高等數(shù)學(xué) 方向?qū)?shù)與梯度

9.8方向?qū)?shù)與梯度9.8.1定義9.5(方向?qū)?shù))

設(shè)二元函數(shù)z=f(x,y)在點P0(x0,y0)的某一鄰域內(nèi)有定義,l是以P0(x0,y0)

為起點的射線,為其方向向量.

如果極限1存在,則稱此極限為函數(shù)z=f(x,y)在點P0(x0,y0)記為如果函數(shù)

f(x,y)在區(qū)域D內(nèi)任何一點(x,y)處沿方向或的方向?qū)?shù)都存在,注:方向?qū)?shù)是函數(shù)沿半直線方向的變化率.則為D內(nèi)的一個函數(shù),稱為f(x,y)沿方向的方向?qū)Ш瘮?shù)(簡稱方向?qū)?shù)).

處沿方向

的方向?qū)?shù),2t一定為正!是函數(shù)在某點沿任何方向的變化率.方向?qū)?shù)偏導(dǎo)數(shù)

分別是函數(shù)在某點沿平行于坐標軸的直線Δx、Δy可正可負！的變化率.3的方向?qū)?shù)存在,同理,函數(shù)的方向?qū)?shù)存在,存在時,當(dāng)函數(shù)4函數(shù)函數(shù)5類似,可定義三元函數(shù)的方向?qū)?shù)對于三元函數(shù)它在空間一點的方向?qū)?shù),定義為其中6定理9.12處可微,則函數(shù)且其中類似地,如果三元函數(shù)處可微,且其中7注即為(1)(2)計算方向?qū)?shù)只需知道l的方向及函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù).在定點的方向?qū)?shù)為(3)(4)關(guān)系方向?qū)?shù)存在偏導(dǎo)數(shù)存在可微8解令故其方向余弦為例設(shè)處指向外側(cè)的法向量,求函數(shù)9故10解(1)最大值;(2)最小值;(3)等于零?并問在怎樣的方向上此方向?qū)?shù)有例求函數(shù)11故(1)方向?qū)?shù)達到最大值方向?qū)?shù)達到最小值方向?qū)?shù)等于0.和(1)最大值;(2)最小值;(3)等于零?問在怎樣的方向上此方向?qū)?shù)有(2)(3)12考慮函數(shù)

定點P0(3,1),P1(2,3).

解

求函數(shù)在

P0沿

方向的方向?qū)?shù).練習(xí)13練習(xí)求函數(shù)在點處沿解切線方向的方向向量在此點的切線方向上曲線的方向?qū)?shù).14解此方向的方向向量為練習(xí)15方向?qū)?shù)最大或最小?9.8.2梯度的概念問題:函數(shù)沿什么方向的方向?qū)?shù)為方向?qū)?shù)取最大值方向?qū)?shù)取最小值其中而方向一致時,方向相反時,16定義9.6記作即處的梯度,則梯度又可記為

為函數(shù)稱向量引用記號稱為奈布拉算子,或稱為向量微分算子或哈密爾頓算子,17結(jié)論:函數(shù)在某點的梯度是這樣一個向量,它的方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致,而它的模為方向?qū)?shù)的最大值.梯度的模為沿著方向,函數(shù)減少得最快.

方向：模：

f變化率最大的方向f的最大變化率之值18在幾何上被平面所得曲線在xOy面上投影是一條平面曲線稱為曲面的等高線表示一個曲面,所截得等高線兩端微分,得19

法線的斜率為:所以梯度為等高線上點P處的法向量.由于等高線上任一點等高線20梯度與等高線的關(guān)系：在同一直線上,且從數(shù)值較低的等高線指向數(shù)值較高的等高線.的梯度的方向與點P的等高21此梯度也是一個向量,其方向與取得最大方梯度的概念可以推廣到三元函數(shù)則函數(shù)在該點的梯度為

設(shè)三元函數(shù)在點P處可微分,

向?qū)?shù)的方向一致,其模為方向?qū)?shù)的最大值.22解故可得,在處梯度為令例

求函數(shù)在點處的梯度,并問在哪些點處梯度為零?23解練習(xí)24解因為

正南方向,問他應(yīng)當(dāng)怎樣往上登才能攀登得最快?

例一個登山者在山坡上點處,山坡的高度z近似為若以x軸正向為在點處,與梯度方向一致時,攀登最快.如果以x軸正向為正南方向,則登山者應(yīng)