靜止?fàn)顟B(tài)的流場(chǎng)必然是正壓流場(chǎng)（或不可壓流場(chǎng)）二、有勢(shì)質(zhì)量力場(chǎng)中的靜止流體因?yàn)橘|(zhì)量力有勢(shì)方程兩側(cè)取旋度證畢！一、重力場(chǎng)中靜止液體的壓力公式3.10.3重力場(chǎng)中靜止流體的壓力分布由于質(zhì)量力只是重力，所以單位質(zhì)量力為直角坐標(biāo)系中帕斯卡原理：密封容器中的靜止流體，由于部分邊界上承受外力而產(chǎn)生的流體靜壓力，將均勻地傳遞到液體內(nèi)所有各點(diǎn)上去。

二、帕斯卡原理問(wèn)題解釋大壩為什么做成上面窄下面寬？解釋虹吸原理？完全浸沒在液體中、或部分浸沒在液體中的物體，受到液體對(duì)它的作用力，其合力稱為物體的浮力。一、物體浮力及浮力中心(1)完全浸沒液體中的壓力分布為而作用在物體上的合力為分完全浸沒和部分浸沒兩種情況。3.10.4重力場(chǎng)中靜止液體作用在物面上的合力及合力矩阿基米德浮力公式:浸沒在液體中的物體所受的浮力，等于物體排開的同體積的液體的重量，而方向向上。(2)部分浸沒結(jié)論：部分浸沒在液體中的物體所受的浮力，其大小等于物體所排開的同體積的液體的重量，而方向向上。即作用在物體上的合力矩為

即上面二式的右側(cè)為被排開的液體體積的形心坐標(biāo)，因此，浮力通過(guò)被排開的液體體積的形心。

應(yīng)理解為浸在液體中的那部分物體體積及相應(yīng)的周面。所以此式既適用于完全浸沒的物體也適用于部分浸沒的物體。流體對(duì)物面的作用力靜止液體作用在物體表面上的合力為二、平面上的靜水總壓力靜止液體中的壓強(qiáng)分布為靜止液體作用在任意物面上對(duì)參考點(diǎn)o的合力矩為根據(jù)剛體力學(xué)中尋找合力作用中心（通常稱為壓力中心）的原理，合力中心存在的條件為例題如圖所示為水下一傾斜平面，與水平方向夾角為β，求水對(duì)于平面的作用力大小及作用點(diǎn)的位置。注：水面及斜面下方均受到大氣壓強(qiáng)的作用。CDβPy解由面積對(duì)x軸的面積矩的定義作用于任意平面上的靜水總壓力，大小等于該平面的面積與其形心處?kù)o水壓強(qiáng)的成績(jī)，方向垂直指向斜面。靜水力矩為由此可見，靜水力矩與作用力合力垂直，故可以求出作用點(diǎn)。為面積A對(duì)x軸的慣性矩。水庫(kù)大壩水渠二、任意曲面受力及合力中心二、任意曲面受力及合力中心合力合力矩上式也可寫成分量形式

圖示為寬度為b，半徑為a的圓柱形閘門。試求作用在閘門上的合力。例題作用在閘門上的合力為

液體中壓力公式為解將坐標(biāo)系（x，y，z）的原點(diǎn)放在閘門寬度的平分面上的圓弧的圓心處

.或由于閘門在xoz平面上為圓弧形，因此，取極坐標(biāo)系最方便。在極坐標(biāo)系中，

重力質(zhì)量力慣性力3.10.5非慣性坐標(biāo)系中的靜止液體二、旋轉(zhuǎn)容器中的靜止液體一、直線等加速運(yùn)動(dòng)容器中的靜止液體例題盛有液體的容器以等加速度a作水平運(yùn)動(dòng)。容器靜止時(shí)，液體的深度為H，如圖3-10-7所示。求作等加速運(yùn)動(dòng)時(shí)，自由液面的形狀，液體內(nèi)的壓力分布。一、直線等加速運(yùn)動(dòng)容器中的靜止液體取與容器固結(jié)在一起的運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系，把坐標(biāo)原點(diǎn)放在容器靜止時(shí)的自由液面的中點(diǎn)。

