人大版微積分第三章導(dǎo)數(shù)的基本公式

微積分鏈接目錄第一章函數(shù)第二章極限與連續(xù)第三章導(dǎo)數(shù)與微分第四章

中值定理,導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第五章不定積分第六章定積分第七章

無窮級數(shù)(不要求)第八章多元函數(shù)第九章微分方程復(fù)習參考書[1]趙樹嫄.微積分.中國人民出版社[2]同濟大學(xué).高等數(shù)學(xué).高等教育出版社第三章導(dǎo)數(shù)與微分引例導(dǎo)數(shù)概念導(dǎo)數(shù)的基本公式與運算法則高階導(dǎo)數(shù)微分3-3導(dǎo)數(shù)的基本公式初等函數(shù)微分法

求導(dǎo)數(shù)的方法稱為微分法。用定義只能求出一些較簡單的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（常函數(shù)、冪函數(shù)、正、余弦函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)），對于比較復(fù)雜的函數(shù)則往往很困難。本節(jié)我們就來建立求導(dǎo)數(shù)的基本公式和基本法則，借助于這些公式和法則就能比較方便地求出常見的函數(shù)——初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，從而是初等函數(shù)的求導(dǎo)問題系統(tǒng)化，簡單化。（2）算比值：（3）取極限：

用類似的方法，可求得余弦函數(shù)y=cosx的導(dǎo)數(shù)為：（n為正整數(shù)）的導(dǎo)數(shù).（n為正整數(shù)）

[解][解][解][解]一、和、差、積、商的求導(dǎo)法則定理證(1)略.證（2）證(3)注①（1）即是和、差的導(dǎo)數(shù)等于導(dǎo)數(shù)的和、差（2）即是乘積的導(dǎo)數(shù)等于第一個因子的導(dǎo)數(shù)乘以第二個因子再加上第一個因子乘以第二個因子的導(dǎo)數(shù)（3）即是商的導(dǎo)數(shù)等于分子的導(dǎo)數(shù)乘以分母減去分子乘以分母的導(dǎo)數(shù)，再除以分母的平方②（1）可推廣到任意有限個可導(dǎo)函數(shù)的情形③（2）也可推廣到任意有限個函數(shù)的情形④作為（2）的特殊情況即常數(shù)因子可以提到導(dǎo)數(shù)符號的外面即線性組合的導(dǎo)數(shù)等于導(dǎo)數(shù)的線性組合——說明求導(dǎo)是一線性運算⑤作為（3）的一種特殊情況，二、例題分析例1解例2解例3解同理可得例4解同理可得例5解三、反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定理即反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù).證明或者：定理即反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù).例6解同理可得例7解特別地四、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則

前面我們已經(jīng)會求簡單函數(shù)——基本初等函數(shù)經(jīng)有限次四則運算的結(jié)果——的導(dǎo)數(shù)，但是像等函數(shù)（復(fù)合函數(shù)）是否可導(dǎo)，可導(dǎo)的話，如何求它們的導(dǎo)數(shù)先看一個例子例8這里我們是先展開，再求導(dǎo)，若像求導(dǎo)數(shù)，展開就不是辦法，再像求導(dǎo)數(shù)，根本無法展開，又該怎么辦？

仔細分析一下，這三個函數(shù)具有同樣的復(fù)合結(jié)構(gòu)我們從復(fù)合函數(shù)的角度來分析一下上例的結(jié)果。再如注意到由以上兩例可見：由復(fù)合而成的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)恰好等于對中間變量的導(dǎo)數(shù)與中間變量對自變量的導(dǎo)數(shù)的乘積——這就是鏈式法則定理即因變量對自變量求導(dǎo),等于因變量對中間變量求導(dǎo),乘以中間變量對自變量求導(dǎo).(鏈式法則)證上面的證法有沒有問題？證注1.鏈式法則——“由外向里，逐層求導(dǎo)”2.注意中間變量推廣例9解例10解例5解例11解例12解例13解同理可得例14求冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例15解注1.基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和上述求導(dǎo)法則是初等函數(shù)求導(dǎo)運算的基礎(chǔ)，必須熟練掌握2.復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈式法則是一元函數(shù)微分學(xué)的理論基礎(chǔ)和精神支柱，要深刻理解，熟練應(yīng)用——注意不要漏層3.對于分段函數(shù)求導(dǎo)問題：在定義域的各個部分區(qū)間內(nèi)部，仍按初等函數(shù)的求導(dǎo)法則處理，在分界點處須用導(dǎo)數(shù)的定義仔細分析，即分別求出在各分界點處的左、右導(dǎo)數(shù)，然后確定導(dǎo)數(shù)是否存在。例16解五、初等函數(shù)的求導(dǎo)問題1.常數(shù)和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式2.函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則設(shè))(),(xvvxuu==可導(dǎo)，則（1）vuvu￠￠=￠

)(,（2）uccu￠=￠)(（3）vuvuuv￠+￠=￠)(,

（4）)0()(21￠-￠=￠vvvuvuvu.(是常數(shù))3.復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則利用上述公式及法則初等函數(shù)求導(dǎo)問題可完全解決.注意:初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍為初等函數(shù).4.雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)的導(dǎo)數(shù)即五、小結(jié)注意:分段函數(shù)求導(dǎo)時,分界點導(dǎo)數(shù)用左右導(dǎo)數(shù)求.反函數(shù)的求導(dǎo)法則（注意成立條件）;復(fù)合函數(shù)