解而等壓面方程為

dp=0，于是積分得：邊界條件：自由面方程為：已知：把上式改寫為所以是自由液面以下的深度汽車內(nèi)放一個(gè)杯子，內(nèi)盛7cm

深的咖啡.1.當(dāng)汽車加速度為a=7m/s2，咖啡會(huì)溢出嗎？2.杯底A

點(diǎn)的壓強(qiáng)是多少？

解：例：所以不會(huì)溢出例：設(shè)有半徑為R的一圓柱形容器中裝有液體，當(dāng)容器靜止時(shí)，液體的深度為H，現(xiàn)在讓容器本身以等角速度繞容器中心軸作旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，求壓力分布。

二、旋轉(zhuǎn)容器中的靜止液體將坐標(biāo)原點(diǎn)放在旋轉(zhuǎn)軸與容器底面的交點(diǎn)上。則單位質(zhì)量液體所受的質(zhì)量力為ω2yωxyROfω2xryxθgω2rzfO解表明等壓面是一族旋轉(zhuǎn)拋物面。自由液面也是一個(gè)等壓面，在自由液面的最低點(diǎn)有

在等壓面上，dp=0，積分得令得到則因此，自由液面的方程為

已知：積分得：由邊界條件：得：所以：最后得自由液面的方程為：令：則：確定3.11有旋流體動(dòng)力學(xué)流體的渦旋是一種自然現(xiàn)象，也是一種基本的流動(dòng)現(xiàn)象。真正的渦旋研究是從19世紀(jì)開始的，1815年，柯西引進(jìn)了流體質(zhì)點(diǎn)平均旋轉(zhuǎn)的概念，1843年，亥姆霍茲引進(jìn)了渦線、渦面和渦管的概念。他也是無(wú)粘性旋渦理論的創(chuàng)始者。流體的旋渦對(duì)于人們的日常生活來(lái)說(shuō)有利也有弊。臺(tái)風(fēng)、龍卷風(fēng)會(huì)造成巨大災(zāi)害；三角翼可以提升飛機(jī)的升力；燃燒化工過(guò)程可以提高混合效率。水中旋渦臺(tái)風(fēng)直徑1000km，高度10m龍卷風(fēng)直徑10m，高度1000m星系湯姆遜環(huán)流定理（開爾文定理）當(dāng)流體中存在環(huán)流時(shí)，這些環(huán)流以后將如何發(fā)展呢？？歸結(jié)為求環(huán)流加速度的問(wèn)題由歐拉方程如果在保守力場(chǎng)中若流體為正壓開爾文定理正壓流體在保守力場(chǎng)中任封閉流體線上環(huán)流不隨時(shí)間而改變。如果流體原來(lái)為無(wú)旋流動(dòng)，則永遠(yuǎn)為無(wú)旋流動(dòng)。亥姆霍茲渦旋定理理想、正壓、質(zhì)量力有勢(shì)條件下：如果流體原來(lái)為無(wú)旋流動(dòng)，則永遠(yuǎn)為無(wú)旋流動(dòng)。－亥姆霍茲渦旋第一定理任一時(shí)刻在流體中的一條渦旋線上的流體將永遠(yuǎn)在這條渦旋線上。即在此條件下，渦旋線永遠(yuǎn)由相同的流體質(zhì)點(diǎn)組成。－亥姆霍茲渦旋第二定理推論：在有勢(shì)正壓無(wú)粘條件下，渦線、渦面和渦管具有保持性。在正壓和保守力的作用下，渦管的強(qiáng)度不隨時(shí)間而改變。－亥姆霍茲渦旋第三定理葛羅米柯－蘭姆方程已知?dú)W拉方程由向量公式于是歐拉方程正壓質(zhì)量力有勢(shì)或蘭姆方程佛里德曼方程由蘭姆方程兩側(cè)取旋度方程各項(xiàng)佛里德曼方程或關(guān)于方程的說(shuō)明：影響理想流體渦量變化的因素？？變形外力流體非正壓性赤道北極信風(fēng)（貿(mào)易風(fēng)）佛里德曼方程正壓、保守力即使沒有質(zhì)量力和表面力的作用，流體的角速度也有可能改變。主要是由于變形引起轉(zhuǎn)動(dòng)慣量發(fā)生變化。如果初始狀態(tài)則有這就說(shuō)明在保守力和正壓的條件下，如果原來(lái)是無(wú)旋的運(yùn)動(dòng)，則永遠(yuǎn)是無(wú)旋的運(yùn)動(dòng)。從而證明了正壓流體在保守力的作用下的速度勢(shì)永存定理。重力場(chǎng)中理想不可壓縮流體，考察均勻來(lái)流定常繞流的渦旋性問(wèn)題。顯然，理想、正壓、質(zhì)量力有勢(shì)這三個(gè)條件都滿足。